0.   引言

由于固有的疲劳性能随机性^[1], 疲劳分析必须应用概率模型才有价值。现有概率模型^[2,3]一般是在随机化(如Paris模型^[4])基础上发展起来的

$\text{d}a/\text{d}{\rm N}=D(\text{Δ}{\rm K}){}^m(1)$

式中: D、m为材料常数。但是, 物理上的疲劳长裂纹扩展是图 1所示从启裂(临界点用门槛值ΔK_th来度量)到断裂(临界点用断裂韧度K_IC来度量)的连续过程。

图  1  疲劳长裂纹扩展规律

Figure  1.  Propagation rule of long fatigue crack

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Forman^[5]考虑临界断裂时刻的疲劳循环比R效应, 以(1-R)K_IC当量断裂韧度(K_IC)的作用, 提出了如下形式的方程

$\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}=D\frac{(\text{Δ}{\rm K}){}^m}{(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}}-\text{Δ}{\rm K}}(2)$

Elber引入有效应力强度因子ΔK_eff(ΔK_op是裂纹张开应力强度因子), 将裂纹扩展率方程表示为

$\begin{array}{l}\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{o}\text{p}}\\ \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}=D(\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{e}\text{f}\text{f}}){}^m=D(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{o}\text{p}}){}^m(3)\end{array}$

赵永翔^[6]则推广ΔK_eff为

$\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}}$

发展了如下Elber型扩展率方程

$\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}=D(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}}){}^m(4)$

在处理LZ50钢的扩展率数据时, 进一步提出了如下考虑R效应的长裂纹扩展率模型, 并进一步发展了概率模型^[6]

$\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}=D\left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}})}{1-R}\right]{}^m(5)$

但在分析RD₂车轴的安全性时发现, 上述疲劳裂纹扩展率模型都无法完全描述图 1物理过程, 因而发展了如下可以从数学上描述这一物理过程的新模型^[6]

$\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}=D\frac{1}{(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}}-\text{Δ}{\rm K}}\left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}})}{1-R}\right]{}^m(6)$

本文基于该模型, 提出了概率新模型, 并通过对LZ50钢试验数据的分析来验证此模型。

1.   存活概率模型

对式(6)两边取对数并整理可得

$\begin{array}{l}\lg \left\{\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}[(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}}-\text{Δ}{\rm K}]\right\}=\text{l}\text{g}D+\\ m\text{l}\text{g}\left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}})}{1-R}\right](7)\\ \text{令}\text{l}\text{g}D=A\\ m=B\\ X=\lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}})}{1-R}\right](8)\\ \lg \left\{\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}[(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}}-\text{Δ}{\rm K}]\right\}=Y(9)\end{array}$

可得线性方程

$Y=A+BX(10)$

式中线性拟合试验(da/dN)_i-ΔK_i数据和K_IC均值K_ICav, 可获得均值曲线式(11)的基本参数A_av、B_av、ΔK_thav和线性方程拟合试验数据的残余均方差s。

当给定ΔK下的da/dN服从对数正态分布, 概率da/dN-ΔK关系可用对数da/dN值的均值和均方差曲线来表征

$\begin{array}{l}\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{a}\text{v}}=A{}_{\text{a}\text{v}}+B{}_{\text{a}\text{v}}\lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}\text{a}\text{v}})}{1-R}\right]-\\ \lg [(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}\text{a}\text{v}}-\Delta \text{Κ}](11)\\ \left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{0.841}=A{}_{0.841}+B{}_{0.841}\lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}0.841})}{1-R}\right]-\\ \lg [(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}0.841}-\Delta \text{Κ}](12)\\ \left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}}=\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{0.841}-\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{a}\text{v}}(13)\end{array}$

式中: [lg(da/dN)]_av和[lg(da/dN)]_rms分别为lg(da/dN)的均值和均方差; 下标0.841为存活概率0.841259;A_0.841、B_0.841、K_IC0.841和ΔK_{th 0.841}为存活概率0.841259下扩展率方程中相应材料常数, 可采用如下方法测定。

