0.   引言

随着公路交通的发展, 高速、重载日益成为世界道路发展的主流, 当前出现了车辆速度加快, 承载增大的状况。这不仅对车辆设计, 也对路面结构的安全可靠性与经济耐久性提出了较高的要求, 因而对车-路的相互作用研究非常重要。

目前在车-路相互作用的研究中, 主要集中在2个方面: 利用建立的车辆模型, 直接计算轮胎动力, 研究动载对路面的响应; 根据弹性动力学理论, 研究运动荷载和动力荷载下的路面响应, 即地面动力学方面的研究。在这些方面Cebon D^[1]、Monismith C L^[2]、O'Connell S^[3]和邓学钧^[4-5]等人做出了主要贡献。然而现有的这些研究常采用简化的四分之一车辆模型, 大多没有考虑人的影响。因此本文将车-路系统拓宽为人-车-路系统, 并通过建立三质量车辆模型来进行路面不平度激励下车辆振动性能的评价与分析。

1.   随机振动与路面不平度

1.1   自相关函数与谱密度^[6]

随机过程为所有样本函数的集合, 记作X(t), 其在时刻t₁的随机变量X(t₁)的集合平均为

$\mu {}_x(t{}_1)=E[X(t{}_1)]=\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}x{}_k(t{}_1)(1)$

若随机过程X(t)在时刻t₁和t₁+τ的2个随机变量为X(t₁)和X(t₁+τ), 其集合平均为

$\begin{array}{l}R{}_X(t{}_1,t{}_1+\tau )=E[X(t{}_1)X(t{}_1+\tau )]=\\ \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}x{}_k(t{}_1)x{}_k(t{}_1+\tau )(2)\end{array}$

集合平均R_X(t₁, t₁+τ)称作随机过程X(t)在时刻t₁和t₁+τ的自相关函数, 他既与时刻t₁有关, 也是τ的函数。如随机过程的均值和自相关函数与采样时刻t₁无关, 则称随机过程为(弱)平稳过程。对于平稳过程, 均值为常数

$\begin{array}{l}\mu {}_x(t)=\mu {}_x\\ \text{则}R{}_X(t{}_1,t{}_1+\tau )=R{}_X(\tau )\end{array}$

当

$\{\begin{array}{l}\mu {}_x=\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_{-{\rm T}/2}^{{\rm T}/2}x{}_k(t)\text{d}t\\ R{}_X(\tau )=\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_{-{\rm T}/2}^{{\rm T}/2}x{}_k(t)x{}_k(t+\tau )\text{d}t\end{array}(3)$

平稳随机过程称为(弱)各态历经随机过程。若自相关函数R_X(τ)分段连续和绝对可积, 则

$\begin{array}{l}S{}_X(w)=\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\text{π}}{{\rm T}}E[\overline{X}(w,{\rm T}){}^2]=\\ \frac{1}{2\text{π}}{\displaystyle \int }{}_{-\infty }^{+\infty }R{}_X(\tau )\text{e}{}^{-iw\tau }\text{d}\tau (4)\\ R{}_X(\tau )={\displaystyle \int }{}_{-\infty }^{+\infty }S{}_X(w)\text{e}{}^{iw\tau }\text{d}w(5)\end{array}$

由式(4)知S_X(w)提供了弱平稳随机过程的平均能量的谱分析, 简称为随机过程X(t)的谱密度, 又称为均方谱密度函数, 式(4)和式(5)称为Wiener-Khintchine公式。

1.2   随机振动的统计特性

在路面不平度下的汽车振动分析中, 常用到谱密度的概念, 这需要对测量的随机信号进行幅值域分析。下面主要介绍连续的随机过程X(t)的均值、方差与均方值的计算方法。

1.2.1   均值

通常的随机信号总是存在最大值和最小值, 给出了随机过程变化的上、下极限, 但是无法说明信号的中心位置和变化波动的程度。而均值可以说明随机过程信号的平均位置的平均值, 对于确切描述随机过程非常重要。对连续的随机过程有

$\mu {}_x=\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_0^{{\rm T}}x(t)\text{d}t(6)$

1.2.2   方差和标准差

为了描述信号在均值附近波动的程度, 引入方差的概念来反映信号的动态部分。方差的开方值称为标准差σ_x。对连续的随机过程有

$\begin{array}{l}\sigma {}_x^2=\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_0^{{\rm T}}[x(t)-\mu {}_x]{}^2\text{d}t\\ \sigma {}_x=\sqrt{\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_0^{{\rm T}}[x(t)-\mu {}_x]{}^2\text{d}t}(7)\end{array}$

