0.   引言

一个由质量、弹簧和阻尼组成的机械振动系统主要可能存在三种振动形式: 自由振动、强迫振动和自激振动。铁道车辆由车体、构架、轮对以及它们之间的悬挂组成, 也构成了一个完整的机械振动系统, 且同时具备三种振动特性。一般根据自由振动就可分析出车辆系统各刚体的固有振动模态, 其是系统内各个悬挂元件及结构部件共同作用所显现出来的一种固有特性, 与外界输入无关。铁道车辆在钢轨上运行, 钢轨并不是呈理想的平直状态, 而是相对于理想的平直钢轨呈现某种波状变化, 称之为轨道不平顺。轨道不平顺激扰源将引起车辆系统的强迫振动, 是车辆系统产生各种振动响应的主要根源^[1-7]。此外, 由于铁道车辆的轮对具有一定锥度, 即使车辆沿平直的轨道运行, 只要有一个初始激扰, 轮对就会围绕轨道中心线一边横移一边摇头向前运动, 就像蛇的运动状态一样, 所以形象地称之为蛇行运动^[7]。蛇行运动的振动能量来自于机车牵引力, 是车辆系统内部的非振动能量转换为持续激振力而引起的一种取决于车辆系统特殊轮轨关系的自激振动。

当轨道激扰主频和转向架蛇行运动频率与车辆系统相关的固有振动频率接近时, 可能因为共振而恶化车辆的乘坐舒适性, 为此, 本文重点研究车辆系统的共振对车辆乘坐舒适性的影响。

1.   转向架蛇行运动频率

铁道车辆的转向架是由轮对、构架以及它们之间的悬挂系统组成, 称之为弹性定位转向架。当转向架的悬挂刚度为0时, 弹性定位转向架的轮对演变为自由轮对; 当转向架的悬挂刚度趋于∞时, 弹性定位转向架演变为刚性转向架。先从弹性定位转向架的两种极端形式来分析其蛇行运动特性。对于自由轮对来说, 其蛇行运动频率F_w为

$F{}_{\text{w}}=\frac{V}{2\text{π}}\sqrt{\frac{\lambda }{aR{}_0}}(1)$

对于刚性转向架来说, 其蛇行运动频率F_t为

$F{}_{\text{t}}=\frac{V}{2\text{π}}\sqrt{\frac{\lambda }{aR{}_0}\left(\frac{a{}^2}{a{}^2+L{}_{\text{t}}^2}\right)}(2)$

式中: λ为车轮踏面的等效锥度; a为轮对左右滚动圆横向跨距之半/m; R₀为轮对标称滚动圆半径/m; L_t为转向架的固定轴距之半/m; V为车辆运行速度/(m·s^-1)。

从式(1)和式(2)可以看出, 不论是自由轮对还是刚性转向架, 其蛇行运动频率都随着车辆运行速度的增大而增大。

对于实际运用中的弹性定位转向架, 由于其悬挂定位刚度介于0和∞之间, 所以弹性定位转向架的蛇行运动频率F_b应该介于自由轮对蛇行运动频率和刚性转向架蛇行运动频率之间, 具体数值与悬挂定位刚度的大小有关, 可以用一个简单公式来粗略表示

$F{}_{\text{b}}=\eta V(3)$

式中: η为弹性定位转向架蛇行运动频率系数。

从式(3)可以看出, 弹性定位转向架的蛇行运动频率也随着车辆运行速度的增大而呈线性增大。

通过对转向架蛇行运动频率的分析可以看出: 转向架蛇行运动频率的最大特点就是它的振动频率随着车辆运行速度的增大而增大, 而车辆系统的自振频率和车辆运行速度是基本无关的, 这样在某个速度段, 蛇行运动频率就有可能与车辆系统的某个相关的固有振动频率接近, 从而因为共振而恶化车辆的乘坐舒适性。

2.   车辆系统振动模态参数

如果无轨道激扰作用, 车辆系统的线性振动微分方程描述为^[8]

