1978年, Phillips提出交通流的运动微分方程^[1]

1991年, 吴正提出交通流的运动微分方程^[2]

作者在文献[3]中推导出理想交通流的欧拉方程为

式中: u为车流速度; t为时刻; x为车辆位置; k为车流密度; ue(k)为根据车辆跟驰的概念提出的平均速度与密度之间的函数; A为车道数; P、p为交通压力, 文献[1]认为是密度与速度分布的方差之积, 文献[2]假定为: p=ckⁿ (n≥ 1), c、n为常数, 作者在文献[3]中推导出P=P1+ ku(u₁-u), 下标1表示某一已知状态; τ_w为车流经过单位面积时所受的阻力; λ(k)为待定函数。

比较式(1)~ (3), Phillips方程中的-λ(k)· [u-u_e(k)]和吴正方程中的τ_w可看作粘性阻力项。但要确定Phillips方程中函数λ(k)中的各参数却异常复杂^[4]; 吴正方程在应用时假定^{[2, 5]}τ_w=0;作者的方程是理想交通流的欧拉方程, 没有引入粘性阻力项。

在交通流研究中, 速度—密度关系是参数之间的基本关系之一。1993年, Green Shields提出了速度—密度线性关系模型^{[6, 7]}

式中: u_f为自由流速度(下同); k_j为堵塞密度(下同); u为速度(下同); k为密度(下同)。

作者认为速度、密度和流量三者之间的关系也是一种模型, 称为定流量模型

线性模型和定流量模型在研究交通流时被引用得较多。线性模型是在大量的观测数据的基础上统计回归得到的^{[6, 7]}, 与实测数据拟合良好。研究交通流特性时, 多以该模型为基础^[8]。定流量模型表示了三参数之间的关系。

本文将在理想交通流的欧拉方程中引入相对粘性阻力项, 建立实际交通流的运动微分方程, 并采用线性模型和定流量模型予以验证。

1.   理想交通流的微分方程组和相对粘性假设

描述单车道理想交通流的微分方程组为

式中: 下标1表示某一已知状态(下同)。

交通流达到一定密度后, 由于彼此间的相互干扰, 呈现一定的粘性特点^[10]。式(8)表示的交通压力P是与已知状态1有关的相对量。因此, 如同式(2), 在式(7)中引入的粘性阻力项也应该是相对于相同已知状态1的相对粘性阻力项。假设

式(9)为本文作出的相对粘性假设。

2.   实际交通流的运动微分方程及验证

将式(9)表示的相对粘性阻力项代入式(7)后, 得到描述实际交通流的运动微分方程

式中: τ_w由式(9)确定。

由式(8)有

由式(6), 有

将式(9)和式(11)代入式(10), 并综合式(12), 有

式中: 当u≥ u₁时, 取“ -”; 当u < u₁时, 取“+”; 当x一定时, 有

解式(14), 即可得到速度—密度关系模型。

(1) 当u>u₁时, 由式(14)有

解式(15), 得

式中: 下标2表示u>u₁时的任一已知状态, 且u₂> u₁(下同)。

选取阻塞状态(u=0)为状态1时, 由式(16)有亦即ku=k₂u₂。式(17)为速度—密度定流量模型。

(2) 当u < u₁时, 由式(14)有

解式(18), 得

式中: 下标2表示u < u₁时的任一已知状态, 且u₂ < u₁(下同)。

当选取u=u_f为状态1时, 由式(19)有

该式对u=0、k=k_j状态亦成立, 即有

代入式(20), 有

式(22)即为Green Shields的速度—密度线性关系模型。

至此, 本文采用速度—密度定流量模型和Green Shields速度—密度线性关系模型验证了相对粘性假设和实际交通流的运动微分方程。

对定常交通流^[3], , 由式(12)有。即: 在定常交通流中, 相对粘性阻力项τ_w= 0。因此, 以本文实际交通流的运动微分方程为基础, 在定常交通流条件下, 研究交通压力的定义式, 可以得到与文献[3]相同的结果。

3.   结语

本文在理想交通流的欧拉方程基础上是提出的相对粘性假设, 以及据此建立的实际交通流的运动微分方程, 经采用速度—密度定流量模型和Green Shields速度—密度线性关系模型验证是正确的。作者依据实际交通流的运动微分方程对交通流参数之间的关系进行了系列的理论研究, 其结果与文献[8~11]的实测结果相吻合, 作者将陆续予以介绍。