0.   引言

由于沥青混合料是一种典型的粘弹性材料, 具有对时间、温度和应力的依赖性, 在高温或高应变情况下还表现出显著的非线性。沥青路面在重载或超载的作用下会产生较大的永久变形而形成车辙, 对行车安全带来威胁, 因此, 研究沥青路面的永久变形是非常重要的。

Wu在预估沥青路面永久变形时, 采用三参数的蠕变模型来表征沥青路面面层的非线性特征, 采用二参数的Drucker-Prager (DP) 塑性模型来表征骨料和路基材料的特性, 并利用有限元软件ANSYS来计算沥青路面的永久变形^[1]。这种方法的优点是参数较少, 对沥青面层采用了非线性模型; 缺点是没有考虑沥青面层的塑性特性, 所使用的DP模型和实际路面的变形之间存在着差异, 而且使用了二维有限元法, 二维有限元和路面的荷载条件存在着差异。

Hua等在研究沥青路面永久变形时, 把路面模拟成平面应变问题, 使用了非线性有限元程序包ABAQUS对沥青路面永久变形进行分析^[2]。这种方法的优点是考虑了沥青材料的非线性和蠕变特性; 缺点是没有考虑沥青材料的塑性应变, 使用二维有限元方法和路面的三维情况相差较大。

SHRP (strategic highway research program) 建立了一个非线性的弹粘塑性模型, 此模型是由广义的Maxwell模型和一个弹塑性模型并联组成, 把广义Maxwell模型分成两部分, 分别建立了非线性弹性本构模型和粘性本构模型, 使用了基于J₂塑性理论的弹塑性模型, 在弹塑性模型中一方面没有考虑塑性流动, 另一方面假定弹性是线性的, 用有限元程序对沥青路面的永久变形进行了计算^[3]。这个模型的优点是考虑了材料的非线性、粘弹性与塑性, 缺点是由于塑性元件的简化, 使得有些计算结果与试验结果不相符。

Long提出了沥青路面永久变形的非线性粘弹性模型, 这个模型为广义的Maxwell模型, 考虑了轮迹边缘的隆起, 使用有限元法进行了计算^[4]。Erkens等建立了沥青混凝土的本构模型, 讨论了沥青混凝土的三维有限元法^[5]。Blab等对三维沥青路面进行了粘弹性有限元分析^[6]。Judycki对常规和改性沥青混凝土在蠕变试验条件下的非线性的粘弹性进行了研究^[7]。张宜洛等研究了沥青混合料基本参数对高温性能的影响^[8]。

SWK/UN使用轮辙试验来模拟运动轮载在路面上引起的应力状态。在试验中采用了16种沥青粘结料, 2种骨料, 2种空隙率, 组成了64种沥青混合料。所有的混合料试件直径均为200 mm的圆柱体, 通过滚轮式压实机压实到目标空隙率为4%和7%, 在试验温度为40 ℃, 轮压为730 kPa, 荷载作用次数为5 000次时, 测量出变形发展的速率以及总的车辙深度^[9]。杜顺成等对沥青混合料永久变形评价指标以及不同级配对沥青混合料车辙性能的影响进行了研究^[10-11]; 韩海峰等对水作用下沥青混合料永久变形特性的表现形式进行了探讨^[12]; 赵可等对SMA高温稳定性进行了研究^[13]; 武建民等对沥青混合料进行了有限元模拟^[14]; 张宜洛对抗滑级配类型沥青混合料的抗滑性能进行了研究^[15]。

文献[16]提出了一个沥青路面永久变形的非线性粘弹-弹塑性本构模型, 克服了以前各种模型的缺点, 更为全面地描述了沥青路面的永久变形特性。本文针对文献[16]提出的本构模型, 推导了广义Maxwell模型的非线性粘弹性有限元法, 较为全面地考虑了材料非线性和几何非线性所形成的永久变形, 从弹性、非线性弹性、塑性、粘弹性、非线性粘弹性等多方面对沥青路面进行了深入分析, 并使用有限元程序对7种沥青路面的永久变形进行了计算, 说明了本文建立的广义Maxwell模型的非线性粘弹性有限元法用于计算沥青路面的永久变形是有效的。

1.   沥青路面永久变形的非线性粘弹-弹塑性本构模型

1.1   非线性弹性元件的本构模型

根据应变能密度函数的定义, 可将非线性弹性元件的本构方程写为^[16]

