移动荷载作用下板式轨道的有限元分析

娄平; 曾庆元

移动荷载作用下板式轨道的有限元分析

娄平,
曾庆元

中南大学土木建筑学院, 湖南长沙 410075

基金项目:

国家自然科学基金项目 50078006

铁道部科技研究开发计划项目 2001G029

教育部博士点基金项目 20010533004

详细信息

作者简介:
娄平(1968-), 男, 湖南浏阳人, 中南大学博士研究生, 从事列车轨道(桥梁)振动与结构可靠度研究

中图分类号: U213.242
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出版历程
- 收稿日期: 2003-08-07
- 刊出日期: 2004-02-25

Finite element analysis of slab track subjected to moving load

School of Civil and Architecture Engineering, Central South University, Changsha 410075, China

More Information

Author Bio:
LOU Ping(1968-), male, doctoral student, 86-731-2656065, pinglou@mail.csu.edu.cn

Article Text (Baidu Translation)

摘要

摘要: 用有限元法分析了板式轨道在移动荷载作用下的动力响应。视板式轨道为如下模型: 钢轨为离散粘弹性支点支承的长梁; 轨道板为连续粘弹性基础支承的短梁。视板式轨道及移动荷载为一个系统, 运用弹性系统动力学总势能不变值原理及形成矩阵的"对号入座"法则建立该系统的振动方程组。研究了移动荷载的速度、钢轨的类型和钢轨支点的弹性系数对钢轨及轨道板动力响应的影响。算例结果表明: 在其他参数相同的情况下, 增大钢轨支点的弹性系数, 钢轨的动力响应减小; 使用较重型的钢轨有利于减小钢轨和轨道板的动力响应; 随着移动荷载速度的提高, 钢轨和轨道板的动力响应增大。
- 铁道工程 /
- 板式轨道 /
- 有限元法 /
- 移动荷载 /
- 动力响应 /
- 结构分析
Abstract: A finite element method was applied to analyze the dynamic response of slab track subjected to a moving load. The slab track was treated as a model, in which rail was regarded as a long beam supported by discrete viscoelastic supports, and slab as a short beam supported by continuously viscoelastic foundation. The slab track and moving load were considered as a system. Vibration equations of the system could be formulated by using the principle of total potential energy with stationary value in elastic system dynamics and the "set-in-right-position"rule for formulating matrixes. The effects of the speed of the moving load, the rail type, and the spring stiffness of rail support on the response of rail and slab were studied. From the presented numerical examples, when the other parameters being the same, with the increasing of spring stiffness of rail support, the dynamic response of rail decreases; with the increasing of rail type, the dynamic response of rail and slab decreases; with the increasing of moving load speed, the dynamic response of rail and slab increases.
- railway engineering /
- slab track /
- finite element method /
- moving load /
- dynamic response /
- structural analysis

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0. 引言

板式轨道是20世纪60年代在日本新干线高速铁路上发展起来的一种新型轨道结构, 主要在日本铁路中使用, 中国在秦沈客运专线部分地段也铺设了板式轨道。长期以来, 有关板式轨道的研究多限于静力学分析。文献[1]将轨道板划分为许多三角形单元, 用有限元法^[2]对板式轨道进行了静力分析。文献[3]用有限元法研究了单个和多个移动荷载下连续粘弹性基础支承长梁的动力响应。本文用有限元法分析板式轨道在移动荷载作用下的动力响应。板式轨道因其结构左右对称, 故可取一股钢轨进行研究。为了简化计算, 视板式轨道为钢轨为离散粘弹性支点支承的长梁, 轨道板为连续粘弹性基础支承的短梁, 见图 1。本文视板式轨道及移动荷载为一个系统, 运用弹性系统动力学总势能不变值原理^[4~6]及形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立该系统的振动方程组, 研究了移动荷载的速度、钢轨的类型和钢轨支点的弹性系数对钢轨及轨道板动力响应的影响。

图 1 板式轨道模型

Figure 1. Model of slab track

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1. 系统振动方程组的建立

文献[8]对建立系统振动方程的3种方法: 弹性系统动力学总势能不变值原理、Hamilton原理和Lagrange方程进行了比较分析, 指出了弹性系统动力学总势能不变值原理的正确性及优越性。由弹性系统动力学总势能不变值原理, 建立的系统有限元形式振动方程组为