1.2.3   均方值和有效值

任何随机信号的强度可以利用均方值进行描述, 反映了信号的能量水平。均方根的根值, 称为均方根值, 也称为有效值Ψ_x, 用来表示信号的大小。对连续的随机过程有

$\begin{array}{l}\Psi {}_x^2=\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_0^{{\rm T}}[x(t)]{}^2\text{d}t\\ \widetilde{{\displaystyle x}}=\Psi {}_x=\sqrt{\underset{{\rm T}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_0^{{\rm T}}[x(t)]{}^2\text{d}t}(8)\end{array}$

1.3   路面不平度谱

路面不平度是指路表面相对于基准平面的偏离, 是因施工过程中一些难以人为控制的影响, 如施工、材料、环境和气候以及交通重复荷载的作用而造成的实际路表面与设计标高的差异。由于不平度影响着车辆振动, 继而产生车辆动载荷, 因此有必要对路面不平度做简单介绍。

目前, 国内外许多机构已对路面不平度进行了大量的测量。测量数据表明, 路面不平度是服从高斯概率分布的具有零均值的均匀随机场, 若转化为随机过程, 则具有平稳遍历特性。路面不平度的特性可用功率谱密度(PSD)S_X(w)来表示, 计算方法见式(4)。由于该式计算复杂, 目前已提出了多种不同的路面谱密度近似表示方法。1972年, 欧洲国家提出了路面不平度谱密度的ISO标准公式^[6]

$S{}_u(\kappa )=\{\begin{array}{cc}S{}_u(\kappa {}_0)\left(\frac{\kappa }{\kappa {}_0}\right){}^{-n{}_1}\hfill & (\kappa /\kappa {}_0\le 1)\hfill \\ S{}_u(\kappa {}_0)\left(\frac{\kappa }{\kappa {}_0}\right){}^{-n{}_2}\hfill & (\kappa /\kappa {}_0>1)\hfill \end{array}(9)$

κ=1-λ=ω/(2πv)

式中: u为路面不平度激励输入; κ₀为标准波数(次/m); κ为波数; λ为波长; w为时间角频率; v为车辆行驶速度; S_u(κ₀)为标准波数谱密度, 是路面不平度的度量(m³/次); S_u(κ)为波数谱密度(m³/次); n₁、n₂为常数。

2.   车辆模型

为了便于理解路面不平度激励下汽车的振动特性, 从建立简单的车辆模型开始分析, 利用下述假定, 将高速行驶汽车的复杂系统简化为简单的三自由度(质量)振动系统。

2.1   车辆模型的假定

(1) 车身、发动机、车架、前后轴为刚性, 车身、车架为刚性连接。

(2) 客车等速直线行驶, 轮胎与地面保持接触, 无跳起。

(3) 客车结构对于垂直面对称, 左右轮辙的路面不平度相同。这意味着车辆没有侧倾振动和侧向位移, 也没有横摆运动, 只考虑垂直方向振动。

(4) 客车悬架刚度、轮胎刚度、座椅刚度均为位移的线性函数, 悬架阻尼、座椅阻尼为相对速度的线性函数, 轮胎阻尼忽略不计。

(5) 车身的联系质量为0, 即车身的前后部分质量彼此独立。

(6) 人位于车轴的正上方, 且固定不动。

通过假定, 简化后的车辆模型^[7]见图 1。

图  1  三质量车辆等效系统

Figure  1.  Three-mass vehicle model

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图 1中, m₃为一个人体(即驾驶员)质量之半; m₂为簧载质量, 即车身部分质量, 包括所有车身弹簧悬架的汽车部件, 如车架、车身和货厢等; m₁为非簧载质量, 即轮胎质量; k₃为座椅刚度之半; k₂为车身悬架刚度; k₁为轮胎刚度; c₃为座椅阻尼之半(考虑到车辆左右对称, 故在车辆模型参数选取时, m₃、k₃和c₃分别为人体质量、座椅刚度和阻尼之半); c₂为悬架阻尼; z₃为座椅垂直位移; z₂为车身垂直位移; z₁为轮轴垂直位移; u为路面不平度激励。

2.2   运动方程的建立

由D'A lembert原理, 三质量车辆模型的运动微分方程为

$\{\begin{array}{l}m{}_3\ddot{z}{}_3+c{}_3(\dot{z}{}_3-\dot{z}{}_2)+k{}_3(z{}_3-z{}_2)=0\\ m{}_2\ddot{z}{}_2+c{}_2(\dot{z}{}_2-\dot{z}{}_1)+k{}_2(z{}_2-z{}_1)=c{}_3(\dot{z}{}_3-\dot{z}{}_2)\\ +k{}_3(z{}_3-z{}_2)\\ m{}_1\ddot{z}{}_1+k{}_1(z{}_1-u)=c{}_2(\dot{z}{}_2-\dot{z}{}_1)+k{}_2(z{}_2-z{}_1)\end{array}(10)$

