自20世纪70年代落锤式弯沉仪(FWD: Falling Weight Deflectometer) 引入路面结构评价以来, FWD作为无损检测设备, 以其准确、高效、安全、省力、方便、更能反映车轮对路面的实际作用及对路面无破损等优点得到世界各国的广泛应用, 在许多国家的公路部门已采用FWD取代了传统的贝克曼梁(BB: Benkelman Beam) 弯沉仪。中国于20世纪80年代后期从国外引进FWD, 目前FWD检测弯沉已得到承认和应用, 各省市自治区的公路部门以及科研院校拥有不同型号的FWD已近30台。由于FWD具有良好的应用前景, 许多地方公路部门也正在引进FWD。因此, 为了科学合理地评价路面结构性能, 根据FWD实测弯沉盆反算路面结构层的模量也就成为路面工程的研究热点之一。

实际上, 路面模量反算是一个非常复杂而困难的问题, 不管是采用线性或非线性还是考虑静载或动载等力学分析模型计算路面结构的弯沉, 模量反算最终都可归结为非线性最优化问题, 即如何采用有效的最优化算法和数据处理方法寻找最优的路面结构层力学参数组合, 使得FWD的实测弯沉盆与力学计算的理论弯沉盆之间达到最佳的拟合。然而, 非线性最优化问题存在初始值和局部收敛及解的唯一性问题, 反算结果本身存在合理性问题, 一直是模量反算研究致力解决的问题。为此, 本文针对国内外有关模量反算的研究成果, 对各种方法进行简要总结和评述。

1.   国内外研究概况

美国在模量反算方面进行了大量的研究, 早在1973年美国德州运输学院的Scrivner F H等人根据Burmister双层体系解, 采用分析法首次提出了FWD弯沉盆反算模量的方法, 并编制了反算的诺谟图^[1]。1977年犹他大学的Yih Hou在他的博士论文中, 首次采用近似公式求偏导数的方法进行多层体系解的路面模量反算。1979年德州运输学院的Lytton R L等人采用当量层方法提出了具有刚性下卧层的模量反算, 并编制了反算程序。20世纪80年代后期, 美国佛州大学的Ruth B E等分析了Dynaflect弯沉与各层模量的关系, 提出了一组四层体系的刚度参数预估公式。同时, 1978年丹麦工程大学的Ullidtz P根据Odemark N的假设采用当量层的方法反算路面模量。

随着计算机技术和数值分析方法的发展, 进入20世纪80年代后, 基于图表和回归公式法已无法满足FWD大规模的数据处理要求, 逐渐被淘汰。相应的多种基于Hankel积分变换与有限元方法的弹性层状体系解的计算机程序得到开发, 由此, 多个模量反算程序也得到发展。1980年华盛顿州交通厅的Bush先后开发了BISDEF和CHEVDEF, 此后较为著名的还有MODCOMP系列(Irwin, 1983)、ELSDEF (Jordahl, 1985)、EVERCALC (Mahoney, 1989) 和WESDEF (Van Cauwelaert, 1989) 等^[2], 这些方法都属于迭代法, 即常规的数学规划法。1988年德州交通厅的Uzah等人开发了基于数据库搜索法的MODULUS程序^[3], 1989年Anderson开发了类似的软件COMDEF, 同年, Lytton R L又提出了基于模式识别(SID: System Identification) 理论的模量反算方法^[4]。

20世纪80年代后期掀起了人工神经网络理论(ANN: Artificial Neural Network) 的研究热潮, 以及遗传算法(GA: Genetic Algorithm) 的飞速发展和应用, 20世纪90年代这两种理论也被引入到解决模量反算问题。1994年美国陆军工程师水道实验站的Meier R W等人首先采用BP网络进行模量反算, 随后他们作了一系列的研究^[5]。1997年加拿大的Khazanovich L等人以Winkler地基模型开发了基于神经网络反算模量的DIPLOBACK程序。1997年新加坡国立大学教授Fwa T F等人采用遗传算法研究了模量反算问题^[6], 并开发了反算程序NUS-GABACK, 同年, 日本学者Himeno K等人也对遗传算法反算模量进行了研究。

中国于20世纪80年代后期从国外开始引进FWD, 在路面模量反算方面的研究起步较晚, 1994年东南大学的倪富健等人采用了POWELL方法进行模量反算^[7], 郑州工业大学的王复明采用了模式识别法, 交通部公路所的王旭东采用了变尺度法(DFP) ^[8], 1998年后本文作者采用了改进遗传算法^[9]、人工神经网络法和同伦方法^[10]。

