运营调度是公共交通运输企业工作的核心部分, 它直接影响到企业的服务质量和经济效益。根据客流需求确定发车频率可提高公交服务的针对性和有效性, 从而改善公交企业的服务质量, 增强公交对城市居民出行的吸引力。同时, 公交调度方案的制定还必须考虑公交企业的财务成本和运营收入。因此, 建立以公交服务水平和运营成本总体最优为目标的发车频率规划模型, 获取合理的发车时刻是优化公交调度方案, 实现科学调度的关键工作之一。

有关该类规划模型已在文献^{[1, 2, 3, 4]}中有所体现, 其均以乘客候车时间和车内拥挤程度作为衡量公交服务质量的指标, 并兼顾乘客和公交企业的利益, 以期获得总体最佳发车频率。但通过分析不难发现, 三者的量纲难以统一, 即使能够统一, 也存在着转换系数难以确定的问题。本文正是针对上述问题, 提出了以乘客满意度和企业满意度加权平均值最大为总体目标的规划模型。其中乘客满意度为候车满意度和车上舒适度的加权平均值, 而其满意度则是通过隶属度函数, 将乘客候车时间和车内人数转换而得。企业满意度则是由企业收益, 即客票收入和运营成本之差转换而得。

1.   公交客流基本信息的获取与处理

及时、可靠的客流数据是实现调度优化的基础。公交客流数据采集的传统做法是通过定期或不定期的、全面的或抽样的公交客流调查, 获取客流在线路上、方向上、时间上、地点上、断面上的客流分布状况。但该项工作非常繁琐, 而且要耗费大量的人力和财力, 在实际操作过程中, 做到经常性、系统性是很困难的。目前国外应用较普遍的乘客自动计数系统(APC)、IC卡^[2]技术可作为中国未来公交客流信息的获取手段。通过这些技术的应用, 可以全天候自动统计公交线路的乘客上下车数、车内人数及相对应的时间, 由此推算出线路各断面客流量随时间变化的函数曲线。

发车频率规划模型中所需要的某车站乘客预计到达率可通过以下方法获得。首先, 根据既有统计的分时段上车人数, 作出该站全天上车率直方图, 直方宽度和高度为30 min内上车平均速率(人/min)。然后取每个直方的中点进行三次样条插值^[3]上车率曲线D_i(t), 见图 1。该曲线可近似作为该站乘客到达率曲线。

图  1  乘客上车率曲线

Figure  1.  Curve of passenger's boarding bus ratio

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考虑到出行特征随时间变化的规律性, 模型中所需要的车站乘客预计下车人数, 则可首先通过既有统计客流数据建立各车站下车率随时间变化的函数曲线, 然后计算下车人数的方法获取。下车率曲线横坐标为时间, 纵坐标为下车率, 即下车人数占车上总人数的比例, 其建立过程与乘客到达率曲线基本相同。

为简化调度过程, 可根据客流情况将全日分为客流高峰时段、正常时段、低谷时段和过渡时段^[5]等若干时段, 并在同一时段内设置相同发车频率。时段的划分可根据断面客流曲线, 通过数学聚类方法或如下方法进行。首先通过比较各断面客流曲线确定最大客流断面, 当其最大客流量大于某一值时, 则认为营运进入高峰时段^[5]。比如按照高峰时段乘客候车时间应小于5 min计算, 假设每5 min发车一次, 若5 min内客流最大断面最大客流总量超过公交车辆最大容量时, 则认为营运进入高峰期, 并记录其起始时刻, 直到5 min内客流最大断面最大客流总量小于公交车辆最大容量, 高峰期结束, 并记录其终止时刻。再将该起迄时刻减去公交车辆从起始点到最大客流断面的运行时间, 最终确定运营时刻表高峰期的起迄时刻; 当客流最大断面客流量小于某一值时, 则营运进入低谷时段。比如按照乘客候车时间不超过10 min考虑, 假设每10 min发车一次, 若10 min内客流最大断面最大客流总量小于公交车辆最大容量的50%时, 则认为营运进入低谷期, 并记录其起始时刻, 一直到10 min内最大客流断面客流总量小于公交车辆最大容量的50%时, 低谷期结束, 并记录其终止时刻。再将该起迄时刻减去公交车辆从起始点到最大客流断面的运营时间, 最终确定运营时刻表低谷期的起迄时刻; 为了使整个营运过程平稳过渡, 工作中还应在高峰期、低谷期前后一个时间段内设立过渡期, 以适应客流连续变化的规律; 除去高峰期、低谷期、过渡期的时段则为营运正常期。