当给定ΔK下的对数da/dN服从正态分布时, 根据n次独立试验所得lg(da/dN)_i数据, 可建立包含上述4个参数的似然函数

$\begin{array}{l}L={\displaystyle \prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\text{π}}\left(\text{l}\text{g}\text{d}a/\text{d}{\rm N}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}i}}}\exp \{-\frac{1}{2}\cdot \\ \left\{\frac{\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_i-\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_{\text{a}\text{v}i}}{\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_{\text{r}\text{m}\text{s}i}}\right\}{}^2\}(14)\end{array}$

取对数可得

$\begin{array}{l}\text{l}\text{g}L=-{\displaystyle \sum _{i=1}^n\{\ln \sqrt{2\text{π}}+\ln \left[\left(\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}i}-\left(\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{a}\text{v}i}\right]+}\\ \frac{1}{2}\left\{\frac{\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_i-\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_{\text{a}\text{v}i}}{\left(\text{d}a/\text{d}{\rm N}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}i}-\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_{\text{a}\text{v}i}}\right\}\}(15)\end{array}$

测定统计分布参数使上式最大, 即使下式最小

$\begin{array}{l}F={\displaystyle \sum _{i=1}^n\{\ln \left[\left(\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}i}-\left(\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{a}\text{v}i}\right]+}\\ \frac{1}{2}\frac{\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_i-\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_{\text{a}\text{v}i}}{\left(\text{d}a/\text{d}{\rm N}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}i}-\left[\lg (\text{d}a/\text{d}{\rm N})\right]{}_{\text{a}\text{v}i}}\}(16)\end{array}$

代入式(11)、(12), 利用数学规划法即可求解出参量A_0.841、B_0.841、K_{IC 0.841}和ΔK_{th 0.841}。

任意存活率P下的da/dN-ΔK曲线方程为

$\begin{array}{l}\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{{\rm P}}=\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{a}\text{v}}-{\rm Z}{}_{{\rm P}}\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}}=\\ (1-{\rm Z}{}_{{\rm P}})A{}_{\text{a}\text{v}}+{\rm Z}{}_{{\rm P}}A{}_{0.841}+(1-{\rm Z}{}_{{\rm P}})B{}_{\text{a}\text{v}}\cdot \\ \lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}\text{a}\text{v}})}{1-R}\right]+{\rm Z}{}_{{\rm P}}B{}_{0.841}\cdot \\ \lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}0.841})}{1-R}\right]-(1-{\rm Z}{}_{{\rm P}})\cdot \\ \lg [(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}\text{a}\text{v}}-\text{Δ}{\rm K}]-{\rm Z}{}_{{\rm P}}\cdot \\ \lg [(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}0.841}-\text{Δ}{\rm K}](17)\end{array}$

式中: Z_P是分布概率P下的正态分布百分位点。上式获得的曲线数据经重新拟合, 可得到如下形式存活概率da/dN-ΔK曲线方程

$\left(\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{{\rm P}}=D{}_{{\rm P}}\frac{1}{(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}{\rm P}}-\text{Δ}{\rm K}}\left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}{\rm P}})}{1-R}\right]{}^{m{}_{{\rm P}}}(18)$

2.   置信度模型

根据式(11)考虑样本量对概率评价的影响, 显著水平1-C(C为置信度)下da/dN-ΔK曲线的单侧上限方程为

$\begin{array}{l}\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_C=\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{a}\text{v}}+t{}_{1-C}(n{}_s-2)s\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\\ A{}_{\text{a}\text{v}}+B{}_{\text{a}\text{v}}\lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}\text{a}\text{v}})}{1-R}\right]-\lg [(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}\text{a}\text{v}}-\\ \text{Δ}{\rm K}]+t{}_{1-C}(n{}_s-2)s\sqrt{1+\frac{1}{n}}(19)\end{array}$

