0.   引言

目前, 基于大铁路的牵引计算软件和算法比较常见, 如何鸿云等人的牵引计算软件^[1], 郭佑民等人的列车操纵仿真系统^[2], 毛保华等人的通用列车运行模拟软件^[3]等。但是基于城市轨道交通的牵引计算软件比较少见, 关于牵引计算的模型, 更是少有谈到。本文在研究城市轨道动车组牵引计算软件时, 通过大量试验, 构建了基于不同牵引策略的牵引计算模型, 并主要探讨基于最快速牵引策略的牵引计算模型, 作为其他牵引策略的算法基础。

1.   牵引策略

城市轨道交通与大铁路的运输方式和线路条件等多方面差异显著, 主要表现在: 紧急制动距离相差较大, 大铁路规定一般条件是800 m, 地铁规定为180 m; 城市轨道交通区间较短, 普遍为1~2 km, 运行中存在频繁的启动、制动等工况转换过程; 城市轨道交通对启动和制动的加速度要求比较严格, 启动和制动过程要求快速、平稳, 舒适度要求较高, 制动方式主要是电阻制动, 闸瓦制动是配合形式, 与大铁路有所不同; 对停站要求严格, 要停得准, 停得稳, 国外地铁车辆停站误差甚至小于20 cm; 线路曲线半径较小, 一般在1 000 m以下等。

采用什么样的算法, 关键在于采用何种牵引策略。在动车组运行的过程中, 实际运行状态是非常复杂的, 为了简化算法, 便于计算机实现, 本文提出3种典型的牵引策略。

1.1   最快速度策略

要让动车组以最短的时间走行完整个区段, 需要尽可能发挥他的牵引能力和制动能力。这种算法是让动车组的运行能力发挥到最大, 因此牵引力采用最大牵引力, 制动力也采用最大制动力。在达到限速(图 1中的V_x) 路段, 采用限速匀速行驶(图 1中AL₁L₂B曲线)。

图  1  牵引计算模型

Figure  1.  Traction calculation model

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1.2   最经济策略

最经济策略即采用最节能的方法运行。参考文献[4]表明, 列车优化操纵是非常复杂的, 并很难实现最优化的, 相对较优的操纵序列为“最大加速、匀速运行、惰行、最大制动”。另外, 如果区间运行时间比较富裕, 速度越低, 列车能耗越小; 速度波动越低, 能耗越小。因此, 设计最经济的牵引策略为: 在给定运行时分内, 采用最大牵引力加速至某一速度(图 1中V_j), 然后以此速度匀速运行, 如果时间足够, 采取惰行直至终点; 如果时间不够, 可惰性一段距离, 采取最大制动力制动(图 1 AJ₁J₂B曲线)。

1.3   理想策略

牵引运行的理想策略, 应该满足旅客舒适度、速度与节能等要求。一方面, 动车组在加速和减速的过程中, 有加速度和减速度大小的限制, 不能超过旅客舒适度; 另一方面, 列车运行到经济速度后, 尽量保持经济速度匀速运行(图 1 ASB曲线)。

2.   最快速牵引策略算法

2.1   受力计算

根据文献[5], 牵引计算的力学计算采用单位力(N/kN) 的概念, 以下的各种外力均采用此单位, 速度单位为km/h。牵引力和制动力根据牵引特性曲线和电阻制动特性曲线, 用插值法求得

W_f2=W_f1+ (V₂-V₁) (W_f3-W_f1) / (V₃-V₁) (1)

W_zd2=W_zd1+ (V₂-V₁) (W_zd3-W_zd1) / (V₃-V₁) (2)

式中: W_f2为所求插值; V₂为W_f2对应的速度; (V₁, W_f1) 和(V₃, W_f3) 为牵引特性曲线上待求点(V₂, W_f2) 的前后点; W_zd2为插值点V₂对应的制动力。

基本阻力由车辆构造产生, 如轴承阻力、轮轨黏着阻力、空气阻力等。基本阻力的计算由经验公式得到, 不同的车辆, 在不同的速度, 基本阻力公式是不同的

$W{}_{jz}=a+bV+cV{}^2(3)$

式中: W_jz为基本阻力; a、b、c为经验常数。

附加阻力是由于线路坡度变化和曲线变化产生, 分为坡度附加阻力和曲线附加阻力

$W{}_{fz}=W{}_i+W{}_r=i+d/R(4)$

式中: W_fz为附加阻力; d为经验常数; i为坡度千分数; R为曲线半径(m)。

2.2   启动与加速过程

所有区段内的启动与加速过程均以动车组最大牵引力进行牵引, 计算步长采用时间(ms)。参考文献[5, 6], 得到启动与加速过程计算方法。启动阻力W_qz与运行过程基本阻力不同, 因为城市轨道牵引中启动比较频繁, 根据计算精度要求, 应根据经验另外取值

$W{}_{qz}=e(5)$

式中: e为启动阻力经验常数。因此, 列车受到的合力为

$\begin{array}{l}C=W{}_{f2}-W{}_{jz}-W{}_{fz}(6)\\ C=W{}_{f2}-W{}_{qz}(7)\\ C=W{}_{zd2}+W{}_{jz}+W{}_{fz}(8)\end{array}$

式中: C为列车受到的合力, 启动时取式(7), 加速过程取式(6), 制动过程取式(8)。

根据文献[5], 考虑动车组的转动部分的动能后, 运动列车的质量M与换算质量M_h有如下关系

${\rm M}{}_h=(1+G{}_e){\rm M}(9)$

式中: G_e为回转质量系数, 常取0.06。

启动加速阶段牵引计算递推公式为

$\{\begin{array}{l}S{}_{i+1}=S{}_i(V{}_i+V{}_{i+1})\text{Δ}t/2\\ V{}_{i+1}=V{}_i+C\text{Δ}t/{\rm M}{}_h\end{array}(10)$