$[Μ] {\ddot{q}} + [C] {\dot{q}} + [Κ] {q} = {F (t)} (1)$

式中: [M]、[C]、[K]分别为系统质量、阻尼、刚度矩阵; ${\ddot{q}}$ 、 ${\dot{q}}$ 、{q}分别为系统加速度、速度、位移列阵; {F (t) }为系统的节点荷载列阵。

1.1 单元划分和梁单元形函数

对于板式轨道, 钢轨(以下称为上层长梁) 总长为L, 梁单元长度取为上层长梁离散支点的间距, 用l表示, 设上层梁单元数为n₁个, 则节点数为n₁+1个。为计算方便, 所取的梁单元长度相等, 节点的位移为坐标轴内的竖向位移和转角位移, 忽略轴向变形, 则上层梁的自由度数为2n₁+2个(暂不考虑上层梁的边界条件)。轨道板(以下称为下层短梁) 单元长度有2种, 每一根短梁端部两侧单元长度取为l/2, 其他单元长度取为l。忽略轴向变形, 只计节点在坐标轴内的竖向位移和转角位移, 设整个下层梁的单元数为n₂个, 整个下层梁的节点数为n₃个, 则整个下层梁的自由度数为2n₃个(暂不考虑下层梁的边界条件), 那么, 系统的总自由度数为2 (n₁+n₃+1) 个。梁单元的节点力为剪力Q和弯矩M, 单元的节点位移为竖向位移y和转角位移y′ (小变形情况, 转角位移可视为竖向位移的一阶导数), 梁单元的节点力和节点位移见图 2, 图中节点力和节点位移的方向均为正。

图 2 梁单元的节点力和节点位移

Figure 2. Node forces and node displacements of beam element

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梁单元弯曲形函数采用Hermitian 3次方插值函数, 在发生弯曲变形时, 梁单元内任一点的竖向位移y (x) 可用节点的竖向位移和转角位移表示

$\begin{array}{l} y (x) = [Ν] {q_{i}}^{e} (2) \\ [Ν] = [Ν_{1} Ν_{2} Ν_{3} Ν_{4}] \\ {q_{i}}^{e} = [y_{i} y^{'}_{i} y_{i + 1} y^{'}_{i + 1}]^{Τ} \\ Ν_{1} = 1 - 3 (x / l)^{2} + 2 (x / l)^{3} \\ Ν_{2} = x - 2 x^{2} / l + x / l^{2} \\ Ν_{3} = 3 (x / l)^{2} - 2 (x / l)^{3} \\ Ν_{4} = - x^{2} / l + x^{3} / l^{2} \end{array}$

1.2 系统参数计算

根据弹性系统动力学总势能不变值原理^[4~6], 系统刚度矩阵、阻尼矩阵、质量矩阵、节点荷载列阵可由系统总势能的一阶变分导出。对于外荷载作用下的板式轨道整个系统, 将该系统进行有限元离散后, 系统总势能Π可用下式表示

Π=∑U_ui+∑U_lj+∑U_di+∑U_cj+

∑V_ui+∑V_lj+∑V_di+∑V_cj+V (3)

式中: U_ui为第i个上层梁单元(以下简称为第i个单元) 的弯曲应变能; U_lj为第j个下层梁单元(以下简称为第j个单元) 的弯曲应变能; U_di为第i个单元与第j个单元之间离散支点的弹簧应变能; U_cj为第j个单元下部的连续弹性基础应变能; V_ui为第i个单元的惯性力势能; V_lj为第j个单元的惯性力势能; V_di为第i个单元与第j个单元之间离散支点的粘滞阻尼力势能; V_cj为第j个单元下部的连续基础粘滞阻尼力势能; V为外荷载势能。

1.2.1 系统刚度矩阵的建立

第i个单元的弯曲应变能为

$U_{u i} = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} E_{u} Ι_{u} [y^{″}_{u} (x)]^{2} d x$

式中: E_u为上层梁的弹性模量; I_u为上层梁对水平轴的惯性矩; y″_u (x) 为上层梁单元内某点的曲率。对U_ui变分, 可以得到上层梁单元的弯曲刚度矩阵[k_u]^e, 即