2.3   运动方程的求解

本文中采用叠加法^[8]来求解运动微分方程, 求解过程如下。

2.3.1   确定系统的频率响应函数

根据叠加原理, 设作用在轮轴质量m₁上的路面不平度激励u为单位简谐函数e^iwt, 代入运动方程(10)求出3个频率响应函数H₁(w)、H₂(w)和H₃(w)。

2.3.2   确定路面不平度激励

假定路面不平度激励的时域表达式为u(t), 则其频域函数为

$Q(w)={\displaystyle \int }{}_{-\infty }^{+\infty }u(t)\text{e}{}^{-iwt}\text{d}t(11)$

2.3.3   计算响应垂直位移时域

得到频率响应函数后, 由

${\rm Z}{}_i(w)={\rm H}{}_i(w)Q(w)$

求相应的傅立叶变换, 可得座椅、车身与轮轴的垂直位移频域响应函数Z₃(w)、Z₂(w)与Z₁(w), 进行傅立叶逆变换, 得各垂直位移的时域表达式为

$\{\begin{array}{l}z{}_3(t)=\frac{1}{2\text{π}}{\displaystyle \int }{}_{-\infty }^{+\infty }{\rm Z}{}_3(w)\text{e}{}^{iwt}\text{d}w\\ z{}_2(t)=\frac{1}{2\text{π}}{\displaystyle \int }{}_{-\infty }^{+\infty }{\rm Z}{}_2(w)\text{e}{}^{iwt}\text{d}w\\ z{}_1(t)=\frac{1}{2\text{π}}{\displaystyle \int }{}_{-\infty }^{+\infty }{\rm Z}{}_1(w)\text{e}{}^{iwt}\text{d}w\end{array}(12)$

3.   车辆振动性能评价

路面不平度激励对车辆的影响主要通过车辆振动性能来反应, 车辆振动性能又必须通过评价尺度来评价。常用的车辆评价标准是车轮载荷的变化与作用于乘客的振动等。

3.1   车轮载荷与行驶安全性的关系

在评价行驶安全性时, 要求动载系数D_LC(车轮动态载荷除以车轮静态载荷)尽可能小, 由图 1和式(10)可求出车轮动载荷变化为

F_动 $=k{}_1(u-z{}_1)=m{}_3\ddot{z}{}_3+m{}_2\ddot{z}{}_2+m{}_1\ddot{z}{}_1(13)$

车轮载荷方差(简称为轮载方差)为

$\sigma {}_F^2=\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle \int }{}_0^{{\rm T}}[F{}_{\text{动}}(t)]{}^2\text{d}t(14)$

设动载荷的谱密度为S_F(w), 引入反映路面不平度和速度的谱密度S_u(w), 由随机理论得

$\sigma {}_F^2={\displaystyle \int }{}_0^{\infty }S{}_F(w)\text{d}w={\displaystyle \int }{}_0^{\infty }\frac{F{}_{\text{动}}}{u}{}^{2}S{}_u(w)\text{d}w(15)$

$\frac{F{}_{\text{动}}}{u}=w{}^2[m{}_1{\rm H}{}_1(w)+m{}_2{\rm H}{}_2(w)+m{}_3{\rm H}{}_3(w)]$ (16)

$D{}_{LC}=\frac{\sigma {}_F}{F{}_{\text{静}}}(17)$

式中: $\frac{F{}_{\text{动}}}{u}$为车辆动载荷幅频特性。

3.2   加速度与振动舒适性的关系

车辆行驶过程中, 人体加速度与汽车的振动有着密切的关系, 常要求尽可能降低加速度来达到人体的舒适程度。文中采用加速度放大因子和相应的谱密度来反映车辆振动舒适性。

人体加速度放大因子为

$\frac{\ddot{z}{}_3}{u}=w{}^2{\rm H}{}_3(w)(18)$

人体加速度谱密度为

$S{}_{\ddot{z}{}_3}(w)=\frac{\ddot{z}{}_3}{u}{}^{2}S{}_u(w)(19)$

车身加速度放大因子为

$\frac{\ddot{z}{}_3}{u}=w{}^2{\rm H}{}_3(w)(20)$

车身加速度谱密度为

$S{}_{\ddot{z}{}_2}(w)=\frac{\ddot{z}{}_2}{u}{}^{2}S{}_u(w)(21)$

4.   计算分析

本文采用前面所建的三自由度车辆模型对路面不平度激励下车辆的振动特性进行了计算, 图中各参数取值为^[7]