$\mathit{{\rm M}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{X}}}+(\mathit{C}+\mathit{C}{}_{\text{w}\text{r}}/V)\dot{\mathit{X}}+(\mathit{{\rm K}}+\mathit{{\rm K}}{}_{\text{w}\text{r}})\mathit{X}=0(4)$

式中: X为系统的广义坐标列向量, 阶数为n(即自由度个数); M、C和K分别为悬挂系统的质量、阻尼和刚度矩阵; C_wr和K_wr为与轮轨接触参数有关的矩阵。

引入新的变量

$\mathit{Y}=\left[\begin{array}{l}\dot{\mathit{X}}\\ \mathit{X}\end{array}\right]$

将式(4)降阶后化为

$\dot{\mathit{Y}}=\left[\begin{array}{cc}-\mathit{{\rm M}}{}^{-1}(\mathit{C}+\mathit{C}{}_{\text{w}\text{r}}/V)& -\mathit{{\rm M}}{}^{-1}\mathit{{\rm K}}\\ \mathit{{\rm I}}& 0\end{array}\right]\mathit{Y}=\mathit{A}\mathit{Y}(5)$

式(5)中各符号的意义同式(4), 系统的特征值和特征向量的求解公式为

(A-ηI)Φ=0 (6)

式中: η为特征值; Φ为与η相应的特征向量(它描述了状态变量的模态振型)。

对于自由度数为n的车辆系统而言, 系统矩阵A为2n阶实数阵, 特征值一般为n对共轭复根, 其一般形式为^[9-10]

$\eta {}_i=\alpha {}_i\pm \text{j}\beta {}_i(7)$

式中: α_i为特征根的实部; β_i为特征根的虚部。

每对特征根(振动模态)对应的振动频率为

$F{}_i=\frac{\beta {}_i}{2\text{π}}(8)$

每对特征根对应的阻尼比为

$\xi {}_i=\frac{-\alpha {}_i}{\sqrt{\alpha {}_i^2+\beta {}_i^2}}(9)$

车辆系统的固有振动和蛇行运动的频率与模态阻尼比可根据式(8)和式(9)计算。

3.   轨道激扰特性

图 1是车辆运行速度在20 km·h^-1时美国五级时域谱的频谱变换图, 可以看出, 轨道激扰的频域成分很多, 但振动能量主要集中在0.1 Hz左右, 称轨道谱中振动能量最大的频率成分为轨道激扰的主频。轨道激扰的主频会随着车辆运行速度的增大而呈线性增大趋势, 见图 2。从图 1还可看出, 除了轨道激扰的主频成分振动能量最大外, 在轨道激扰的0.5~2.0倍主频范围内的振动能量都比较大, 基本上集中了轨道激扰的大部分振动能量, 称0.5~2.0倍主频的范围为轨道谱的主振频带。从图 2可以看出, 轨道激扰的主频带随着车辆运行速度的增大越来越宽。

图  1  轨道谱

Figure  1.  Track irregularity

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图  2  轨道激扰频率与车辆运行速度的关系

Figure  2.  Relationship between track irregularity frequency and running speed of vehicle

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通过对以上轨道谱特性的分析, 可以看出: 由于轨道谱主频随着车辆运行速度的增大而增大, 这样在某个速度段, 轨道激扰主频就有可能和车辆系统的某个相关固有振动频率接近, 因为共振而恶化车辆的乘坐舒适性; 由于轨道谱的主频带随着车辆运行速度的增大而变得越来越宽, 这样在高速阶段, 车辆系统的各种振型的振动都容易被激起, 因此, 车辆在高速段的乘坐舒适性比低速段的乘坐舒适性通常要差一些(低速段的共振速度区除外)。

