0.   引言

悬索桥通常用于特大跨径桥梁, 其主要承重构件主缆一般都锚固在锚碇上, 锚碇成为一般悬索桥的重要组成部分。在少数特殊条件下, 世界上也曾出现过少量自锚式悬索桥, 其特点是主缆直接锚固在加劲梁上, 从而取消了锚碇。国内外已有不少自锚式悬索桥, 如韩国的永宗悬索桥(跨径布置125 m+300 m+125 m)、日本的此花大桥(跨径布置120 m +300 m +120 m) 等。三汊矶湘江大桥主桥(图 1) 根据地形特点, 考虑到地锚式悬索桥需要建造巨大的锚碇而使得施工有一定的困难, 并使造价提高, 因而采用自锚式悬索桥。三汊矶湘江大桥主桥的跨径组合为: 10×50.5 m (连续梁) +732 m (自锚钢箱梁悬索桥) +5×50 m (连续梁), 桥梁全长为1 487 m; 主跨跨径: 中跨为328 m, 东、西边跨分别为132 m及70 m; 矢跨比: 中跨为1/5, 边跨为1/12.4;吊索型式: 上下销接式预制平行索股, 每个吊点设2根吊索, 吊索间距为12 m, 吊索钢丝绳直径为45 mm; 索塔高度: 索塔桥面以上为71.097 m, 基顶以上为108.160 m; 主缆中心距离为25.0 m, 主缆由91束预制索股构成单缆, 预制索股由61丝Φ5.1 mm镀锌高强钢丝组成; 加劲梁型式为扁平闭口钢箱梁, 正交异性板桥面; 加劲梁高为3.6 m (桥轴中心处), 高跨比为1/91.1, 加劲梁全宽为33.0 m, 宽跨比为1/9.9。

图  1  三汊矶自锚式悬索桥桥型布置(单位: m)

Figure  1.  Configuration of Sanchaji self-anchored suspension bridge

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主缆是自锚式悬索桥的主要承重构件, 精确计算其成桥线形和无应力长度是进行设计和分析的关键, 对于施工控制也有重要的意义。本文针对悬索的受力的几何非线性特点, 建立接近实际的基本假设, 推导出了抛物线法和分段悬链线法, 以三汊矶湘江大桥为例, 分别给出2种方法的计算结果。

1.   计算理论

1.1   基本平衡微分方程^[1-2]

悬索是柔性构件, 基本特点是其几何形状的可变性, 即几何形状随所受荷载不同而变化, 位移与外荷载的关系呈非线性, 且变形较大。悬索的形状是由受力决定的, 在分布荷载作用下的几何形状是曲线, 见图 2。

图  2  分布荷载作用下悬索受力

Figure  2.  Distribution load of cable

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AB曲线可用函数

$y=f(x)$

表示。两端张力T_A与T_B均沿切线方向作用。由于水平方向无荷载作用, 可知索的两端及索中任一点张力的水平分量H为常量。取任一微段索dx为隔离体, 见图 2, 由

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum y}=0\\ \text{可}\text{得}{\rm H}\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+q(x)=0(1)\end{array}$

式(1) 是单根悬索的基本平衡微分方程。

1.2   分析方法

将q (x) 视作沿跨度的均布荷载, 则悬索的形状为抛物线; 将q (x) 视作沿弧长的均布荷载, 则悬索形状为悬链线。对于实际情况, 根据不同的假设, 悬索的计算方法也不同, 具体的数学推导与计算理论见下文。

2.   抛物线法

2.1   成桥线形计算

2.1.1   基本假定^{[1, 3-4]}

索是理想柔性的, 既不能受压, 也不能受弯; 索的材料符合虎克定律, 应力与应变符合线性关系; 主缆的截面面积和自重集度在外荷载作用下的变化量十分微小, 忽略不计; 在悬索桥的成桥状态, 因为主缆荷载集度同加劲梁相比很小, 所以将其荷载分布近似看作为沿跨度方向的均布荷载, 计算简图见图 3。