2.   现有反算方法评述

纵观目前国内外的模量反算方法, 主要可分为五类, 即: 图表法和回归公式法、迭代法、数据库搜索法、遗传算法和人工神经网络法。国外各类反算方法的主要软件如表 1所示。

2.1   图表法和回归公式法

根据常见的路面结构, 在较大范围内选取不同模量E_j和厚度h_j的结构组合, 通过弹性层状体系理论计算各结构组合的理论弯沉盆δ_i, 并运用多元回归分析方法, 建立E_j= f (δ_i, h_j) 的统计关系式, 或者编绘成计算图表。由此, 将实测弯沉盆数据和厚度参数代入统计公式或图表, 从而确定路面各结构层的模量。这类方法具有快速和方便的优点, 适合于野外现场评定。其主要缺点包括:

(1) 由于弹性层状体系理论的复杂性, δ_i与E_j之间并不存在简单的统计相关关系, 因此, 这类方法的反算精度差;

(2) 通用性差, 当模量、厚度、结构层数等参数超出回归公式或计算图表的计算范围时, 将无法处理。

2.2   迭代法

首先假设一组结构层模量(初始值), 采用力学分析方法计算理论弯沉盆, 并与FWD实测弯沉盆进行比较, 根据弯沉差异确定模量修正值, 从而获得一组新的模量。然后, 以此作为下轮迭代的初始值, 不断重复这一迭代过程, 直至满足预先给定的收敛精度或迭代次数的要求为止。实际上, 模式识别法也是根据这种迭代原理进行反算的。这类方法将模量反算视为非线性规划问题, 从而采用数学规划法中的不求导数的直接搜索或者近似求导的梯度搜索等启发式最优化算法进行计算。其优点是, 在一般情况下, 反算结果精度高, 便于引入各种不同的力学分析模型, 具有良好的可扩展性。主要缺点包括:

(1) 由于这类方法需要大量的迭代计算, 其计算速度相对较慢;

表  1  国外路面结构层模量反算的主要软件

Table  1.  Tab.1 Main softwares of backcalculation of pavement layer moduli

反算方法	软件名称	主要开发者	初始模量	模量范围	收敛标准
迭代法	BAP	Almeida J R	需要	需要	绝对误差平方和
	BISDEF	Bush A J	需要	需要	绝对误差平方和
	BOUSDEF	Haiping Zhou	需要	需要	百分误差和
	CHEVDEF	Bush A J	需要	需要	绝对误差平方和
	ELMOD/ELCON	Ullidtz P	不需要	可选	相对或绝对均方差
	DAPS	Thompson M R	需要	需要	相对误差平方和
	ELSDEF	Jordahl	需要	需要	绝对误差平方和
	EMOD	PCS/LAW	需要	需要	相对误差平方和
	EVERCALC	Mahoney J P	需要	需要	绝对误差和
	FPEDDI	Uddin W	自选	不需要	绝对误差和
	ISSEM	Stubstad R	需要	需要	各弯沉相对误差
	MICHBACK	Harichandran R S	自选	可选	相对误差平方和
	MODCOMP	Irwin L	需要	需要	各弯沉相对误差
	NDRATER	Chua K M	不需要	不需要	弯沉系数和斜率系数
	PADAL	Brow S F	土基需要	可选	相对误差平方和
	PVERS	Van Cauwelaert	需要	可选	人工控制
	SIDMOD	Wang F	需要	需要	模量变化率(模式识别)
	WESDEF	Van Cauwelaert	需要	需要	绝对误差平方和
数据库搜索法	COMDEF	Anderson M	需要	需要	相对误差平方和
	MODULUS	Uzah J	土基需要	需要	相对误差平方和
人工神经网络法	ANOVA	Meier R W	不需要	不需要	BP网络输入输出关系
	DIPLOBACK	Khazanovich L	不需要	不需要	BP网络输入输出关系
遗传算法	NUS-GABACK	Fwa T F	不需要	需要	相对均方差和
注: 表中只列出与本文讨论有关的内容, 其它方面可参阅相关文献。

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(2) 根据最优化方法的理论, 对于非线性优化问题, 数学规划法无法避免初始值和局部收敛的问题, 使得模量反算存在受初始值、迭代方法和收敛标准影响大和局部极小的缺点;

(3) 在许多算法中, 为了保证收敛, 需要给定较严格的模量取值范围, 虽然在一定程度上降低了结果发散的可能性, 但并不能从根本上解决初始值和局部收敛的问题, 同时, 限制模量的取值也影响了算法的适用范围;

(4) 路面结构的土基模量随弯沉的变化较敏感, 而结构层模量随弯沉变化不敏感, 因此, 当选取的收敛标准和迭代次数不合适时, 往往反算的土基模量结果稳定, 而结构层的模量误差大。