$\mathit{S}{}_{ij}=\frac{\partial W}{\partial \mathit{E}{}_{ij}}(1)$

式中: W (I₁, I₂, I₃) 为应变能密度函数; S_ij为Krichhoff应力; E_ij为Green应变。

将应变能密度函数用Toylor级数展开, 并略去大于4次的级数项, 得

$\begin{array}{l}W(\mathit{E}{}^{\text{e}})=\frac{1}{2}C{}_1{\rm I}{}_1^2+C{}_2{\rm I}{}_2+\frac{1}{6}C{}_3{\rm I}{}_1^3+C{}_4{\rm I}{}_1{\rm I}{}_2+C{}_5{\rm I}{}_3+\\ \frac{1}{24}C{}_6{\rm I}{}_1^4+\frac{1}{2}C{}_7{\rm I}{}_1^2{\rm I}{}_2+C{}_8{\rm I}{}_1{\rm I}{}_3+\frac{1}{2}C{}_9{\rm I}{}_2^2(2)\end{array}$

式中: C_i为材料常数; E^e为弹性应变张量; I₁、I₂和I₃分别为第1、2和3应变不变量。

1.2   塑性本构理论

本文使用Von Mises屈服准则和随动强化理论, 得出应力增量形式的本构关系为

$\text{d}\mathit{\sigma }{}_{ij}=\mathit{D}{}_{ijkl}^{\text{e}\text{p}}\text{d}\mathit{\epsilon }{}_{kl}(3)$

式中: D ${}_{ijkl}^{\text{e}\text{p}}$为弹塑性矩阵; σ_ij为应力; ε_kl为应变。

1.3   广义Maxwell模型的线性粘弹性本构方程

广义Maxwell模型的三维积分型本构方程为

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\mathit{e}{}_{ij}(t)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^t\overline{J}}{}_1(t-\tau )\frac{\text{d}\mathit{\sigma }{}_{ij}^{´}(\tau )}{\text{d}\tau }\text{d}\tau \\ \mathit{e}(t)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^t\overline{J}}{}_2(t-\tau )\frac{\text{d}\mathit{\sigma }(\tau )}{\text{d}\tau }\text{d}\tau \end{array}(4)\\ \overline{J}{}_1(t)=\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm N}}\frac{G{}_j\eta {}_j}{\eta {}_j+G{}_{j}t}}\right){}^{-1}(5)\\ \overline{J}{}_2(t)=\frac{1}{3{\rm K}}(6)\end{array}$

式中: σ′_ij (τ) 为应力偏量; e_ij (t) 为应变偏量; e (t) 为正应变; t为时间; σ (τ) 为正应力; τ为积分变量; $\overline{J}{}_1(t)、\overline{J}{}_2(t)$分别为描述变形的畸变部分和体积变化部分的蠕变柔量; K为体积模量; G_j为剪切模量; η_j为粘性常数。

1.4   广义Maxwell模型的非线性本构方程

在式(4) 中, 以Kirchhoff应力S代替σ (τ), 以Green应变E代替小应变, 则增量型的本构方程为

ΔE′_ij (t) =∫ ${}_{-\infty }^t$ $[\overline{J}{}_1(t+\text{Δ}t-\tau )-\overline{J}{}_1(t-\tau )]\frac{\partial {\mathit{S}}^{\prime }{}_{ij}}{\partial \tau }\text{d}\tau +$

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_t^{t+\text{Δ}t}\overline{J}}{}_1(t+\text{Δ}t-\tau )\frac{\partial {\mathit{S}}^{\prime }{}_{ij}}{\partial \tau }\text{d}\tau (7)\\ \text{Δ}\mathit{E}(t)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^t[}\overline{J}{}_2(t+\text{Δ}t-\tau )-\overline{J}{}_2(t-\tau )]\frac{\partial \mathit{S}}{\partial \tau }\text{d}\tau +\\ {\displaystyle {\int }_t^{t+\text{Δ}t}\overline{J}}{}_2(t+\text{Δ}t-\tau )\frac{\partial \mathit{S}}{\partial \tau }\text{d}\tau (8)\end{array}$

式中: ΔE (t)、ΔE′_ij (t) 分别为Green应变及应变偏量的增量; S′_ij为Kirchhoff应力偏量。

2.   非线性粘弹性力学的有限元法

本文采用TL列式法推导了非线性粘弹性力学的有限元法。在TL列式法中, 以t₀时刻的初始构形为参考构形, t_n+1时刻的平衡方程的弱形式为

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}\delta }\mathit{E}{}_{n+1}\mathit{S}{}_{n+1}\text{d}\Omega -{\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}\delta }\mathit{u}{}_{n+1}\mathit{f}{}_{n+1}\text{d}\Omega -\\ {\displaystyle {\int }_{\Gamma {}_0}\delta }\mathit{u}{}_{n+1}\overline{\mathit{t}}{}_{n+1}\text{d}\Gamma =0(9)\end{array}$

