城市高速公路交通流模型是描述交通流状态变量随时间与空间而变化、分布的规律及其与交通控制变量之间的关系的方程式。准确的交通流模型不仅是进行交通自动控制系统设计、分析、仿真、运行的基础, 而且也是交通分析、预报、评价以及某些交通设施的设计所需要的。交通流模型从研究的角度可分为宏观和微观模型, 主要采用流体力学理论和车辆跟驰理论。这两种模型由于其准确性、实用性在交通流建模发展过程中占重要地位。

1.   宏观交通流模型

宏观交通流模型叫流体力学模型, 也称交通流连续介质模型, 它通过对单项运动的交通流在某时刻t在某一位置x的有关变量来把握交通的特性和本质, 主要描述车流(车队) 的运动规律, 即反映一些集总变量如流量q (x, t) (t时刻点x处单位时间通过的车辆数)、速度u (x, t) (t时刻x点处的车流速度)、密度ρ (x, t) (t时刻x点处单位长度所拥有的车辆数) 的变化过程。

宏观交通流模型又可分为稳态模型和动态模型。当宏观交通流变量q (x, t)、u (x, t)、ρ (x, t) 与时间无关而仅仅与地点有关时, 将此时的交通流标为宏观稳态交通流, 用来描述宏观稳态交通流的模型称为稳态模型。或者说, 宏观稳态交通流模型是描述q (x)、u (x)、ρ (x) 与道路位置坐标x分布规律相关的模型。动态模型描述交通流随空间和时间的变化规律, 此时q (x, t)、u (x, t)、ρ (x, t) 均是随时间和空间变化的, 因而宏观动态交通流模型能够比较精确地描述交通流的真实行为。

1.1   静态模型

静态模型主要有三种: 递推模型、起始—到达模型、起始—终点模型^[1]。

1.1.1   递推模型

通常将q随道路坐标x连续变化的规律离散化, 即把一条道路按照其实际几何情形和交通状况划分为若干段, 使得在每一段内交通状态可近似成均一的, 每一段内车道数不变, 至多有一个入口和出口, 如图 1所示。显然, q_i、r_i、s_i的关系为

图  1  高速公路的分段

Figure  1.  Segments of highway

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q_i=q_i-1+r_i-s_i; i=1, 2, …, N (1)

故只要知道始端主线流量及各入口、出口匝道的流量就可以根据式(1) 计算出各路段的流量q_i (i=1, 2, …, N), 故称式(1) 为递推模型。

1.1.2   起始—到达模型

设从路段i的入口进入的车辆(流量r_i) 中有100a_ij%到达路段j, 则

$q{}_j={\displaystyle \sum _{i=1}^{j}r}{}_{i}a{}_{ij}$; j=1, 2, …, N (2)

(0≤a_{i, N}≤a_{i, N-1}≤…≤a_{i, i+1}≤a_{i, i}≤1)

引入N×N阶起始—到达矩阵为

$A=\left(\begin{array}{cccc}a{}_{1,1}& a{}_{1,2}& \cdots & a{}_{1,{\rm N}}\\ 0& a{}_{2,2}& \cdots & a{}_{2,{\rm N}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & a{}_{{\rm N},{\rm N}}\end{array}\right)$

记q=[q₁, q₂, …, q_N], r=[r₁, r₂, …, r_N], 分别称其为流量向量、入口流量向量, 则式(2) 写成矩阵形式为

$q=rA(3)$

在估计出矩阵A的条件下, 由各入口流量r_i, 可算出各段流量q_i, 称式(3) 为起始—到达模型。

1.1.3   起始—终点模型

设r_i中有100b_ij%经其下游第j路段的出口匝道驶出, 则

$s{}_j={\displaystyle \sum _{i=1}^j}r{}_{i}b{}_{ij}；j=1,2,\cdots ,{\rm N}(4)$

${\displaystyle \sum _{j=i}^{{\rm N}}}b{}_{ij}=1$; j=1, 2, …, N

写成矩阵形式为

s=rB (5)

称式(5) 为起始—终点模型。由于到达路段j的车辆总要从下游出口驶出, 故应有

$a{}_{ij}={\displaystyle \sum _{k=j+1}^{{\rm N}}}b{}_{ik}$; i=1, 2, …, N (6)

从而根据实测的q、r、s由式(4) ~ (6) 可以估计出矩阵A, 比起始—到达模型要准确。稳态模型为常系数模型, 用该模型进行控制, 可望预防常发性拥挤, 但不能适应偶发性拥挤。