2.3   数据库搜索法

预先对需要分析的路面结构, 选取大量的模量组合, 通过力学理论计算, 求得各种模量组合下的理论弯沉盆, 并将理论计算结果以数据库的形式保存, 形成理论弯沉盆的数据库。然后, 采用直接搜索法和插值技术, 寻找满足弯沉盆拟合精度要求的模量组合。其中以MODULUS反算程序最为著名, 这种方法的主要优点是计算速度快, 收敛稳定, 适合于路网普查, 这也是美国SHRP计划通过比较、筛选决定选用MODULUS的主要原因。这种方法的主要缺点包括:

(1) 理论弯沉盆数据库需要耗费大量的存储空间, 并且, 对于数据库中没有的路面结构形式, 需要重新计算, 形成新的弯沉盆数据库, 耗时较长;

(2) 虽然反算总能收敛, 但由于采用了插值方法, 反算结果可能误差很大, 其反算方法采用最优化方法中的直接搜索法, 无法从根本上避免初始值和局部极小问题;

(3) 需要选取较为严格的模量取值范围, 算法通用性较差。

2.4   遗传算法

预先在给定的模量范围内, 随机产生一定数量的模量组合, 将各组合转换成不同的数字串(染色体), 形成原始种群。通过力学分析计算各组合的理论弯沉盆, 以理论弯沉盆和FWD实测弯沉盆之间的误差作为适度函数, 对各染色体的适度进行评价。然后, 按照一定的概率对种群的染色体进行选择、交叉和变异等遗传计算, 形成新的种群。以新的种群作为原始种群, 重复上述迭代过程, 直至满足给定的收敛标准或迭代次数为止, 并从最后一代种群中选取弯沉拟合精度最好的染色体作为反算的模量结果。遗传算法是一种模拟自然选择法则的最优化算法, 其实质是一种迭代自适应启发式概率性搜索算法, 可解决不同的非线性问题的鲁棒性和全局最优性。因此, 具有精度高和全局收敛的优点, 并很好地解决了初始值的问题。其主要缺点包括:

(1) 由于遗传算法是对自然选择过程的模拟, 只有经过大量的遗传计算, 才能获得稳定的结果, 因此, 其计算速度很慢, 无法满足工程应用中大规模反算的要求;

(2) 种群染色体个数的选取缺乏理论指导, 规模太小容易导致早熟, 无法获得稳定的结果, 规模太大则大幅降低计算速度;

(3) 需要合理地预测模量的取值范围, 确定合适的染色体长度, 超出取值范围的误差将很大。

2.5   人工神经网络法

利用人工神经网络的高度非线性映射能力, 预先通过力学理论计算, 获得大量的模量、厚度和荷载等参数组合的理论弯沉盆结果, 作为神经网络的训练样本。然后, 选取合适的网络模型和学习算法, 以弯沉、厚度与荷载等参数作为输入, 模量作为输出, 训练神经网络。经过反复训练, 训练好的神经网络即可作为路面模量反算的工具。由于采用训练好的神经网络进行模量反算时, 只需数次简单的整合与传递函数的运算, 因此, 神经网络法是目前反算速度最快的方法, 具有实时处理的优点。其主要缺点包括:

(1) 由于神经网络是一种近似计算方法, 反算结果的精度取决于网络结构和规模、训练样本的容量和代表性及学习算法的收敛性等因素, 因此, 一般误差较大;

(2) 由于FWD存在各种系统和人为误差, 以及路面结构力学分析模型的简化, 实测弯沉盆不可能无限逼近理论弯沉盆, 二者之间必然存在误差, 为了消除这种误差对反算结果的影响, 必须在训练样本中加入噪音数据, 以获得神经网络的鲁棒性, 否则, 采用训练好的网络进行反算时, 对理论弯沉盆可以获得高精度的结果, 而对实测弯沉盆, 必然会得到不合理的结果, 因此, 对于人工神经网络法, 噪音处理至关重要, 然而, 对于噪音数据的选取, 主要依靠经验, 缺乏理论指导;

(3) 目前普遍采用BP网络进行反算, 而BP网络的学习算法存在初始值和局部极小问题, 同时, 其隐单元数的确定也缺乏理论指导。

3.   发展趋势

从五类模量反算方法的优缺点可看出, 未来仍需对模量反算方法开展深入研究, 在满足大规模反算要求的基础上, 重点解决以下三个关键问题。

3.1   初始值和局部收敛

非线性最优化方法一般都需要从初始值开始迭代, 初始值不管是给定的还是随机产生的, 算法本身的局部收敛性决定了反算结果的局部收敛性。同时, 由于弯沉误差等值线具有狭长和平坦分布的特点^[10], 收敛标准的允许误差对反算结果的精度有很大的影响, 过于苛刻势必造成迭代振荡而降低计算速度, 过于宽松迭代会提前终止而影响结果的精度。因此, 寻找从数学上严格证明的受初始值影响小且具有大范围收敛的方法是未来研究方向之一, 同伦方法^[10]为此提供了新途径。