式中: f_n+1为体力; $\overline{\mathit{t}}{}_{n+1}$为边界Γ_t上的已知面力; Ω为问题所在的域; Ω₀为在t₀时刻问题所在的域; u_n+1为第n+1时间步的位移。

相应的边界条件为

$\begin{array}{l}\mathit{S}(\mathit{X})\mathit{n}(\mathit{X})=\overline{\mathit{t}}(\mathit{X})(\mathit{X}\in \Gamma {}_t)(10)\\ \mathit{u}(\mathit{X})=\overline{\mathit{u}}(\mathit{X})(\mathit{X}\in \Gamma {}_u)(11)\end{array}$

式中: n (X) 为Γ_t上的点X处单位外法向矢量; $\overline{\mathit{u}}(\mathit{X})$为边界Γ_u上的已知位移。

在第n+1个时间步, 有

Green应变张量的增量ΔE可以表示为线性部分ΔE^L与非线性部分ΔE^NL之和, 即

$\begin{array}{l}\text{Δ}\mathit{E}=\text{Δ}\mathit{E}{}^{\text{L}}+\text{Δ}\mathit{E}{}^{\text{Ν}\text{L}}(15)\\ \text{Δ}\mathit{E}{}_{ij}^{\text{L}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_i}{\partial \mathit{X}{}_j}+\frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_j}{\partial \mathit{X}{}_i}+\frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_k^{(n)}}{\partial \mathit{X}{}_i}\frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_k}{\partial \mathit{X}{}_j}+\\ \frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_k}{\partial \mathit{X}{}_i}\frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_k^{(n)}}{\partial \mathit{X}{}_j})(16)\\ \text{Δ}\mathit{E}{}_{ij}^{\text{Ν}\text{L}}=\frac{1}{2}\frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_k}{\partial \mathit{X}{}_i}\frac{\partial \text{Δ}\mathit{u}{}_k}{\partial \mathit{X}{}_j}(17)\end{array}$

非线性粘弹力学的本构方程的增量形式可写为

$\Delta \mathit{E}=\mathit{C}(\mathit{u},\text{Δ}t)\text{Δ}\mathit{S}(18)$

t_n+1时刻的Green应变张量的变分为

$\delta \mathit{E}{}_{n+1}=\delta (\text{Δ}\mathit{E})=\delta (\text{Δ}\mathit{E}{}^{\text{L}})(19)$

这样, 方程(9) 可写为

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}\delta }\text{Δ}\mathit{E}{}^{\text{L}}\mathit{C}\text{Δ}\mathit{E}{}^{\text{L}}\text{d}\Omega +{\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}\delta }\text{Δ}\mathit{E}{}^{\text{Ν}\text{L}}\mathit{S}{}_n\text{d}\Omega =\\ {\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}\delta }\mathit{u}{}_{n+1}\mathit{f}{}_{n+1}\text{d}\Omega +{\displaystyle {\int }_{\Gamma {}_0}\delta }\mathit{u}{}_{n+1}\overline{\mathit{t}}{}_{n+1}\text{d}\Gamma -\\ {\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}\delta }\text{Δ}\mathit{E}{}^{\text{L}}\mathit{S}{}_n\text{d}\Omega (20)\end{array}$

等参单元的形函数为

$\begin{array}{l}\mathit{u}(\mathit{X})={\displaystyle \sum _{i=1}^{{{\rm N}}^{\prime }}{\rm N}}{}_i(\mathit{X})\mathit{u}(\mathit{X}{}_i)(21)\\ \text{Δ}\mathit{u}(\mathit{X})={\displaystyle \sum _{i=1}^{{{\rm N}}^{\prime }}{\rm N}}{}_i(\mathit{X})\text{Δ}\mathit{u}(\mathit{X}{}_i)(22)\\ \delta \mathit{u}{}_{n+1}=\delta (\text{Δ}\mathit{u})={\displaystyle \sum _{i=1}^{{{\rm N}}^{\prime }}{\rm N}}{}_i(\mathit{X})\delta \text{Δ}\mathit{u}(\mathit{X}{}_i)(23)\end{array}$

