交叉口立面设计的目的是合理确定交叉口范围内相交道路共同构筑面上各个点的设计标高, 统一解决行车、排水、建筑艺术三方面在立面位置上的要求, 使相交道路在交叉口处形成一个平顺的面, 以保证行车顺适、排水通畅, 并与周围建筑物的地面标高协调^[1]。

交叉口立面设计的传统方法有方格网法、设计等高线法以及方格网设计等高线法三种^[1], 这些传统方法, 虽然有它固有的优点, 但是在施工放样中的实用性较差, 也不能适应目前平面交叉口立面设计中普遍采用高程图来表达交叉口立面的要求。近年来, 国内在道路面状区域或广场中应用平面或曲面模型进行立面设计方面, 已经做了一些有益的探讨。文献[2]在环形交叉口的立面设计中, 提出了坐标法, 它是以平面的理论为基础, 以平缓的折面代替曲面的立面设计方法。文献[3]将立体交叉中匝道的连接部划分为5个区域, 采用统一的双线性曲面模型计算连接部的标高。文献[4, 5]采用Coons曲面模型描述机场道面的立面, 并简要介绍了在此模型上定义的基本运算。这些方法均适合计算机处理, 并取得了较好的效果。本文把线性Coons曲面模型应用于平面交叉口的立面设计, 并对模型上定义的基本运算进行了较为深入的研究。该模型适合在交叉口计算机辅助设计中使用, 尤其适合大型、复杂的沥青路面交叉口和需要标注每个板角标高的水泥混凝土路面交叉口的立面设计。

1.   线性Coons曲面模型

曲面模型是用一个个曲面片来描述设计面。理想的曲面模型是能对设计面进行严格地数学表达, 精度好的自由曲面模型, 其相邻曲面片之间的边界上, 可根据具体要求实现各阶跨界导矢连续, 使整个设计面足够光滑。但自由曲面模型在平面交叉口立面的描述中较难标定, 本文选用较简单的构成C⁰连续的线性Coons曲面模型来描述交叉口的设计面。

1.1   线性Coons曲面的构造

图 1是Coons曲面的基本形式, 当曲面用参数形式表示时, 曲面上每个点坐标(x, y, z) 都是双参数的函数, 即

$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)(1)$

写成矢量形式为

$\mathit{Q}(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)](2)$

参数u、v在uv平面上某一区域中变化, 令参数u与v的变化区域是单位正方形区域[0, 1]×[0, 1], 即u与v独立地在[0, 1]之间变化, 记为: 0≤ (u, v) ≤1。

图  1  Coons曲面的基本形式

Figure  1.  Basic form of Coons surface

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线性Coons曲面是由u方向的单线性曲面Q₁ (u, v) 和v方向的单线性曲面Q₂ (u, v) 及基于4个角点的双线性曲面Q₃ (u, v) “叠加”而成, 线性Coons曲面的具体构造方法见参考文献[5, 6], 其曲面形式如下

Q (u, v) =Q₁ (u, v) +Q₂ (u, v) -Q₃ (u, v) = (1-u) Q (0, v) +uQ (1, v) + (1-v) Q (u, 0) +vQ (u, 1) - (1-u) ·

(1-v) Q (0, 0) -u (1-v) Q (1, 0) -v (1-u) ·

Q (0, 1) -uvQ (1, 1) (3)

式中: Q (0, v)、Q (1, v)、Q (u, 0) 和Q (u, 1) 为该曲面给定的4条边界曲线; Q (0, 0)、Q (1, 0)、Q (0, 1) 和Q (1, 1) 为该曲面的4个角点。

线性Coons曲面描述交叉口的设计面时具有下列特点:

(1) 线性Coons曲面的构造方法保证了由4条边界曲线构成的闭合区域在平面上的投影是保凸的, 使(u, v) 参数平面与(x, y) 直角平面互相转换具有唯一性。

(2) 形成的参数曲面仅由空间4个角点构成的4条边界曲线决定。

(3) 在(x, y) 直角平面上, 2条边界曲线可以是直线、圆、缓和曲线或任何插值曲线(如路面、路基边线), 另2条边界曲线为直线。

(4) 立面上, 4条边界可以是直线、抛物线或一系列散点构成的曲线。

1.2   线性Coons曲面模型上定义的基本运算

线性Coons曲面模型应用于平面交叉口立面设计的关键是在平面坐标已知情况下求得曲面片内任意一点的高程, 难点在于确定曲面片的边界曲线。

将式(3) 以标量z坐标形式写出, 并令在u方向上线性插值的高程为p_u, 在v方向上线性插值的高程为p_v (图 2), 则曲面上任一点p (u, v) 的高程为

z=[p_u (u, 0) (1-v) +p_u (u, 1) v+p_v (0, v) (1-u) +p_v (1, v) u]-[p (0, 0) (1-u) (1-v) +p (0, 1) ·

