0.   引言

公交化城际列车的运营时刻表是由3个因素确定的: 列车首发时间、列车发车间隔时间以及列车开行频率, 这3个因素是相互影响和作用的^[1-2]。开行频率越高, 则列车首发时间越早, 间隔时间越小; 但是若开行频率过高, 其后果可能会造成铁路的运输能力浪费, 运营成本过高以及无法应对突发事件等问题; 相反的, 若开行频率越低, 则首发时间越晚, 间隔时间也越大, 虽然这会降低铁路部门的运营成本, 但其会增大旅客在站等待时间, 可能导致部分旅客转向其他交通方式, 造成客源流失, 因此本文对公交化城际列车的运营时刻表进行深入研究, 为相关决策提供科学的依据, 从而使得开行的城际列车方案既能保证一定的服务水平, 又能满足运营者的一定收益, 使其社会效益最大化^[3-6]。本文的分析在所研究的时间段内, 均满足以下4个假设条件: 公交化城际列车的发车时间是等间隔的; 旅客最佳期望出行时间服从均匀分布; 旅客已知列车的运营时刻表, 且旅客据此选择乘坐其计划延误费用最小的城际列车; 每趟列车开行的成本是固定的^[7-9]。

1.   符号说明

考虑连接1个起点站和1个终点站的城际列车线路, 并只研究1个方向上的开行方案。记城际列车所需服务的时间段为[T_s, T_e]

$\begin{array}{l}{\rm T}{}_{\text{s}}<{\rm T}{}_{\text{e}}\\ L={\rm T}{}_{\text{s}}-{\rm T}{}_{\text{e}}\end{array}$

L为城际列车的运营时间段; 在此时间段内该线路上总的出行人数为N; 该线路的每趟列车的额定载客能力为V; 该时间段内线路上开行的总的列车趟次为n; 每趟列车的出发时间分别是T₁、T₂、…、T_n

$\begin{array}{l}{\rm T}{}_i\in [{\rm T}{}_{\text{s}},{\rm T}{}_{\text{e}}]\\ {\rm T}{}_a>{\rm T}{}_b(a>b)\end{array}$

当前的运营时刻表为

${\rm T}=\{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_2,\cdots ‚{\rm T}{}_n\}$

另外每开行一趟次城际列车铁路企业的运营成本费用记为o_b; 旅客的最佳期望出行时间t^*以密度f (t^*) 均匀分布在运营时间段[T_s, T_e]内, 即旅客的期望出行时刻是连续的。

旅客为了能乘坐某趟列车, 不能按其最佳的期望出行时间出行, 而需要提前出行, 提前到达目的地, 或由于乘坐该次列车而晚于规定时间到达目的地, 则会给其带来不便。此不便的程度在这里用计划延误费用D表示, 记旅客为了乘坐第i趟列车, 需要提前出发, 则由此而引起的计划延误费用为

$\begin{array}{l}C{}_{\text{E}}(t{}^{*}-{\rm T}{}_i)>0\\ t{}^{*}>{\rm T}{}_i\end{array}$

相应的, 由于推迟到达目的地而导致的计划延误费用为

$\begin{array}{l}C{}_{\text{L}}({\rm T}{}_i-t{}^{*})>0\\ t{}^{*}<{\rm T}{}_i\end{array}$

当旅客的期望出行时间与车辆到达时刻一致, 即

$t{}^{*}={\rm T}{}_i$

时, 相应的计划延误费用为0。

2.   优化模型

2.1   旅客费用分析

旅客的出行费用包括计划延误费用D、购买车票费用、列车旅行时间费用以及车内费用等。计划延误费用D为旅客提前出行或在车站等待带来不便, 车内拥挤所带来的不舒适性可记为车内费用I。由于铁路的车票价格、列车的旅行时间一般是固定不变的, 因此在这里不考虑这些费用, 则旅客的出行费用就分为两部分: 计划延误费用D与车内费用I。每个出行者都会选择计划延误费用最小的列车, 期望出行时间为

