船舶进出港低速航向保持

张显库; 肖惟楚; 郭晨

船舶进出港低速航向保持

大连海事大学航海动态仿真和控制实验室, 辽宁大连 116026

基金项目:

国家自然科学基金项目 60474014

高等学校博士学科点专项科研基金项目 2004015l007

交通部基础研究项目 200432922504

详细信息

作者简介:
张显库(1968-)，男，辽宁辽阳人，大连海事大学教授，博士，从事船舶运动控制研究

中图分类号: U666.153
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出版历程
- 收稿日期: 2005-07-17
- 刊出日期: 2005-12-25

Course-keeping of inward-and-outward low speed ship

Laboratory of Simulation and Control of Navigation Systems, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China

More Information

Author Bio:
Zhang Xian-ku(1968-), male, PhD, professor, 86-411-84729572, zhangxk@dlmu.edu.cn

Article Text (Baidu Translation)

摘要

摘要: 为了在船舶进出港时, 船舶处于浅水域并以低速航行, 在风、浪等强扰动作用下, 增强航向控制性能, 减小能源损耗, 选择三阶Nomoto模型, 将航速和水深变化反映到模型参数的变化上, 基于闭环增益成形算法设计出一种具有适应性的鲁棒PID控制器, 建立基于风、浪干扰的非线性船舶运动数学模型, 并用S函数来实现。用PID控制器对非线性船舶运动数学模型进行控制, 在Simulink环境中对各种水深、船速及海况进行航向控制仿真。从仿真曲线可看出其航向跟踪效果良好, 静差为0, 且施舵合理, 所设计的控制器对非线性船舶运动数学模型具有良好的控制性能。
- 交通控制 /
- 低速航行 /
- 浅水效应 /
- 航向保持 /
- Nomoto模型 /
- 闭环增益成形
Abstract: In order to improve ship control performance, reduce ship energy consumption when ship navigates at low speed in inward-and-outward shallow water under strong wind and wave disturbance, third-order Nomoto model was chosen, ship speed and water depth were reflected into the changes of its parameters, a robust PID controller with adaptability based on closed-loop gain shaping algorithm was designed.The nonlinear mathematical model of ship motion with wind and wave disturbance was built and realized through programming its S-function.The designed PID controller was used to control the nonlinear mathematical model of ship motion in the conditions of various water depths, ship speeds and sea states.The simulation result shows that the course-tracking effect is satisfactory, the steady state error is zero, the rudder angle is reasonable, and the designed controller has good performance for the nonlinear mathematical model.
- traffic control /
- low speed navigating /
- shallow water effect /
- course-keeping /
- Nomoto model /
- closed-loop gain shaping

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0. 引言

板式轨道是20世纪60年代在日本新干线高速铁路上发展起来的一种新型轨道结构, 主要在日本铁路中使用, 中国在秦沈客运专线部分地段也铺设了板式轨道。长期以来, 有关板式轨道的研究多限于静力学分析。文献[1]将轨道板划分为许多三角形单元, 用有限元法^[2]对板式轨道进行了静力分析。文献[3]用有限元法研究了单个和多个移动荷载下连续粘弹性基础支承长梁的动力响应。本文用有限元法分析板式轨道在移动荷载作用下的动力响应。板式轨道因其结构左右对称, 故可取一股钢轨进行研究。为了简化计算, 视板式轨道为钢轨为离散粘弹性支点支承的长梁, 轨道板为连续粘弹性基础支承的短梁, 见图 1。本文视板式轨道及移动荷载为一个系统, 运用弹性系统动力学总势能不变值原理^[4~6]及形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立该系统的振动方程组, 研究了移动荷载的速度、钢轨的类型和钢轨支点的弹性系数对钢轨及轨道板动力响应的影响。

图 1 板式轨道模型

Figure 1. Model of slab track

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1. 系统振动方程组的建立

文献[8]对建立系统振动方程的3种方法: 弹性系统动力学总势能不变值原理、Hamilton原理和Lagrange方程进行了比较分析, 指出了弹性系统动力学总势能不变值原理的正确性及优越性。由弹性系统动力学总势能不变值原理, 建立的系统有限元形式振动方程组为

$[Μ] {\ddot{q}} + [C] {\dot{q}} + [Κ] {q} = {F (t)} (1)$

式中: [M]、[C]、[K]分别为系统质量、阻尼、刚度矩阵; ${\ddot{q}}$ 、 ${\dot{q}}$ 、{q}分别为系统加速度、速度、位移列阵; {F (t) }为系统的节点荷载列阵。