4.   车辆悬挂振动特性分析

车辆的乘坐舒适性往往与车体的悬挂振动模态直接相关, 车体固有的悬挂振动模态共有六种, 即车体伸缩、横摆、浮沉、侧滚、点头和摇头。车体伸缩振动对车辆平稳性影响不大; 车体的横摆与侧滚始终耦合在一起: 当车体的横摆与侧滚同相振动时就形成下心滚摆, 当车体的横摆与侧滚反相振动时就形成上心滚摆, 因此, 通常只研究车体的5种常见振动模态: 下心滚摆、上心滚摆、摇头、浮沉和点头。车体的摇头、下心滚摆和上心滚摆主要影响车辆的横向平稳性, 而车体的浮沉和点头主要影响车辆的垂向平稳性, 同时车体的下心滚摆和上心滚摆也对车辆垂向平稳性有一定影响。

表 1是车体悬挂振动模态的五种固有振动的自振频率, 基本不随车辆运行速度的变化而变化。表 2是转向架蛇行运动频率和轨道激扰谱主频随着车辆运行速度的变化情况, 随着运行速度的增大, 转向架蛇行运动频率和轨道激扰谱主频会线性增大。

表  1  自振频率

Table  1.  Natural frequencies  Hz

下心滚摆	上心滚摆	摇头振动	点头振动	浮沉振动
0.505	1.546	0.642	1.661	1.758

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转向架蛇行运动对车体振动的影响主要有: 当车辆前后转向架蛇行运动同相位时, 将引起车体的上心滚摆; 当车辆前后转向架蛇行运动反相位时, 将引起车体的摇头振动。

表  2  转向架蛇行运动频率和轨道激扰谱主频与车辆运行速度的关系

Table  2.  Relationship among track irregularity frequency, bogie hunting frequency and vehicle running speed

速度/(km·h-1)	1	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
蛇行频率/Hz	0.021	0.426	0.847	1.272	1.705	2.140	2.574	3.002	3.41	3.809	4.172
激扰主频/Hz	0.005	0.094	0.188	0.282	0.376	0.470	0.564	0.658	0.752	0.846	0.940

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轨道激扰对车体振动的影响主要有: 当轨道激扰谱激起前后转向架同相横向振动时, 将引起车体的上心滚摆; 当轨道激扰谱激起前后转向架反相横向振动时, 将引起车体的摇头振动; 当轨道激扰谱激起前后转向架同相垂向振动时, 将引起车体的浮沉振动; 当轨道激扰谱激起前后转向架反相垂向振动时, 将引起车体的点头振动; 当轨道激扰谱激起前后转向架同相侧滚振动时, 将引起车体的下心滚摆。

从以上分析可以看出: 转向架蛇行运动主要引起车体的上心滚摆和摇头振动(一旦转向架蛇行运动频率与车体固有的上心滚摆和摇头振动频率接近时, 将可能引起车体的上心滚摆和摇头振动加剧); 轨道激扰可以激起车体所有悬挂振动模态的振动(一旦轨道激扰主频与车体悬挂振动模态中的任何一种振动模态的固有频率接近, 都可能引起车体该悬挂振动模态的剧烈振动)。可推断: 转向架蛇行运动主要影响车辆的横向平稳性, 而轨道激扰既影响车辆的横向平稳性, 又影响车辆的垂向平稳性。

根据以上分析, 结合表 1和表 2的数据可得车辆系统振动频率图谱, 见图 3。可以看出, 该车辆系统存在3个主要共振区。

图  3  车辆系统振动频率图谱

Figure  3.  Vibrational Spectrum of vehicle system

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(1) 共振区1在30 km·h^-1速度处, 由于转向架蛇行运动频率和车体的摇头振动频率接近而发生共振, 该共振主要影响车辆的横向平稳性。

(2) 共振区2在75 km·h^-1速度处, 由于转向架蛇行运动频率和车体上心滚摆频率接近而发生共振, 共振对车辆的横向和垂向平稳性有一定影响。

(3) 共振区3在120 km·h^-1左右速度段, 由于轨道激扰主频和车体的下心滚摆和摇头振动频率接近而发生共振, 该共振主要影响车辆的横向平稳性, 对垂向平稳性也有一定影响。