式中: n、n_s和t_1-C(n_s-2)分别是数据个数、样本(试样)个数和显著水平为1-C、自由度为n-2的t分布值。上式获得的曲线数据经重新拟合, 可得到如下形式的置信度da/dN-ΔK曲线方程

$\left(\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_C=D{}_C\frac{1}{(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}C}-\text{Δ}{\rm K}}\left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}C})}{1-R}\right]{}^{m{}_C}(20)$

3.   综合概率模型

存活概率模型考虑了试验数据分散性规律, 置信度模型考虑了样本量对概率评价的影响, 综合模型将二者一起考虑如下

$\begin{array}{l}\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{{\rm P}C}=\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{a}\text{v}}-{\rm Z}{}_{{\rm P}}\left(\lg \frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{\text{r}\text{m}\text{s}}+\\ t{}_{1-C}(n{}_s-2)s\sqrt{1+\frac{1}{n}}=(1-{\rm Z}{}_{{\rm P}})A{}_{\text{a}\text{v}}+{\rm Z}{}_{{\rm P}}A{}_{0.841}+\\ (1-{\rm Z}{}_{{\rm P}})B{}_{\text{a}\text{v}}\lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}\text{a}\text{v}})}{1-R}\right]+{\rm Z}{}_{{\rm P}}B{}_{0.841}\cdot \\ \lg \left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}0.841})}{1-R}\right]-(1-{\rm Z}{}_{{\rm P}})\lg [(1-R)\cdot \\ {\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}\text{a}\text{v}}-\text{Δ}{\rm K}]-{\rm Z}{}_{{\rm P}}\lg [(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}0.841}-\text{Δ}{\rm K}]+\\ t{}_{1-C}(n{}_s-2)s\sqrt{1+\frac{1}{n}}(21)\end{array}$

上式获得的曲线数据经重新拟合, 可得到如下形式的综合概率da/dN-ΔK曲线方程

$\left(\frac{\text{d}a}{\text{d}{\rm N}}\right){}_{{\rm P}C}=\frac{D{}_{{\rm P}C}}{(1-R){\rm K}{}_{\text{Ι}\text{C}{\rm P}C}-\text{Δ}{\rm K}}\left[\frac{2(\text{Δ}{\rm K}-\text{Δ}{\rm K}{}_{\text{t}\text{h}{\rm P}C})}{1-R}\right]{}^{m{}_{{\rm P}C}}(22)$

4.   应用

应用上述模型拟合样本量n_s为17, 循环比R为0.1, 数据对数n为174, K_ICav为1 341.06的铁道车辆LZ50车轴钢^[7]疲劳裂纹试验数据, 得到模型基本参数n、n_s、A_av、B_av、ΔK_thav、K_ICav、A_0.841、B_0.841、ΔK_th0.841、K_IC0.841和s分别为174、17、-5.616 57、1.525 49、78.273 6、1 341.06 MPa·mm^1/2、-5.488 09、1.500 94、72.278 1、1 335.43 MPa·mm^1/2和0.213 774。

图 2~4分别给出了典型LZ50钢存活概率da/dN-ΔK曲线、置信度da/dN-ΔK曲线和综合概率da/dN-ΔK曲线, 从图中可知, 这些曲线良好地描述了LZ50钢的长疲劳裂纹扩展行为。表 1给出了典型P和C下LZ50钢的模型参数。

图  2  存活概率曲线

Figure  2.  Survival probability curves

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图  3  置信度曲线

Figure  3.  Confidence curves

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图  4  综合概率曲线(C=95%)

