在公路施工过程中, 为了控制施工进度, 指导后期的施工组织与安排, 同时保证路基的稳定与适用, 需要对路基的最终沉降量进行计算预测。用土工试验指标按常规的一维固结理论进行理论计算是常用的方法, 但其结果往往与实测结果相距甚远, 这是因为地基沉降多属于三维课题且实际情况又很复杂, 因此利用沉降观测资料推算后期沉降(包括最终沉降), 有着重要的现实意义。采用科学的预测方法处理实测资料, 有助于准确地预测沉降, 从而使后期施工组织安排达到最优化, 具有一定的经济效益。根据实测资料来推测最终沉降量, 目前归纳起来, 主要有四类方法: 曲线拟合法、灰色系统法、BP神经网络法和遗传算法。本文在总结传统算法的同时, 侧重对新的计算方法的介绍。

1.   曲线拟合法^[1-3]

该方法属于经验方法, 即采用与沉降预测曲线相似的曲线进行拟合, 然后外延求出后期沉降量。常用的方法有: 对数曲线法、双曲线法等。

1.1   固结度对数配合法(三点法)

曾国熙(1959) 建议地基固结度采用下式计算

$U=1-\alpha \text{e}{}^{-\beta t}(1)$

在时间t时, 地基固结度定义为

$U=\frac{S{}_t-S{}_d}{S-S{}_d}(2)$

结合式(1)、(2), 可得

$S{}_t=S{}_d\alpha \text{e}{}^{-\beta t}+S(1-\alpha \text{e}{}^{-\beta t})(3)$

为求t时刻的沉降, 上式右边有四个未知数, 即S_d、S、α、β。在实测初期沉降-时间曲线(S-t) 上任意选取三点: (t₁, S₁)、(t₂, S₂)、(t₃, S₃), 并使t₂-t₁=t₃-t₂。将上述三点分别代入式(3), 联立求解得参数β和最终沉降量S以及S_d的表达式, 其中S_d的表达式中还含有α这个变量。一般在求S_d时, α可采用理论值$\alpha =\frac{8}{\text{π}{}^2}$。

将所求得的β、S、S_d分别代入式(3) 中便可取得任意时刻的沉降。

1.2   双曲线两点拟合法

这是一种纯经验的曲线配合方法, 根据实测沉降曲线的实际形态近似于一条双曲线, 所以采用双曲线来配合后, 通过曲线外延来推得未知某时刻的沉降量或最终沉降量。实测沉降曲线(S-t曲线) 自拐点B (a, S_c) 开始采用双曲线配合, 双曲线方程为

$\begin{array}{l}xy={\rm K}(4)\\ x=a+t{}_c(5)\\ y=S{}_c-S{}_t(6)\end{array}$

式中: K为系数。

将B点坐标代入式(4), 可得

$S{}_t=S{}_c\frac{t{}_c}{a+t{}_c}(7)$

将实测曲线S-t曲线上两点(S₁, t₁) 和(S₂, t₂) 代入上式可得S_c和a值, 总沉降为

$S=S{}_0+S{}_c(8)$

双曲线两点配合法只利用了少量的沉降观测资料, 而配合出的近似曲线精度在很大程度上受到所利用的两点数据的准确性影响, 在实际观测数据很少时较适宜采用, 但当停止加荷后的沉降观测数据足够多时(如大于三组), 建议还是采用下述的多点配合双曲线法。

1.3   双曲线多点配合法

沉降与时间的关系可近似用下式表示

$S{}_t=S{}_0+\frac{t-t{}_0}{A+B(t-t{}_0)}(9)$

式(9) 变形后可得

$\frac{t-t{}_0}{S{}_t-S{}_0}=A+B(t-t{}_0)(10)$

由式(10) 可以看出, 以(t-t₀) 为横坐标, 以$\left(\frac{t-t{}_0}{S{}_t-S{}_0}\right)$作纵坐标建立坐标平面, 即为一条直线方程, 其斜率为B, 截距为A。取多组沉降实测值描点于该坐标平面内, 作出这些点的拟合曲线, 得其截距A和斜率B。然后利用式(9) 推算任意时刻的沉降量。若要求其最终沉降量, 可令式(10) 中的t→∞, 则有

$S{}_{\infty }=S{}_0+\frac{1}{B}(11)$

双曲线法是一种经验方法, 推算原理不强, 理论性不够明确, 也会因实测沉降时间不够, 无法用双曲线法推测, 但比较简单明了, 所以有一定的实用性。

1.4   抛物线法

河海大学的许永明博士通过对沪宁高速公路塑板处理段的工后沉降资料分析, 发现公路完建后的沉降曲线在初期并不表现双曲线或指数曲线的形式, 而在沉降-时间对数坐标系(s-lgt) 中沉降曲线可由两部分组成, 第一部分可由抛物线来拟合, 第二部分即次固结部分可由直线拟合; 第一部分和第二部分发生的量级和时间取决于土层固结后达到的孔隙比所对应的当量固结应力, 只要运营期的有效应力小于预压期末的固结应力, 次固结可以忽略不记, 否则, 就应该考虑次固结的影响。