由于这3个共振区都和车辆的横向振动有关, 所以该车辆的横向平稳性将可能出现3个恶化区, 尤其是共振区1和共振区3, 因为这2个共振区直接影响到车体的主要横向振动(摇头振动); 由于共振区2和共振区3与车体上心滚摆和下心滚摆有关, 所以对车辆的垂向平稳性可能会有一定影响, 但影响不会太大, 因为轨道谱的主频并没有与车体的主要垂向振动(浮沉和点头)频率交叉。

5.   车辆运行平稳性分析

图 4是车辆横向和垂向振动加速度随车辆运行速度的变化情况, 图 5是车辆横向和垂向平稳性指标随车辆运行速度的变化情况。可以看出, 加速度和平稳性指标具有同样的变化趋势: 车辆横向振动加速度和横向平稳性指标随车辆运行速度的增大不是呈单调增加的趋势, 而是在30、75和120 km·h^-1运行速度处出现3个局部峰值, 尤其是30和120 km·h^-1的峰值尤其明显; 车辆垂向振动加速度和垂向平稳性指标随车辆运行速度的增加基本上呈上升趋势, 只是在75、120 km·h^-1运行速度处出现了2个较小的局部峰值。很明显, 仿真结果与前面的理论分析是非常吻合的。

图  4  振动加速度的变化

Figure  4.  Change of vibration acceleration

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图  5  平稳性指标的变化

Figure  5.  Change of ride quality

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第1个峰值(30 km·h^-1处) 应该是和前后转向架反相蛇行运动引起的车体摇头振动与车体固有的摇头振动发生的共振有关; 第2个峰值(75 km·h^-1处) 应该是和前后转向架同相蛇行运动引起的车体上心滚摆与车体固有的上心滚摆发生的共振有关; 第3个峰值(120 km·h^-1处) 应该是和轨道激扰主频与车体的下心滚摆和摇头振动频率比较接近而发生的共振有关。

为了应证上面的分析判断, 现采集车体采样点(车体地板面上距转向架中心一侧1.0 m处)的横向和垂向振动加速度, 进行频谱分析, 见图 6~9。

图  6  车辆运行速度为30 km·h^-1时的横向振动加速度

Figure  6.  Lateral vibration acceleration of car body at 30 km·h^-1

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图  7  车辆运行速度为75 km·h^-1时的横向振动加速度

Figure  7.  Lateral vibration acceleration of car body at 75 km·h^-1

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图  8  车辆运行速度为120 km·h^-1时的横向振动加速度

Figure  8.  Lateral vibration acceleration of car body at 120 km·h^-1

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图  9  车辆运行速度为120 km·h^-1时的垂向振动加速度

Figure  9.  Vertical vibration acceleration of car body at 120 km·h^-1

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从图 6(b)可以看出, 当车辆的运行速度为30 km·h^-1时, 车体的横向振动主要集中在0.50和0.64 Hz处, 0.50 Hz是车体的下心滚摆振动固有频率, 0.64 Hz是车体的摇头振动固有频率。从图 3可以看出, 当车辆的运行速度为30 km·h^-1时, 转向架蛇行运动频率也恰好在0.64左右。这说明前后转向架反相蛇行引起的车体摇头振动与车体固有的摇头振动发生了共振, 所以在30 km·h^-1速度处, 车辆的横向平稳性和振动加速度出现了一个局部峰值(图 4、5)。

从图 7(b)可以看出, 当车辆的运行速度为75 km·h^-1时, 车体的横向振动主要集中在0.50和1.57 Hz处, 0.50 Hz是车体的下心滚摆振动固有频率, 1.57 Hz是车体的上心滚摆固有频率。从图 3可以看出, 当车辆的运行速度为75 km·h^-1时, 转向架蛇行运动频率为1.57左右。这说明前后转向架同相蛇行引起的车体上心滚摆与车体固有的上心滚摆发生了共振; 由于车体的上心滚摆既和车辆的横向平稳性有关, 也和车辆的垂向平稳性有关, 但车体上心滚摆并不是车辆主要的横向振动和垂向振动, 所以在75 km·h^-1速度处, 车辆的横向和垂向平稳性指标以及振动加速度都只出现了一个很小的局部峰值(图 4、5)。

