0.   引言

转向系统近年来发展很快, 其中电动助力转向(EPS)系统发展最为瞩目^[1-3], 而控制系统是其重要组成部分。系统控制方法很多, 有基于经典控制理论的PID, 也有基于现代控制理论的各种先进方法。寻找一种有效地便于工程应用的控制方法是工程界共同关心的问题。虽然国外公司早已有比较成熟的EPS产品, 但出于技术保密, 目前还没有完全公开EPS的控制方法。不过从相关文章可以看出, 一般都采用具有相位补偿环节(Phase Compensation)和比例积分(PI)控制的电流环^[4-8], 说明相位补偿是EPS控制技术的关键之一, 本文对此进行探讨, 说明相位补偿的作用以及设计原则。

1.   控制对象

以最常见的转向轴式电动助力转向系统为控制对象, 见图 1。本文考虑了3个集中质量: 转向盘、电动机转子和输出轴; 忽略系统的库仑摩擦。描述这3个集中质量的动力学方程为

图  1  电动助力转向系统机械部分模型

Figure  1.  Model of mechanical part of EPS system

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$\begin{array}{l}{\rm I}{}_{\text{m}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{m}}+C{}_{\text{m}}(\dot{\theta }{}_{\text{m}}-G\dot{\theta }{}_{\text{c}})+C{}_{\text{m}\text{e}}\dot{\theta }{}_{\text{m}}+{\rm K}{}_{\text{m}}(\theta {}_{\text{m}}-G\theta {}_{\text{c}})={\rm T}{}_{\text{m}}(1)\\ {\rm I}{}_{\text{c}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{c}}-GC{}_{\text{m}}(\dot{\theta }{}_{\text{m}}-G\dot{\theta }{}_{\text{c}})-G{\rm K}{}_{\text{m}}(\theta {}_{\text{m}}-G\theta {}_{\text{c}})-\\ C{}_{\text{s}}(\dot{\theta }{}_{\text{s}}-\dot{\theta }{}_{\text{c}})-{\rm K}{}_{\text{s}}(\theta {}_{\text{s}}-\theta {}_{\text{c}})+C{}_{\text{c}\text{e}}\dot{\theta }{}_{\text{c}}={\rm T}{}_{\text{c}}(2)\\ {\rm I}{}_{\text{s}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{s}}+C{}_{\text{s}\text{e}}\dot{\theta }{}_{\text{s}}+C{}_{\text{s}}(\dot{\theta }{}_{\text{s}}-\dot{\theta }{}_{\text{c}})+{\rm K}{}_{\text{s}}(\theta {}_{\text{s}}-\theta {}_{\text{c}})={\rm T}{}_{\text{s}}(3)\end{array}$

式中: I_s、I_m、I_c分别为输入部分(主要是转向盘)、电动机和输出轴的转动惯量; T_s、T_m、T_c分别为作用于转向盘、电动机和输出轴的转矩; K_s、K_m分别为连接3个集中质量的2个传动部分等效刚度; C_m、C_s为变形阻尼系数; C_me、C_ce、C_se为运动阻尼系数; θ_m、$\dot{\theta }{}_{\text{m}}$、$\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{m}}$分别为电动机的角位移、角速度和角加速度; θ_c、$\dot{\theta }{}_{\text{c}}$、$\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{c}}$分别为输出轴的角位移、角速度和角加速度; θ_s、$\dot{\theta }{}_{\text{s}}$、$\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{s}}$分别为转向盘的角位移、角速度和角加速度; G为减速机构的减速比。

2.   控制系统结构图分析

2.1   系统总体结构

采用图 2结构描述EPS系统: 假设外部输入一个T_mv作用在控制对象G_co(s)上产生扭杆变形

$\theta {}_{\text{c}\text{s}}=\theta {}_{\text{c}}-\theta {}_{\text{s}}$

图  2  电动助力转向系统总体结构

Figure  2.  General structure of EPS system

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因而转矩传感器有信号输出, 并经过反馈环节H(s)产生电动机转矩T_mr, 其与T_mv形成偏差T_m。T_mv在实际中不存在或者可以忽略不计, 因此这种假设并不影响对系统分析的结果, 而T_m只是与T_mr符号相反。

2.2   控制对象G_co (s)的传递函数

根据式(1)~(3), 可以得到控制对象的传递函数为^[9]