1.2   动态模型

1.2.1   流体动力学模型

1955年英国学者Lighthill、Whitham提出了流体动力学模拟理论^[2]。文中首次使用流体动力学理论模拟交通流。因假设了流体的可压缩性, 由流体力学守恒定律可知在某点(x, t) 处单位时间内密度的增加(或减少) 等于单位距离内流量的减少(或增加), 于是有

守恒方程$\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial q}{\partial x}=s(x,t)(7)$

输运方程q=ρv (8)

平衡时的v-ku=u_e (ρ) (9)

代入式(8) q=ρu_e (ρ) =q (ρ) (10)

代回式$(7)\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial q(\rho )}{\partial x}=s(x,t)(11)$

此式称为速度—密度假设或者间断模型, 其特征是激波间断的普遍存在。由于模型的第三个方程(9) 是建立在假设的基础上, 其合理性从一开始就受到怀疑。实践证明速度—密度关系假设只能在所谓的平衡状态才是合理的, 但在实际交通中, 这种状态几乎不存在。如果对于车流从低密度到高密度流动的情况, 这一模型会导致高密度区域出现一种“自锁的倾向”, 即上下游一定的密度分布值可使在高密度区域的车流流入量大于流出量, 而且这种情况会一直持续下去, 这一现象必然导致车队的不稳定运动。几十年来交通流建模问题基本上就是围绕着第三个方程进行讨论的, 其合理性不断得到改进, 但由于交通因素的复杂性和道路的多样性, 对这一问题的研究还远未达到完善的程度^[3]。

1.2.2   加入动量方程的流体动力学模型

为了解决上述困境, 学者采用动量方程取代式(9)。一个方面考虑了惯性的作用, 即认为由车距或密度所确定的速度不是当时就达到, 而是要在一段时间之后。另一方面考虑了前面各车相邻车距对考察车辆车速的影响。这意味着某地的车流速度不再由当地密度值决定, 而是依赖于它前方某处的密度值。由于所取的动量方程的具体形式不同形成了多种高阶连续介质模型, 主要有Payne模型^[4]、Papageorgiou模型^[5-7]、Phillips模型^[8]、Ross模型^[9]、Michalopoulos模型^[10]、Karaaslan模型^[18]、吴正模型^[11-12]。

图  2  高速公路路段

Figure  2.  Segments of highway

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(1) Payne模型

高速公路路段如图 2所示。

$\begin{array}{l}\rho {}_i^{n+1}=\rho {}_i^n+\left(\frac{{\rm T}}{l{}_{i}x{}_i}\right)(l{}_{i-1}q{}_i^{n+1}-l{}_{i}q{}_{i+1}^{n+1}+f{}_i^{\text{Ο}\text{Ν},n+1}-f{}_i^{\text{Ο}\text{F}\text{F},n+1})\\ f{}_i^{\text{Ο}\text{F}\text{F},n+1}=b{}_{i}q{}_i^{n+1}\\ q{}_{i+1}^{n+1}=\rho {}_i^{n}v{}_i^n\\ v{}_i^{n+1}=v{}_i^n-\text{Δ}t\{v{}_i^n\frac{v{}_i^n-v{}_{i-1}^n}{\text{Δ}x{}_i}+\frac{1}{{\rm T}{}_i}[v{}_i^n-v{}_e(\rho {}_i^n)]+\\ \frac{\upsilon {}_i}{\rho {}_i^n}\left[\frac{(\rho {}_{i+1}^n-\rho {}_i^n)}{\text{Δ}x{}_i}\right]\}(12)\end{array}$

式中: Δt为时段间隔; l_i为车道数; Δx_i为各路段长度; f_i^{ON, n+1}为在i路段于时间段[t₀+ (n-1) Δt, t₀+n Δt]进入入口的流量; f_i^{OFF, n+1}为在i路段于时间段[t₀+ (n-1) Δt, t₀+n Δt]流出出口的流量; T_i=k_TΔx_i, k_T为松弛时间; υ_i=k_vΔx_i, k_v为预测参数。

在动量方程(12) 的右边共有三项: 第一项为上一路段速度对本路段速度的影响, 因为上一路段的车辆进入本路段时往往保持原来的速度; 第二项为驾驶员驾驶行为的体现, 驾驶员往往根据平衡时的速度和密度关系来调整自己的速度; 第三项为下一路段的密度对本路段速度的影响。