1.1 单元划分和梁单元形函数

对于板式轨道, 钢轨(以下称为上层长梁) 总长为L, 梁单元长度取为上层长梁离散支点的间距, 用l表示, 设上层梁单元数为n₁个, 则节点数为n₁+1个。为计算方便, 所取的梁单元长度相等, 节点的位移为坐标轴内的竖向位移和转角位移, 忽略轴向变形, 则上层梁的自由度数为2n₁+2个(暂不考虑上层梁的边界条件)。轨道板(以下称为下层短梁) 单元长度有2种, 每一根短梁端部两侧单元长度取为l/2, 其他单元长度取为l。忽略轴向变形, 只计节点在坐标轴内的竖向位移和转角位移, 设整个下层梁的单元数为n₂个, 整个下层梁的节点数为n₃个, 则整个下层梁的自由度数为2n₃个(暂不考虑下层梁的边界条件), 那么, 系统的总自由度数为2 (n₁+n₃+1) 个。梁单元的节点力为剪力Q和弯矩M, 单元的节点位移为竖向位移y和转角位移y′ (小变形情况, 转角位移可视为竖向位移的一阶导数), 梁单元的节点力和节点位移见图 2, 图中节点力和节点位移的方向均为正。

图 2 梁单元的节点力和节点位移

Figure 2. Node forces and node displacements of beam element

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梁单元弯曲形函数采用Hermitian 3次方插值函数, 在发生弯曲变形时, 梁单元内任一点的竖向位移y (x) 可用节点的竖向位移和转角位移表示

$\begin{array}{l} y (x) = [Ν] {q_{i}}^{e} (2) \\ [Ν] = [Ν_{1} Ν_{2} Ν_{3} Ν_{4}] \\ {q_{i}}^{e} = [y_{i} y^{'}_{i} y_{i + 1} y^{'}_{i + 1}]^{Τ} \\ Ν_{1} = 1 - 3 (x / l)^{2} + 2 (x / l)^{3} \\ Ν_{2} = x - 2 x^{2} / l + x / l^{2} \\ Ν_{3} = 3 (x / l)^{2} - 2 (x / l)^{3} \\ Ν_{4} = - x^{2} / l + x^{3} / l^{2} \end{array}$

1.2 系统参数计算

根据弹性系统动力学总势能不变值原理^[4~6], 系统刚度矩阵、阻尼矩阵、质量矩阵、节点荷载列阵可由系统总势能的一阶变分导出。对于外荷载作用下的板式轨道整个系统, 将该系统进行有限元离散后, 系统总势能Π可用下式表示

Π=∑U_ui+∑U_lj+∑U_di+∑U_cj+

∑V_ui+∑V_lj+∑V_di+∑V_cj+V (3)

式中: U_ui为第i个上层梁单元(以下简称为第i个单元) 的弯曲应变能; U_lj为第j个下层梁单元(以下简称为第j个单元) 的弯曲应变能; U_di为第i个单元与第j个单元之间离散支点的弹簧应变能; U_cj为第j个单元下部的连续弹性基础应变能; V_ui为第i个单元的惯性力势能; V_lj为第j个单元的惯性力势能; V_di为第i个单元与第j个单元之间离散支点的粘滞阻尼力势能; V_cj为第j个单元下部的连续基础粘滞阻尼力势能; V为外荷载势能。

1.2.1 系统刚度矩阵的建立

第i个单元的弯曲应变能为

$U_{u i} = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} E_{u} Ι_{u} [y^{″}_{u} (x)]^{2} d x$

式中: E_u为上层梁的弹性模量; I_u为上层梁对水平轴的惯性矩; y″_u (x) 为上层梁单元内某点的曲率。对U_ui变分, 可以得到上层梁单元的弯曲刚度矩阵[k_u]^e, 即

$\begin{array}{l} δ U_{u i} = δ {q_{u i}}^{e Τ} [k_{u}]^{e} {q_{u i}}^{e} (4) \\ {q_{u i}}^{e} = [y_{u i} y^{'}_{u i} y_{u (i + 1)} y^{'}_{u (i + 1)}]^{Τ} \\ [k_{u}]^{e} = E_{u} Ι_{u} \int_{0}^{l} [Ν^{″}]^{Τ} [Ν^{″}] d x = E_{u} Ι_{u} \cdot \\ [\begin{matrix} 12 / l^{3} & 6 / l^{2} & - 12 / l^{3} & 6 / l^{2} \\ 6 / l^{2} & 4 / l & - 6 / l^{2} & 2 / l \\ - 12 / l^{3} & - 6 / l^{2} & 12 / l^{3} & - 6 / l^{2} \\ 6 / l^{2} & 2 / l & - 6 / l^{2} & 4 / l \end{matrix}] (5) \end{array}$