$\begin{array}{l} δ U_{u i} = δ {q_{u i}}^{e Τ} [k_{u}]^{e} {q_{u i}}^{e} (4) \\ {q_{u i}}^{e} = [y_{u i} y^{'}_{u i} y_{u (i + 1)} y^{'}_{u (i + 1)}]^{Τ} \\ [k_{u}]^{e} = E_{u} Ι_{u} \int_{0}^{l} [Ν^{″}]^{Τ} [Ν^{″}] d x = E_{u} Ι_{u} \cdot \\ [\begin{matrix} 12 / l^{3} & 6 / l^{2} & - 12 / l^{3} & 6 / l^{2} \\ 6 / l^{2} & 4 / l & - 6 / l^{2} & 2 / l \\ - 12 / l^{3} & - 6 / l^{2} & 12 / l^{3} & - 6 / l^{2} \\ 6 / l^{2} & 2 / l & - 6 / l^{2} & 4 / l \end{matrix}] (5) \end{array}$

式中: {q_ui}^e为第i个单元的节点位移矢量列阵; δ{q_ui}^eT为{q_ui}^e的一阶变分的转置; [k_u]^e为上层梁单元的弯曲刚度矩阵.

同理得第j个单元弯曲应变能U_lj变分表达式

$\begin{array}{l} δ U_{l j} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [k_{l}]^{e} {q_{l j}}^{e} (6) \\ {q_{l j}}^{e} = [y_{l j} y^{'}_{l j} y_{l (j + 1)} y^{'}_{l (j + 1)}]^{Τ} \end{array}$

式中: {q_lj}^e为第j个单元的节点位移矢量列阵; δ{q_lj}^eT为{q_lj}^e的一阶变分的转置; [k_l]^e为下层梁单元的弯曲刚度矩阵, [k_l]^e的表达式与式(5) [k_u]^e相似, 只需将式(5) 中的E_uI_u换成E_lI_l即可, E_l为下层梁的弹性模量, I_l为下层梁对水平轴的惯性矩。第i个单元与第j个单元之间支点的弹簧应变能为

$U_{d i} = \frac{1}{2} k_{d} [(y_{u i} - y_{l j})^{2} + (y_{u (i + 1)} - y_{l (j + 1)})^{2}]$

式中: k_d为上下层梁之间离散支点弹簧的弹性系数; y_lj、y_{l (j+1)} 分别为第j个单元2个节点的竖向位移。

对U_di变分, 有

δU_di=k_d (y_ui-y_lj) (δy_ui-δy_lj) +k_d (y_{u (i+1)} -y_{l (j+1)} ) (δy_{u (i+1)} -δy_{l (j+1)} ) =δy_uik_dy_ui+δy_{u (i+1)} k_dy_{u (i+1)} +δy_ljk_dy_lj+δy_{l (j+1)} k_dy_{l (j+1)} -δy_uik_dy_lj-δy_ljk_dy_ui-δy_{u (i+1)} k_dy_{l (j+1)} -δy_{l (j+1)} k_dy_{u (i+1)} (7)

第j个单元下部的连续弹性基础应变能为

$U_{c j} = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} k_{c} [y_{l} (x)]^{2} d x$

式中: k_c为连续弹性基础的弹性系数; y_l (x) 为下层梁单元内某点的竖向位移。对连续弹性基础应变能U_cj变分, 可以得到连续弹性基础贡献的单元刚度矩阵[k_c]^e, 即

$\begin{array}{l} δ U_{c j} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [k_{c}]^{e} {q_{l j}}^{e} (8) \\ [k_{c}]^{e} = k_{c} \int_{0}^{l} [Ν]^{Τ} [Ν] d x = \frac{k_{c} l}{420} \cdot \\ [\begin{matrix} 156 & 22 l & 54 & - 13 l \\ 22 l & 4 l^{2} & 13 l & - 3 l^{2} \\ 54 & 13 l & 156 & - 22 l \\ - 13 l & - 3 l^{2} & - 22 l & 4 l^{2} \end{matrix}] (9) \end{array}$

将式(4)、式(6) ~ (8) 按形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立系统的刚度矩阵[K]。

1.2.2 系统阻尼矩阵的建立

第i个单元与第j个单元之间离散支点的粘滞阻尼力势能为

$\begin{array}{l} V_{d i} = c_{d} [(\dot{y}_{u i} - \dot{y}_{l j}) (y_{u i} - y_{l j}) + (\dot{y}_{u (i + 1)} - \dot{y}_{l (j + 1)}) \cdot \\ (y_{u (i + 1)} - y_{l (j + 1)}] \end{array}$

式中: c_d为上下层梁之间离散支点的粘滞阻尼系数; $\dot{y}_{u i}$ 和 $\dot{y}_{u (i + 1)}$ 分别为第i个单元两端节点的竖向速度; $\dot{y}_{l i}$ 和 $\dot{y}_{l (i + 1)}$ 分别为第j个单元两端节点的竖向速度。对V_di变分, 有