Payne最大的贡献在于提出了动态速度—密度关系模型

$v(x,t+\tau )=V[\rho (x+\text{Δ}x,t)](13)$

Payne模型被编入著名的FREFLO程序。数据实验表明Payne模型对于一般的交通流描述非常理想, 但对于密度突然变化的交通情况其调节过程过于缓慢, 模型中仍然隐含了速度—密度关系假设, Ross与Michalopoulos都分别对此提出了批评, 这是Payne模型的根本缺陷。

(2) Papageorgiou模型

在Payne提出的动态速度—密度关系模型^[4]的基础上, Papageorgiou^[6]把动量方程加以改进, 得出如下模型

式中: Δ_i为路段长度; T为采样时间; τ为延迟时间; ξ为对流系数; $v=-0.5\frac{\partial v}{\partial \rho }$; κ为限制因子; δ为路口形状相关系数; V (ρ_i (k)) 为平衡状态时的速度—密度关系。

Papageorgiou模型在交通流比较均匀时可以很好地描述交通流状态, 但当某一路段下游发生阻塞时, 它就表现出一定的局限性。于是文献[16]中就对式(15)、(16) 进行了改进

式中: a[ρ_i+1 (k) ]为一加权函数, 取值范围[0, 1]。

$\begin{array}{l}a[\rho {}_{i+1}(k)]=\{\begin{array}{cc}1& (\rho \le \rho {}_{cr})\\ (\rho -\rho {}_{cr}^{-2})& (\rho >\rho {}_{cr})\end{array}\\ v{}_i(k+1)=\{\begin{array}{cc}\text{式}(16)& (\rho \le \rho {}_{cr})\\ \overline{v}(\rho {}_i)& (\rho >\rho {}_{cr})\end{array}(18)\\ \overline{v}(\rho {}_i)=v{}_{f}b{}_i\exp \left[-0.5\left(\frac{\rho {}_i}{\lambda {}_i\rho {}_{cr}}\right){}^2\right](19)\end{array}$

式中: b_i∈[0, 1]为一常数, 这与路段Ⅰ的特征(如坡度和弯曲度) 有关, 该参数由交通统计数据来确定。

此外, 在Papagrorigiou模型中采用的平衡速度—密度关系模型时, 并没有考虑各种重型车辆对此关系的影响, 比如卡车的比例, 而且如果卡车被限制于右车道时问题比较突出。这时有可能右车道已经阻塞, 但内部各个车道仍然畅通, 这时的交通流不能看做是均匀的交通流。于是Cremer对此关系做了相应的扩展^[17], 考虑了卡车比例对模型的影响。

后来Karaaslan对Cremer的模型做了进一步改进^[18], 对其动量方程中的对流项和预测项进行了改进。改进后的动量方程如下

Karaaslan认为Cremer的模型中的对流项和预测项都太强烈了, 所以进行一定程度的缓和^[18]。

上述动量方程中的反映滞后的参数τ都为常数, 但Michalopoulos却认为延迟时间不是常数^[10], 一般说来, 当密度较大时, 延迟时间应相对较小。这使得以前的模型存在的在高密度区域反映过慢的问题得以解决。

中国的学者吴正针对中国混合低速交通为主的情况将一维管道流动的动量方程引入交通流模型, 并就有关参数建立了相应的实测方法, 其数值和中国的实际交通情况是符合的。其基本方程是

$\begin{array}{l}\frac{\partial (\rho A)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho \mu A)}{\partial x}=0(21)\\ \frac{\partial (\rho uA)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u{}^{2}A)}{\partial x}+A\frac{\partial p}{\partial x}+\tau {}_w=0(22)\end{array}$

式中: ρ为车流密度, 即单位长度路段上的车辆数; τ_w为车流经过单位面积路面时所受到的阻力; A为路段宽度或车道数; u为车流速度; p为交通压力, 可以写为p=cρⁿ, n≥1, c和n为两个可调参数, 改变它们的值可以使模型适用于不同的交通状况。采用此模型, 对上海和杭州的几个路段进行了分析, 准确地求出了临界密度和临界流量, 对不同时间周期的交通波以及瞬间阻塞交通过程进行了模拟。实际计算证明, 应用此模型, 可以较好地模拟各种道路条件和混合情况下的交通过程。

