0.   引言

目前对机车车辆进行动力学性能分析时, 一般只考虑正常的一点接触, 无法动态地进行轮缘与轨侧的非正常一点接触分析计算; 而对于两点接触, 两处的轮轨法向力很难分配, 更无法实现动态计算^[1-2]。本文除考虑轮对的横移和摇头外, 将轮对的侧滚和浮沉分别作为独立的自由度, 同时考虑左右钢轨的横移、浮沉、侧滚, 利用新型快速显示积分法^[1], 均可求得上述参数的当前步计算值; 另外还考虑钢轨不平顺的影响, 利用迹线法原理和轨廓分区法可分别求出轨顶和轨侧区域与踏面、轮缘的最小垂向间隙量, 继而真实动态地反映轮轨接触状况, 并利用非线性赫兹接触理论分别求出相应的轨顶和轨侧实际接触点处各自的法向力, 避免了两点接触的轮轨法向力的复杂分配。

1.   计算原理和过程

1.1   刚性直杆与两组弹簧的接触

这里采用一个图例来说明本文的计算原理。图 1中C₁、C₂为一组弹簧, 其支座垂向位置可变, 两弹簧的横向距离可变, 高度不相同, 但在某一时刻其位置关系是确定的, C₃、C₄同样如此; 图中直杆为刚性杆, 当刚性杆有侧滚和下沉时, 根据该杆的侧滚和下沉量的不同, 其与每一弹簧均有接触和不接触2种可能, 这样接触状态就有2⁴=16种可能, 如图 1中刚性杆和C₁、C₂、C₃发生了接触, 而与C₄无接触。当刚性杆的侧滚和下沉量一定时, 就可以确定其与各弹簧的压缩量或间隙量。若存在压缩量, 当刚度确定时就可以求出其压力; 若有间隙量, 则压力为0。轮轨全面真实接触状态的确定与此类似, 只是轮对还存在摇头, 轮轨接触弹簧为与压缩量有关的非线性弹簧, 其中C₁和C₄相当于轨顶接触弹簧, C₂和C₃相当于轨侧接触弹簧。

图  1  接触关系原理

Figure  1.  Contact relation principle

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1.2   车轮踏面和轮缘迹线上接触点的坐标求解

图  2  轮轨空间接触模型

Figure  2.  Wheel-rail solid contact model

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进行轮轨接触几何计算通常采用迹线法。由文献[3]可知, 在轮对摇头角和侧滚角一定时, 在车轮的踏面和轮缘上与钢轨的接触点只可能在一条空间曲线上, 这条曲线称为迹线。建立轮对绝对坐标系, 其固结于轮对初始无运动时, 轮轨刚好接触但不形成压缩时的轮对质心上, 见图 2^[4]。图 2中c为轮轨接触点, c₀为车轮实际滚动圆的最低点, 只要存在轮对摇头, 这两点就不重合, 从而产生超前角或滞后角。建立轮对平移坐标系, 其固结于轮对质心上, 方向与轮对的绝对坐标系平行, 但原点随轮对质心作平动。由文献[3, 8]可得到迹线上点在轮对绝对坐标系下坐标x、y、z的表达式为

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=x{}_{{\rm O}{}_2}+l{}_{x}R{}_{\text{w}}\tan (\delta {}_{\text{w}})+x{}_{\text{w}}\\ y=y{}_{{\rm O}{}_2}-\frac{R{}_{\text{w}}}{1-l{}_x^2}[l{}_x^{2}l{}_y\tan (\delta {}_{\text{w}})+l{}_{z}m]+y{}_{\text{w}}\\ z=z{}_{{\rm O}{}_2}-\frac{R{}_{\text{w}}}{1-l{}_x^2}[l{}_x^{2}l{}_z\tan (\delta {}_{\text{w}})-l{}_{z}m]+z{}_{\text{w}}\end{array}(1)\\ \{\begin{array}{l}l{}_x=-\cos (\theta {}_{\text{w}})\sin (\phi {}_{\text{w}})\\ l{}_y=\cos (\theta {}_{\text{w}})\cos (\phi {}_{\text{w}})\\ l{}_z=\sin (\theta {}_{\text{w}})\end{array}(2)\\ \{\begin{array}{l}x{}_{{\rm O}{}_2}=d{}_{\text{w}}l{}_x\\ y{}_{{\rm O}{}_2}=d{}_{\text{w}}l{}_y\\ z{}_{{\rm O}{}_2}=d{}_{\text{w}}l{}_z\end{array}(3)\\ m=\sqrt{1-l{}_x^2[1+\tan {}^2(\delta {}_{\text{w}})]}(4)\end{array}$

