0.   引言

混凝土桥梁结构在太阳辐射和气温变化等环境因素的影响下, 引起随时间变化的非线性温度分布, 从而产生温度应力和温度位移^[1-6]。温度应力的大小与外荷载产生的应力相当, 特别是在混凝土箱梁中更为明显, 是混凝土箱梁发生裂纹的主要原因之一, 因此引起了广泛的重视。目前国内外通用的混凝土桥梁结构温度应力计算方法^[7-11], 一般都假定各温度应力分量互相独立, 可以分别计算, 再根据横截面平面变形假定, 以结构力学方法计算单向温度应力, 然后组合, 形成多向温度应力分布。这种方法忽略了各应力分量间的耦合作用, 即泊松效应。本文根据热弹性理论, 对考虑泊松效应的混凝土桥梁结构的三维温度应力进行了分析, 提出了基于现行桥梁设计规范^[12]所规定的温度梯度模式的混凝土箱梁三维温度应力的实用计算公式, 结合计算实例, 以三维有限元数值分析的结果对计算方法进行了验证。

1.   理论基础

温度应力积分性质  当不受体力、外力和外部约束作用时, 对于有限区域S内的温度应力平面问题, 其应力分量σ_x、σ_y、τ_xy具有如下积分性质

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{S}{\iint }\left(\frac{\partial f{}_1}{\partial x}\sigma {}_x+\frac{\partial f{}_1}{\partial y}\tau {}_{xy}\right)}\text{d}x\text{d}y=0\\ {\displaystyle \underset{S}{\iint }\left(\frac{\partial f{}_2}{\partial x}\tau {}_{xy}+\frac{\partial f{}_2}{\partial y}\sigma {}_y\right)}\text{d}x\text{d}y=0\end{array}(1)$

式中: f₁与f₂为关于x、y的任意连续可微函数。

证明  当不受体力、外力和外部约束作用时, 温度应力平面问题的应力分量σ_x、σ_y、τ_xy满足如下齐次平衡微分方程和应力边界条件

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{\partial \sigma {}_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau {}_{xy}}{\partial y}=0\\ \frac{\partial \tau {}_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma {}_y}{\partial y}=0\end{array}(\text{在}\text{区}\text{域}S\text{内})(2)\\ \{\begin{array}{l}n{}_x\sigma {}_x+n{}_y\tau {}_{xy}=0\\ n{}_x\tau {}_{xy}+n{}_y\sigma {}_y=0\end{array}(\text{在}\text{边}\text{界}\Gamma \text{上})(3)\end{array}$

式中: n_x、n_y分别为边界外法线在x、y轴的方向余弦。在式(3)中的第1式两侧同乘任意函数f₁, 并沿整个边界Γ进行曲线积分, 得

${\displaystyle {\oint }_{\Gamma }(}n{}_{x}f{}_1\sigma {}_x+n{}_{y}f{}_1\tau {}_{xy})\text{d}l=0(4)$

式中: dl为边界Γ上积分曲线微段。

利用格林公式, 式(4)左侧可写成

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }(}n{}_{x}f{}_1\sigma {}_x+n{}_{y}f{}_1\tau {}_{xy})\text{d}l=\\ {\displaystyle \underset{S}{\iint }\left[\frac{\partial (f{}_1\sigma {}_x)}{\partial x}+\frac{\partial (f{}_1\tau {}_{xy})}{\partial y}\right]}\text{d}x\text{d}y=\\ {\displaystyle \underset{S}{\iint }\left[\frac{\partial f{}_1}{\partial x}\sigma {}_x+\frac{\partial f{}_1}{\partial y}\tau {}_{xy}+f{}_1\left(\frac{\partial \sigma {}_x}{\partial x}+\frac{\partial \tau {}_{xy}}{\partial y}\right)\right]}\text{d}x\text{d}y\end{array}$

将上式代入式(4), 并注意到式(2)的第1式, 可得到式(1)的第1式。同理, 由式(3)的第2式和式(2)的第2式可推出式(1)的第2式。

对f₁、f₂取不同的函数, 可由式(1)得到关于应力分量的不同积分关系式。如取f₁=x, f₂=y, 即可得到式(5);取f₁=x², f₂=y², 得到式(6);取f₁=xy, f₂=x², 得到式(7)的第1式, 取f₁=y², f₂=xy, 得到式(7)的第2式