式中: {q_ui}^e为第i个单元的节点位移矢量列阵; δ{q_ui}^eT为{q_ui}^e的一阶变分的转置; [k_u]^e为上层梁单元的弯曲刚度矩阵.

同理得第j个单元弯曲应变能U_lj变分表达式

$\begin{array}{l} δ U_{l j} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [k_{l}]^{e} {q_{l j}}^{e} (6) \\ {q_{l j}}^{e} = [y_{l j} y^{'}_{l j} y_{l (j + 1)} y^{'}_{l (j + 1)}]^{Τ} \end{array}$

式中: {q_lj}^e为第j个单元的节点位移矢量列阵; δ{q_lj}^eT为{q_lj}^e的一阶变分的转置; [k_l]^e为下层梁单元的弯曲刚度矩阵, [k_l]^e的表达式与式(5) [k_u]^e相似, 只需将式(5) 中的E_uI_u换成E_lI_l即可, E_l为下层梁的弹性模量, I_l为下层梁对水平轴的惯性矩。第i个单元与第j个单元之间支点的弹簧应变能为

$U_{d i} = \frac{1}{2} k_{d} [(y_{u i} - y_{l j})^{2} + (y_{u (i + 1)} - y_{l (j + 1)})^{2}]$

式中: k_d为上下层梁之间离散支点弹簧的弹性系数; y_lj、y_{l (j+1)} 分别为第j个单元2个节点的竖向位移。

对U_di变分, 有

δU_di=k_d (y_ui-y_lj) (δy_ui-δy_lj) +k_d (y_{u (i+1)} -y_{l (j+1)} ) (δy_{u (i+1)} -δy_{l (j+1)} ) =δy_uik_dy_ui+δy_{u (i+1)} k_dy_{u (i+1)} +δy_ljk_dy_lj+δy_{l (j+1)} k_dy_{l (j+1)} -δy_uik_dy_lj-δy_ljk_dy_ui-δy_{u (i+1)} k_dy_{l (j+1)} -δy_{l (j+1)} k_dy_{u (i+1)} (7)

第j个单元下部的连续弹性基础应变能为

$U_{c j} = \int_{0}^{l} \frac{1}{2} k_{c} [y_{l} (x)]^{2} d x$

式中: k_c为连续弹性基础的弹性系数; y_l (x) 为下层梁单元内某点的竖向位移。对连续弹性基础应变能U_cj变分, 可以得到连续弹性基础贡献的单元刚度矩阵[k_c]^e, 即

$\begin{array}{l} δ U_{c j} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [k_{c}]^{e} {q_{l j}}^{e} (8) \\ [k_{c}]^{e} = k_{c} \int_{0}^{l} [Ν]^{Τ} [Ν] d x = \frac{k_{c} l}{420} \cdot \\ [\begin{matrix} 156 & 22 l & 54 & - 13 l \\ 22 l & 4 l^{2} & 13 l & - 3 l^{2} \\ 54 & 13 l & 156 & - 22 l \\ - 13 l & - 3 l^{2} & - 22 l & 4 l^{2} \end{matrix}] (9) \end{array}$

将式(4)、式(6) ~ (8) 按形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立系统的刚度矩阵[K]。

1.2.2 系统阻尼矩阵的建立

第i个单元与第j个单元之间离散支点的粘滞阻尼力势能为

$\begin{array}{l} V_{d i} = c_{d} [(\dot{y}_{u i} - \dot{y}_{l j}) (y_{u i} - y_{l j}) + (\dot{y}_{u (i + 1)} - \dot{y}_{l (j + 1)}) \cdot \\ (y_{u (i + 1)} - y_{l (j + 1)}] \end{array}$

式中: c_d为上下层梁之间离散支点的粘滞阻尼系数; $\dot{y}_{u i}$ 和 $\dot{y}_{u (i + 1)}$ 分别为第i个单元两端节点的竖向速度; $\dot{y}_{l i}$ 和 $\dot{y}_{l (i + 1)}$ 分别为第j个单元两端节点的竖向速度。对V_di变分, 有