式中: l_x、l_y、l_z为轮对轴线在轮对平移坐标系上的方向余弦; x_O2、y_O2、z_O2为车轮上滚动圆圆心O₂在轮对平移坐标系上的坐标; R_w为车轮踏面和轮缘上各滚动圆半径; x_w、y_w、z_w分别为轮对质心在绝对坐标上的前进量、横移量和浮沉量; d_w为车轮踏面各滚动圆圆心在轮对本体坐标系中的y坐标。

由于d_w、R_w、δ_w是在轮对本体坐标系中定义的, 当d_w确定时, R_w、δ_w随之确定。在左右车轮的踏面和轮缘的有效区间内, 将d_w以某一间距如0.10、0.05 mm离散化, 则可得到相应离散化的R_w、δ_w, 以原始数据文件保存, 使用时则采用数组形式。当某一时刻轮对的摇头角φ_w和侧滚角θ_w及x_w、y_w、z_w已知时, 利用上述公式即可得到车轮踏面和轮缘上的在迹线上可能接触点坐标x、y、z, 其计算结果均用与d_w相同大小的数组表示。

1.3   钢轨上接触点的坐标求解

在左右钢轨各自的坐标系下(图 3), 应按与d_w相同的间距离散左右钢轨顶面与侧面的y_r0, 离散轨侧时应直到轨距点, 由于轨廓曲线已知, 就可求得相应的z_r0, 其同样以原始数据文件保存, 计算时则采用数组形式。在考虑到钢轨的不平顺和左右钢轨的横移、浮沉及侧滚条件下, 左右钢轨在轮对绝对坐标系下的最终坐标要经过坐标平移和旋转得到。以右轨为例, 其最终表达式y_re、z_re为

$\{\begin{array}{l}y{}_{\text{r}\text{e}}=y{}_{\text{r}0}\cos (\theta {}_{\text{r}}-\theta {}_0)-z{}_{\text{r}0}\sin (\theta {}_{\text{r}}-\theta {}_0)+\\ y{}_0+y{}_{\text{r}\text{R}}+y{}_{\text{r}\text{i}\text{r}\text{R}}\\ z{}_{\text{r}\text{e}}=y{}_{\text{r}0}\sin (\theta {}_{\text{r}}-\theta {}_0)+z{}_{\text{r}0}\cos (\theta {}_{\text{r}}-\theta {}_0)+\\ z{}_0+z{}_{\text{r}\text{R}}+z{}_{\text{r}\text{i}\text{r}\text{R}}\end{array}(5)$

图  3  钢轨坐标系

Figure  3.  Coordinate of rail

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式中: θ₀为钢轨的轨底坡, 可根据需要改变(对于左轨, 只是θ₀前面为正号); θ_r为钢轨的侧滚角; y_rR、z_rR为右钢轨运动时的横移量和浮沉量; y_rirR、z_rirR分别为右钢轨的横向和垂向不平顺; y₀、z₀分别为钢轨横向和垂向平移量, 但y₀应满足轮对在标准轨距下静止时的轮对对中位置要求, 若正常轨距发生变化, y₀也跟着改变, z₀是轮对对中时包括钢轨人为下沉量z_s在内的钢轨质心到轮对中心线的距离。

1.4   最小间隙求解

虽然钢轨的轨顶和轨侧常被提到, 但很少有具体的分界点。以中国60 kg级钢轨为例, 将R13和R80交点作为轨顶和轨侧的分界点, 这种分法无论正确与否, 都不会对本文研究内容与结果产生影响, 为避免区域交叉, 可将分界点划到轨顶区。分别将轨顶区域和轨侧区域z_re坐标减去车轮的迹线上y坐标相同的对应点z坐标, 并将其在各自内部作比较, 就可得到自身区域的最小间隙。其表达式为

$\text{Δ}z{}_{\min }=\min \{(z{}_{\text{r}\text{e}}-z){}_{y=y{}_{\text{r}\text{e}}}-z{}_{\text{s}}\}{}_{\text{r}}(6)$

当某区域最小垂向间隙为正时, 说明在该区域无轮轨接触; 当某区域最小垂向间隙为负时, 则在该区域轮轨存在接触, 有下列4种情形。

(1) 当轨顶区域的最小垂向间隙为负, 而轨侧区域为正时, 为正常的一点接触。

(2) 当轨顶和轨侧区域的最小垂向间隙均为负时, 必是两点接触, 此时轮缘与轨侧是滑动摩擦, 其大小由库仑摩擦公式求得。

(3) 当轨顶区域的最小垂向间隙为正而轨侧区域的最小间隙为负时, 轮缘(也可能是踏面) 与轨侧是蠕滑, 为非正常的一点接触。

(4) 当轨顶和轨侧区域的最小垂向间隙均为正时, 车轮完全悬浮。

另外, 可根据轮轨最小垂向间隙为负时求得轮轨法向压缩量δ_3R, 继而分别求得钢轨顶面和轨侧轮轨接触点处各自的法向力P, 以右侧为例, 其表达式为^[2]