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{S}{\iint }\sigma }{}_x\text{d}x\text{d}y=0\\ {\displaystyle \underset{S}{\iint }\sigma }{}_y\text{d}x\text{d}y=0\end{array}(5)\\ \{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{S}{\iint }y}\sigma {}_y\text{d}x\text{d}y=0\\ {\displaystyle \underset{S}{\iint }x}\sigma {}_x\text{d}x\text{d}y=0\end{array}(6)\\ \{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{S}{\iint }y}\sigma {}_x\text{d}x\text{d}y=0\\ {\displaystyle \underset{S}{\iint }x}\sigma {}_y\text{d}x\text{d}y=0\end{array}(7)\end{array}$

2.   一般计算方法

温度应力可以分成两部分: 一是温度变形受到内部约束而引起的应力, 称为自约束温度应力或温度自应力; 二是超静定结构中温度变形受到外部约束而引起的应力, 称为温度次应力。静定结构中只有温度自应力, 超静定结构的温度应力由上述两部分应力叠加而成。

下面分析等截面梁的自约束温度应力。假定温度场沿梁轴线不变, 为在横截面内的二维分布。对于实际工程中的变截面梁, 考虑到横截面沿梁轴线的变化一般比较缓慢, 可以认为按等截面假定所得的结果仍是近似适用的。

分析时采用直角坐标系xyz, 其中xOy平面置于梁的横截面内, 坐标原点O为截面形心, x、y轴分别为水平方向和竖直方向的主形心轴, z轴为箱梁纵轴线, 见图 1。设温度分布为T=T(x, y), 不随纵坐标z变化。

图  1  横截面和温度梯度模式

Figure  1.  Cross section and temperature differential model

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首先, 在梁的两端施加假想的刚性约束, 使之成为平面应变问题。设此平面应变问题的横向应力分量分别为σ_x、σ_y、τ_xy, 相应的纵向应力分量为σ_z1。根据热弹性理论^[13], σ_z1可表示为

$\sigma {}_{z1}=\upsilon (\sigma {}_x+\sigma {}_y)-E\alpha {\rm T}(8)$

式中: E、α、υ分别为材料的弹性模量、线膨胀系数和泊松比。

然后撤去约束, 则必须在两端截面施加与σ_z1方向相反的分布力-σ_z1, 由此引起的应力与按平面应变状态得到的应力叠加, 便是实际的自约束温度应力。为此, 先求出分布力-σ_z1在横截面S内的合力和绕x、y轴的合力矩

$\begin{array}{l}{\rm N}{}_{{\rm T}z}={\displaystyle \underset{S}{\iint }(}-\sigma {}_{z1})\text{d}x\text{d}y(9)\\ {\rm M}{}_{{\rm T}x}={\displaystyle \underset{S}{\iint }(}-\sigma {}_{z1})y\text{d}x\text{d}y(10)\\ {\rm M}{}_{{\rm T}y}={\displaystyle \underset{S}{\iint }(}-\sigma {}_{z1})x\text{d}x\text{d}y(11)\end{array}$

将式(8)代入式(9)~(11), 利用前述积分性质式(5)~(7)进行简化, 可以得到

$\begin{array}{l}{\rm N}{}_{{\rm T}z}=E\alpha {\displaystyle \underset{S}{\iint }{\rm T}}\text{d}x\text{d}y(12)\\ {\rm M}{}_{{\rm T}x}=E\alpha {\displaystyle \underset{S}{\iint }{\rm T}}y\text{d}x\text{d}y(13)\\ {\rm M}{}_{{\rm T}y}=E\alpha {\displaystyle \underset{S}{\iint }{\rm T}}x\text{d}x\text{d}y(14)\end{array}$

根据圣维南原理, 在离杆端足够远处, 杆端分布力-σ_z1引起的应力, 可由合力N_Tz引起的均布应力和合力矩M_Tx、M_Ty所引起的纯弯曲应力叠加生成

$\sigma {}_{z2}=\frac{{\rm N}{}_{{\rm T}z}}{A}+\frac{{\rm M}{}_{{\rm T}x}}{{\rm I}{}_x}y+\frac{{\rm M}{}_{{\rm T}y}}{{\rm I}{}_y}x(15)$