式中: Δt为计算步长(ms)。

启动加速过程见图 2。当动车组加速到某一限速V_x1时, 尚未达到该限速段的终点, 按匀速出段(BC段), 若下一坡段限速提高, 则在该坡段末(C点) 继续全力牵引至下一限速。

图  2  启动与加速过程

Figure  2.  Start-up and traction process

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2.3   制动与进站过程

如图 3所示, 与启动和加速过程相似, 常用减速制动过程, 根据城市轨道交通对制动方式的要求, 采用电阻制动。进站过程与常用减速制动的区别在于, 进站过程末速度为0, 若进站速度低于某一限速(文献[7]取5 km/h), 这时需要转换为空气闸瓦制动, 因为电阻制动力太小会影响进站。随着技术的发展, 有的动车可能完全不用空气制动, 就能满足进站需要, 所以, 根据不同动车的制动特性, 采取不同的进站制动方式是必要的。制动过程的列车合力计算采用下式

$C=W{}_{f2}-W{}_{jz}-W{}_{fz}-W{}_{zd2}(11)$

图  3  制动与进站过程

Figure  3.  Stop and pulling process

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2.4   特殊情况

图 4 (a) S_aS_b段的限速V_x2, 如果仅考虑牵引过程, 从上一个限速路段S_a点的限速V_x1开始, 其牵引曲线为CDE, 但是E点将落在限速段S_aS_b段之外, 反过来, 从V_x2过渡到V_x1, 其制动曲线为BDF, 两者交点D并不能达到限速V_x2。因此, 对于这种特殊情况, 为了达到最短运行时间和能够满足两边限速段的要求, 势必先尽力牵引到某一点D, 然后以最大制动力减速刚好可以满足下一坡段的限速要求, 从F点进入下一坡段。

图  4  牵引与制动曲线

Figure  4.  Traction and stop curves

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图 4 (b)原来牵引到V_a点, 然后到S_aS_b段牵引加速, 但是由于下一段的限速V_x1较小, 从C点按照制动反推到V_a点以前, 需要对本限速段进行二次迭代, 以找到B点。对于这些特殊情况, 采用变步长法进行迭代, 寻求牵引曲线和制动曲线的交点。

对于图 4 (a)算法: 从C点起, 以初始步长Δt进行牵引迭代, 得到该限速段末速度, 从下一限速段起点F逆向试凑减速过程, 推得D点, 见图 5 (a)。

图  5  牵引力计算步骤

Figure  5.  Traction calculation steps

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对于图 4 (b)算法, 迭代较简单, 甚至可以不变步长, 由C点反推至B点即可。关键是在AB段运算完成以前, 要先预算第二段和第三段的计算过程, 若B点才能满足第三段V_x1的限速要求, BV_a段和S_aS_b段就会被舍弃, 见图 5 (b)。

由于预先采用减速试凑的办法找到减速点位置, 所以, 这种算法有一个突出的优点是进站停车比较准确。因为进站减速以前, 提前预算出了进站减速点的位置, 所以当迭代到减速点位置后, 直接按照预算的减速方案即可准确停站。

2.5   中间达到限速段的运行过程

达到限速段的运行过程, 在列车牵引实际中应该是牵引与惰行交替进行的, 但是考虑最快速的要求和简化建模的需要, 将其设计为匀速运行。根据程序对运算精度的要求, 下一步将探讨匀速过程速度波动的合理范围。

3.   实例模拟验算

线路数据见表 1, 采用最快速度牵引策略, 结果见图 6和表 2。从工况-时间曲线(HS) 可以看出, VS曲线接近限速后以该处限速匀速前进, 工况由牵引转为匀速惰行(并非传统意义的惰行), 在限速升高(800 m) 处, 工况又转换为牵引, 当速度接近81 km/h左右, 制动出段, 到达下一低限速后维持速度匀速运行, 最后在1400 m处制动, 并准确停靠车站。计算结果表达了模型的要求, 停站准确, 符合最快速牵引策略的特点。算法的缺点在于当列车运行达到限速时, 保持了速度均衡状态, 这一点与列车牵引的实际有一定的误差, 因此在研究模型的优化时, 应考虑列车速度接近限速时的合理操纵问题, 使模型更能反映实际情况。

表  1  算例线路数据

Table  1.  Sample line data

开始位置/m	0	250	500	550	600	800	900	1 100	1 260	1 400
坡段长度/m	250	250	50	50	200	100	200	160	140	270
坡度/‰	2	2	-2	-2	-2	-2	0	0	7	7
曲线半径/m	∞	300	300	∞	400	∞	∞	500	500	∞
限速/ (km·h-1)	80	75	75	80	75	80	85	80	80	80

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图  6  牵引计算结果曲线

Figure  6.  Result curves of traction calculation

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表  2  计算结果

Table  2.  Calculation result

区间距离/m	走行时间/s	平均速度/ (km·h-1)	最大速度/ (km·h-1)	进站初速/ (km·h-1)	牵引时间/s	牵引率/%
1 670	104.2	57.7	81.6	75.2	53.4	51.3

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4.   结语

在城市轨道交通牵引计算软件的开发中, 根据不同的牵引策略设计3种牵引计算模型, 并基于最快速的牵引策略, 构造了牵引计算模型。通过启动牵引过程、制动进站过程以及牵引与制动的特殊过程的分析, 运用动态改变计算步长的方法和预先减速试凑的方法寻找进站制动点。该模型不但可以使列车准确停站, 而且牵引平均速度较高, 旅行时间较短, 达到了最快速牵引策略的设计初衷。