将式(22) 代入式(15), 得单元的Green应变为

式中: N′为单元节点数; N_i (X) 为单元形函数; C (u, Δt) 为张量; 应变矩阵的线性部分B^L和非线性部分B^NL可由式(22) 和式(16)、(17) 得到。

对方程(20) 进行有限元离散, 并将式(22) ~ (24) 代入方程(20), 得

$\begin{array}{l}\mathit{{\rm K}}{}_{n+1}\text{Δ}\mathit{u}=\text{Δ}\mathit{f}{}_{n+1}(25)\\ \mathit{{\rm K}}{}_{n+1}=\mathit{{\rm K}}{}_{n+1}^{\text{L}}+\mathit{{\rm K}}{}_{n+1}^{\text{Ν}\text{L}}(26)\\ \text{Δ}\mathit{f}{}_{n+1}=\mathit{f}{}_{n+1}^{\text{e}\text{x}\text{t}}-\mathit{f}{}_n^{\text{Ν}\text{L}}(27)\end{array}$

K_n+1^L的元素为

$\mathit{{\rm K}}{}_{ij}^{\text{L}}={\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}(}\mathit{B}{}_i^{\text{L}}){}^{\text{Τ}}\mathit{C}\mathit{B}{}_j^{\text{L}}\text{d}\Omega (28)$

K ${}_{n+1}^{\text{Ν}\text{L}}$的元素为

$\mathit{{\rm K}}{}_{ij}^{\text{Ν}\text{L}}={\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}(}\mathit{B}{}_i^{\text{Ν}\text{L}}){}^{\text{Τ}}\mathit{C}\mathit{B}{}_j^{\text{Ν}\text{L}}\text{d}\Omega (29)$

f_n+1^ext的元素为

$\mathit{f}{}_i^{\text{e}\text{x}\text{t}}={\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}{\rm N}}{}_i\mathit{f}\text{d}\Omega +{\displaystyle {\int }_{\Gamma {}_t}{\rm N}}{}_i\overline{\mathit{t}}\text{d}\Gamma (30)$

f ${}_n^{\text{Ν}\text{L}}$^的元素为

$\mathit{f}{}_i^{\text{Ν}\text{L}}={\displaystyle {\int }_{\Omega {}_0}(}\mathit{B}{}_i^{\text{L}}){}^{\text{Τ}}\mathit{S}{}_n\text{d}\Omega (31)$

式中: K_n+1^L、K ${}_{n+1}^{\text{Ν}\text{L}}$分别为第n+1时间步的刚度矩阵K_n+1的线性部分和非线性部分; Δf_n+1为第n+1时间步体力的增量; f ${}_n^{\text{Ν}\text{L}}$为第n时间步体力的非线性部分; f ${}_{n+1}^{\text{e}\text{x}\text{t}}$为第n+1时间步的外力。

3.   沥青路面永久变形的非线性有限元分析

考虑图 1路面体系, 其几何尺寸如下: 长度为300.00 cm, 宽度为365.76 cm, 深度为140.00 cm, 沥青面层厚度为38.00 cm, 路基厚度为102.00 cm。轮压p为730 kPa。

图  1  路面体系

Figure  1.  Pavement system

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本文采用了7种沥青混合料, 其沥青粘结料的特性见表 1, 骨料为RD (石灰石与碎石) 和RH (硬砂岩与碎河砾石), V_a为空隙率, 混合料的组成见表 2。

表  1  沥青粘结料特性

Table  1.  Asphalt binder properties

材料特性		基准材料
		AAC-1	AAG-1	AAK-1	AAM-1
粘度/针入度		AC-8	AR-4000	AC-30	AC-20
SHRP PG分级		PG58-16	PG58-10	PG64-22	PG64-16
原始沥青	动力粘度(60 ℃) / (Pa·s)	41.9	186.2	325.6	199.2
	运动粘度(135 ℃) / (m2·s-1)	1.79×10-4	2.43×10-4	5.62×10-4	5.69×10-4
老化沥青	动力粘度(60 ℃) / (Pa·s)	101.4	325.3	970.8	394.7
	运动粘度(135 ℃) / (m2·s-1)	2.39×10-4	3.04×10-4	9.30×10-4	7.44×10-4

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表  2  混合料组成

Table  2.  Mixture composition

路面类型	沥青粘结料	骨料	空隙率/%
p1	AAK-1	RD	3.7
p2	AAK-1	RD	6.5
p3	AAC-1	RD	3.8
p4	AAC-1	RD	6.5
p5	AAM-1	RD	4.6
p6	AAM-1	RD	7.5
p7	AAG-1	RH	4.7