$t{}^{*}\in ({\rm T}{}_i,{\rm T}{}_{i+1})$

的旅客按如下规则选择列车

$\{\begin{array}{cc}C{}_{\text{E}}(t{}^{*}-{\rm T}{}_i)<C{}_{\text{L}}({\rm T}{}_{i+1}-t{}^{*})\hfill & (\text{选}\text{择}\text{列}\text{车}i)\hfill \\ C{}_{\text{E}}(t{}^{*}-{\rm T}{}_i)>C{}_{\text{L}}({\rm T}{}_{i+1}-t{}^{*})\hfill & (\text{选}\text{择}\text{列}\text{车}i+1)\hfill \end{array}$

显然t^* < T₁的旅客选择乘坐第1趟列车, t^* > L的旅客会选择最后一趟列车n。同时记期望出行时间为t_{i, i+1}^*的旅客可任意选择一趟列车, 此时有

$\begin{array}{l}C{}_{\text{E}}(t{}_{i,i+1}^{*}-{\rm T}{}_i)=C{}_{\text{L}}({\rm T}{}_{i+1}-t{}_{i,i+1}^{*})(1)\\ \{\begin{array}{l}t{}_{0,1}^{*}={\rm T}{}_{\text{s}}\\ t{}_{n,n+1}^{*}={\rm T}{}_{\text{e}}\end{array}\end{array}(2)$

显然, C_E (x) 和C_L (x) 均应为增函数, 则当旅客的出行时间

$t{}^{*}\in [{\rm T}{}_i,t{}_{i,i+1}^{*})$

时, 该旅客选择乘坐列车i; 若

$t{}^{*}\in (t{}_{i,i+1}^{*},{\rm T}{}_{i+1}]$

则选择乘坐列车i+1;当

$t{}^{*}=t{}_{i,i+1}^{*}$

时, 可以任意选择乘坐列车i或者列车i+1。

若给定一个时刻表

${\rm T}=\{{\rm T}{}_1,{\rm T}{}_2,\cdots ‚{\rm T}{}_n\}$

则旅客总的计划延误费用为

$D=\delta {\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}}$ ∫Titi-1, i*CL (Ti-t) f (t) dt+∫ti, i+1*TiCE (t-Ti) f (t) dt (3)

式中: 等号右边括号内的第1项表示乘坐列车i的用户由于迟到而引起的计划延误费用, 第2项则表示乘坐列车i的用户由于早到而引起的计划延误费用; δ为转换因子, 使得D能与其他费用在单位上保持一致。

对于第i趟列车, 其旅客的车内费用I_i, 即旅客在该车内由于拥挤而带来不舒适的成本, 可以使用下面的罚函数形式来表示^[3]

${\rm I}{}_i=\mu \left[{\displaystyle {\int }_{t{}_{i-1,i}}^{t{}_{i,i+1}}f}(t)\text{d}t/V\right]{}^r(4)$

即旅客所感受到的不舒适程度, 与乘坐列车i的旅客数目成正比关系。上式中μ为转换因子, 使上式能与其他费用在单位上统一。总的旅客的车内费用为

${\rm I}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm I}}{}_i(5)$

2.2   运营者费用分析

运营者即铁路企业的费用主要包括车票收入和开行成本, 与前面类似, 在这里不考虑其车票收入, 且由假设可知, 每趟列车的成本为固定值o_b, 则铁路企业总的运营成本为

${\rm O}=o{}_{\text{b}}n(6)$

2.3   模型的建立

综上, 公交化城际列车的最优时刻表的数学模型可以表示为

$\begin{array}{l}\min C=D+{\rm I}+\lambda {\rm O}\\ \text{s}.\text{t}.{\rm T}{}_i\in [{\rm T}{}_{\text{s}},{\rm T}{}_{\text{e}}]\end{array}$

目标函数中的λ为权重因子, 当λ > 1时, 决策者注重节约企业运营成本; 当λ < 1时, 决策者注重考虑旅客需求; 当λ=1时, 用户费用和企业成本处于相同重要水平。