实践证明, 除有机质含量很高的土外, 沉降量主要集中在第一部分, 沉降曲线的一般表达式为

$S=a(\text{l}\text{g}t){}^2+b\text{l}\text{g}t+c(12)$

式中: 参数a、b、c可用优化方法求得。

应用该法, 仅需掌握短期的实测资料即可求得满足工程精度要求的工后沉降量及铺筑路面时对应的沉降速率, 并可以及时指导施工, 该法实际推算结果比双曲线法更加可靠。

1.5   泊松曲线法

宰金珉在研究沉降与时间的关系时发现全过程的沉降量与时间的关系包括两个方面: 一是曲线不通过原点; 二是曲线呈“S”形。不通过原点是因为有瞬时沉降, 呈“S”形主要是由于成长曲线反映的实际上是事物发生、发展、成熟并到达一定极限的过程。这一点和荷载逐步增加与测点逐步发生沉降的关系十分相似, 加载过程中的沉降也可分为这四个阶段。

在时间序列预测中, 泊松曲线的表达式为

$y{}_t=\frac{k}{1+a\text{e}{}^{-bt}}(13)$

利用时间序列求出上述三个待定参数, 即可建立泊松曲线方程, 从而可以对今后的y_t进行预测。

2.   灰色系统法^[4-5]

灰色系统法预测的基本思路是: 把随时间变化的一随机正的数据列, 通过适当的方式累加, 使之变成非负递增的数据列, 用适当的方式逼近, 以此曲线作为预测模型, 对系统进行预测。

一般意义的灰色模型为GM (n, h), 表示对h个变量建立n阶微分方程。做预测用的模型一般为GM (n, 1), 在沉降预测中实际应用最多的是GM (1, 1) 模型。

GM (1, 1) 模型的一般形式为

$\frac{\text{d}x{}^{(1)}}{\text{d}t}+ax{}^{(1)}=b(14)$

以上标“0”表示原始序列, 上标“1”表示累加生成序列,

GM (1, 1) 模型的预测步骤为:

(1) 对原始序列做累加生成

$\begin{array}{l}x{}_k{}^{(1)}={\displaystyle \sum _{i=1}^k}x{}_i{}^{(0)}(k=1‚2‚\cdots ‚n)\\ \text{显}\text{然}x{}_k{}^{(1)}-x{}_{k-1}{}^{(1)}=x{}_k{}^{(0)}\end{array}$

(2) 定义矩阵

$\begin{array}{l}Y{}_{{\rm N}}=[x{}_2{}^{(0)}‚x{}_3{}^{(0)}‚\cdots ‚x{}_n{}^{(0)}]{}^{\text{Τ}}\\ \stackrel{\wedge }{{\displaystyle b}}=[a‚b]{}^{\text{Τ}}\\ B=\left[\begin{array}{cc}-0.5[x{}_1{}^{(1)}+x{}_2{}^{(1)}]& 1\\ \cdots & \cdots \\ -0.5[x{}_{n-1}{}^{(1)}+x{}_n{}^{(1)}]& 1\end{array}\right]\end{array}$

则残差为$e=Y{}_{{\rm N}}-B\cdot \stackrel{\wedge }{{\displaystyle b}}‚$要使残差平方和e^T·e最小, 做最小二乘估计

$\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ \end{array}\right]=(B{}^{\text{Τ}}B){}^{-1}B{}^{\text{Τ}}Y{}_{{\rm N}}(15)$

(3) 得到拟合的预测方程为

$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_i}}{}^{(1)}=(x{}_1{}^{(0)}-b/a)e{}^{-a(i-1)}+b/a(i\ge 1)(16)$

(4) 累减还原为

$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_k}}{}^{(0)}=\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_k}}{}^{(1)}-\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_{k-1}}}{}^{(1)}‚k\ge 2‚\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_1}}{}^{(0)}=\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_1}}{}^{(1)}$

于是可以得到对原始序列的拟合值$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_k}}{}^{(0)}(k=1‚2‚\cdots ‚n)$以及对未来的预测值$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle x{}_k}}{}^{(0)}(k\ge n+1)$。

上述GM (1, 1) 模型是以等间隔序列为基础的, 而实际工作中所能得到的原始数据往往是非等间隔序列, 针对这种情况, 也有人提出了不等时距GM (1, 1) 和不等时距时变参数GM (1, 1) 模型。