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在有限元分析时, 沥青混合料面层的本构模型为非线性粘弹-弹塑性模型, 其计算参数见表 3~5。路基为线性弹性材料, 杨氏模量E为138 MPa, 泊松比μ为0.45。

表  3  非线性弹性常数

Table  3.  Nonlinear elasticity constants  MPa

材料常数	路面类型
	p1	p2	p3	p4	p5	p6	p7
C1	5.06×102	5.06×102	4.36×103	1.28×103	2.68×103	2.76×103	5.78×101
C2	-2.53×102	-5.06×102	-1.64×102	-3.22×102	-5.61×103	-3.28×103	-8.09×102
C3	-5.06×104	-5.06×104	-2.73×106	-2.96×104	-2.81×106	-2.29×106	-1.16×106
C4	5.06×104	2.02×105	1.09×105	2.96×105	1.12×106	8.19×105	1.16×105
C5	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
C6	1.26×108	2.53×108	5.46×106	4.74×108	2.81×108	4.14×107	2.89×108
C7	-5.06×107	-3.79×107	-7.64×107	-2.37×107	-2.81×107	-3.28×106	-1.16×107
C8	5.06×107	5.06×107	1.09×107	5.92×107	2.81×107	3.28×105	1.16×107
C9	5.06×105	5.06×105	1.09×106	8.88×106	2.81×107	6.55×107	1.16×106

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表  4  粘弹性材料常数

Table  4.  Viscoelastic material constants  MPa

元件i

路面类型

p1

p2

p3

p4

Ei

ηi

Ei

ηi

Ei

ηi

Ei

ηi

1

3.67×10-4

8.25×10-1

3.67×10-4

8.25×10-1

3.89×10-4

8.64×10-1

1.81×10-3

8.69×10-1

2

6.24×10-4

1.42×10-1

6.34×10-4

1.42×10-1

6.28×10-4

1.17×10-1

2.37×10-3

1.13×10-1

3

1.10×10-3

2.47×10-2

1.10×10-3

2.47×10-2

7.20×10-4

1.60×10-2

3.11×10-3

1.49×10-2

4

2.61×10-3

5.86×10-3

2.61×10-3

5.86×10-3

9.70×10-4

2.15×10-3

4.02×10-3

1.93×10-3

5

4.23×10-3

9.51×10-4

4.23×10-3

9.51×10-4

1.40×10-3

3.10×10-4

4.98×10-3

2.39×10-4

6

1.92×102

4.31×10-4

1.92×10-2

4.31×10-4

5.53×10-3

1.23×10-4

4.16×10-2

1.99×10-4

7

1.71×10-1

3.86×10-4

1.72×103

3.86×10-4

8.92×10-2

1.98×10-4

9.36×103

4.49×10-4

8

8.00×10-1

1.80×10-4

8.00×10-1

1.80×10-4

9.00×10-1

2.00×10-4

0.00

0.00

元件i

路面类型

p5

p6

p7

Ei

ηi

Ei

ηi

Ei

ηi

1

1.02×10-2

8.63×10-1

1.15×10-2

8.65×10-1

3.67×10-4

8.68×10-1

2

1.40×10-2

1.18×10-1

1.55×10-2

1.17×10-1

4.83×10-4

1.14×10-1

3

1.92×10-2

1.62×10-2

2.10×10-2

1.58×10-2

6.39×10-4

1.51×10-2

4

2.59×10-2

2.19×10-3

2.81×10-2

2.12×10-3

8.05×10-4

1.91×10-3

5

4.93×10-2

4.16×10-4

3.42×10-2

2.58×10-4

9.96×10-4

2.36×10-4

6

1.22×10-1

1.03×10-4

1.07×10-1

8.09×10-5

8.33×10-3

1.97×10-4

7

7.32×10-1

6.17×10-5

7.50×10-1

5.66×10-5

1.87×10-1

4.44×10-4

8

0.00

0.00

0.00

0.00

8.00×10-1

1.89×10-4

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表  5  塑性材料常数

Table  5.  Plastic material constants

材料常数	路面类型
	p1	p2	p3	p4	p5	p6	p7
屈服应力/MPa	1.00	1.00	2.00	1.00×10-3	3.00	3.00	1.00
强化系数	1.00×103	1.00×103	5.00×102	5.00×102	2.00×103	2.00×103	5.00×102