图  3  悬索桥主缆受力

Figure  3.  Uniformly-distributed load of cable

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2.1.2   理论推导

根据假设, 将q视为沿跨度均布的荷载, 令

$q+q{}^{´}=Q$

则由式(1) 可得

$y=\frac{Qx(l-x)}{2{\rm H}}+\frac{cx}{l}$

当$x=\frac{l}{2}$时, $y=\frac{c}{2}+f$, 据此由式(1) 得

${\rm H}=\frac{Ql{}^2}{8f}(2)$

$\text{所}\text{以}y=\frac{cx}{l}+\frac{4fx(l-x)}{l{}^2}(3)$

当c=0时$y=\frac{4fx(l-x)}{l{}^2}(4)$

2.2   无应力长度计算

当按不同荷载情况研究缆索时, 每一种荷载情况可以由从无应力状态算起的缆索伸长量ΔS表征。

2.2.1   成桥状态恒载情况下的悬索长度

在悬索AB中取一微分单元ds, 其长度为

$\text{d}s=\sqrt{\text{d}x{}^2+\text{d}y{}^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2}$

由积分可求得整根悬索AB的长度

$S={\displaystyle {\int }_A^B\text{d}}s={\displaystyle {\int }_0^l\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2}}\text{d}x$

将$\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2}$按级数展开为

$\begin{array}{l}\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2}=1+\frac{1}{2}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2-\frac{1}{8}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^4+\\ \frac{1}{16}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^6-\frac{5}{128}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^8+\cdots \end{array}$

若在计算中取前3项时

S= ${\displaystyle {\int }_0^l\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2-\frac{1}{8}\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^4\right]}\text{d}x$

即$S=l\left(1+\frac{c{}^2}{2l{}^2}+\frac{8f{}^2}{3l{}^2}-\frac{c{}^4}{8l{}^4}-\frac{32f{}^4}{5l{}^4}-\frac{4f{}^{2}c{}^2}{l{}^4}\right)(5)$

2.2.2   主缆的弹性伸长

在悬索AB中取一微分单元ds, 有

$\text{Δ}s=\frac{{\rm T}\text{d}s}{EA}={\rm H}\frac{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2}{EA}\text{d}x$

将其沿索积分, 得

$\Delta S={\displaystyle {\int }_0^l\frac{{\rm H}\left[1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2\right]}{EA}}\text{d}x=$ $\frac{{\rm H}\left(\frac{c{}^2}{l}+l+\frac{16f{}^2}{3l}\right)}{EA}(6)$

2.2.3   无应力索长的计算

无应力索长计算式为

$L{}_{US}=S-\text{Δ}S$

3.   悬链线法

3.1   成桥线形计算

3.1.1   基本假定^{[1, 3, 5]}

在悬索桥的成桥状态, 对于主缆而言, 所受荷载为沿弧长均布的主缆自重和通过吊索传递的局部荷载, 后一部分可近似作为集中荷载处理, 计算简图见图 4。

图  4  悬索桥主缆受力

Figure  4.  Cable load of suspension bridge

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3.1.2   理论推导

将悬索以吊杆为界分为n段, 每一段悬索的受力情况是: 索段两端承受集中力, 中间则受沿索长均布的竖向分布力——重力, 见图 4。

(1) 对第i段悬索的分析

对主缆而言, q (x) 为沿索长度的均布荷载q, 将q转化为沿跨度方向等效的均布荷载q_y (图 5), 应有

图  5  第i段悬索受力

Figure  5.  Cable load of micro-segment

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qds=q_ydx

因此$q{}_y=q\frac{\text{d}s}{\text{d}x}=q\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}s}{\text{d}x}\right){}^2}$

将上式代入式(1) 得

$\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}=-\frac{q}{{\rm H}}\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2}(7)$

令$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\text{d}z$有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=-\frac{q}{{\rm H}}\sqrt{1+z{}^2}\\ \frac{\text{d}x}{\text{d}z}=-\frac{{\rm H}}{q\sqrt{1+z{}^2}}\end{array}$

解微分方程得

$\begin{array}{l}x=-\frac{{\rm H}}{q}l{}_n(z+\sqrt{1+z{}^2})+t=\\ -\frac{{\rm H}}{q}\text{s}\text{h}{}^{-1}z+t\\ z=\text{s}\text{h}\left(-\frac{q}{{\rm H}}x+\frac{q}{{\rm H}}t\right)\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\text{s}\text{h}\left(-\frac{q}{{\rm H}}x+\frac{q}{{\rm H}}t\right)\end{array}$

式中: t为与边界条件有关的积分常数。

解微分方程的曲线为悬链线

$y=-\frac{{\rm H}}{q}\text{c}\text{h}\left(-\frac{q}{{\rm H}}x+\frac{q}{{\rm H}}t\right)+m(8)$