3.   模型分析与求解

由前面假设, T₁~T_n必须满足一个固定的间隔时间, 该间隔时间应为$\frac{L}{n}$, 则有

${\rm T}{}_{i+1}={\rm T}{}_i+\frac{L}{n}(7)$

因此只要求得T₁和最佳间隔时间$\frac{L}{n}$, 即可确定最优的城际列车时刻表。

而在对上述问题进行求解之前, 还必须要确定旅客出行延误费用的具体函数形式。在该类型问题的研究中, 有多种的函数形式曾被采用, 在这里, 采用文献[4]中所采用的形式

$\{\begin{array}{l}C{}_{\text{E}}(x)=\beta x{}^w\\ C{}_{\text{L}}(x)=\gamma x{}^w\end{array}(8)$

式中: w、β、γ均为大于0的常数。从合理的角度来看, 显然应该有γ > β, 因为对于旅客而言, 迟到所引起的延误费用一般会大于早到所引起的延误费用。

联系式(1)、(2)、(7)、(8), 很容易得到

$t{}_{i,i+1}^{*}={\rm T}{}_i+\frac{L}{n}\frac{1}{1+(\beta /\gamma ){}^{1/w}}(9)$

由前面假设, 旅客的出行在[0, L]内服从均匀分布, 即其期望出行时间t^*的密度函数为

$\begin{array}{l}f(t{}^{*})=\frac{{\rm N}}{L}(10)\\ t{}^{*}\in [{\rm T}{}_{\text{s}},{\rm T}{}_{\text{e}}]\end{array}$

则由极值条件

$\frac{\partial C}{\partial {\rm T}{}_1}=0$

同时联系式(2)、(4), 可以求得T₁

${\rm T}{}_1={\rm T}{}_{\text{s}}+\frac{1}{1+(\gamma /\beta ){}^{1/w}}\frac{L}{n}(11)$

由此可知

${\rm T}{}_i={\rm T}{}_{\text{s}}+\left[i-\frac{1}{1+(\beta /\gamma ){}^{1/w}}\right]\frac{L}{n}(12)$

联系式(9)、(12), 又可以得到

$t{}_{i,i+1}^{*}={\rm T}{}_{\text{s}}+i\frac{L}{n}(13)$

根据前面假设, 列车发车时刻具有等间距的特征, 且乘客的出行时间服从均匀分布, 则乘坐任意一趟列车的乘客出行费用是相等的, 因此总的旅客出行费用可以使用一趟列车所引起的费用乘以总的开行趟次求得。

由式(2) ~ (4)、(11) 可知乘坐第1趟列车的旅客的出行费用为

则总的旅客出行费用为

$\begin{array}{l}U=U{}_{1}n=\frac{\delta }{1+w}\frac{\beta \gamma }{(\beta {}^{1/w}+\gamma {}^{1/w}){}^w}\left(\frac{L}{n}\right){}^w\cdot \\ {\rm N}+\mu \left(\frac{{\rm N}}{V}\right){}^{r}n{}^{1-r}(15)\end{array}$

可得

式(16) 是一个关于n的一元多次方程, 可以通过很多数学方法求解, 在此不再详述。若令

$r=w+1$

则可以求得最优开行趟次n⁰为

由式(17) 可知, 最优的列车开行趟次n⁰是出行旅客数量N和运营时间范围L的增函数, 同时也是每趟次列车开行成本o_b以及权重因子λ的减函数。

将求得的n⁰代入式(11) 中, 可求得T₁, 又有发车间隔时间为$\frac{L}{n}$, 从而可以很容易的求得城际列车的最优运营时刻表。

4.   算例

假设某城际列车线路的运营时间段为[7:00, 22:00], 即L为15 h, 在该时间段内总的出行人数N为40 000人, 每趟列车的容量为1 000人, 并取β为4, γ为12.6, λ为1, δ为6, μ为4, w为2, r为3, 每趟次列车的开行成本o_b为2 000元, 由式(11)、(17) 分别可求得该时段内的最优开行趟次n⁰为30, 首发时间为0.168 h。