$\begin{array}{l} δ V_{d i} = c_{d} (\dot{y}_{u i} - \dot{y}_{l j}) (δ y_{u i} - δ y_{l j}) + c_{d} (\dot{y}_{u (i + 1)} - \dot{y}_{l (j + 1)}) \cdot \\ (δ y_{u (i + 1)} - δ y_{l (j + 1)}) = δ y_{u i} c_{d} \dot{y}_{u i} + δ y_{u (i + 1)} c_{d} \dot{y}_{u (i + 1)} + \\ δ y_{l j} c_{d} \dot{y}_{l j} + δ y_{l (j + 1)} c_{d} \dot{y}_{l (j + 1)} - δ y_{u i} c_{d} \dot{y}_{l j} - δ y_{l j} c_{d} \dot{y}_{u i} - \\ δ y_{u (i + 1)} c_{d} \dot{y}_{l (j + 1)} - δ y_{l (j + 1)} c_{d} \dot{y}_{u (i + 1)} (10) \end{array}$

第j个单元下部连续基础粘滞阻尼力势能为

$V_{c j} = \int_{0}^{l} c_{c} \dot{y}_{l} (x) y_{l} (x) d x$

式中: c_c为连续基础粘滞阻尼系数; $\dot{y}_{l} (x)$ 为下层梁单元内某点的竖向速度。对V_cj变分, 可以得到连续基础粘滞阻尼贡献的单元阻尼矩阵[c_c]^e

$\begin{array}{l} δ V_{c i} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [c_{c}]^{e} {\dot{q}_{l j}}^{e} (11) \\ {\dot{q}_{l j}}^{e} = [\dot{y}_{l j} {\dot{y}}^{'}_{l j} \dot{y}_{l (j + 1)} {\dot{y}}^{'}_{l (j + 1)}]^{Τ} \end{array}$

式中: ${\dot{q}_{l j}}^{e}$ 为第j个单元的节点速度矢量列阵。[c_c]^e的表达式与式(9) [k_c]^e相似, 只需将式(9) 中的k_c换成c_c即可。将式(10) 和式(11) 按形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立系统的阻尼矩阵[C]。

1.2.3 系统质量矩阵的建立

第i个上层梁单元的惯性力势能为

$V_{u i} = \int_{0}^{l} \bar{m}_{u} \ddot{y}_{u} (x) y_{u} (x) d x$

式中: $\bar{m}_{u}$ 为上层梁的单位长度质量; $\ddot{y}_{u} (x)$ 为上层梁单元内某点的加速度。对V_ui变分, 可以得到上层梁单元的质量矩阵[m_u]^e, 即

$\begin{array}{l} δ V_{u i} = δ {q_{u i}}^{e Τ} [m_{u}]^{e} {\ddot{q}_{u i}}^{e} (12) \\ {\ddot{q}_{u i}}^{e} = [\ddot{y}_{u i} {\ddot{y}}^{'}_{u i} \ddot{y}_{u (i + 1)} {\ddot{y}}^{'}_{u (i + 1)}]^{Τ} \end{array}$

$\begin{array}{l} [m_{u}]^{e} = \bar{m}_{u} \int_{0}^{l} [Ν]^{Τ} [Ν] d x = \frac{\bar{m}_{u} l}{420} \cdot \\ [\begin{matrix} 156 & 22 l & 54 & - 13 l \\ 22 l & 4 l^{2} & 13 l & - 3 l^{2} \\ 54 & 13 l & 156 & - 22 l \\ - 13 l & - 3 l^{2} & - 22 l & 4 l^{2} \end{matrix}] (13) \end{array}$

式中: ${\ddot{q}_{u i}}^{e}$ 为第i个单元的节点加速度矢量列阵。

同理得第j个单元惯性力势能V_lj变分表达式

$\begin{array}{l} δ V_{l j} = δ {q_{l j}}^{e Τ} [m_{l}]^{e} {\ddot{q}_{l j}}^{e} (14) \\ {\ddot{q}_{l j}}^{e} = [\ddot{y}_{l j} {\ddot{y}}^{'}_{l j} \ddot{y}_{l (j + 1)} {\ddot{y}}^{'}_{l (j + 1)}]^{Τ} \end{array}$