$\begin{array}{l} δ V_{d i} = c_{d} (\dot{y}_{u i} - \dot{y}_{l j}) (δ y_{u i} - δ y_{l j}) + c_{d} (\dot{y}_{u (i + 1)} - \dot{y}_{l (j + 1)}) \cdot \\ (δ y_{u (i + 1)} - δ y_{l (j + 1)}) = δ y_{u i} c_{d} \dot{y}_{u i} + δ y_{u (i + 1)} c_{d} \dot{y}_{u (i + 1)} + \\ δ y_{l j} c_{d} \dot{y}_{l j} + δ y_{l (j + 1)} c_{d} \dot{y}_{l (j + 1)} - δ y_{u i} c_{d} \dot{y}_{l j} - δ y_{l j} c_{d} \dot{y}_{u i} - \\ δ y_{u (i + 1)} c_{d} \dot{y}_{l (j + 1)} - δ y_{l (j + 1)} c_{d} \dot{y}_{u (i + 1)} (10) \end{array}$

第j个单元下部连续基础粘滞阻尼力势能为

$V_{c j} = \int_{0}^{l} c_{c} \dot{y}_{l} (x) y_{l} (x) d x$

式中: c_c为连续基础粘滞阻尼系数; $\dot{y}_{l} (x)$ 为下层梁单元内某点的竖向速度。对V_cj变分, 可以得到连续基础粘滞阻尼贡献的单元阻尼矩阵[c_c]^e

$\begin{array}{l} δ V_{c i} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [c_{c}]^{e} {\dot{q}_{l j}}^{e} (11) \\ {\dot{q}_{l j}}^{e} = [\dot{y}_{l j} {\dot{y}}^{'}_{l j} \dot{y}_{l (j + 1)} {\dot{y}}^{'}_{l (j + 1)}]^{Τ} \end{array}$

式中: ${\dot{q}_{l j}}^{e}$ 为第j个单元的节点速度矢量列阵。[c_c]^e的表达式与式(9) [k_c]^e相似, 只需将式(9) 中的k_c换成c_c即可。将式(10) 和式(11) 按形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立系统的阻尼矩阵[C]。

1.2.3 系统质量矩阵的建立

第i个上层梁单元的惯性力势能为

$V_{u i} = \int_{0}^{l} \bar{m}_{u} \ddot{y}_{u} (x) y_{u} (x) d x$

式中: $\bar{m}_{u}$ 为上层梁的单位长度质量; $\ddot{y}_{u} (x)$ 为上层梁单元内某点的加速度。对V_ui变分, 可以得到上层梁单元的质量矩阵[m_u]^e, 即

$\begin{array}{l} δ V_{u i} = δ {q_{u i}}^{e Τ} [m_{u}]^{e} {\ddot{q}_{u i}}^{e} (12) \\ {\ddot{q}_{u i}}^{e} = [\ddot{y}_{u i} {\ddot{y}}^{'}_{u i} \ddot{y}_{u (i + 1)} {\ddot{y}}^{'}_{u (i + 1)}]^{Τ} \end{array}$

$\begin{array}{l} [m_{u}]^{e} = \bar{m}_{u} \int_{0}^{l} [Ν]^{Τ} [Ν] d x = \frac{\bar{m}_{u} l}{420} \cdot \\ [\begin{matrix} 156 & 22 l & 54 & - 13 l \\ 22 l & 4 l^{2} & 13 l & - 3 l^{2} \\ 54 & 13 l & 156 & - 22 l \\ - 13 l & - 3 l^{2} & - 22 l & 4 l^{2} \end{matrix}] (13) \end{array}$

式中: ${\ddot{q}_{u i}}^{e}$ 为第i个单元的节点加速度矢量列阵。

同理得第j个单元惯性力势能V_lj变分表达式

$\begin{array}{l} δ V_{l j} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [m_{l}]^{e} {\ddot{q}_{l j}}^{e} (14) \\ {\ddot{q}_{l j}}^{e} = [\ddot{y}_{l j} {\ddot{y}}^{'}_{l j} \ddot{y}_{l (j + 1)} {\ddot{y}}^{'}_{l (j + 1)}]^{Τ} \end{array}$