对于图 5所示的边界条件, 自由索固定于两点: A (0, 0)、B (l, c), 将A、B点坐标代入式(8) 得

$\begin{array}{l}y=-\frac{{\rm H}}{q}\text{c}\text{h}\left(\frac{qt}{{\rm H}}\right)+m=0(9)\\ y=-\frac{{\rm H}}{q}\text{c}\text{h}\left(-\frac{q}{{\rm H}}l+\frac{q}{{\rm H}}t\right)+m=c(10)\end{array}$

由式(9) 得

$m=\frac{{\rm H}}{q}\text{c}\text{h}\frac{qt}{{\rm H}}(11)$

将式(11) 代入式(10) 得

$\begin{array}{l}c=-\frac{{\rm H}}{q}\text{c}\text{h}\left(-\frac{ql}{{\rm H}}+\frac{qt}{{\rm H}}\right)+\frac{{\rm H}}{q}\text{c}\text{h}\frac{qt}{{\rm H}}-\\ \text{c}\text{h}\left(\frac{ql}{{\rm H}}+\frac{qt}{{\rm H}}\right)+\text{c}\text{h}\left(\frac{qt}{{\rm H}}\right)=\frac{cq}{{\rm H}}\end{array}$

令$\beta =\frac{ql}{2{\rm H}}$有

$\text{c}\text{h}\left(-2\beta +\frac{2\beta t}{l}\right)-\text{c}\text{h}\frac{2\beta t}{l}=-\frac{cq}{{\rm H}}$

将方程展开得

$\begin{array}{l}(\text{e}{}^{-\beta }-\text{e}{}^{\beta })(\text{e}{}^{\frac{2\beta t}{l}-\beta }-\text{e}{}^{\beta -\frac{2\beta t}{l}})=-\frac{2cq}{{\rm H}}\\ \text{即}\text{s}\text{h}\beta \text{s}\text{h}\left(\frac{2\beta t}{l}-\beta \right)=\frac{cq}{2{\rm H}}\\ t=\frac{\text{s}\text{h}{}^{-1}\left(\frac{c\beta }{l\text{s}\text{h}\beta }\right)+\beta }{2\beta }l\end{array}$

令$\alpha =\text{s}\text{h}{}^{-1}\left(\frac{c\beta }{l\text{s}\text{h}\beta }\right)+\beta$, 由式(11) 得

$m=\frac{{\rm H}}{q}\text{c}\text{h}\alpha$

由此悬链线方程的解为

$\begin{array}{l}y=\frac{{\rm H}}{q}\left[\text{c}\text{h}\alpha -\text{c}\text{h}\left(\frac{2\beta x}{l}-\alpha \right)\right](12)\\ \alpha =\text{s}\text{h}{}^{-1}\left(\frac{c\beta }{l\text{s}\text{h}\beta }\right)+\beta \\ \beta =\frac{ql}{2{\rm H}}\end{array}$

(2) 整段悬索的计算^{[1, 5]}

通过对悬索任意两吊杆之间的分析, 可知悬索的线形是分段悬链线, 在分段处须连续, 故对整段悬索的计算如下(图 4)。集中力将索分为n段, 第i段悬索的线形方程为(局部坐标系)

$\begin{array}{l}y{}_i=\frac{{\rm H}}{q}\left[\text{c}\text{h}\alpha {}_i-\text{c}\text{h}\left(\frac{2\beta {}_{i}x{}_i}{l{}_i}-\alpha {}_i\right)\right](13)\\ \alpha {}_i=\text{s}\text{h}{}^{-1}\left(\frac{c{}_i\beta {}_i}{l{}_i\text{s}\text{h}\beta {}_i}\right)+\beta {}_i\\ \beta {}_i=\frac{ql{}_i}{2{\rm H}}\end{array}$

变形相容条件为

${\displaystyle \sum _1^{n}c}{}_i=c(14)$

索上任一点应通过给定点, 跨中点则通过给定的矢高坐标点。各局部坐标原点满足力的平衡条件, 即

${\rm H}\frac{\text{d}y{}_{i-1}}{\text{d}x{}_{i-1}}{}_{x{}_{i-1}=l{}_{i-1}}-{\rm H}\frac{\text{d}y{}_i}{\text{d}x{}_i}{}_{x{}_i=0}=p{}_i(15)$

根据式(13) ~式(15), 可建立迭代计算过程如下。

① 假设主缆索力水平分量的迭代初始值为H₀ (一般可先假设为$\frac{ql{}^2}{8f}$, 即由抛物线形算得的水平力)。

② 假定左支座的竖向力为p₀ (可设为$\frac{ql}{2})$, 由式(13) 有Hshα₁=p₀, 可求得α₁、β₁与c₁

$c{}_1={\rm H}[\text{c}\text{h}\alpha {}_1-\text{c}\text{h}(2\beta {}_1-\alpha {}_1)]={\rm H}\text{s}\text{h}(2\beta {}_1-\alpha {}_1)$