式中: ${\ddot{q}_{l j}}^{e}$ 为第j个单元的节点加速度矢量列阵; [m_l]^e为下层梁单元的质量矩阵。[m_l]^e的表达式与式(13) [m_u]^e相似, 只需将式(13) 中的 $\bar{m}_{u}$ 换成 $\bar{m}_{l}$ 即可, 其中 $\bar{m}_{l}$ 为下层梁的单位长度质量。

将式(12) 和式(14) 按形成矩阵的“对号入座”法则^[5~7]建立系统的质量矩阵[M]。

1.2.4 系统节点荷载列阵的建立

假设集中荷载P在t时刻位于第i个单元距第i个节点x₀处, 见图 3, 则集中荷载P的势能为

图 3 t时刻P的位置

Figure 3. Position of P at t time

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$V_{p}^{e} = - Ρ y_{u} (x) = - Ρ [Ν] {q_{u i}}^{e}$

集中荷载P的势能一阶变分为

$\begin{array}{l} δ V_{p}^{e} = - δ {q_{u i}}^{e Τ} {F (t)}^{e} \\ {F (t)}^{e} = [Ρ Ν_{1} Ρ Ν_{2} Ρ Ν_{3} Ρ Ν_{4}]_{x = x_{0}}^{Τ} \end{array}$

式中: {F (t) }^e为梁单元的节点荷载列阵。如果整个系统只有一个集中荷载P作用, 则系统的节点荷载列阵{F (t) }为

{F (t) }=[0 … N₁PN₂PN₃PN₄P…0]^T

系统的节点荷载列阵{F (t) }中的N₁P和N₂P

表示t时刻集中荷载P在第i个节点的等效节点力, N₃P和N₄P表示t时刻集中荷载P在第i+1个节点的等效节点力; {F (t) }中共有2 (n₁+n₃+1) 个元素, 其中只有4个非零元素。如果有多个集中荷载作用, 需要考虑集中荷载之间的距离与梁单元长度的关系, 则系统的节点荷载列阵{F (t) }可利用形成矩阵的“对号入座”法则形成。

2. 参数对板式轨道动力响应的影响

2.1 荷载移动速度及钢轨类型的影响

板式轨道在平顺的钢轨上有竖直集中荷载P以速度v移动, 试计算钢轨中点和钢轨中点对应的轨道板中点处的最大竖向位移, 有关的计算参数如下: 对于不同的轨道结构, 单位长度钢轨质量和对水平轴惯性矩不同, 对于50型钢轨 $\bar{m}_{u} = 51.514 k g / m ‚ Ι_{u} = 2.037 \times 10^{- 5} m^{4} ‚ 60$ 型钢轨 $\bar{m}_{u} = 60.64 k g / m ‚ Ι_{u} = 3.217 \times 10^{- 5} m^{4} ‚ 75$ 型钢轨 $\bar{m}_{u} = 74.414 k g / m ‚ Ι_{u} = 4.489 \times 10^{- 5} m^{4}$ ; 对于不同的轨道结构, 相同的计算参数为 $Ρ = 112800 Ν ‚ E_{u} = 2.06 \times 10^{11} Ρ a ‚ L = 37.467 m ‚ l = 0.543 m ‚ k_{d} = 6 \times 10^{7} Ν / m ‚ c_{d} = 7.5 \times 10^{4} Ν \cdot s / m ‚ \bar{m}_{l} = 557.81 k g / m ‚ E_{l} = 2.1 \times 10^{10}$ Pa, I_l=6.6874×10^-4 m⁴, 轨道板长度L_l=2.172 m, k_c=6.25×10⁷ N/m, c_c=8.3×10⁴ N·s/m, 下层简化为17根短梁, 每一根下层短梁与上层长梁(钢轨) 之间均有4个离散的粘弹性支点相连。在集中荷载P以不同速度移动的条件下, 不同类型钢轨和轨道板的最大竖向位移见表 1。

表 1 钢轨和轨道板的最大竖向位移

Table 1. Maximum vertical defection of rail and slab /10^-4m

荷载移动速度/m·s^-1	50型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	50型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移
静止荷载	11.8936	5.1256	10.4434	4.6284	9.4778	4.2787
v=15	11.9139	5.1922	10.4584	4.6858	9.4894	4.3288
v=30	11.9371	5.2264	10.4745	4.7122	9.5020	4.3506
v=50	11.9978	5.3124	10.5204	4.7786	9.5393	4.4054
v=70	12.1191	5.4425	10.6027	4.8795	9.6031	4.4890
v=85	12.2269	5.5712	10.6888	4.9740	9.6747	4.5686
v=100	12.3764	5.7478	10.8014	5.1122	9.7668	4.6786