$G{}_{\text{c}\text{o}}(s)=\frac{{\rm T}{}_1(s)}{\Delta }$

T₁(s)=C_mI_sGs²+(GK_mI_s+GC_mC_se)s+GK_mC_se

Δ=I_mI_cI_ss⁵+(I_mI_cC_se+I_mC_sI_s+C_meI_cI_s+I_mC_ceI_s+

I_mI_cC_s+I_mG²C_mI_s+C_mI_cI_s)s⁴+(I_mG²K_mI_s+

K_mI_cI_s+I_mC_sC_se+C_mI_cC_s+C_meI_cC_se+C_mI_cC_se+

I_mK_sI_s+C_meI_cC_s+C_meC_ceI_s+C_mC_ceI_s+C_meC_sI_s+

C_mC_sI_s+I_mG²C_mC_s+I_mG²C_mC_se+I_mC_ceC_se+

C_meG²C_mI_s+I_mI_cK_s+I_mC_ceC_s)s³+(K_mI_cC_s+

K_sI_cC_me+C_meC_ceC_s+I_mG²K_mC_s+I_mG²C_mK_s+

I_mC_ceK_s+C_meG²C_mC_s+K_mC_ceI_s+K_mI_cC_se+

C_mC_sC_se+C_mK_sI_s+K_mG²I_mC_se+I_mK_sC_se+

C_mC_ceC_se+K_mC_sI_s+C_mI_cK_sC_meC_sC_se+

C_meG²K_mI_s+C_mC_ceC_s+C_meG²C_mC_se+K_sC_meI_s+

C_meC_ceC_se)s²+(K_mC_ceC_s+K_mI_sK_s+K_mC_ceC_se+

K_mK_sI_c+K_mG²I_mK_s+C_meG²C_mK_s+C_mC_ceK_s+

K_mC_sC_se+C_meC_ceK_s+C_meK_sC_se+C_meC_sG²K_m+

C_meG²K_mC_se+C_mK_sC_se)s+K_mK_sC_se+K_mC_ceK_s+

C_meG²K_mK_s

2.3   反馈环节H(s)的传递函数

反馈环节H(s)的作用就是根据转矩传感器信号, 控制电动机产生助力, 主要是一个电流环, 结构见图 3, 其中, K₁为功率放大系数; G_c1(s)为PI控制器; G_m(s)为电动机模型; U为功率放大装置的输出电压; K_eω_m为反电动势; K_e为反电动势常数; ω_m为电动机转速。

$\begin{array}{l}G{}_{\text{c}1}(s)={\rm K}{}_{\text{p}}\left(1+\frac{1}{{\rm T}{}_{\text{i}}s}\right)\\ G{}_{\text{m}}(s)=\frac{1}{Ls+R}\end{array}$

图  3  电流环结构

Figure  3.  Structure of current loop

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电流环节的闭环传递函数为

$\begin{array}{l}\Phi (s)=\frac{1+{\rm T}{}_{\text{i}}s}{{\rm T}{}_{\text{i}}Ls{}^2/{\rm K}{}_2+({\rm T}{}_{\text{i}}R/{\rm K}{}_2+{\rm T}{}_{\text{i}}{\rm K}{}_{\text{f}})s+{\rm K}{}_{\text{f}}}=\\ \frac{1}{{\rm K}{}_{\text{f}}}\frac{1+{\rm T}{}_{\text{i}}s}{s{}^2/\omega {}_{\text{n}}^2+2\xi s/\omega {}_{\text{n}}+1}\\ \frac{1}{\omega {}_{\text{n}}^2}=\frac{{\rm T}{}_{\text{i}}L}{{\rm K}{}_2{\rm K}{}_{\text{f}}},2\frac{\xi }{\omega {}_{\text{n}}}=\frac{{\rm T}{}_{\text{i}}R}{{\rm K}{}_2{\rm K}{}_{\text{f}}}+{\rm T}{}_{\text{i}}‚{\rm K}{}_2={\rm K}{}_{\text{p}}{\rm K}{}_1\end{array}$

式中: ω_n为二阶系统的自然角频率, 其反映系统的响应速度, ω_n越大则系统的响应越快; ξ为二阶系统的阻尼, 其值越大则系统响应越慢, 但是相应的超调量越小, 在系统响应速度较快的情况下可以取较大ξ来抑制电流的超调量和波动。对于一个多环系统, 如果内环响应速度足够快, 则内环就可以用一个一阶系统或者比例环节代替, 从而给系统分析带来方便。

电流I对反电动势扰动K_eω_m的传递函数为

$\Phi {}_{\text{g}}(s)=\frac{1}{{\rm K}{}_{\text{p}\text{c}}{\rm K}{}_{\text{f}}}\frac{{\rm T}{}_{\text{i}}s}{s{}^2/\omega {}_{\text{n}}^2+2\xi s/\omega {}_{\text{n}}+1}$

