0.   引言

国际上对船-桥碰撞问题的系统研究始于20世纪80年代初。近20年来, 随着社会的进步, 人们的安全意识增强, 世界各国对船-桥碰撞问题更加重视, 有关组织先后制定了各种船撞桥设计指南和规范, 给出了船撞桥设计载荷的计算方法^[1-2], 以求达到减小船撞桥事故发生概率及其造成的对桥梁损害的目的。近10年来, 随着中国大量跨江、跨海大桥的设计、建造, 中国对船-桥碰撞问题也越来越重视, 并开展了大量的研究^[3-7]。目前, 国内外船-桥碰撞相关问题的研究主要集中在碰撞事故的发生概率风险评估^{[4, 8-9]}、碰撞力确定方法^[5]、碰撞后桥梁的动力特性分析^[6-7]以及桥墩防撞结构设计等方面。其中, 在基于充分的船撞桥事故数据库的基础上, 概率风险分析方法是一种最为直接、有效的方法。

船撞桥概率风险分析方法的前提是确定船撞桥的概率, 目前主要有3种方法: 统计分析方法^{[4, 8]}, 船模或实船试验方法^[10]与数学模型加实际验证方法^[9]。在概率分析的基础上, 建立可靠的预报体系对于船撞桥风险评估体系的建立和安全管理是具有现实意义的。但是, 船-桥避碰及桥区通航安全问题是一个十分复杂的运动学和动力学问题, 其中带有许多不确定性因素。如船舶在桥区航行时, 受到桨、舵等控制装置的控制力以及风、流等环境干扰力的联合作用; 由于桥墩、水深等因素的影响, 桥区水域相对于过往船舶而言是所谓的限制水域; 当船、桥接近时, 在船、桥之间还存在着水动力相互作用等, 因此, 航行于桥区的船舶是一个复杂的不确定非线性系统。传统的船撞桥概率预报模型存在自适应性不足的问题, 对此, 应用人工智能技术建立船撞桥概率预报系统, 可以为研究船撞桥概率预报提供一种新的手段。近年来研究正热的人工神经网络, 提供了一种新的船撞桥概率估算方法^[4]。不过, 尽管神经网络具有优越的非线性映射能力和容错能力, 其固有的特性使应用具有先天性缺陷, 主要表现在3个方面: 一是神经网络算法是基于经验风险最小化准则的算法, 泛化能力差, 容易出现过拟合现象和维数灾难问题; 二是易于陷入局部极值; 三是神经网络学习误差对初始权值的选取具有很大依赖性。

支持向量机(support vector machines, SVM)是在统计学习理论的基础上发展起来的新一代学习方法^[11]。SVM算法的提出具有完备的理论推导, 与神经网络相比具有2个最突出的优点: 首先, 这种方法是以结构风险最小化准则进行学习, 不仅考虑到经验风险值, 而且考虑了置信范围值, 很好地提高了算法的泛化性, 同时通过引入核函数避免了维数灾难问题; 其次, SVM算法是一个凸二次规划问题, 能保证解的全局最优性。SVM的这2个优点使得其在模式识别、回归分析、函数拟合等方面得到了很好的应用, 已成为众多领域应用研究的热点, 为船撞桥概率风险分析提供一种新的有效工具。本文以桥墩跨径、水流速度、水流方向与桥墩连线法线方向夹角以及航道弯曲度等4个重要因素为系统输入, 以单航次船撞桥事故率为系统输出, 应用最小二乘支持向量机进行船撞桥概率估算。结合实际航道, 选择了长江和黑龙江上12座桥梁的洪水期、中水期和枯水期3个时段的样本数据进行验算, 并与基于人工神经网络的船撞桥概率估算结果进行了对比。

1.   最小二乘支持向量机

SVM最初应用于模式识别和分类问题, 后来通过引入ε不敏感度函数, 被成功应用于函数逼近和数据回归, 其类型大致可分为标准型和改进型2类。最小二乘支持向量机(least square support vector machines, LS-SVM)是改进型中的一种, 同标准型SVM相比, LS-SVM把两次的二次规划问题变成了线性方程组求解问题, 而且约束条件少于标准型SVM, 这使得计算和参数选择更为简单。