(3) Kockelman模型

而上述这些模型并没有考虑驾驶员心理、天气条件等因素对交通流模型的影响, 于是Kockelman提出了考虑各种因素影响的交通流模型^[14-15]。

在Kockelman模型中, 把驾驶员分为几种类型, 每一种类型的驾驶员在自由流时都有自己的期望自由速度, 同样在拥挤时, 也有自己的期望间距和期望速度。自由流时

$q{}_{\text{Τ}\text{o}\text{t}\text{a}\text{l},\text{U}\text{n}\text{c}\text{o}\text{n}\text{g}\text{e}\text{s}\text{t}\text{e}\text{d}}={\displaystyle \sum _i}v{}_{\max ,i}p{}_i\rho {}_{\text{t}\text{o}\text{t}\text{a}\text{l}}+\zeta {}_i(x,t)(23)$

式中: v_{max, i}为第i类驾驶员在自由流时的自由速度; p_i为第i类驾驶员所占比例。

拥挤时, 模型假设每类驾驶员的期望间距是速度的线性函数

式中: Density_i为每类驾驶员所占的密度。因此

$\begin{array}{l}v=\left(\frac{p{}_i}{\rho {}_i}-{\displaystyle \sum _i}p{}_{i}a{}_i\right)/({\displaystyle \sum _i}p{}_{i}b{}_i)\\ q{}_{\text{Τ}\text{o}\text{t}\text{a}\text{l},\text{C}\text{o}\text{n}\text{g}\text{e}\text{s}\text{t}\text{e}\text{d}}=v\rho =\frac{v}{\overline{s}}=\frac{v}{{\displaystyle \sum _i}p{}_{i}s{}_i}=\\ \frac{v}{{\displaystyle \sum _i}p{}_i(a{}_i+b{}_{i}v)}=\frac{v}{\overline{a}+\overline{b}v}\end{array}$

展开得

$q{}_{\text{Τ}\text{o}\text{t}\text{a}\text{l},\text{C}\text{o}\text{n}\text{g}\text{e}\text{s}\text{t}\text{e}\text{d}}=\left(\frac{p{}_i}{\rho {}_i}-{\displaystyle \sum _i}p{}_{i}a{}_i\right)/({\displaystyle \sum _i}p{}_{i}b{}_i\cdot {\displaystyle \sum _i}p{}_i\frac{1}{\rho })=(1-\rho {\displaystyle \sum _i}p{}_{i}a{}_i)/({\displaystyle \sum _i}p{}_{i}b{}_i)(24)$

2.   微观交通流模型

跟驰理论最早由Pipes L A于1953^[19]年提出。它是运用运动学的方法, 探究在单一车道上车辆排队行驶时, 后车跟随前车的行驶状态, 并用数学模型加以分析阐明的一种理论。交通流跟驰理论仅研究非自由行驶状态下车队的行驶特性, 此状态的车队具有制约性、延迟性和传递性等特点, 这些特点决定了交通信息沿车队向后传递不是平滑连续而是象脉冲一样间断连续的。跟驰模型是一种“刺激—反应”问题, 从驾驶员接收某种刺激后作出的反应来分析和研究车辆列队行驶时发生的追随现象, 其表现形式为: 跟踪反应=敏感度×刺激因素。

跟驰理论又可分为线性跟驰理论、非线性跟驰理论和模糊推理跟驰理论。

线性跟驰理论的代表有: Pipes模型^[19], 其考虑到刺激与反应之间实际存在的时间滞后, 表达如下

$\frac{\text{d}v{}_{n+1}(t+\tau )}{\text{d}t}=a{}_{n+1}(t+\tau )=\lambda [v{}_n(t)-v{}_{n+1}(t)](25)$

式中: a_n+1 (t+τ) 为延时τ时间后第n+1辆车(跟随车) 的加速度; v_n (t) 为第n辆车的速度; τ对于大多数驾驶员为1.0~2.2 s。

非线性跟驰理论的代表有: GM模型^[20], 基于安全车头间隔的模型^[21]、基于驾驶员心理的模型^[22-24]和基于期望车头间隔的模型^[25-26]。该理论认为灵敏度系数与车头间距成反比, 表达如下

$\frac{\text{d}v{}_{n+1}(t+\tau )}{\text{d}t}=\frac{\lambda {}_0}{x{}_n(t)-x{}_{n+1}(t)}[v{}_n(t)-v{}_{n+1}(t)](26)$