3.2   解的唯一性

一般情况下, 不同的收敛标准获得的反算结果是不相同的。由于模量反算属于非线性最优化问题, 在某一收敛标准下可能会存在多个解的情况(一般较少出现)。因此, 为了解决唯一性的问题, 一方面需要通过试验验证, 选取合理的收敛标准; 另一方面可通过选取合理的位移传感器布置方案, 减少或避免多解的情况。同时, 从非线性最优化理论方面开展多解的研究, 以合理取舍反算结果。

3.3   反算结果的合理性

由于反算结果属于二级指标, 所以应加强反算结果与试验结果的验证研究, 比较分析反算结果的合理性, 并用于路面评价和设计。同时, 目前模量反算的正分析大多采用弹性层状体系理论, 由于路面结构层材料的非线性性质和FWD动载的特点, 需进一步开展非线性和动载等动参数的反算研究。

另外, 模量反算时, 路面结构层厚度一般按设计值选取, 或者根据有限的钻孔检测结果确定。实际上, 由于施工变异性的影响, 以及行车荷载和自然环境等因素的作用, 实际厚度与反算取值之间存在着差异, 而这种差异对反算结果有着较大的影响。因此, 为了减小厚度取值的误差, 未来应加强在FWD检测的同时, 配合采用路面雷达等无损检测技术测定路面结构层的厚度。

4.   路面模量反算方法探讨

4.1   范围收敛的同伦反算方法^[10]

同伦方法是求解非线性映射的零点或不动点的方法, 根据微分流形理论, 只要非线性映射存在零点或不动点, 连续同伦算法跟踪的同伦曲线总能搜索得到, 通常受其平凡映射的零点(相当于初始值) 影响很小, 因此, 同伦方法是一种数学意义上的大范围收敛的方法。路面模量反算实质上是一个非线性最优化问题, 根据极值条件可转化为求解非线性映射零点的问题, 由此, 将同伦方法引入路面模量反算, 并开发了同伦反算程序HMDEF。大量反算表明, 同伦方法是一种精度好、结果稳定、效率高且大范围收敛的模量反算方法。

4.2   噪音训练的BP神经网络反算方法^[11]

根据JILS FWD的位移和压力传感器的精度, 每次学习时在训练样本中都加入正态随机噪音数据, 采用三层BP神经网络实现了双层体系的路面模量反算, 并编制了反算程序BPDEF。实际反算表明, 反算结果具有良好的精度和可靠性, 可作为大规模反算的实时处理方法, 或作为迭代方法的初始值预处理方法。

4.3   变异遗传反算方法^[9]

为了解决计算速度慢与早熟的问题, 作者对遗传算法进行了改进, 并开发了相应的反算程序GADEF。首先基因采用十进制字符串, 在每次遗传计算过程中, 都提供了变异的操作, 使进化过程大幅加快; 然后保留优良基因, 重新产生父代个体并进行遗传计算, 直到最优解稳定为止。实际反算表明, 反算结果精度高且稳定性好, 速度比标准遗传算法有所提高, 可作为其它反算方法结果可靠性的验证方法。

同时, 根据模量反算结果, 在水泥混凝土路面接缝传荷能力评价和沥青路面模量的温度修正等方面开展了模量反算的工程应用研究^[10], 取得了一定的成果; 未来将结合FWD和路面雷达的测试结果, 从理论和实践两个方面, 继续开展路面模量反算的研究, 重点解决模量反算的可靠性(唯一性和合理性) 问题, 以达到科学评价路面性能的目标。

5.   结语

纵观五类模量反算方法, 随着计算机技术的发展, 图表法和回归公式法目前已极少采用, 遗传算法的精度和全局收敛性最好, 但计算速度最慢; 人工神经网络法速度最快, 而精度受网络规模和训练样本等的影响, 一般误差较大; 迭代法和数据库搜索法是目前使用最多的方法, 但由于采用了最优化理论的搜索规则, 无法避免初始值和局部收敛的问题。为此, 未来模量反算方法在满足大规模反算的基础上, 需要研究解决初始值和局部收敛、解的唯一性和反算结果的合理性三个关键问题, 以保证模量反算的可靠性。