建立Timoshenko深梁单元的新方法

夏桂云; 曾庆元; 李传习; 张建仁

建立Timoshenko深梁单元的新方法

1.
中南大学土木建筑学院, 湖南长沙 410075
2.
长沙理工大学公路工程学院, 湖南长沙 410076

基金项目:

湖南省教育厅科学基金项目 03C076

详细信息

作者简介:
夏桂云(1972-), 男, 湖南湘阴人, 长沙理工大学讲师, 中南大学博士研究生, 从事桥梁设计与施工工艺研究

中图分类号: U441
计量
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出版历程
- 收稿日期: 2003-09-16
- 刊出日期: 2004-06-25

New method for formulations of Timoshenko deep beam element

1.
School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China
2.
School of Highway Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410076, China

More Information

Author Bio:
XIA Gui-yun(1972-), male, doctoral student, 86-731-2617746, xiagy72@163.com

摘要

摘要: 基于Timoshenko两广义位移梁理论, 建立考虑剪切效应的Timoshenko深梁单元横向线位移、转角和剪应变的各自插值函数, 利用有限元方法导出单元线弹性刚度、一致质量矩阵和几何刚度矩阵。算例结果表明此公式用于静力、动力和稳定性分析是可靠的, 并且不出现剪切闭锁现象。
- 桥梁工程 /
- 一致矩阵 /
- 有限元 /
- Timoshenko深梁
Abstract: Based on the theory of two generalized displacements of Timoshenko beam, the trial function was used to construct the shape functions of transverse displacement, rotating displacement and shear strain. Using finite element method, linear elastic stiffness matrix, consistent mass matrix and geometric stiffness matrix were derived. The static, dynamic and stable tests show there is no shear locking for the element, numerical results agree with others well. The method is alternative for deriving the formulations of Timoshenko beam element.
- bridge engineering /
- consistent matrix /
- finite element /
- Timoshenko deep beam

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图 1 厚/薄梁单元图式

Figure 1. Thick/thin beam element

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图 2 作用于梁的集中荷载与均布荷载

Figure 2. Concentrated load and distributed load of beam

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图 3 悬臂梁振动单元划分

Figure 3. Mesh of cantilever beam vibration

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图 4 平面刚构稳定性分析

Figure 4. Stability analysis of plane frame

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表 1 简支梁在不同网格划分下的跨中挠度

Table 1. Central deflections of simply-supported beam with different meshs

梁高与跨径	网格密度	集中荷载		均布荷载
梁高与跨径	网格密度	厚梁理论	本文解	厚梁理论	本文解
H=1L=10	2×1	1.288 40×10^-5	1.288 40×10^-5	8.004 50×10^-5	8.004 50×10^-5
	4×1		1.288 40×10^-5		8.004 50×10^-5
	8×1		1.288 40×10^-5		8.004 52×10^-5
H=0.5L=10	2×1	1.007 68×10^-4	1.007 68×10^-4	6.288 40×10^-4	6.288 40×10^-4
	4×1		1.007 68×10^-4		6.288 40×10^-4
	8×1		1.007 69×10^-4		6.288 44×10^-4
H=0.1L=10	2×1	1.250 38×10^-2	1.250 38×10^-2	7.814 42×10^-2	7.814 42×10^-2
	4×1		1.250 38×10^-2		7.814 42×10^-2
	8×1		1.250 39×10^-2		7.814 43×10^-2
H=1L=20	2×1	1.007 68×10^-4	1.007 68×10^-4	1.257 68×10^-3	1.257 68×10^-3
	4×1		1.007 68×10^-4		1.257 68×10^-3
	8×1		1.007 69×10^-4		1.257 69×10^-3
H=0.5L=20	2×1	8.015 36×10^-4	8.015 36×10^-4	1.001 54×10^-2	1.001 54×10^-2
	4×1		8.015 36×10^-4		1.001 54×10^-2
	8×1		8.015 38×10^-4		1.001 53×10^-2
H=0.1L=20	2×1	1.000 08×10^-1	1.000 08×10^-1	1.250 08	1.250 08
	4×1		1.000 08×10^-1		1.250 08
	8×1		1.000 08×10^-1		1.250 08
注: 简支深梁集中荷载作用下跨中挠度理论值为 $\frac{Ρ L^{3}}{48 D} (1 + \frac{12 D}{C L^{2}})$ , 均布荷载作用下跨中挠度理论值为 $\frac{5 q L^{4}}{384 D} (1 + \frac{48 D}{5 C L^{2}})$ 。