实际上, Φ_g(s)的传递函数前面有个负号, 本文在对系统进行分析的时候把负号考虑成负反馈。

2.4   系统总体结构图的分解

把控制对象G_co(s)分解为

$G{}_{\text{c}\text{o}}(s)=\Phi {}_{\text{o}2}(s)\Phi {}_{\text{o}3}(s)$

分解结构见图 4, 并增加一个中间输出$\dot{\theta }{}_{\text{m}}$, 即电动机转速ω_m。G_{c i}(s)为图 3的电流环, G_cc(s)为校正装置。通过电动机电流I产生电磁转矩T_mr为

${\rm T}{}_{\text{m}\text{r}}={\rm K}{}_{\text{Τ}}{\rm I}$

式中: K_T为转矩系数/(N·m·A^-1), 其与K_e/(V·s·rad^-1)关系如下

${\rm K}{}_{\text{Τ}}={\rm K}{}_{\text{e}}(4)$

为了便于分析, 把图 4等效分解成图 5的内外两环结构。

图  4  分解结构

Figure  4.  Decomposition structure

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图  5  内、外两环结构

Figure  5.  Structures of inner loop and outer loop

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3.   内环特性分析

根据图 5和式(4), 内环的开环传递函数为

式中: Φ_o2(s)为前向通道的传递函数; K_e²Φ_g(s)为反馈通道的传递函数。闭环传递函数为

$\Phi {}_{\text{c}\text{i}}(s)=\frac{\Phi {}_{\text{o}2}(s)}{1+\Phi {}_{\text{o}2}(s){\rm K}{}_{\text{e}}^2\Phi {}_{\text{g}}(s)}(6)$

取电流环的ξ为1, ω_n为300 Hz, 所用参数见表 1, 内环前向通道和闭环传递函数的频率特性见图 6、7。

表  1  电动助力转向系统参数

Table  1.  Parameters of EPS system

参数名称	代号	数值
转向盘的转动惯量/(kg·m2)	Is	0.029
转向盘转动的运动阻尼系数/(N·m·s·rad-1)	Cse	0.023
转向盘转动的变形阻尼系数/(N·m·s·rad-1)	Cs	0.023
输出轴的运动阻尼系数/(N·m·s·rad-1)	Cce	0.023
输出轴的转动惯量/(kg·m2)	Ic	0.000 19
转向盘到减速机构蜗轮处的刚度/(N·m·rad-1)	Ks	135
电动机部分的转动惯量/(kg·m2)	Im	0.000 19
电动机部分转动的运动阻尼系数/(N·m·s·rad-1)	Cme	0.000 092 8
电动机部分转动的变形阻尼系数/(N·m·s·rad-1)	Cm	0.000 928
减速机构的刚度/(N·m·rad-1)	Km	3.02
电动机的反电动势常数/(V·s·rad-1)	Ke	0.050 6
电动机回路的总电阻/Ω	R	0.345
电动机回路的总电感/μH	L	238

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图  6  内环前向通道

Figure  6.  Forward channel of inner loop

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图  7  内环闭环

Figure  7.  Closed-loop of inner loop

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从图 6、7可以看出, 在所考察的频率范围内, 闭环传递函数与前向通道的传递函数基本一致, 即反馈通道对内环的影响很小, 反馈通道的影响可以忽略不计。

4.   外环特性分析

在图 5中, Φ_o3(s)为控制对象的固有特性, 电流环设计好后, Φ(s)和Φ_g(s)就可以确定, 剩下的就是确定校正装置G_cc(s), 使得系统满足要求。下面根据开环传递函数来研究系统的特性。

4.1   外环开环传递函数的求取

由于内环反馈通道可以忽略不计, 图 5就可以简化为图 8, 其中

$G{}_{\text{c}\text{o}}(s)=\Phi {}_{\text{o}2}(s)\Phi {}_{\text{o}3}(s)$

图  8  外环近似结构

Figure  8.  Approximate structure of outer loop

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是前向通道的传递函数, 也是控制对象的固有特性。并记

${\rm H}(s)=G{}_{\text{c}\text{c}}(s){\rm K}{}_{\text{Τ}}\Phi (s)(7)$

H(s)为反馈通道的传递函数, 则外环开环传递函数可以表示为

4.2   相位补偿装置的设计

校正装置G_cc(s)可以表示为

$G{}_{\text{c}\text{c}}(s)={\rm K}{}_{\text{a}}G{}_{\text{c}\text{c}0}(s)$

式中: K_a为校正装置的传递系数, 其影响系统的助力大小; G_cc0(s)为一个用时间常数表示的传递函数, 需要根据系统的动态性能要求确定。首先只考虑K_a, 即令G_cc0(s)为1, 这样G_cc(s)只会影响开环传递函数幅频特性曲线的上下位置, 不会改变幅频特性曲线的形状, 而比例环节对相频特性没有影响。如果G_cc(s)不能够满足系统功能要求, 则要进行校正。