Figure  4.  Synthetic curves of 95% confidence

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表  1  模型参数

Table  1.  Typical parameters of models

P	C/%	DPC(×10-5)	mPC	ΔKthPC/MPa·mm1/2	KICPC/MPa·mm1/2
0.5	50	0.241 788	1.525 5	78.273 6	1 341.06
	90	0.066 577	1.849 1	70.327 7	1 320.86
	95	0.049 553	1.928 9	67.895 8	1 314.68
	99	0.028 795	2.080 3	62.917 0	1 302.02
0.9	50	0.248 99	1.576 1	70.655 9	1 321.69
	90	0.118 29	1.800 1	62.710 0	1 301.49
	95	0.097 15	1.862 5	60.278 1	1 295.31
	99	0.066 94	1.984 6	55.299 2	1 282.65
0.99	50	0.431 44	1.524 9	64.445 4	1 305.90
	90	0.259 28	1.707 9	56.499 5	1 285.70
	95	0.225 83	1.760 5	54.067 6	1 279.52
	99	0.173 63	1.864 3	49.088 8	1 266.86
0.999	50	0.777 06	1.456 43	59.904 8	1 294.36
	90	0.535 57	1.616 34	51.958 9	1 274.16
	95	0.484 06	1.662 76	49.527 0	1 267.98
	99	0.399 63	1.754 96	44.548 1	1 255.32

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5.   结果分析

从图 2~4可知, 本文完成现有规范中涉及裂纹问题的ΔK_th、da/dN-ΔK和K_IC所有试验工作, 但仍然没有给出向K_IC过渡区间高ΔK、高da/dN范围的试验数据, 原因如下。

(1) K_IC是由满足平面应变状态试样测定的瞬时断裂临界值, 而用来测定da/dN-ΔK数据的试样一般不满足平面应变条件。要解决有关问题, 需要拿出如何根据材料K_IC参数合理确定试样几何形状, 施加试验载荷, 获得向K_IC过渡区间试验da/dN-ΔK数据的方法及规范, 但目前还无法实现。

(2) 从理论上讲, 直接采用测定K_IC的试样来测定da/dN和ΔK_th, 可获得从裂纹启裂到试样断裂的da/dN-ΔK数据。但这在现实中是无法行得通的, 因为费用或机器精度等原因, 一般工程材料即使可以实施测定, 但所需花费也难以承受; 对某些材料可能根本无法实现da/dN-ΔK曲线的测定, 这一做法在工程和学术上都不可取。

(3) 从可应用性角度, 一个da/dN-ΔK关系模型, 其参数不能根据现有规范化试验结果测定, 就失去了赖以生存的基础, 所以, 在现有包含K_IC的da/dN-ΔK关系如38年前提出的Forman模型^[5], 人们把注意力放在模型纳入参数K_IC后, 能否反应图 1长裂纹扩展的趋势, 无人探索如何获得或给出了高ΔK和高da/dN范围向K_IC过渡区间的试验da/dN-ΔK数据。

图 5~7分别比较了本文新模型与Paris模型、Elber模型和Forman模型均值曲线对LZ50钢试验数据的拟合效果。从图中可以看出, Paris模型不能很好描述较低和稍高ΔK范围的da/dN-ΔK关系及其趋于(1-R)K_IC的规律; Elber模型不能反映趋于(1-R)K_IC的规律; Forman模型能反映趋于(1-R)·K_IC的规律, 但不能描述较低和稍高ΔK范围的da/dN-ΔK关系; 本文新模型具有明显的进步。

图  5  本文模型和Paris模型比较

Figure  5.  Comparison of presented model and Paris model

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图  6  本文模型和Elber模型比较

Figure  6.  Comparison of presented model and Elber model

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图  7  本文模型和Forman模型比较

Figure  7.  Comparison of presented model and Forman model

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6.   结语

基于能概全门槛值和断裂韧度及循环比的疲劳长裂纹扩展率新模型, 考虑数据分散性规律和试样数量两方面对概率评价的影响, 同时考虑存活概率和置信度, 发展了表征随机疲劳长裂纹扩展随机性的新概率模型, 通过对LZ50车轴钢试验数据的分析, 说明了模型的有效性及较现有模型的优越性。