(1-u) v+p (1, 0) u (1-v) +p (1, 1) uv] (4)

图  2  曲面上点的高程计算

Figure  2.  Elevation calculation of points on surface

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式中: p (0, 0) =z₃, p (0, 1) =z₀, p (1, 0) =z₂, p (1, 1) =z₁为曲面片4个角点的标高; p_u (u, 1) 为路脊线上的纵面线形, 一般是直线或二次抛物线。当曲面片位于直坡段时, p_u (u, 1) =z₀+u (z₁-z₀); 当曲面片位于竖曲线上时, p_u (u, 1) 为由桩号、半径、高程决定的二次抛物线; 当曲面片位于平曲线上时, p_u (u, 1) 是由纵面线形和超高决定的曲线。p_u (u, 0) 为交叉口转角曲线或路面边线上的纵面线形, 曲面片上一般采用单坡, 即p_u (u, 0) =z₃+u (z₂-z₃)。p_v (0, v)、p_v (1, v) 为路拱曲线, 当路拱为直线形路拱时, 它们的方程为

$\begin{array}{l}p{}_v(0,v)=z{}_3+v(z{}_0-z{}_3)\\ p{}_v(1,v)=z{}_2+v(z{}_1-z{}_2)\end{array}$

当路拱为三次抛物线形路拱时, p_v (0, v)、p_v (1, v) 为

$\begin{array}{l}p{}_v(0,v)=z{}_0-\frac{z{}_0-z{}_3}{2}(1-v)-\frac{(z{}_0-z{}_3)}{2}(1-v){}^3(5)\\ p{}_v(1,v)=z{}_1-\frac{z{}_1-z{}_2}{2}(1-v)-\frac{(z{}_1-z{}_2)}{2}(1-v){}^3(6)\end{array}$

图  3  (x, y) 到(u, v) 的变换

Figure  3.  Convert (x, y) into (u, v)

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从式(4) 可知, 计算曲面上任一点的高程需要建立曲面参数(u, v) 坐标与平面(x, y) 坐标(本文采用高斯坐标系) 的关系。线性Coons曲面的构造方法保证了曲面在平面上投影的保凸性, (x, y) 和(u, v) 之间的相互变换具有唯一解。

假定v向线上的2条边界曲线在高斯投影平面上均为直线, u向线上的2条边界曲线在高斯投影平面上可以是直线、圆曲线、缓和曲线或3种线元的平行线。(x, y) 坐标到(u, v) 坐标的变换, 可采用二分法迭代求解^[5], 先迭代求出u, 然后由已知坐标(x, y) 和公式x=x_2u+u· (x_1u-x_2u) 或y=y_2u+v (y_1u-y_2u) 求出v。下面以图 3为例介绍u的求解, 图中p₀ (0, 1)、p₁ (1, 1)、p₂ (1, 0)、p₃ (0, 0) 的高斯坐标分别为(x₀, y₀)、(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)。

先取一区间如(a, b), 令a、b的初值分别为0和1, 取$c=\frac{a+b}{2}$。图 3中r (u, 1)、r (u, 0) 边界曲线在高斯投影平面上分别是直线和圆曲线, 则

$\{\begin{array}{l}x{}_{1u}=x{}_0+c(x{}_1-x{}_0)\\ y{}_{1u}=y{}_0+c(y{}_1-y{}_0)\end{array}(7)$

$\{\begin{array}{l}x{}_{2u}=x{}_3+2R\text{s}\text{i}\text{n}\left(\frac{cL}{2R}\right)\cos \left(A+\xi \frac{cL}{2R}\right)\\ y{}_{2u}=y{}_3+2R\text{s}\text{i}\text{n}\left(\frac{cL}{2R}\right)\sin \left(A+\xi \frac{cL}{2R}\right)\end{array}(8)$

式中: R为转角曲线半径; A为转角曲线起点的切线方位角; L为圆曲线的长度; ξ为曲线转角符号, 右偏为“+”, 左偏为“-”。

判定(x, y) 在点(x_2u, y_2u) 到点(x_1u, y_1u) 线上的哪一侧, 直到(x, y) 在此边上, 则u=c。

上述算法收敛速度较快, 简单可靠。当u向线的边界曲线在高斯投影平面上为缓和曲线, 或其平行线时, 也可采用类似方法计算。

从模型上定义的基本运算看, 交叉口处于直线、直坡路段, 对线性Coons曲面模型的运用有利。

2.   Coons曲面片的划分和特征断面的选择

在平面交叉口立面设计中, 要使设计曲面保持平顺, 必须保证设计面中的各Coons曲面片间拼接良好, 这取决于Coons曲面片的正确划分。同时, Coons曲面片的划分通常以路脊线和特征断面为界, 特征控制点正好位于Coons曲面边上或是Coons曲面片的角点, 因而, Coons曲面片划分过程, 实际上与确定交叉口特征断面的过程一致。下面以X形平面交叉口为例, 说明Coons曲面片的划分方法和特征断面的选择。