确定K_a的最基本依据是满足助力大小要求, K_a也称助力增益。助力大小要根据用户的要求确定, 在缺乏数据的情况下, 可参考同类产品确定^[9]。确定好K_a后, 就可以作出开环系统的Bode图, 见图 9。

图  9  外环开环

Figure  9.  Open-loop of outer loop

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根据计算可知, 截止频率大约在105 rad·s^-1, 其幅值裕度约为-6 dB, 相位裕度约为-1.4°, 是不稳定的, 但是这种不稳定的裕度不大, 考虑到建模误差, 实际系统有可能是稳定的。图 10(a)为开环系统的Nyquist图, 图 10(b)为Nyquist图在复平面上的-1点处的放大图。从图 10(b)清楚的看出Nyquist曲线离-1点很近, 说明即使系统是稳定的, 这种稳定的裕度也很小, 没有校正的系统鲁棒性很差, 需要进行校正, 即设计G_cc0(s)。

图  10  开环系统的Nyquist

Figure  10.  Nyquist of open-loop

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4.3   对校正装置的性能要求

(1) 具有足够的带宽。为了实现助力跟随性能, G_cc(s)的通频带要足够宽, 否则驾驶员会感到助力迟滞, 驾驶员能够达到的输入频率约为3~5 Hz。

(2) 带宽也不应该过大。传感器的输出信号中存在噪声干扰, 干扰信号一般具有高频特性, 低频干扰一般在传感器硬件设计时就采取措施进行抑制。

(3) 最好能够抑制由路面传到转向盘的高频振动成分。地面反力传到转向盘形成路感, 但是其中的高频成分, 使驾驶员感到高频抖动, 不利于汽车的操纵性能, 也是驾驶员所不希望的, 所以G_cc(s)应该使得这些高频成分得到衰减。

常用的校正装置有超前校正和滞后校正, 其基本原理见文献[10]。对于图 9, 由于系统在低频频率范围表现为小阻尼特性, 在开环系统的Bode图上的低频共振频率附近有一个凸起的共振峰, 它比低频的平坦段高出约30 dB左右。根据计算, 只要在截止频率处提供不大的相位裕度就能够使得系统稳定, 这就是EPS相位补偿的基本原理。如果采用滞后校正, 由于低频共振峰的存在, 则很难满足要求, 原因如下。

(1) 如果使G_cc(s)的2个转折频率ω₁和ω₂(设ω₁ < ω₂)都小于低频共振频率, 且ω₂/ω₁不大, 则幅频特性曲线在穿越0 dB线后在低频共振频率附近又会重新穿越0 dB线, 使得系统不稳定; 要在低频共振频率不穿越0 dB线, 必须增大ω₂/ω₁, 这势必使得ω₁减小, 截止频率降低, 使系统响应变慢。

(2) 若使低频共振峰位于ω₁和ω₂之间, 也会遇到类似问题。

(3) 如果使得ω₁和ω₂都位于低频共振峰右边, 则不会改善系统的稳定性。根据上述原则, 相位补偿后外环开环系统的Bode图, 见图 11, 这时候幅值裕度约为18 dB, 相位裕度约为38°, 截止频率稍大于200 rad·s^-1, 满足稳定性要求。

图  11  超前校正后的Bode图

Figure  11.  Bode chart with lead correction

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图 12、13分别是进行相位补偿前和相位补偿后的试验, 在没有采用相位补偿的系统中, 在工作过程中出现振动现象, 表现为系统的平稳性差, 这使得驾驶员感觉很不舒服; 进行相位补偿后, 基本消除了振动现象, 工作比较平滑, 说明了相位补偿对系统的影响。理论分析还表明采用上述的相位补偿对于衰减路面的冲击, 改善EPS的随动性能也有积极的影响^[9]。

图  12  无相位补偿的EPS系统试验结果

Figure  12.  Test result of EPS system without phase compensation

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图  13  具有相位补偿的EPS系统试验结果

Figure  13.  Test result of EPS system with phase compensation

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5.   结语

采用PI控制的电流环, 在带宽足够的情况下可以使得系统的反电动势影响达到忽略不计的程度; 在此基础上, 在低频附近采用超前校正, 提供相位补偿, 是提高电动助力转向系统稳定性, 减弱振动的有效措施。