$\begin{array}{l}\delta {}_{3\text{R}}=-\cos (\delta {}_{\text{R}}-\theta {}_{\text{w}})\text{Δ}z{}_{\text{m}\text{i}\text{n}\text{R}}(7)\\ {\rm P}=(\delta {}_{3\text{R}}/G){}^{3/2}(8)\end{array}$

对磨耗型踏面, 轮轨接触常数为

$G=3.86\times 10{}^{-8}R{}^{-0.115}$

对锥型踏面为

$G=4.57\times 10{}^{-8}R{}^{-0.149}$

式中: R为实际滚动圆半径。

对于传统车辆动力学, 由于视钢轨和轨下基础为静止, 但考虑钢轨的不平顺的影响, 也可以采用上述方法求解, 只是令左右钢轨的横移、浮沉、侧滚的位移等于0, 钢轨表面仍具有非线性弹簧。

对于道岔和已磨耗的钢轨^[9-11], 可将轨廓分成多个区域, 在各区域均设置一个非线性弹簧, 这样可考虑三点和三点以上的多点接触, 并求出各自的轮轨压缩量, 根据式(7)、(8) 即可得到各处的轮轨法向力。

为实现上述目的, 本文编制了程序, 见图 4。

图  4  程序流程

Figure  4.  Program flow chart

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2.   算例分析

本文算例中钢轨型号为T60, 车轮为客车用标准LM型踏面车轮。为区别方便, 本文将求解动态轮轨接触点的方法称为轨廓分区法, 前述未说明的符号含义见表 1, 算例计算结果见表 2。

表  1  物理量含义

Table  1.  Meanings of physical quantities

RztR	RytR	RrtR	δtminR	δfminR
右轮滚动圆半径	右轮踏面横向曲率半径	右钢轨横向曲率半径	轨顶最小间隙	轨侧最小间隙

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算例1为轮对无轨道不平顺在标准轨距下的对中情形。由于左右钢轨静止, 接触点离名义滚动圆很近, 接触点在踏面横向曲率半径为R500的圆弧上, 与轨顶R80处相接触。由于计算机的浮点运算, 接触间隙并不等于0, 而是一个非常小的负值。

算例2为无轮对摇头角、钢轨静止时轮对较大横移量的情形, 计算结果表明右侧轮轨出现了非正常的一点接触。

算例3综合考虑了各种因素的影响。从表 2中可看出: 即使当轮对横移量较小时, 轨廓分区法得到的结果表明右侧轮轨出现了两点接触, 由式(7)、(8) 即可得到轨顶和轨侧处各自的轮轨法向力。

表  2  计算结果

Table  2.  Calculation result

算例1			算例2	算例3
输入	yw	0	8	3
	φw	0	0	2.0×10-4
	θw	0	2.91×10-3	-3.0×10-4
	zw	0	0	-1.5
	yrL	0	0	-1
	zrL	0	0	-1
	θrL	0	0	0
	yrR	0	0	-1
	zrR	0	0	-1
	θrR	0	0	1.0×10-5
	yrirL	0	0	4
	zrirL	0	0	2
	yrirR	0	0	-3
	zrirR	0	0	-2
结果	RztL	457.9	456.9	457.9
	RztR	457.9	461.7	461.1
	RytL	-500.0	-500.0	-500.0
	RytR	-500.0	-100.0	-100.02
	RrtL	300.0	300.0	80.0
	RrtR	80.0	13.0	13.0
	δtminR	-7.3×10-7	2.0	-2.2
	δfminR	-7.3×10-7	-2.6	-2.2
注: 长度单位为mm; 角度单位为rad。

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3.   结语

(1) 本文介绍的计算动态轮轨接触几何关系的轨廓分区法, 必须考虑轮对的横移、摇头、侧滚和浮沉4个自由度和左右钢轨的横移、浮沉和侧滚各3个自由度及左右钢轨的横向、垂向不平顺, 才能较全面地考虑两点接触和非正常的一点接触, 从而能更准确地进行机车车辆动力学动态仿真, 尤其适合作为车辆-轨道耦合动力学的轮轨接触几何关系子程序使用。

(2) 对于传统车辆动力学, 轨廓分区法同样适用, 只需将左右钢轨3个自由度的位移值赋0。

(3) 通过轨顶、轨侧区域分别与车轮的踏面和轮缘的最小垂向间隙转化为接触点的法向压缩量, 利用非线性赫兹接触理论可求其对应的轮轨法向力。

(4) 对于道岔和已磨耗的钢轨, 只需将轨廓分成多个区域, 在每个区域各设置一个非线性弹簧, 同样可求出各自的轮轨垂向、法向间隙量和轮轨法向力。

(5) 本算法不能考虑由于轨顶与踏面接触引起的弹性变形而引起的轨侧与轮缘相互接触的情形, 或者由于轨侧与轮缘接触引起的弹性变形而引起的轨顶与踏面相互接触的情形, 这有待于进一步完善。