③ 由式(15) 可建立下一段的α₂、β₂等, 依次可求得c₂、c₃、…、c_n。

④ 求${\displaystyle \sum _1^{n}c}{}_i$, 若${\displaystyle \sum _1^{n}c}{}_i-c\ge \xi (\xi$为给定的误差限值), 则使p₀变为p₀+Δp (Δp为由差值确定的p₀的修正值), 重新进行②~④的循环, 直至

${\displaystyle \sum _1^{n}c}{}_i-c\le \xi$

⑤ 检验索是否通过指定点, 若不能满足曲线通过指定点的要求, 则使H₀=H₀+ΔH (ΔH为根据误差确定的索力水平分量修正值), 然后重新进行①~⑤的循环, 直到索通过指定点。

3.2   无应力长度计算

3.2.1   有应力索长

对式(12) 积分可得有应力长度S为

$\begin{array}{l}S={\displaystyle {\int }_0^l\sqrt{1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2}}\text{d}x\\ \text{而}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\text{s}\text{h}\left(-\frac{q}{{\rm H}}x+\frac{q}{{\rm H}}t\right)\end{array}$

$1+\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right){}^2=\text{c}\text{h}$ ${}^2(-\frac{q}{{\rm H}}x+\frac{q}{{\rm H}}t)$

所以索段有应力索长为

$S=-\frac{{\rm H}}{q}\left[\text{s}\text{h}\left(-\frac{q}{{\rm H}}l+\frac{q}{{\rm H}}t\right)-\text{s}\text{h}\left(\frac{q}{{\rm H}}t\right)\right](16)$

3.2.2   弹性伸长

由式(6) 得

ΔS=∫ ${}_0^l$ $\frac{{\rm H}[1+(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}){}^2]}{EA}\text{d}x=\frac{{\rm H}}{EA}$ ∫ ${}_0^l$ $[1+\text{s}\text{h}$ ${}^2(-\frac{q}{{\rm H}}x+$

$\frac{q}{{\rm H}}t)]\text{d}x=-\frac{{\rm H}{}^2}{4EAq}[\text{s}\text{h}\left(-\frac{2ql}{{\rm H}}+\frac{2qt}{{\rm H}}\right)-$

$\text{s}\text{h}\left(\frac{2qt}{{\rm H}}\right)]+\frac{{\rm H}l}{2EA}(17)$

3.2.3   无应力索长

无应力索长为

$L{}_{USi}=S{}_i-\Delta S{}_i=S+\frac{{\rm H}{}^2}{4EAq}[\text{s}\text{h}\left(-\frac{2ql}{{\rm H}}+\frac{2qt}{{\rm H}}\right)-$

$\text{s}\text{h}\left(\frac{2qt}{{\rm H}}\right)]-\frac{{\rm H}l}{2EA}$

3.2.4   主缆无应力长度

主缆无应力长度为

$L{}_{US}={\displaystyle \sum _1^{n}L}{}_{USi}$

4.   算例

4.1   主要计算参数

三汊矶湘江大桥的计算参数为: 主跨l为328 m、f为65.6 m; 边跨l₁为132 m、c₁为70.995 m; 材料特性见表 1; 主跨及边跨每延米重量见表 2 (仅一侧边跨)。

表  1  材料的物理特性

Table  1.  Materials properties

	比重γ/ (kN·m-3)	面积A/m2	弹性模量E/ (kN·m-2)
主缆	90.00	0.096 0	1.98×108
吊杆	90.00	0.005 2	1.98×108
加劲梁	172.20	1.091 0	2.10×108
加劲梁加厚段	140.25	1.521 0	2.10×108

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表  2  悬索桥每延米的重量

Table  2.  Cable weight of per meter

位置	主跨			边跨
项目	加劲梁	加劲梁加厚段	二期恒载	加劲梁	加劲梁加厚段	二期恒载
重量/ (kN·m-1)	187.87	213.32	60.5	187.87	213.32	60.5
长度/m	288	40	328	111	21	132