2.1   Coons曲面片的划分

图 4是相同(或相近) 等级的道路相交时的X形交叉口的Coons曲面划分形式。立面设计时相交道路维持各自的纵坡不变, 改变它们的横坡度, 在整个交叉口设计范围内, 所有部分均参与Coons曲面片的划分, 共划分了16个Coons曲面片, 其中曲面片③~ (10) 共8片包含圆弧。

图  4  相同等级道路相交的X形交叉口Coons曲面片划分

Figure  4.  Coons surface slices of X-intersection of same grade roads

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图  5  主次道路相交的X形交叉口Coons曲面片划分

Figure  5.  Coons surface slices of X-intersection of main road and secondary road

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图 5是主要道路与次要道路相交的X形交叉口的Coons曲面划分形式。在交叉口设计范围内, 主要道路不参与Coons曲面片的划分, 其余部分交叉口划分了12个Coons曲面片。曲面片④~⑨中, 有2个角点重合即z₀=z₃或z₁=z₂; u向线在高斯投影平面上, 1条边界曲线为圆曲线, 另1条边界曲线为主要道路的边线。

上述Coons曲面片还可根据交叉口处的纵面线形和超高过渡进一步划小。T形交叉口的Coons曲面的划分形式与X形交叉口相类似。对于需要调整路脊线的Y形交叉口, 划分Coons曲面片时以调整后的路脊线为准。

2.2   特征断面的选择与特征控制点标高的计算

X形交叉口在交叉口范围内分别被相交道路的路脊线分割成几部分。在进行交叉口立面设计时, 每个部分的设计方法是一样的, 此处主要分别以图 4、5中的A₁OA₂B₂EB₁部分和A₁O₁G₁F₁C₁A₁部分为例, 介绍特征断面的确定和特征点高程的计算。

X形交叉口的特征断面主要有3种位置: ①位于各相交道路进入交叉口的入口处, 也就是交叉口范围的边界线处, 如图 4中的B₁A₁、B₂A₂断面和图 5中F₁G₁的断面; ②位于转角曲线的切点处, 如图 4中C₁D₁、C₂D₂断面和图 5中的D₁E₁断面; ③位于交叉口对角线处, 如图 4中OE断面和图 5中O₁C₁断面。

位于路脊线上、交叉口入口处及转角曲线切点处的特征控制点的标高均可根据相交道路的纵面线形和路拱横坡值求得。E、C₁点的设计标高在公路平面交叉口中应满足对角线上行车平顺和排水的要求, 一般转角曲线上难以采用合适的超高, 在特殊困难的情况下除设置排水所必须的横坡外, 可不设超高, 通常对角线OE和O₁C₁的横坡宜控制在0.3%~2%间为好。在城市道路平面交叉口还必须满足转角曲线上的排水要求, 如圆弧D₁D₂间的纵坡必须大于0.3%。

3.   线性Coons曲面模型的特点

(1) 线性Coons曲面模型是三维曲面模型, 用此模型对比较平缓的交叉口立面进行设计, 能比较精确地表达交叉口的立面, 而且交叉口范围内Coons曲面片个数不多, 查询、计算速度较快, 精度较高, 适合计算机处理。

(2) 平面交叉口要求设置在平缓的坡段上, 交叉口立面构成的曲面是一个平缓的曲面, 只要Coons曲面片划分和特征断面选择得当, 插值于4条边界曲线的Coons曲面片彼此就很容易拼合, 保证片与片之间有平缓的过渡, 为行车提供一个平顺的面。

(3) 交叉口范围内的排水由合成坡度决定, 只要相交道路的纵坡或横坡与特征断面的横坡满足排水要求, 则用线性Coons曲面模型表达的立面完全能满足排水要求。

(4) 只要已知交叉口内任一加密点的高斯坐标, 通过查询所属的曲面片, 利用线性Coons曲面模型就能计算其高程。对于大型、复杂的沥青路面交叉口和需要标注每个板角标高的水泥混凝土路面交叉口的立面设计, 该模型比传统方法具有更强的适应性。

4.   结语

本文采用线性Coons曲面模型设计交叉口的立面, 解决了传统立面设计方法中存在的问题, 而且灵活、简单, 提高了平面交叉口CAD系统的适应性和设计效率。设计的平面交叉口的立面, 符合行车舒适、排水迅速和建筑艺术的要求, 并取得了良好的效果。