设多输入单输出系统输入输出为

$(\mathit{x}{}_1,y{}_1),\cdots ,(\mathit{x}{}_i,y{}_i)\cdots ,(\mathit{x}{}_l,y{}_l)(i=1,2,\cdots ,l)$

式中: x_i为实域n维输入向量; y_i为实域一维输出标量; l为样本个数。引入非线性映射Φ(·), 得到高维空间中线性回归函数为

$\begin{array}{l}f(\mathit{x})=\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{\Phi }(\mathit{x})+b(1)\\ \mathit{w}\in \mathbf{R}{}^n,b\in \mathbf{R}\end{array}$

定义目标函数为

$\begin{array}{l}\underset{\mathit{w},b,\xi }{{\displaystyle \min }}\left\{\frac{1}{2}\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{w}+\frac{1}{2}C{\displaystyle \sum _{i=1}^l\xi }{}_i^2\right\}(2)\\ y{}_i-[\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_i)+b]=\xi {}_i(3)\end{array}$

式中: C为惩罚因子; ξ_i为松弛变量; b为偏置。引入Lagrange乘子α_i, 定义Lagrange函数为

$\begin{array}{l}L(\mathit{w},b,\xi {}_i,\alpha {}_i)=\frac{1}{2}\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{w}+\frac{1}{2}C{\displaystyle \sum _{i=1}^l\xi }{}_i^2-\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^l\alpha }{}_i[\xi {}_i-y{}_i+\mathit{w}{}^{\text{Τ}}\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_i)+b](4)\end{array}$

根据凸二次规划理论和Kuhn-Tucker定理可以得到线性方程组为

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cccc}0& 1& \cdots & 1\\ 1& [\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_1)]{}^{\text{Τ}}\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_1)+\frac{1}{C}& \cdots & [\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_1)]{}^{\text{Τ}}\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_l)\\ ⋮& & & ⋮\\ 1& [\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_l)]{}^{\text{Τ}}\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_1)& \cdots & [\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_l)]{}^{\text{Τ}}\mathit{\Phi }(\mathit{x}{}_l)+\frac{1}{C}\end{array}\right]\cdot \\ \left[\begin{array}{c}b\\ \alpha {}_1\\ ⋮\\ \alpha {}_l\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ y{}_1\\ ⋮\\ y{}_l\end{array}\right](5)\end{array}$

求解该矩阵方程并定义相应核函数K(x_i, x), 可以得到原空间在高维线性空间的回归形式为

$f(\mathit{x})={\displaystyle \sum _{i=1}^{\lambda }\alpha }{}_i{\rm K}(\mathit{x}{}_i,\mathit{x})+b(6)$

式中: λ为对应非零α_i的支持向量的个数。

核函数的选择必须满足Mercer条件^[11], 对于线性问题, 支持向量机核函数选取为线性核函数

${\rm K}(\mathit{x}‚\mathit{x}{}_i)=\mathit{x}\mathit{x}{}_i$

对于非线性问题, 核函数一般的选择有多项式核函数、高斯核函数、Sigmoid核函数等; 此外, 傅立叶核函数和B样条核函数也较为常用。

2.   应用LS-SVM估算船撞桥概率

2.1   样本空间的确定

要建立准确的船撞桥预报模型, 关键是分析影响船撞桥概率的主要因素。对诸多影响因素, 如人员失误、桥梁跨径、航道条件、水文条件、气象条件、船舶操纵性能、设备状况和航行安全管理手段等, 进行各种因素综合影响的分析, 目前存在困难, 主要是因为数据收集的完备性受到客观条件的限制^[12]。文献[4]利用BP神经网络研究了船撞桥的概率估算, 把桥墩跨径、流速、桥下水的流线方向与桥墩连线法线的夹角以及航道弯曲度4个因素作为影响船撞桥概率的主要因素, 并作为神经网络的输入层, 把船撞桥的事故率作为输出层, 用经验数据验证了方法的有效性。作为一种智能学习方法, 神经网络对输入层向量并无要求, 其反映的仅仅是样本输入和输出的非线性映射关系^[13], 作为对一种方法的有效性验证, 在已有数据能够说明问题的情况下, 随着样本数据的不断完备, 可以重新进行学习和训练, 使结果更加可信。从某种意义上来说, 支持向量机也称为支持向量网络, 它剔除了网络中无贡献的零权值神经元, 因而除了前面提到的2个优点外, 比神经网络收敛速度更快。作为对比验证, 在此也采用桥墩跨径、流速、桥下水的流线方向与桥墩连线法线的夹角以及航道弯曲度4个因素, 作为样本空间的输入向量, 船撞桥的事故率作为输出, 应用最小二乘支持向量机建立概率预报模型。