$\begin{array}{l}m{}_3=30\text{k}\text{g}\\ m{}_2=230\text{k}\text{g}\\ m{}_1=30\text{k}\text{g}\\ c{}_2=1137\text{Ν}\text{s}/\text{m}\\ c{}_3=264\text{Ν}\text{s}/\text{m}\\ k{}_3=9950\text{Ν}/\text{m}\\ k{}_2=20200\text{Ν}/\text{m}\\ k{}_1=128000\text{Ν}/\text{m}\\ v=20\text{m}/\text{s}\\ g=9.81\text{m}/\text{s}{}^2\end{array}$

在无阻尼时, 人体、车身与轮胎固有频率分别为

$\{\begin{array}{l}\gamma {}_3=\sqrt{k{}_3/m{}_3}/2\text{π}=2.9\text{Η}\text{z}\\ \gamma {}_2=\sqrt{k{}_2/(m{}_2+m{}_3)}/2\text{π}=1.4\text{Η}\text{z}\\ \gamma {}_1=\sqrt{(k{}_1+k{}_2)/m{}_1}/2\text{π}=11.2\text{Η}\text{z}\end{array}(22)$

4.1   路面不平度谱密度

假定进行计算分析的路面性能良好, 标准波数谱密度S_u(κ₀)为5, 波数κ₀为1/(2π), 参数n₁为2。应用式(9)得路面不平度与速度的谱密度S_u(w)与自然频率f=ω/(2π)的关系见图 2。

图  2  谱密度与频率的关系

Figure  2.  Relation of PSD and frequency

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4.2   车辆动载荷

通过计算, 车辆动载荷的幅频特性见图 3。该曲线有2个峰值, 大概在车身固有频率γ₂和轮轴固有频率γ₁附近; 而人体(座椅)固有频率γ₃附近动载荷的变化不明显, 说明座椅上人体的振动对车轮载荷的变化不明显。

图  3  车辆动载荷的幅频特性

Figure  3.  Relation of vehicle dynamic load and frequency

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车辆动载荷的谱密度曲线见图 4。由该曲线知车身固有频率和轮轴固有频率对动载荷的影响都比较大。通过计算曲线下方的面积得车轮动荷载变化标准差σ_F=265 N, 由已知的车辆静载求得行驶安全性的尺度D_LC为

D_LC=σ_F/F_静=0.093 (23)

图  4  车辆动载荷谱密度与频率的关系

Figure  4.  Relation of vehicle dynamic load PSD and frequency

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因而对于行驶在良好性能路面的车辆, 由其动载系数知动载荷的变化很小, 基本上不存在车辆跳离地面的危险。

4.3   加速度

通过计算, 人体加速度的放大因子和谱密度曲线见图 5和图 6。曲线中3个峰值, 除了在车身固有频率γ₂和轮轴固有频率γ₁附近外, 人体(座椅)固有频率γ₃附近也很明显, 这说明人的参与对行驶舒适性有一定的影响, 在低频时, 人的感觉非常强烈。

图  5  人体加速度放大因子

Figure  5.  Amplitude factor of people acceleration

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图  6  人体加速度谱密度

Figure  6.  PSD of people acceleration

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车身加速度的放大因子和谱密度曲线见图 7和图 8。在座椅固有频率附近幅频特性变化不明显, 说明人体的参与对车身加速度影响不大。

图  7  车身加速度放大因子

Figure  7.  Amplitude factor of vehicle acceleration

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图  8  车身加速度谱密度

Figure  8.  PSD of vehicle acceleration

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对比图 5和图 7, 图 6和图 8, 可发现由于人的作用, 使得座椅加速度与车身加速度相比, 在低频时有所增加, 高频时有所减小。

5.   结语

(1) 运用叠加法可快速求解车辆运动方程, 从而得到车辆动载荷的幅频特性、动载荷的功率谱密度、加速度放大因子与加速度谱密度和角频率的关系。

(2) 在进行车辆振动性能评价与分析时, 要求轮载变化小和加速度放大因子尽可能小, 这意味着车辆行驶安全性好, 舒适性好。

(3) 在人-车-路系统中, 当车辆在性能相对良好的路面行驶时, 人体的振动对轮载的变化不明显, 基本上不存在车辆跳离地面的危险, 这时三质量车辆模型可简化为常见的四分之一车辆模型。

(4) 人体-座椅系统对车身加速度有所影响, 在低频时人的感觉非常强烈, 同时由于人体的参与使得人体加速度与车身加速度相比, 在低频时增大, 高频时有减小的趋势, 因而采用三质量车辆模型更能体现人体的振动舒适程度与路面不平度的响应关系。

(5) 文中计算得到的车辆动载荷可用来分析道路的应力分布状况, 对于深入分析路面结构的动力响应有着重要参考价值。