0.   引言

目前, 中国的路基设计方法仍以静态或准静态为主, 而在高速列车荷载作用下, 需研究路基结构的动力响应, 根据动力特性选择合理的路基参数, 以保证高速列车的平稳与安全。对轨道结构动力特性的研究, 近年来出现了各种计算模型^[1,2], 但多侧重于轮轨相互作用, 对路基仅仅作为一集中质量块纳入系统振动体系中, 不能考虑路基体内的动变形与加速度。在对路基进行动力响应分析时, 未考虑车辆-轨道结构的耦合作用, 将无限域的地基引入固定边界, 加入了人为影响。本文利用已有的车轮-轨排-道碴模型^[3]得到作用于道床顶面的荷载, 再将该荷载作为路基结构的瞬态分析输入, 利用有限元与无限元耦合法, 分析不同参数下路基的动力响应。

1.   道床路基计算模型

1.1   荷载

列车荷载是经过钢轨、轨枕的分散作用传递到道床表面, 在移动荷载作用下, 道床路基的受力是一个瞬态空间问题。本文利用车轮-轨排-道碴为一体的有限元动力计算模型, 详见文献[3], 求得轨枕作用于道床顶面的荷载, 再将该荷载作为道床-路基动力分析的输入。

1.2   计算区域离散及单元模式

线路可以看成是无限长结构, 由于轨枕对轮动力的分担作用, 且每根轨枕受到荷载的概率相等。线路沿纵向可假定为平面应变问题, 又因为线路的对称性, 可以取横断面一半进行分析。线路中心处采用水平约束, 道碴以及地基近域为有限区域, 采用八结点等参元, 地基远处采用七节点超参无限元。八结点等参元^[4]见图 1, 其形函数为

图  1  八节点有限元

Figure  1.  8-node finite element

下载: 全尺寸图片 幻灯片

N_i= (1+ξ₀) (1+η₀) (ξ₀+η₀-1) ξ ${}_i^2$ η ${}_i^2$ /4+ (1-ξ²) ·

(1+η₀) (1-ξ_i²) η_i²/2+ (1-η²) (1+ξ₀) ·

(1-η ${}_i^2$) ξ_i²/2

式中: ξ₀=ξ_iξ; η₀=η_iη, i=1, 2, …, 8。其单元应变矩阵与单元刚度矩阵分别为

$\begin{array}{l}[B{}_i]=\left[\begin{array}{cc}{\rm N}{}_{i,x}& 0\\ 0& {\rm N}{}_{i,y}\\ {\rm N}{}_{i,y}& {\rm N}{}_{i,x}\end{array}\right]\\ [{\rm K}]{}^e={\displaystyle \iint [}B]{}^{\text{Τ}}[D][B]tJ\text{d}\eta \text{d}\xi \\ [J]=\left[\begin{array}{cc}x{}_{,\xi }& y{}_{,\xi }\\ x{}_{,\eta }& y{}_{,\eta }\end{array}\right]\end{array}$

式中: [J]为Jacobian矩阵; [D]为弹性矩阵。

无限单元^[5~7]是通过Lagrange插值函数和衰减函数的乘积来构造形函数, 衰减函数要能反映位移的衰减特征, 以反映在介质中由近场至远域的位移分布规律。本文采用易于和八节点等参元实现耦合的七节点超参无限元, 见图 2。图 2中坐标x-y与坐标ξ-η之间变换关系是

图  2  七节点无限元

Figure  2.  7-node infinite element

下载: 全尺寸图片 幻灯片

$\begin{array}{l}x={\displaystyle \sum _{i=1}^5{{\rm N}}^{\prime }}{}_{i}x{}_i\\ y={\displaystyle \sum _{i=1}^5{{\rm N}}^{\prime }}{}_{i}y{}_i\\ {{\rm N}}^{\prime }{}_1=(\xi -1)(\eta -1)/2\\ {{\rm N}}^{\prime }{}_2=0\end{array}$

$\begin{array}{l}{{\rm N}}^{\prime }{}_3=(\xi -1)(\eta +1)/2\\ {{\rm N}}^{\prime }{}_4=\xi (\eta +1)/2\\ {{\rm N}}^{\prime }{}_5=-\xi (\eta -1)/2\end{array}$