所选的4个影响因素中, 桥梁跨径和流速是主要的影响因素, 统计结果表明跨径较小的桥梁和洪水期是船撞桥事故发生较多的情况^[4]; 而流向和航道弯曲度则是次要的影响因素, 因为桥梁在选址时是避开弯曲航道的, 同时在设计时桥身法线方向与水流方向一致, 即使不一致, 一般也不超过5°。但在某些情况, 如通过跨径较小的桥梁时, 斜流的影响就必须考虑; 实际情况中一些桥梁由于选址不当造成航道弯曲度过大, 也必须考虑。

2.2   模型训练及预测结果对比

结合中国内河实际航道, 选择长江和黑龙江上12座桥梁的洪水期、中水期和枯水期3个时段的样本数据(共26对)^[4]进行验算。支持向量机的核函数选用高斯核函数

${\rm K}(\mathit{x},\mathit{x}{}_i)=\exp (-\parallel \mathit{x}-\mathit{x}{}_i\parallel {}_2^2/2\sigma {}^2)$

式中: σ为核宽度。参数取值: σ为0.01, C为10⁶。SVM的训练误差是由这2个参数决定的, 一般而言, σ越小, C越大, 则训练误差越小。这不仅对文中所选的26个样本有效, 在可能在收集到更多以前述4个因素为样本空间的其他船桥碰撞问题预报中, σ和C的选取原则同样具有普适性。概率预报结果见图 1。

图  1  最小二乘支持向量机预报概率

Figure  1.  Prediction probability of LS-SVM

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作为对比, 再采用神经网络进行概率预报。首先采用三层前馈BP网络进行学习, 网络结构为4×200×1, 学习率为5.0×10^-4, 隐层激活函数为单边Sigmoid函数, 输出层函数为线性Purelin函数。其学习结果出现发散(表 1), 且训练时间比SVM大, 图 2为迭代5000次后的结果。

表  1  三层前馈BP网络训练误差

Table  1.  Training errors of three-layer feedforward neural network

迭代次数	均方差		迭代次数	均方差
4 100/5 000	6.039 54		4 600/5 000	1.513 91
4 200/5 000	7.789 51		4 700/5 000	0.807 20
4 300/5 000	1.244 49		4 800/5 000	2.668 63
4 400/5 000	1.492 09		4 900/5 000	0.438 80
4 500/5 000	1.146 96		5 000/5 000	0.792 37

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图  2  三层前馈神经网络预报概率

Figure  2.  Prediction probability of three-layer feedforward neural network

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再采用四层前馈网络, 网络结构为: 4×200×200×1, 其余参数同上。训练结果除样本16偏差较大外, 都较吻合, 但是训练时间为三层前馈网络的3倍左右, 结果见图 3。

图  3  四层前馈神经网络预报概率

Figure  3.  Prediction probability of four-layer feedforward neural network

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从上面SVM和神经网络预报结果对比分析可以看出, SVM在收敛性和学习效率上均优于神经网络。事实上, 这是由神经网络权值调整的误差反传算法的特点决定的。同时, 神经网络对隐层数、隐层激活函数、学习率以及连接权值初值的选择均有较大依赖性。而SVM基于凸二次规划理论的算法特点使得学习误差能迅速收敛, 结构也更为简单。

3.   结语

应用支持向量机进行了船撞桥概率预报, 为船撞桥风险评估系统的建立, 提供了新的有效手段。进一步将研究包括更多不确定性因素的概率分析, 以期将该方法应用于现代船舶操纵与控制问题; 要建立健全船撞桥事故数据库以及定性、定量分析船撞桥重要影响因素。