式中: $\frac{\lambda {}_0}{x{}_n(t)-x{}_{n+1}(t)}$为灵敏度系数。

Gipps 1980提出了基于安全车头间隔的模型, 假设: 尾随车在跟随行驶过程中将与前导车保持一个安全距离, 以便在前车突然减速时能把车速降低到一个安全水平。实验证明, 此种模型很难与实际最大交通量吻合, 在实际的交通运行中, 驾驶员在很多情况下并没有保持安全距离行驶。

Todosiev在1963年开始了驾驶员心理反映的模型研究。后来ZHANG Y L等人在Todosiev的基础上提出了多段式(multi-regime) 模型。该模型将跟驰过程分为如图 3所示的几种状态。在图形的上部, 当相邻两车的相对距离大于最大跟驰距离Δx_max时, 两车之间就不存在跟驰行为; 在紧靠着最大跟驰距离之下, 有两条对称的反映阈值曲线划分成两个反应区和两个不反应区。在图形的下部, 由舒适状态阈值和紧急状态阈值两条曲线将图形分割成为两块。每一相对速度和相对距离的组合都对应一种特定的反应模式, 每一种模式都有其对应的速度、加速度的计算方法。后来Weidmann对阈值进行了更细致的划分, 共定义了六种阈值和期望距离。基于驾驶员心理反应的多段式模型的最大优点在于充分考虑了不同交通环境下驾驶员的不同反映, 更接近实际情况。但是各种阈值是非常难以测量的。

图  3  根据驾驶员心理感知阈值对跟驰状态的分类

Figure  3.  Classes of traffic following condition based on degree of driver & apos; s meatal apperception

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1962, Michaels开始了这类模型的研究, 期望车头间隔与驾驶员有关, 不同的驾驶员具有不同的期望车头间隔。Acyin在Michaels的基础上采用线性变加速运动来替代传统模型中加速的阶跃取值。基于期望车头间距/期望车头时距的模型研究是近年来的研究热点, 对于这种驾驶特性的研究需要大量的数据, 因为不同类型的驾驶员的期望间距是不一样的。

以往的跟驰模型都是以明确的数学模型来描述驾驶员的行为, 实际上驾驶员对前导车变化的反应不是明确的一对一关系, 而是基于经验得出一组潜意识的驾驶规则。近几年来, Shinya Kuchi^[27]提出基于模糊推理系统的跟驰模型, 其中的模糊推理系统是由基于驾驶规则的直接自然语言组成。

由以上可以看出, 跟驰理论的有三方面的不足:

(1) 跟驰理论将交通流处理成分散的粒子, 本质上是一种微观模型, 难以在实际交通规划和交通管理控制中得到应用。

(2) 跟驰理论成立的假设条件是车辆处于交通流密度较高的非自由状态, 仅仅适用于单车道没有超车行为的交通流情形, 而在实际交通流中大量存在超车、改道现象, 因此应用中有较大的局限性。

(3) 跟驰理论的思想基础是一种机械式的“伺服机制”, 仅简单地将刺激反应归为与前车车速和车距变化有关, 并以此“伺服”改变跟随车速; 而实际驾驶过程中接受到的刺激和作出的反应的程度还应与道路拓扑特性(车道数、路面情况、交通信号)、驾驶员本身的感知能力、判断力以及理性程度相关。因此跟驰理论仅仅是一种理想化的、较简单的理论描述, 与实际车辆行为相差较远。

3.   建模展望

(1) 三维建模。

目前大多学者研究的范围是在两维平面基础上的连续交通流三参数模型, 但这些模型有时却难以解释某些实测交通流数据出现的非连续的“跳跃”式现象, 但采用三维空间建模的交通流模型则能较好地从三维空间角度予以完整的解释。但这种建模方法具体实现起来比较复杂。

(2) 细致建模。

道路交通系统是一个有人参与的、时变的、复杂的、具有高度不确定性的非线性大系统, 其不确定性主要来自于自然界方面的原因(季节和气候因素) 和人为因素(交通事故、突发事件、驾驶员心理状态), 这些因素给交通流的建模带来了困难, 以往的建模往往是在忽略上述两个因素的前提下进行研究的, 所以综合上述各种因素实现对交通流的描述是交通流建模的一个发展趋势。

(3) 非参数建模。

以往的建模方法基本是基于一定的数学模型的, 并且与地点紧密相关的, 不能作为一种通用的高效的建模方法, 而所有的建模信息都可以从大量丰富的交通流数据中得到, 因此, 利用数据挖掘的方法对交通流实现非参数、可移植性建模和交通流分析(交通异常事件检测) 非常有前景。