式中: ${\ddot{q}_{l j}}^{e}$ 为第j个单元的节点加速度矢量列阵; [m_l]^e为下层梁单元的质量矩阵。[m_l]^e的表达式与式(13) [m_u]^e相似, 只需将式(13) 中的 $\bar{m}_{u}$ 换成 $\bar{m}_{l}$ 即可, 其中 $\bar{m}_{l}$ 为下层梁的单位长度质量。

将式(12) 和式(14) 按形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立系统的质量矩阵[M]。

1.2.4 系统节点荷载列阵的建立

假设集中荷载P在t时刻位于第i个单元距第i个节点x₀处, 见图 3, 则集中荷载P的势能为

图 3 t时刻P的位置

Figure 3. Position of P at t time

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$V_{p}^{e} = - Ρ y_{u} (x) = - Ρ [Ν] {q_{u i}}^{e}$

集中荷载P的势能一阶变分为

$\begin{array}{l} δ V_{p}^{e} = - δ {q_{u i}}^{e Τ} {F (t)}^{e} \\ {F (t)}^{e} = [Ρ Ν_{1} Ρ Ν_{2} Ρ Ν_{3} Ρ Ν_{4}]_{x = x_{0}}^{Τ} \end{array}$

式中: {F (t) }^e为梁单元的节点荷载列阵。如果整个系统只有一个集中荷载P作用, 则系统的节点荷载列阵{F (t) }为

{F (t) }=[0 … N₁PN₂PN₃PN₄P…0]^T

系统的节点荷载列阵{F (t) }中的N₁P和N₂P

表示t时刻集中荷载P在第i个节点的等效节点力, N₃P和N₄P表示t时刻集中荷载P在第i+1个节点的等效节点力; {F (t) }中共有2 (n₁+n₃+1) 个元素, 其中只有4个非零元素。如果有多个集中荷载作用, 需要考虑集中荷载之间的距离与梁单元长度的关系, 则系统的节点荷载列阵{F (t) }可利用形成矩阵的“对号入座”法则形成。

2. 参数对板式轨道动力响应的影响

2.1 荷载移动速度及钢轨类型的影响

板式轨道在平顺的钢轨上有竖直集中荷载P以速度v移动, 试计算钢轨中点和钢轨中点对应的轨道板中点处的最大竖向位移, 有关的计算参数如下: 对于不同的轨道结构, 单位长度钢轨质量和对水平轴惯性矩不同, 对于50型钢轨 $\bar{m}_{u} = 51.514 k g / m ‚ Ι_{u} = 2.037 \times 10^{- 5} m^{4} ‚ 60$ 型钢轨 $\bar{m}_{u} = 60.64 k g / m ‚ Ι_{u} = 3.217 \times 10^{- 5} m^{4} ‚ 75$ 型钢轨 $\bar{m}_{u} = 74.414 k g / m ‚ Ι_{u} = 4.489 \times 10^{- 5} m^{4}$ ; 对于不同的轨道结构, 相同的计算参数为 $Ρ = 112800 Ν ‚ E_{u} = 2.06 \times 10^{11} Ρ a ‚ L = 37.467 m ‚ l = 0.543 m ‚ k_{d} = 6 \times 10^{7} Ν / m ‚ c_{d} = 7.5 \times 10^{4} Ν \cdot s / m ‚ \bar{m}_{l} = 557.81 k g / m ‚ E_{l} = 2.1 \times 10^{10}$ Pa, I_l=6.6874×10^-4 m⁴, 轨道板长度L_l=2.172 m, k_c=6.25×10⁷ N/m, c_c=8.3×10⁴ N·s/m, 下层简化为17根短梁, 每一根下层短梁与上层长梁(钢轨) 之间均有4个离散的粘弹性支点相连。在集中荷载P以不同速度移动的条件下, 不同类型钢轨和轨道板的最大竖向位移见表 1。

表 1 钢轨和轨道板的最大竖向位移

Table 1. Maximum vertical defection of rail and slab /10^-4m

荷载移动速度/m·s^-1	50型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	50型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移
静止荷载	11.8936	5.1256	10.4434	4.6284	9.4778	4.2787
v=15	11.9139	5.1922	10.4584	4.6858	9.4894	4.3288
v=30	11.9371	5.2264	10.4745	4.7122	9.5020	4.3506
v=50	11.9978	5.3124	10.5204	4.7786	9.5393	4.4054
v=70	12.1191	5.4425	10.6027	4.8795	9.6031	4.4890
v=85	12.2269	5.5712	10.6888	4.9740	9.6747	4.5686
v=100	12.3764	5.7478	10.8014	5.1122	9.7668	4.6786