2.   模型的建立

2.1   模型假设

公交调度具有所受影响因素多, 外部环境复杂, 客流变化大等特点, 因此建立模型前应对实际情况进行概括和简化。本文在分析调度实际过程的基础上, 作如下假设。

(1) 线路运营完全独立, 不受相邻线路的影响。

(2) 服务需求独立于发车频率。

(3) 乘客服务服从“先到先服务”的原则, 即先到达车站的乘客先上车。

(4) 站间区间内车辆运行速度为恒定值, 且途中无特殊事件发生。

(5) 同一时段内, 车辆发车间隔不变, 且全部采用“全程全站”的运行方式。

(6) 采用单一票价。

(7) 车型统一, 座位数和最大容量为定值。

(8) 下车人数与车上总乘客数成正比, 比例值随时间变化。

(9) 到站车辆停车时间与乘客下车数成正比。

(10) 各时段内乘客能够接受的候车时间为定值, 超过该时间乘客就会产生不满^[4], 比如早高峰时段乘客能够接受的等待时间不大于5 min, 其他时段不超过10 min。

2.2   变量及符号说明

T₁、T₂分别为时段起始时间和终止时间; n为时段内发车总次数; m为线路站点数; λ_i(t)为i站t时刻乘客到达率(人/min); t_ij为第j辆车到达i站的时刻; t'_ij为第j辆车在i站的发车时刻; △t_i为车辆在站的停留时间(min); β为乘客上车平均用时(s); B_ij为第j辆车在i站上车的乘客数; a_i(t)为车站i乘客下车比例函数; A_ij为第j辆车在i站时下车的乘客数; p_ij为第j辆车到达i站时候车的乘客数; V_ij为在i站至i+1站区间内第j辆车上的乘客数; q_ij为第j辆车在车站i能提供的乘车空间(人); h为公交车车头时距(min); C_max为公交车辆最大容量; L为乘客能够接受的候车时间; s为公交车辆座位数; r₀为车内不感觉到拥挤的站立人数临界值; ρ为单一客票价格(元); c_op为时段内公交线路运营总支出; r_op为时段内公交线路运营总收入; w₁、w₂、w₃分别为乘客候车满意度、车上舒适满意度、企业满意度权重因子; s_w、s_c、s_e分别为乘客候车满意度、车上舒适满意度、企业满意度函数; D_min为企业能接受的公交线路收益最小值(元)。

2.3   模型的建立与分析

如上所述, 模型的建立应兼顾乘客和公交企业的利益, 因此, 规划目标为乘客候车满意度、车上舒适满意度和企业满意度加权平均值最大, 由此获得公交线路发车频率优化模型为

2.3.1   乘客候车满意度计算

乘客候车都有一定的耐受度, 即超出一定的候车时间, 乘客就表现出不耐烦, 对公交服务表示不满。乘客候车的耐受度依时段不同而不同, 比如早高峰时段, 由于多数出行的目的为通勤、通学, 因此能够接受的候车时间就要比其他时段短。

乘客候车满意度一般以候车时间长短来衡量, 候车时间越长, 则满意度越低, 但这时必须考察每一位乘客的候车时间, 致使计算过于烦杂。为简化模型, 这里满意度近似以满意率表示, 即满意人数占总乘客人数的比例。所谓满意人数就是候车时间小于某一定值的乘客数。实际工作中, 计算出每一车站候车时间超出耐受时间(以下简称超时)的人数更为方便, 因此, 问题的关键为不满意人数的计算。

当车辆到达时, 如果候车人数超过耐受时间长度内到达的乘客数, 候车者中肯定存在候车时间超时者, 这一部分人数等于该站候车总人数减去耐受时间长度内到达的乘客数。考虑到不是每位乘客总能乘上到站后的第一辆公交车, 甚至有的乘客要连续等上若干辆车才能上车, 这时还应扣除重复计数的乘客数。因此, 第j辆车在i站对应的超时乘客数u_ij分3种情况计算。

(1) 第j辆车到达i站时候车者中未有超时者时, 即当

(2) 第j辆车到达i站时候车者中虽有超时者, 但第j-1辆车开出i站时车站无超时者时, 即当

(3) 第j辆车到达i站时候车超时者中含有第j-1辆车到达时超时但未能上车者, 即当

且

此处, t'_ij-1可通过迭代方法试算得出。

以上计算公式具有传递性, 可在给定初始状态的情况下, 逐车逐站计算乘客候车不满意人数。最后, 乘客候车满意度为

2.3.2   乘客车上舒适满意度计算

车上乘客舒适满意度主要体现在拥挤程度, 可以采用隶属度函数来表示。不妨假设当乘客有座位时, 满意隶属度为“1”, 乘客站立时, 满意隶属度则随着车内拥挤程度的增加而减小。因此, 站立者满意隶属度可用函数μ(x)表示, 论域为(0, C_max-s], 见式(10)和图 2