表 1列出了城际列车在实际运营中的各项费用值及列车首发时刻随列车开行趟次n变化的情况。其中用户总的计划延误费用D以及车内费用I随着列车开行趟次n的增加而逐渐减少, 铁路企业的开行成本则随着n的增加而直线上升, 总的费用C则随着n的增大先减小后增大。

从表 1的数据中可以看到, 在总的费用值C最小时, 可以得到该线路的最优开行趟次n⁰为30, 这与前面公式计算的结果相符。此时相应的旅客总的延误费用D为28 475.6元, 车内费用I为284.4元, 铁路企业的成本费用O为60 000.0元, 总费用C为88 760.0元, 列车首发时间为0.168 h, 发车间隔时间$\frac{L}{n{}^0}$为0.5 h, 由此可得该线路城际列车实际的运营时刻表, 即实际首发时刻

${\rm T}{}_1=7:00+0.168\times 60=7:10$

以后每隔半小时发车一趟, 在运营时间区段内共开行30趟次。也可由式(7) 或式(12) 计算求得T_i (i=1, 2, …, 30), 从而得到整个的城际列车运营时刻表。当参数λ取其他值时, 也很容易求得相关数据, 就不再计算举例。

表  1  计算结果

Table  1.  Computational result  /元

n	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34
	41 004.9	37 911.3	35 155.1	32 688.8	30 473.3	28 475.6	26 668.1	25 027.4	23 533.5	22 169.6
I	409.6	378.7	351.2	326.5	304.4	284.4	266.4	250.0	235.1	222.5
O	50 000	52 000	54 000	56 000	58 000	60 000	62 000	64 000	66 000	68 000
T1	0.202	0.194	0.187	0.180	0.174	0.168	0.163	0.158	0.153	0.148
C	91 414.5	90 290.0	89 506.2	89 015.4	88 777.7	88 760.0	88 934.5	89 277.4	89 768.6	90 391.0

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但是, 对于模型的目标函数中的参数的取值大小, 需要做进一步的分析。根据目标函数表达式可以知道, 当λ越大, 相关决策者就会越注重节约运输企业的运营成本, 而当λ越小时, 决策者更多的是为旅客考虑, 因此可以说, λ的取值大小, 在一定程度上代表了城际列车服务水平的高低, 在目前客运市场竞争激烈的程度下, λ取值不宜过大。根据式(16), 很容易得到

$\frac{\partial n}{\partial \lambda }<0$

即n是关于λ的减函数, 则当λ越小, 城际列车的开行频率越高, 从而铁路企业总的开行成本越高, 考虑到企业效益问题, λ取值也不能过小。

在实际的应用中, 对于λ的取值, 应综合考虑铁路企业的开行成本、市场的需求情况以及竞争的激烈程度等多种因素。

5.   结语

本文在假设研究的时间段旅客出行时间服从均匀分布的前提下, 建立了公交化城际列车运营时刻表的优化模型。该模型综合考虑了旅客的利益和铁路企业的利益, 最后对模型进行了分析求解, 并给出了1个简单的算例进行计算分析, 证明了方法的有效性。另外, 由于实际中的旅客出行分布具有波动的特性, 因此在实际应用中, 可以将城际列车1天之内总的运营时间段, 根据旅客的出行特点, 划分为多个时间段, 并使每一个时间段中的旅客出行规律基本符合均匀分布的特性, 这样进行分段研究, 然后将得到的各个时间段内的时刻表组合, 即可得总体的运营时刻表。本文所提出的分析方法对寻找最优的公交化城际列车的运营时刻表提供一定的科学依据, 但是它是从计划制定的角度对时刻表进行的优化设计, 而在实际的时刻表制定过程中, 涉及的相关因素还很多, 决策者对按照前面方法而得到的运营时刻表方案, 可能还需要联系实际情况进行一些调整, 以适应其他如行车组织、设备、人员等方面的特殊状况。另外, 对于模型中某些参数的取值, 还需要做进一步的探讨和分析。