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正如表 1的数据所示: 在其他参数相同的条件下, 使用较重型的钢轨有利于减小钢轨和轨道板的动力响应; 随着移动荷载速度的提高, 钢轨和轨道板的动力响应有所增大, 但增幅不大。

2.2 钢轨支点弹性系数的影响

为了研究钢轨支点的弹性系数对板式轨道动力响应的影响, 在其他参数相同的条件下, 分别计算当k_d=3×10⁷ N/m和k_d=1.2×10⁸ N/m时钢轨和轨道板的最大竖向位移, 表 2给出了移动荷载速度v=50 m/s下钢轨和轨道板的最大竖向位移。正如表 2的数据所示: 在其他参数相同的条件下, 使用较重型的钢轨有利于减小钢轨和轨道板的动力响应; 增大钢轨支点的弹性系数, 钢轨的动力响应减小。

表 2 钢轨和轨道板的最大竖向位移

Table 2. Maximum vertical defection of rail and slab /10^-4m

钢轨支点的弹性系数k_d/N·m^-1	50型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	50型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	60型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的钢轨最大竖向位移	75型钢轨板式轨道的轨道板最大竖向位移
3.0×10⁷	16.9232	5.1113	14.9475	4.6123	13.6525	4.2700
6.0×10⁷	11.9978	5.3124	10.5204	4.7786	9.5393	4.4054
1.2×10⁸	9.1386	5.3261	7.9632	4.7704	7.1677	4.3717

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3. 结语

用有限元法分析了板式轨道在移动荷载作用下的动力响应。视钢轨为离散粘弹性支点支承的长梁, 轨道板为连续粘弹性基础支承的短梁, 梁单元弯曲形函数采用Hermitian 3次方插值函数。运用弹性系统动力学总势能不变值原理及形成矩阵的“对号入座”法则建立了系统的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和节点荷载列阵, 得到了系统有限元形式的振动方程组。研究了移动荷载的速度、钢轨的类型和钢轨支点的弹性系数对钢轨及轨道板动力响应的影响, 在其他参数相同的情况下, 增大钢轨支点的弹性系数, 钢轨的动力响应减小, 且变化幅度较大; 使用较重型的钢轨有利于减小钢轨和轨道板的动力响应; 随着移动荷载速度的提高, 钢轨和轨道板的动力响应增大, 对于平顺钢轨而言, 动力响应增幅不大。该技术和结果有利于板式轨道的设计和维修。

图 1 仿真框图

Figure 1. Simulation block diagram

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图 2 半速时的输出曲线

Figure 2. Output curves half-speed

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图 3 微速时的输出曲线

Figure 3. Output curves of dead slow-speed

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图 4 船速输入窗口

Figure 4. Input window of ship speeds

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图 5 风参数输入窗口

Figure 5. Input window of wind parameters

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表 1 Mariner轮的主要尺寸

Table 1. Main parameters of mariner ship

船长/m	160.93	舵展弦比	1.67
船宽/m	23.17	桨直径/m	6.707
吃水/m	8.23	桨螺距比	1.038
方形系数	0.588	排水量/m³	18 541
舵叶面积/m²	30.012	航速/kn	15

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表 2 K、T与水深的关系

Table 2. Relationship of K、T and water depth

h/d	∞	2.50	1.93	1.50	1.21
K′	2.386	2.848	2.449	0.957	0.234
T′₁	2.749	3.244	2.678	1.072	0.231+0.153 1i
T′₂	0.367	0.381	0.356	0.362	0.231-0.153 1i
T′₃	0.729	0.788	0.585	0.477	0.277
T₁+T₂	3.116	3.626	3.034	1.434	0.462
T₁T₂	1.009	1.239	0.953	0.388	0.077

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参考文献(11)

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0. 引言
1. 系统振动方程组的建立
1.1 单元划分和梁单元形函数
1.2 系统参数计算
2. 参数对板式轨道动力响应的影响
2.1 荷载移动速度及钢轨类型的影响
2.2 钢轨支点弹性系数的影响
3. 结语

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船舶进出港低速航向保持

作者简介:
张显库(1968-)，男，辽宁辽阳人，大连海事大学教授，博士，从事船舶运动控制研究

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