3.   人工神经网络法^[6]

地基沉降受多种因素的影响和制约, 其变化的自然规律很难用一个显式的数学公式予以表示。而人工神经网络是这一领域的一个突破, 该方法视传统函数的自变量和因变量为输入和输出, 将传统的函数关系转化为高维的非线性映射, 而不是显式的数学表达式。该方法在处理非线性问题上, 具有独特的优越性。在针对软土地基沉降预测时, 就是利用实测资料对复杂的非线性的土工结构进行直接建模。具体做法是: 先应用ANN建立沉降影响因素参数(如处理方式、软土层厚度、地基硬壳层厚度、软土的压缩模量、硬壳层的压缩模量、路堤宽高比、施工期和竣工时沉降量) 与沉降之间的非线性关系, 再将待测点的实测沉降影响因素参数输入到已训练好的网络中, 即可得到预测的沉降量。

在实际应用中, 较多采用多层前馈神经网络中的误差逆向传播模型(简称BP模型)。BP网络模型为前向多层网络, 网络有输入层(n个神经元)、输出层(q个神经元) 和隐含层(p个神经元)。

误差逆向传播过程通过一个使能量函数E最小化过程来完成输入到输出的映射, 将能量函数定义为输出层单元的均方误差, 设有L个学习样本, 则

$E=\frac{1}{Lq}{\displaystyle \sum _{i=1}^L}{\displaystyle \sum _{j=1}^q}(C{}_j^i-{\rm O}{}_j^i){}^2(17)$

式中: C ${}_j^i$、O ${}_j^i$分别为样本i的实际输出与希望输出。

BP网络的学习过程由前向计算过程和误差逆向传播过程组成, 学习步骤如下。

(1) 网络初始化: 输入学习率α、β; 给定最大学习误差ε, 给输入层至隐含层连接权矩阵U、隐含层至输出层的权矩阵V赋[-1, +1]区间的随机值。

(2) 为网络提供一组学习样本, 为不使输入节点的绝对值影响网络的学习性能首先对变量进行归一化处理, 即

$X{}^{*}=\frac{X-X{}_{\min }}{X{}_{\max }-X{}_{\min }}(18)$

式中: X^*为归一化处理后的值; X为真实值; X_max、X_min分别为变量的最大值和最小值。

(3) 对每个模式对(A_m, C_m) (m=1, 2, …, L) 进行以下操作:

① 计算各层加权输入和输出值;

② 计算各层误差;

③ 调整各层取值;

④ 学习样本结束, 进入下一轮的学习;

⑤ 判断: 如果E < ε, 学习结束, 否则继续①。

4.   遗传算法^[7-8]

软土地基沉降非线性模型的参数识别实质上是一个优化问题, 而建立在种群遗传和自然选择的基础上, 模拟了自然界“物竞天择, 适者生存”的遗传算法是处理复杂优化问题的理想方法。

遗传算法是一种具有高度并行、随机、自适应搜索的新计算方法。它同常规的优化方法相比(如梯度下降法) 相比, 遗传算法不直接和模型参数打交道, 而是处理代表参数的编码; 遗传算法在整个操作过程中, 同时控制着一个解群, 而不是局限于一个点, 这就大大提高了搜索效率, 并避免陷入局部极值; 求解时, 不计算目标函数的微分, 故对目标函数和约束条件没有苛刻要求, 这在处理高度非线性问题方面与传统方法比较, 具有明显的优势。

假设一般非线性模型的参数识别为如下优化估计问题

$Q=\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m}\parallel f(c{}_1‚c{}_2‚\cdots ‚c{}_p‚X{}_i)-Y{}_i\parallel {}^q\right){}_{\min }(19)$

式中: {c_j}为模型p个待优化参数, c_j∈[a_j, b_j], j=1, 2, …, p; X为模型N维输入向量; Y为模型M维输出向量; f为一般非线性模型; ‖·‖为取范数; q为实常数, 视实际优化准则要求而定; Q为优化准则函数。选择、交叉、变异这3个操作算子构成了遗传算法的遗传操作。

计算实例表明, 遗传算法具有简单、实用、高效的优点, 在解决复杂的最优化问题方面具有广阔的应用前景。

5.   结语

为了得到较为准确的后期沉降量推算结果, 必须对路基的沉降进行准确的观测, 应该在路堤开始填筑时就进行观测, 同时应尽可能地进行长期观测, 在数据处理时应选择有实际意义的数据。而且在实际的沉降预测中, 并不单纯地依赖某一种方法, 只有对每一种计算方法的原理、优缺点和计算结果的精度都有了了解之后, 才能在实际的运用过程中灵活地选择。