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表 2 固支梁在不同网格划分下的跨中挠度

Table 2. Central deflections of clamped beam with different meshs

梁高与跨径	网格密度	集中荷载		均布荷载
梁高与跨径	网格密度	厚梁理论	本文解	厚梁理论	本文解
H=1L=10	2×1	3.509 00×10^-6	3.509 00×10^-6	1.754 50×10^-5	1.754 50×10^-5
	4×1		3.509 00×10^-6		1.754 50×10^-5
	8×1		3.509 00×10^-6		1.754 50×10^-5
H=0.5L=10	2×1	2.576 80×10^-5	2.576 80×10^-5	1.288 40×10^-4	1.288 40×10^-4
	4×1		2.576 80×10^-5		1.288 40×10^-4
	8×1		2.576 80×10^-5		1.288 40×10^-4
H=0.1L=10	2×1	3.128 84×10^-3	3.128 84×10^-3	1.564 42×10^-2	1.564 42×10^-2
	4×1		3.128 84×10^-3		1.564 42×10^-2
	8×1		3.128 84×10^-3		1.564 42×10^-2
H=1L=20	2×1	2.576 80×10^-5	2.576 80×10^-5	2.576 80×10^-4	2.576 80×10^-4
	4×1		2.576 80×10^-5		2.576 80×10^-4
	8×1		2.576 80×10^-5		2.576 80×10^-4
H=0.5L=20	2×1	2.015 36×10^-4	2.015 36×10^-4	2.015 36×10^-3	2.015 36×10^-3
	4×1		2.015 36×10^-4		2.015 36×10^-3
	8×1		2.015 36×10^-4		2.015 36×10^-3
H=0.1L=20	2×1	2.500 77×10^-2	2.500 77×10^-2	2.500 77×10^-1	2.500 77×10^-1
	4×1		2.500 77×10^-2		2.500 77×10^-1
	8×1		2.500 77×10^-2		2.500 77×10^-1
注: 固支深梁集中荷载作用下跨中挠度理论值为 $\frac{Ρ L^{3}}{192 D} (1 + \frac{48 D}{C L^{2}})$ , 均布荷载作用下跨中挠度理论值为 $\frac{q L^{4}}{384 D} (1 + \frac{48 D}{C L^{2}})$ 。

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表 3 悬臂梁在不同网格划分下的悬臂端挠度

Table 3. Free-end deflections of cantilever beam with different meshs

梁高与跨径	网格密度	集中荷载		均布荷载
梁高与跨径	网格密度	厚梁理论	本文解	厚梁理论	本文解
H=1L=10	2×1	2.015 36×10^-4	2.015 36×10^-4	7.576 80×10^-4	7.576 80×10^-4
	4×1		2.015 37×10^-4		7.576 86×10^-4
	8×1		2.015 46×10^-4		7.577 19×10^-4
H=0.5L=10	2×1	1.603 07×10^-3	1.603 07×10^-3	6.015 36×10^-3	6.015 36×10^-3
	4×1		1.603 08×10^-3		6.015 40×10^-3
	8×1		1.602 92×10^-3		6.014 78×10^-3
H=0.1L=10	2×1	2.000 15×10^-1	2.000 16×10^-1	7.500 77×10^-1	7.500 78×10^-1
	4×1		2.000 16×10^-1		7.500 80×10^-1
	8×1		2.000 26×10^-1		7.501 17×10^-1
H=1L=20	2×1	1.603 07×10^-3	1.603 07×10^-3	1.203 07×10^-2	1.203 07×10^-2
	4×1		1.603 06×10^-3		1.203 06×10^-2
	8×1		1.603 23×10^-3		1.203 19×10^-2
H=0.5L=20	2×1	1.280 62×10^-2	1.280 62×10^-2	9.606 15×10^-2	9.606 15×10^-2
	4×1		1.280 61×10^-2		9.606 14×10^-2
	8×1		1.280 50×10^-2		9.605 28×10^-2
H=0.1L=20	2×1	1.600 03	1.600 03	1.200 03×10¹	1.200 03×10¹
	4×1		1.600 04		1.200 04×10¹
	8×1		1.600 00		1.200 01×10¹
注: 悬臂厚梁悬臂端集中荷载作用下自由部挠度理论值为 $\frac{Ρ L^{3}}{3 D} (1 + \frac{3 D}{C L^{2}})$ , 均布荷载作用下理论值为 $\frac{q L^{4}}{8 D} (1 + \frac{4 D}{C L^{2}})$ 。

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表 4 悬臂梁前五阶自振频率计算结果

Table 4. Vibrating frequencies of cantilever beam /Hz

振型	Huang^[8]	Oral^[7]	文献解[7]	解析解	本文单元解
1	987	990	900	994	990
2	6 040	6 053	6 053	6 098	6 063
3	16 200	16 585	16 436	16 472	16 436
4	30 200	32 360	31 237	30 686	31 237
5	47 200	54 401	49 490	47 751	48 489
注: 第1阶轴向振动频率为22 268 Hz。

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表 5 刚构临界荷载计算结果

Table 5. Results of buckling forces of frame /MN

构件单元数	截面	Oral^[7]	文献[7]	本文
1	0.4×0.4	21.003	19.295	19.222
1	0.8×0.8	313.030	290.780	287.940
2	0.4×0.4	19.258	19.176	19.160
2	0.8×0.8	289.730	288.630	287.940
4	0.4×0.4	19.111	19.105	19.101
4	0.8×0.8	287.060	286.990	286.900

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参考文献(8)

[1]	Timoshenko S P, Gere J M. Strength of Materials[M]. New York: Van Nostrand Reinhold Company, 1972.
[2]	Owen D R J, Hinton E. Finite Elements in Plasticity-Theory and Practice[M]. London: Swansea Pineridge Press, 1980.
[3]	Przmieniecki J S. Theory of Matrix Structural Analysis[M]. New York: McGraw-Hall Book Company, 1968.
[4]	Oral S. Anisoparametric interpolation in hybrid-stressTimoshenko beam element[J]. ASCE Journal of Structural Engineering, 1991, 117(4): 1 070-1 078.
[5]	胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 1981.
[6]	王荣辉. 杆板壳结构计算理论及应用[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1999.
[7]	周世军, 朱唏. 一组新的Timoshenko梁单元一致矩阵公式[J]. 兰州铁道学院学报, 1994, 13(2): 1-7. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-LZTX402.000.htm ZHOU Shi-jun, ZHU Xi. A set of new consistent matrix for formulations of Timoshenko beam element[J]. Journal of Lanzhou Railway Institute, 1994, 13(2): 1-7. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-LZTX402.000.htm
[8]	Huang TC. The effect of rotatory inertia and shear deformation on the frequency and normal mode equations of uniform beams with simple and conditions[J]. Journal of Applied Mechanics, 1961, 28(6): 579-584.