图  2  车内站立者满意隶属度曲线

Figure  2.  Curve of satisfaction membership function of stander in bus

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式中: x为车内站立人数; k₀为车内不感觉拥挤时, 乘客站立者满意的隶属度值。这时第j辆从i站至i+1站区间内车内乘客舒适满意总值为

最后, 乘客车上舒适满意度为

2.3.3   企业满意度的计算

一般情况下, 每发一辆车公交企业都有一个收益的最低期望值, 当收入低于该值时, 企业会感到不满意, 当收入超出某一值时, 企业会感到非常满意。因此, 关于企业对收益的满意程度可采用升“半梯形分布”隶属度函数确定^[6](图 3)

图  3  企业收益满意隶属度曲线

Figure  3.  Curve of satisfaction membership function of company income

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式中: x为公交车辆客票收入; b₁为企业对公交车辆客票收入的最低期望值; b₂为企业对公交车辆客票收入的期望值。

企业满意度为

2.3.4   约束条件

约束条件中的第3项, 是对企业利润的限制。该项中r_op为时段内该公交线路客票总收入

c_op为时段内公交线路总成本, 该项包括驾驶员工资、燃油、车辆折旧等直接费用, 以及企业管理费用等间接费用。为简化问题, 可假设单车成本为定值^[7]

式中: R为单车成本, 可参照企业财务核算值。

2.4   模型的解法

通过进一步分析可知, 该规划模型为一维非线性问题, 因为模型中所有变量均为车头时距的函数, 目标函数及约束条件可转换为单变量函数, 因此这里采用一维搜索^[8]方法对模型寻求近似最优解, 具体步骤如下。

(1) 根据上个时段的运行情况, 给定各站点候车人数的初始状态。

(2) 根据经验设定该时段的车头时距的初始值。

(3) 利用一维搜索方法中的黄金分割法^[7]确定使目标函数为最大的车头时距h。

(4) 检验约束条件, 若约束条件被满足, 确定该模型的近似最优解, 转(6)。

(5) 以步长5 s, 向有利于约束条件方向调整车头时距, 转(4)。

(6) 结束。

应该指出, 计算结果依赖于3个权重因子的取值, 不同的取值将会得出不同的结果, 有时还会得出不能令人满意的结果。一般作法是多设几组权重值, 进行计算比较, 最终得到满意结果。

3.   应用实例

应用本模型曾对南京某公交线路进行分析, 限于篇幅, 这里仅就该线路基本情况、参数取值以及计算结果予以说明。

3.1   线路基本情况

全线共有14个站点; 车辆为标准车型, 每辆车额载75人; 单一票价为1元; 车辆运行平均速度为20 km/h; 线路全长10 km; 线路首班车5:00发出, 末班车23:00收车。

3.2   参数取值

车辆最大容量C_max=75×1.2=90;乘客可接受候车时间L, 早高峰为5 min, 其他时段为10 min; 车内不感觉到拥挤的站立人数临界值r₀=20;车内不感觉拥挤时, 乘客站立者满意的隶属度值k₀=0.8;企业对公交车辆客票收入的最低期望值b₁=90元, 企业对公交车辆客票收入的期望值b₂=180元; 单车成本R=90元; 权重取值λ₁=0.3, λ₂=0.3, λ₃=0.4。

3.3   计算结果

计算时根据线路客流情况将全日分为5个时段, 分别为: 5:00~7:00、7:00~8:30、8:30~17:00、17:00~19:00、19:00~23:00, 计算结果详见表 1。

表  1  各时段平均发车间隔及满意度值

Table  1.  Average departing interval and satisfaction degree of every time interval

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4.   结语

本文的公交调度发车频率模型是结合中国城市中常用的公交调度模式提出的, 同一时段内车辆发车间隔不变, 采用单一票价, 公交车辆车型统一, 座位数和最大容量为定值, 车站下车人数与车上总乘客数成正比, 比值随时间变化, 沿途各站车辆停车时间与乘客下车数成正比等假设具有一定的普遍性。

模型的目标函数兼顾了乘客和企业的利益, 以乘客候车满意度和车上舒适满意度表示公交服务水平, 以公交公司收益决定的企业满意度表示企业效益, 符合公交企业调度决策的思路, 同时克服了三因素量纲难以统一的缺点。

本模型较准确地描述了公交运营过程, 如车站乘客到达函数的利用、乘客下车比例函数的利用、车站停车时间的考虑、车站乘客滞留情况的考虑以及公交车辆容量的限制均较真实地反映了实际情况。

但在具体使用过程中, 还存在权重因子如何确定, 以及舒适度隶属函数、企业收益满意度隶属度函数采用线性分布是否能反映实际情况的问题, 还有待进一步调查分析。