将按平面应变问题求得的应力与式(15)叠加, 得总的纵向温度自应力为

$\begin{array}{l}\sigma {}_z=\upsilon (\sigma {}_x+\sigma {}_y)-E\alpha {\rm T}\frac{{\rm N}{}_{{\rm T}z}}{A}+\\ \frac{{\rm M}{}_{{\rm T}x}}{{\rm I}{}_x}y+\frac{{\rm M}{}_{{\rm T}y}}{{\rm I}{}_y}x(16)\end{array}$

这样, 三维温度应力问题简化成求解一个平面应变问题, 此平面应变问题的解即为横向温度应力, 而纵向温度应力则根据横向温度应力和温度分布按式(16)计算。对于超静定结构, 还需由式(16)叠加上因外部约束所产生的应力, 生成温度次应力。

静定结构截面内不存在实际的内力, N_Tz、M_Tx、M_Ty可看成是与假想的杆端分布力-σ_z1平衡的虚拟内力。从上面的推导过程可知, 杆件的轴向和挠曲变形, 与虚拟内力N_Tz和弯矩M_Tx、M_Ty所引起的变形是一致的。另外, 梁端弯矩和轴力并不影响横向温度应力σ_x、σ_y, 所以即使对超静定结构来说, 仍然可以按平面应变问题计算横向温度应力, 而且横截面的平面变形假定仍然适用。

3.   实用计算方法

要按前面所提出的方法计算混凝土结构的三维温度应力, 其关键在于横向温度应力σ_x、σ_y的计算, 准确求解一般要用有限元法等数值方法来完成, 但不便于实际应用。下面对公路混凝土箱梁温度应力进行进一步的分析, 以提出实用计算方法。对箱梁梗胁处的细部进行简化, 近似按图 1的横截面形式进行分析, 截面内温度梯度按现行公路桥涵设计规范^[12]的规定取值。

如前所述, 横向温度应力是一个平面应变问题, 这里先将其按平面应力问题来求解, 然后再转换成平面应变状态的解答。考虑沿箱梁轴向截取微段(计算时按单位长度考虑)所得的平面框架, 箱梁的顶、底板和腹板被截成宽度为单位长度, 高度为板厚的矩形截面杆件。在图 1中, 在各板中均设立局部坐标系ξηζ, 其中ξ轴位于各板的中面内, 且垂直于箱梁轴线, η轴与中面垂直, 指向板的外侧, ζ轴(图中未显示)平行于箱梁轴线方向。由于板厚与箱梁的整体截面尺寸比起来一般要小得多, 可以近似认为σ_η为0, 因此平面框架的各杆件中只有ξ方向的正应力。

各杆件的横向温度应力同样可分为温度自应力和温度次应力两部分。各杆件中的温度自应力, 可按式(16)进行计算, 不同的是框架内各杆件都是单向应力状态。对于图 1的温度梯度模式来说, 只有顶板中存在横向温度自应力。根据式(16), 将坐标变量进行相应的调换, 可求得顶板中的温度自应力如下

$\begin{array}{l}\sigma {}_{\xi }^{´}=\frac{{\rm N}{}_{{\rm T}\xi }}{t{}_1}+\frac{12{\rm M}{}_{{\rm T}\zeta }}{t{}_1^3}\eta -E\alpha {\rm T}(17)\\ {\rm N}{}_{{\rm T}\xi }=E\alpha {\displaystyle {\int }_{-t{}_1/2}^{t{}_1/2}{\rm T}}\text{d}\eta (18)\\ {\rm M}{}_{{\rm T}\zeta }=E\alpha {\displaystyle {\int }_{-t{}_1/2}^{t{}_1/2}{\rm T}}\eta \text{d}\eta (19)\end{array}$

式中: t₁为顶板厚/m。

将图 1的温度梯度代入式(18)、(19), 可求得N_Tξ、M_Tζ如下。当0.1≤t₁≤0.4 m时

$\{\begin{array}{l}{\rm N}{}_{{\rm T}\xi }=E\alpha \left(\frac{{\rm T}{}_1}{20}-\frac{25t{}_1^2-20t{}_1+1}{15}{\rm T}{}_2\right)\\ {\rm M}{}_{{\rm T}\zeta }=E\alpha \left(\frac{15t{}_1-1}{600}{\rm T}{}_1+\frac{125t{}_1^3-15t{}_1+1}{450}{\rm T}{}_2\right)\end{array}(20)$