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主跨荷载集度q (单缆) 的估算为(吊杆质量很小, 忽略计算)

q=W₁+W₂+W₃+W₄=30.250+95.457+8.640+0.453=134.800 kN·m^-1

式中: W₁为二期恒载集度(30.250 kN·m^-1); W₂为加劲梁和加劲梁加厚段的荷载集度(95.457 kN·m^-1); W₃为主缆恒载集度, 按沿跨度均布估算(8.640 kN·m^-1); W₄为吊索集度(0.453 kN·m^-1)。

边跨荷载集度q₁ (单缆) 的估算为(W₁、W₃、W₄同中跨, W₂为95.931 kN·m^-1)

q₁=W₁+W₂+W₃+W₄=30.250+95.931+8.640+0.453=135.274 kN·m^-1

应用分段悬链线法计算时, 各索段边界受力条件见表 3。

表  3  分段悬链线法中各索段的参数

Table  3.  Parameters of segmental catenaries

位置	中跨			边跨
索段	1	2	3~18	1	2	3~12	13
各索段跨长li/m	11	9	9	12	9	9	9
各索段端部集中力pi/kN	1 373.34	1 179.17	1 121.91	1 441.80	1 179.17	1 121.91	1 308.19

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4.2   两种方法计算结果的比较

4.2.1   节点坐标值

计算模型坐标见图 6, 坐标差值见表 4

$\text{差}\text{值}=\frac{z{}_{\text{悬}}-z{}_{\text{抛}}}{z{}_{\text{悬}}}$

图  6  模型坐标

Figure  6.  Coordinate system of calculation model

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表  4  主跨及边跨节点坐标对比

Table  4.  Comparison of coordinates for two methods

主跨				边跨
桥纵向位置	z		差值/%	桥纵向位置	z		差值/%
x	抛物线法	悬链线法		x	抛物线法	悬链线法
0	5.395	5.395	0.000	164	70.995	70.995	0.000
-9	5.593	5.615	0.393	176	61.024	60.953	-0.116
-18	6.185	6.225	0.647	185	54.008	53.930	-0.144
-27	7.173	7.226	0.739	194	47.387	47.322	-0.137
-36	8.556	8.618	0.725	203	41.162	41.110	-0.126
-45	10.334	10.401	0.648	212	35.333	35.294	-0.110
-54	12.507	12.575	0.544	221	29.899	29.874	-0.084
-63	15.075	15.14	0.431	230	24.860	24.847	-0.052
-72	18.039	18.098	0.327	239	20.217	20.215	-0.010
-81	21.397	21.447	0.234	248	15.970	15.977	0.044
-90	25.151	25.189	0.151	257	12.119	12.131	0.099
-99	29.300	29.324	0.082	266	8.663	8.679	0.185
-108	33.844	33.853	0.027	275	5.602	5.618	0.286
-117	38.783	38.775	-0.021	284	2.938	2.949	0.374
-126	44.117	44.092	-0.057	296	0.000	0.000	0.000

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由表 4可看出, 二者坐标差别很小, 均小于0.8%。对于给定悬索两端点坐标的情况下(即已知跨径和高差或矢高), 两种方法计算差异的大致情况见图 7。

图  7  计算结果的比较

Figure  7.  Comparison of results for two methods

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4.2.2   无应力长度

从表 5中可以看出二者无应力长度计算误差很小, 不超过0.4%, 尤其弹性伸长的误差很小。

表  5  无应力长度对比

Table  5.  Comparison of zero-stress length

项目	有应力长度/m		弹性伸长/m		无应力长度/m
	中跨	边跨	中跨	边跨	中跨	边跨
抛物线法	359.628	150.975	0.579	0.254	359.049	150.721
悬链线法	360.165	151.442	0.579	0.254	359.587	151.188
差值/%	0.1	0.3	0	0	0.2	0.3

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5.   结语

本文以长沙市三汊矶湘江大桥为工程背景, 推导出两种基于不同假定下的主缆线形及无应力索长的计算方法: 假定主缆自重沿跨径均布的抛物线法和假定主缆自重沿弧长均布的分段悬链线法。采用上述两种方法对三汊矶湘江大桥自锚式悬索桥的主缆线形和无应力索长进行了计算, 并对结果做了相应的比较分析。从建立理论的假设及推导过程可以明显地看出分段悬链线法更加完善和精确。抛物线法在计算有应力长度时, 积分是用级数展开式的有限项积分得到, 是进一步的近似, 相比之下, 分段悬链线法在该项计算时较精确。而二者在计算弹性伸长时, 都是完全积分得到的, 差别也很小。总之, 抛物线法从计算上更加简单, 但比较粗略; 分段悬链线法考虑得较细, 计算相对复杂, 但比较精确。