采用的位移模式为

$\begin{array}{l}u={\displaystyle \sum _{i=1}^3{\rm N}}{}_{i}u{}_i\\ v={\displaystyle \sum _{i=1}^3{\rm N}}{}_{i}v{}_i\\ {\rm N}{}_1=f(\xi )\eta (\eta -1)/2\\ {\rm N}{}_2=-f(\xi )(\eta +1)(\eta -1)\\ {\rm N}{}_3=f(\xi )\eta (\eta +1)/2\end{array}$

式中: f (ξ) 为位移衰减函, 动力作用下位移的衰减按指数型规律变化, 取f (ξ) =e^-ξ, 4~7节点的位移分布通过衰减函数的作用来反映。其单元应变矩阵与单元刚度矩阵为

$[B]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{\partial {\rm N}{}_1}{\partial x}& 0& \frac{\partial {\rm N}{}_2}{\partial x}& 0& \frac{\partial {\rm N}{}_3}{\partial x}& 0\\ 0& \frac{\partial {\rm N}{}_1}{\partial y}& 0& \frac{\partial {\rm N}{}_2}{\partial y}& 0& \frac{\partial {\rm N}{}_3}{\partial y}\\ \frac{\partial {\rm N}{}_1}{\partial y}& \frac{\partial {\rm N}{}_1}{\partial x}& \frac{\partial {\rm N}{}_2}{\partial y}& \frac{\partial {\rm N}{}_2}{\partial x}& \frac{\partial {\rm N}{}_3}{\partial y}& \frac{\partial {\rm N}{}_3}{\partial x}\end{array}\right]$

[k]^e=∫_-1¹∫₀^∞[B]^T[D][B]|J|dηdξ

令ξ= (1+t) / (1-t)

[k]^e= ${\displaystyle {\int }_{-1}^1{\displaystyle {\int }_{-1}^1[}}B]{}^{\text{Τ}}[D][B]\frac{2[J]}{1-t{}^2}\text{d}t\text{d}\eta$

1.3   道床路基材料

由于高速铁路要求轨道结构具有良好的动力特性, 对道床路基的动应力、加速度与动位移都有严格的控制, 可以将道床路基视为小应变下的弹性体考虑, 用两个独立常数E、μ描述其弹性性质, 且材料视为各向同性体。

1.4   动力方程的求解

应用弹性力学的Hamilton变分原理, 可得到弹性系统动力问题的基本方程^[8]

$[{\rm M}]\{\ddot{\delta }\}+[C]\{\dot{\delta }\}+[{\rm K}]\{\delta \}=\{{\rm P}(t)\}$

式中: [M]、[C]、[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵; $\{\ddot{\delta }\}$、$\{\dot{\delta }\}$、{δ}分别为加速度、速度和位移; {P (t) }为动荷载。动力方程的求解用直接积分法中的Newmark积分法, 其假设如下

$\begin{array}{l}\dot{\delta }{}_{t+\text{Δ}t}=\dot{\delta }{}_t+[(1-\beta )\ddot{\delta }{}_t+\beta \ddot{\delta }{}_{t+\text{Δ}t}]\text{Δ}t\\ \delta {}_{t+\text{Δ}t}=\delta {}_t+\dot{\delta }{}_t\text{Δ}t+\left[(\frac{1}{2}-\alpha )\ddot{\delta }{}_t+\alpha \ddot{\delta }{}_{t+\text{Δ}t}\right]+\text{Δ}t{}^2\end{array}$

联立以上两式得δ_t+Δt的表达式为

式中: α、β为按精度和稳定性要求确定的参数。将二阶的动力微分方程化为递推的线性方程组逐步求解, 阻尼矩阵按Rayleigh线性组合法确定

$[C]=\eta [{\rm M}]+\xi [{\rm K}]$

式中: η、ξ为常数, 根据经验选取。

2.   道床路基动力响应分析

根据车轮-轨排-道碴计算模型, 计算作用于道床顶面的荷载。计算参数为: 列车选用国产“先锋号”动力分散型车组, 最大轴重14.5 t, 无缝钢轨, 轨距0.57 m, 钢轨截面积A=0.7708×10^-2 m², 惯性矩I=0.3203×10^-4 m, 弹性模量E=2.1×10 kN/m², 密度ρ=7.83×10³ kg/m³, 轨下垫层和道床支承弹性系数为K=6×10⁴ kN/m, 支承阻尼系数为C=4.6×10 kN·s/m, 混凝土轨枕质量为250 kg。轨道的不平顺为随机不平顺, 其谱密度为

s (Ω) =0.431×10^-4×0.131²/[ (Ω²+0.131²) Ω²]