从图 8(b)可以看出, 当车辆的运行速度为120 km·h^-1时, 车体的横向振动主要集中在0.57和1.80 Hz处。从图 3可以看出, 当车辆的运行速度为120 km·h^-1时, 转向架蛇行运动频率为2.57 Hz左右, 轨道激扰主频为0.57 Hz。这说明车体的横向共振峰值和转向架蛇行没有关系, 而主要受线路激扰的影响, 此时的轨道激扰主频(0.57 Hz)与车体的下心滚摆固有频率(0.50 Hz)和车体摇头振动固有频率(0.64 Hz)都比较接近, 所以容易引起车体剧烈的摇头和下心滚摆, 而这两种振动都和车辆的横向平稳性关系极大, 所以在120 km·h^-1速度处, 车辆的横向平稳性和振动加速度出现了一个最大的峰值(图 4、5)。

从图 9(b)可以看出, 当车辆的运行速度为120 km·h^-1时, 车体的垂向振动频率主要集中在0.57和1.76 Hz处, 0.57 Hz是轨道激扰主频, 1.76 Hz是车体的浮沉振动固有频率。由于轨道激扰主频(0.57 Hz)与车体的下心滚摆固有频率(0.50 Hz)比较接近, 所以车辆的垂向平稳性受到了一定影响, 但影响并不大, 因为车体下心滚摆并不是车辆的主要垂向振动(车辆主要的垂向振动是车体的浮沉和点头)。由于转向架蛇行运动对车辆的垂向振动影响很小, 而轨道激扰主频在0~200 km·h^-1速度范围内并没有和车辆的主要垂向固有振动(浮沉和点头)发生共振(从图 3可以看出), 所以在0~200 km·h^-1速度范围内, 该车辆的垂向平稳性并不象横向平稳性那样出现了较大的局部波动, 而基本呈现一种稳步变化的趋势(图 4、5)。

6.   结语

(1) 由于转向架的蛇行运动频率和轨道激扰主频都随着车辆运行速度的增大而直线上升, 而车体固有振动频率基本上是固定不变的, 这样转向架的蛇行运动频率和轨道激扰主频在某一速度下必然与相关的车体固有振动频率接近而发生共振。转向架蛇行运动主要影响车辆的横向平稳性, 而对车辆垂向平稳性影响较小。当转向架蛇行运动频率在某一速度下与车体上心滚摆和摇头振动固有频率接近时, 会恶化车辆在该速度段的横向平稳性。轨道激扰不仅影响车辆的横向平稳性, 还影响车辆的垂向平稳性: 当轨道激扰主频在某一速度下与车体的摇头、下心滚摆和上心滚摆固有频率接近时, 会恶化车辆在该速度段的横向平稳性; 当轨道激扰主频在某一速度下与车体的浮沉和点头固有频率接近时, 会恶化车辆在该速度段的垂向平稳性。

(2) 虽然转向架的蛇行运动和轨道激扰与车体固有的悬挂振动模态的共振是不可避免的, 但可以通过车辆系统的合理设计使共振速度远离车辆的常用运营速度, 以得到较好的乘坐舒适性。对于低速车辆, 可适当增大车体的悬挂振动模态固有频率, 以使共振速度高于车辆的最高运行速度; 对于高速车, 应尽量减小车体的悬挂振动模态固有频率, 以使共振速度低于车辆的常用运营速度。

(3) 由于车辆的横向平稳性不仅要受轨道激扰的影响, 还要受转向架蛇行运动的影响, 所以车辆的横向平稳性控制难度更大。如果车辆系统设计不合理, 可能造成转向架蛇行运动频率和轨道激扰主频过分接近, 这样可能造成在某一速度下转向架蛇行运动频率和轨道激扰主频同时与车体的上心滚摆和摇头振动固有频率接近, 从而使车辆在该速度段产生严重的横向晃动。为了减轻车辆的横向晃动, 最好根据不同的线路条件设计与之匹配的车辆悬挂系统, 以使转向架蛇行运动频率远离该线路的轨道激扰主频。