式中: T₁、T₂为温度梯度特征值^[12], 见图 1。

当t₁ > 0.4 m时

$\{\begin{array}{l}{\rm N}{}_{{\rm T}\xi }=E\alpha \left(\frac{1}{20}{\rm T}{}_1+\frac{1}{5}{\rm T}{}_2\right)\\ {\rm M}{}_{{\rm T}\zeta }=E\alpha \left(\frac{15t{}_1-1}{600}{\rm T}{}_1+\frac{3t{}_1-1}{30}{\rm T}{}_2\right)\end{array}(21)$

为计算各杆件中因框架约束产生的横向温度次应力, 需先求出约束次内力。取图 2平面框架计算模型, 由对称性可知其为二次超静定结构。用力法求得赘余力X₁、X₂分别为

$\{\begin{array}{l}X{}_1=\frac{\delta {}_{12}\text{Δ}{}_{2{\rm T}}-\delta {}_{22}\text{Δ}{}_{1{\rm T}}}{\delta {}_{11}\delta {}_{22}-\delta {}_{12}^2}\\ X{}_2=\frac{\delta {}_{12}\text{Δ}{}_{1{\rm T}}-\delta {}_{11}\text{Δ}{}_{2{\rm T}}}{\delta {}_{11}\delta {}_{22}-\delta {}_{12}^2}\end{array}(22)$

$\begin{array}{l}\delta {}_{11}=\frac{4h{}^{´2}}{E}\left(\frac{3b{}^{´}}{t{}_2^3}+\frac{2h{}^{´}}{t{}_3^3}\right)\\ \delta {}_{12}=\frac{12h{}^{´}}{E}\left(\frac{b{}^{´}}{t{}_2^3}+\frac{h{}^{´}}{t{}_3^3}\right)\\ \delta {}_{22}=\frac{12}{E}\left(\frac{b{}^{´}}{t{}_1^3}+\frac{b{}^{´}}{t{}_2^3}+\frac{2h{}^{´}}{t{}_3^3}\right)\\ \text{Δ}{}_{1{\rm T}}=-\frac{{\rm N}{}_{{\rm T}\xi }b{}^{´}}{Et{}_1}\\ \text{Δ}{}_{2{\rm T}}=-\frac{12{\rm M}{}_{{\rm T}\zeta }b{}^{´}}{Et{}_1^3}\\ b{}^{´}=b-t{}_3\\ h{}^{´}=h-(t{}_1+t{}_2)/2\end{array}$

图  2  平面框架

Figure  2.  Planar frame

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式中: δ₁₁、δ₁₂、δ₂₂和Δ_1T、Δ_2T分别为按力法求解的各常变位和载变位; t₁、t₂、t₃分别为顶板、底板和腹板的厚度。

根据赘余力X₁、X₂可求得各杆件中的轴力N_ξ和弯矩M_ζ如下

式中: y_c为中性轴x到梁顶距离, 见图 1。

将框架约束内力引起的应力与横向温度自应力式(17)叠加, 可求得平面应力问题总的横向温度应力σ_ξ^″

由热弹性理论^[13]可知, 只要将平面应力状态所求得的应力解中的E、υ、α分别以E/(1-υ²)、υ/(1-υ)、(1+υ)α代替, 可得到相应的平面应变状态的解。由式(17)与约束内力N_ξ、M_ζ的分析过程可知, 按式(26)~(28)计算的横向温度应力σ_ξ^″与Eα成正比, 且与υ无关。因此只要将比例因子Eα以

代替, 也就是将按式(26)~(28)所求得的应力σ_ξ^″乘以因子1/(1-υ), 可得到实际的平面应变状态的横向温度应力σ_ξ为

$\sigma {}_{\xi }=\frac{1}{1-\upsilon }\sigma {}_{\xi }^{˝}(29)$

式(16)中的N_Tz、M_Tx、M_Ty相当于应力EαT在箱梁横截面内的合力和合力矩, 由对称性可知M_Ty为0, N_Tz、M_Tx则可以利用由式(20)或(21)求得的N_Tξ、M_Tζ来计算。

当0.1≤t₁≤0.4 m时

$\{\begin{array}{l}{\rm N}{}_{{\rm T}z}=(b+2b{}_1){\rm N}{}_{{\rm T}\xi }+\frac{(0.4-t{}_1){}^{2}t{}_3}{0.3}{\rm T}{}_2\\ {\rm M}{}_{{\rm T}x}=(b+2b{}_1)\left[{\rm M}{}_{{\rm T}\zeta }+\left(y{}_{\text{c}}-\frac{t{}_1}{2}\right){\rm N}{}_{{\rm T}\xi }\right]+\\ \frac{(0.4-t{}_1){}^{2}t{}_3}{0.3}\left(y{}_{\text{c}}-\frac{2t{}_1+0.4}{3}\right){\rm T}{}_2\end{array}(30)$