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正如表 1的数据所示: 在其他参数相同的条件下, 使用较重型的钢轨有利于减小钢轨和轨道板的动力响应; 随着移动荷载速度的提高, 钢轨和轨道板的动力响应有所增大, 但增幅不大。

2.2 钢轨支点弹性系数的影响

为了研究钢轨支点的弹性系数对板式轨道动力响应的影响, 在其他参数相同的条件下, 分别计算当k_d=3×10⁷ N/m和k_d=1.2×10⁸ N/m时钢轨和轨道板的最大竖向位移, 表 2给出了移动荷载速度v=50 m/s下钢轨和轨道板的最大竖向位移。正如表 2的数据所示: 在其他参数相同的条件下, 使用较重型的钢轨有利于减小钢轨和轨道板的动力响应; 增大钢轨支点的弹性系数, 钢轨的动力响应减小。

表 2 钢轨和轨道板的最大竖向位移

Table 2. Maximum vertical defection of rail and slab /10^-4m

钢轨支点的弹性系数k_d/N·m^-1	50型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	50型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移
3.0×10⁷	16.9232	5.1113	14.9475	4.6123	13.6525	4.2700
6.0×10⁷	11.9978	5.3124	10.5204	4.7786	9.5393	4.4054
1.2×10⁸	9.1386	5.3261	7.9632	4.7704	7.1677	4.3717

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3. 结语

用有限元法分析了板式轨道在移动荷载作用下的动力响应。视钢轨为离散粘弹性支点支承的长梁, 轨道板为连续粘弹性基础支承的短梁, 梁单元弯曲形函数采用Hermitian 3次方插值函数。运用弹性系统动力学总势能不变值原理及形成矩阵的“对号入座”法则建立了系统的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和节点荷载列阵, 得到了系统有限元形式的振动方程组。研究了移动荷载的速度、钢轨的类型和钢轨支点的弹性系数对钢轨及轨道板动力响应的影响, 在其他参数相同的情况下, 增大钢轨支点的弹性系数, 钢轨的动力响应减小, 且变化幅度较大; 使用较重型的钢轨有利于减小钢轨和轨道板的动力响应; 随着移动荷载速度的提高, 钢轨和轨道板的动力响应增大, 对于平顺钢轨而言, 动力响应增幅不大。该技术和结果有利于板式轨道的设计和维修。

图 1 板式轨道模型

Figure 1. Model of slab track

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图 2 梁单元的节点力和节点位移

Figure 2. Node forces and node displacements of beam element

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图 3 t时刻P的位置

Figure 3. Position of P at t time

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表 1 钢轨和轨道板的最大竖向位移

Table 1. Maximum vertical defection of rail and slab /10^-4m

荷载移动速度/m·s^-1	50型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	50型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移
静止荷载	11.8936	5.1256	10.4434	4.6284	9.4778	4.2787
v=15	11.9139	5.1922	10.4584	4.6858	9.4894	4.3288
v=30	11.9371	5.2264	10.4745	4.7122	9.5020	4.3506
v=50	11.9978	5.3124	10.5204	4.7786	9.5393	4.4054
v=70	12.1191	5.4425	10.6027	4.8795	9.6031	4.4890
v=85	12.2269	5.5712	10.6888	4.9740	9.6747	4.5686
v=100	12.3764	5.7478	10.8014	5.1122	9.7668	4.6786

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表 2 钢轨和轨道板的最大竖向位移

Table 2. Maximum vertical defection of rail and slab /10^-4m

钢轨支点的弹性系数k_d/N·m^-1	50型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	50型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移
3.0×10⁷	16.9232	5.1113	14.9475	4.6123	13.6525	4.2700
6.0×10⁷	11.9978	5.3124	10.5204	4.7786	9.5393	4.4054
1.2×10⁸	9.1386	5.3261	7.9632	4.7704	7.1677	4.3717

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参考文献(8)

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0. 引言
1. 系统振动方程组的建立
1.1 单元划分和梁单元形函数
1.2 系统参数计算
2. 参数对板式轨道动力响应的影响
2.1 荷载移动速度及钢轨类型的影响
2.2 钢轨支点弹性系数的影响
3. 结语

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移动荷载作用下板式轨道的有限元分析

作者简介:
娄平(1968-), 男, 湖南浏阳人, 中南大学博士研究生, 从事列车轨道(桥梁)振动与结构可靠度研究

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