式中: Ω为频率(周/m) ^{[2 ]}。道床路基结构材料性质参数见表 1。

表  1  道床路基材料性质参数

Table  1.  Parameters of ballast-subgrade

材料类型	弹性模量/MPa	密度/kg·m3	泊松比
道碴	200	2000	0.30
基床	120	1950	0.33
地基	80	1800	0.38
	60	1800	0.40
	40	1800	0.42
	20	1800	0.45

下载: 导出CSV 

| 显示表格

动力响应分析时间历程为0.25 s, 计算时间步长Δt=0.0005 s, 比例阻尼系数η=ξ=0.0002, Newmark数值积分法中参数取为α=0.25, β=0.5, 列车运行速度为V=250 km/h。道床和路基尺寸参数引自“京沪高速铁路线路主要技术条件(暂定) ”, 其分析网格与计算点的选取见图 3。

图  3  道床-路基加速度、动位移时程曲线

Figure  3.  Acceleration and dynamic displacement in ballast-subgrade

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.1   不同道床厚度的动反应

计算基床厚度为60 cm, 地基刚度为60 MPa, 道碴厚度分别为40、60、80 cm时, a、b、c三点的振动加速度与动位移。图 4为道碴厚度60 cm时, 3点的加速度-时间曲线和动位移-时间曲线。道碴最大振动加速度为22.86 m/s², 动位移为22.76 mm, 基床的最大加速度为11.17 m/s², 动位移为0.32 mm, 这与法国高速铁路所测数据接近^[9]。

图  4  道床-路基计算模型

Figure  4.  Calculation model of ballast-subgrade

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3点的动位移、加速度最大值随道碴厚度的变化曲线见图 5、图 6。从图可见, 增加道碴厚度能显著的减小路基结构的动位移与加速度, 当道碴厚度由40 cm增至60 cm时, 道床与基床的加速度减少10%左右, 道床动位移减少13%, 基床动位移减少30%;当道碴厚度由60 cm增至80 cm时, 动位移与加速度有较大幅度的降低, 道床加速度与动位移均减少约22%, 基床加速度减少45%, 动位移减少30%左右。因此在实际工程中, 经济条件允许的情况下, 应适当增加道碴厚度使轨道结构更加稳定。

图  5  加速度与道碴厚度关系

Figure  5.  Acceleration in different ballast thickness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  6  动位移与道碴厚度关系

Figure  6.  Dynamic displacement in different ballast thickness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.2   不同地基刚度的动力反应

图 7、图 8为道碴与基床厚度为60 cm时, 3点的加速度与动位移最大值随地基刚度变化曲线。从图 7、图 8可见, 道床路基的加速度与动位移最大值随地基刚度的增大而减小, 但是这种影响不显著, 地基模量每增加20 MPa, 道床顶面加速度减少0.4 m/s², 变形减少0.45 mm左右, 地基刚度对路基面的动位移影响很小。即使在路基刚度为20 MPa时, 基床的动位移只有1.4 mm, 小于《时速200 km新建铁路线桥隧站设计暂行规定》的4 mm, 因此, 在列车的短暂荷载作用下, 地基刚度对轨道结构的稳定性影响不大, 对高速铁路地基刚度的考虑, 更应注重重复荷载下路基的累积变形。

图  7  加速度与地基刚度关系

Figure  7.  Acceleration in different subgrade stiffness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  8  动位移与地基刚度关系

Figure  8.  Dynamic displacement in different subgrade stiffness

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.   结语

(1) 道碴厚度对道床路基的振动加速度与动位移的影响较大, 随着道碴厚度的增加, 加速度与动位移明显减小, 因而, 增加道碴厚度是保证轨道结构稳定的有效方法。

(2) 道床路基的加速度与动位移随地基刚度的增大而减小, 但影响不显著。