当t₁ > 0.4 m时

$\{\begin{array}{l}{\rm N}{}_{{\rm T}z}=(b+2b{}_1){\rm N}{}_{{\rm T}\xi }\\ {\rm M}{}_{{\rm T}x}=(b+2b{}_1)\left[{\rm M}{}_{{\rm T}\zeta }+\left(y{}_{\text{c}}-\frac{t{}_1}{2}\right){\rm N}{}_{{\rm T}\xi }\right]\end{array}(31)$

由应力张量关于坐标变换的不变性原理可知

$\sigma {}_x+\sigma {}_y=\sigma {}_{\xi }+\sigma {}_{\eta }=\sigma {}_{\xi }$

即使对斜腹板也是成立的。由式(16)可得箱梁的纵向温度应力为

$\sigma {}_z=\frac{{\rm N}{}_{{\rm T}z}}{A}+\frac{{\rm M}{}_{{\rm T}x}y}{{\rm I}{}_x}+\upsilon \sigma {}_{\xi }-E\alpha {\rm T}(32)$

式(20)~(32)为箱梁三维温度自应力的实用计算公式。传统的温度应力计算方法^[7-11], 由于忽略了泊松比所引起的应力耦合, 因此横向温度应力σ_ξ差了一个因子1/(1-υ), 而纵向温度应力σ_z少了υσ_ξ项。如按现行的设计规范^[11], 取υ=0.2, 则传统计算方法所得横向应力的误差为[1/(1-υ)-1]×100%=25%;另外, 在温度应力最大的区域, 横向温度应力与纵向自约束应力的大小大致相近, 从式(16)可知传统方法的最大纵向温度应力的误差亦可达到25%, 甚至更高。

4.   计算结果分析

某跨径为50 m的预应力混凝土简支箱梁, 截面尺寸为: h为3.00 m, b为6.00 m, b₁为3.00 m, t₁为0.28 m, t₂为0.30 m, t₃为0.40 m。其截面特性为: A为7.096 m², I_x为9.819 m⁴, y_c为1.196 m。混凝土材料参数为^[6]: 弹性模量E为3.45×10⁴ MPa, 泊松比υ为0.2, 线胀系数α为1.0×10^-5 ℃^-1。温度梯度特征值为: T₁为25.0 ℃, T₂为6.7 ℃。温度应力计算结果见表 1, 其中点③、④距梁顶0.65 m。

表  1  温度应力计算结果对比

Table  1.  Comparison of thermal stress computation results  MPa

点号	方法1:三维有限元法			方法2:平面有限元法和式(16)			方法3:公式(20)~(32)
	σx	σy	σz	σx	σy	σz	σx	σy	σz
①	-6.43	0.00	-7.12	-6.43	0.00	-7.13	-6.40	0.00	-7.10
②	2.11	0.00	1.97	2.11	0.00	1.97	2.06	0.00	1.97
③	0.01	1.30	2.30	0.01	1.30	2.31	0.00	1.43	2.35
④	0.00	-1.49	1.74	0.00	-1.49	1.74	0.00	-1.43	1.77
⑤	-0.06	0.00	-0.30	-0.06	0.00	-0.30	-0.05	0.00	-0.30
⑥	-0.06	0.00	-0.64	-0.06	0.00	-0.64	-0.04	0.00	-0.64

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从表 1计算结果可以看出, 方法2的计算结果与方法1的结果几乎完全一致, 说明本文第2节提出的计算方法是准确的; 方法3与方法1结果比较, 误差也是很小的, 靠近角隅区(点③、④)的误差要大一些, 原因是按框架计算不能完全准确地反映角隅区的应力集中现象, 但实际结构中, 转角处都设有梗胁, 应力集中现象并不明显。可见, 本文提出的实用计算方法具有足够的精度, 满足工程计算的实际需要。

5.   结语

本文提出的混凝土箱梁温度应力计算方法, 只需通过简单的结构分析即可实现三维温度应力的计算, 简单实用, 计算精度高; 基于弹性理论的分析结果, 对于预测裂缝发生的部位和趋势, 进行合理的配筋设计和采取有效的温度裂缝控制措施, 有重要的参考依据。