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计算时采用的单元为三维20结点六面体等参单元, 路面结构的有限元网格见图 2, 在沥青面层和轮迹附近使用了较密的网格, 图 2中, x₁、x₂、x₃分别为路面的长度、宽度、深度方向。

图  2  路面结构的有限元网格

Figure  2.  Finite element mesh of pavement structure

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计算时采用的位移边界条件为: 模型底部边界在垂直和水平方向均固定; 左右两侧的边界均为在垂直方向为自由, 而在水平方向为固定。

采用多荷载步来模拟运动的荷载, 每个轮载持续作用的时间为0.1 s。当车轮沿路面长度方向从网格的一端开始, 移动至网格的另一端时, 一个简单的重复荷载完成。本文对p₁~p₆ 6种沥青路面在100、200、300次重复荷载作用下的垂直变形进行了计算, 见图 3~8。计算所得的6种沥青路面的车辙深度见表 6, 并将其与SHRP的有限元分析结果^[3]进行了比较。

图  3  p₁路面的垂直变形

Figure  3.  Vertical deformations of p₁pavement

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图  4  p₂路面的垂直变形

Figure  4.  Vertical deformations of p₂pavement

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图  5  p₃路面的垂直变形

Figure  5.  Vertical deformations of p₃pavement

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图  6  p₄路面的垂直变形

Figure  6.  Vertical deformations of p₄pavement

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图  7  p₅路面的垂直变形

Figure  7.  Vertical deformations of p₅pavement

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图  8  p₆路面的垂直变形

Figure  8.  Vertical deformations of p₆pavement

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表  6  沥青路面的车辙深度

Table  6.  Rutting depth of asphalt pavement mm

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为了进一步说明本文方法的有效性和计算结果的可靠性, 本文对p₇路面在5 000次荷载循环时的车辙深度进行了计算(图 9), 其结果为1.352 6 mm, 而SWK/UN试验结果为1.440 0 mm^[9], 相对误差为6.069%。

图  9  p₇路面的垂直变形

Figure  9.  Vertical deformations of p₇pavement

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考虑弹性有限变形(非线性弹性) 和不考虑弹性有限变形, 计算结果相差较大。本文对考虑弹性有限变形和不考虑弹性有限变形时p₁路面在300次重复荷载下的垂直变形进行了计算(图 10)。从以上非线性有限元计算结果可以得出如下结论。

图  10  p₁路面变形对比

Figure  10.  Deformation Comparison of p₁pavement

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(1) 从表 6可知, 对p₁~p₆路面, 本文的计算结果和SHRP的计算结果吻合较好。

(2) 为了进一步说明本文方法的有效性和计算结果的可靠性, 本文对p₇路面在5 000次荷载循环时的车辙深度进行了计算(图 9), 结果和SWK/UN试验结果吻合较好。

(3) 从图 10的计算结果可以看出, 不考虑弹性有限变形时, 在轮迹边缘的隆起大大减小, 而在轮胎之间几乎无隆起, 这与路面的实际情况相差较大, 因此, 要合理地预估沥青路面的永久变形量, 就必须在模型中考虑弹性有限变形。

(4) 从沥青路面在荷载重复作用下的路面垂直变形(图 3~9) 可知, 随着荷载重复次数的增多, 车辙深度也在增大; 当荷载重复次数较少时, 沿轮迹边缘有隆起, 但两轮胎之间的隆起不明显; 当荷载作用次数较多时, 两轮胎之间的隆起较为明显。

(5) 本文的非线性有限元分析同时考虑了非线性弹性、非线性粘弹性和塑性, 较好地反映了沥青路面的变形特性。

4.   结语

(1) 推导了广义Maxwell模型的非线性粘弹性有限元法。计算时面层使用了本文建立的沥青路面永久变形的非线性粘弹-弹塑性本构模型, 从弹性、非线性弹性、塑性、粘弹性、非线性粘弹性等多方面对沥青路面的永久变形进行了分析, 较为全面地考虑了材料非线性和几何非线性所形成的永久变形。

(2) 使用非线形有限元法对7种沥青路面的永久变形进行了计算, 并将结果与SHRP的计算结果以及SWK/UN轮辙试验结果进行了对比, 说明了本文所形成的广义Maxwell模型的非线性粘弹性有限元法用于计算沥青路面的永久变形是有效的。

(3) 本文在计算中采用了有限元法, 由于考虑大变形, 在计算过程中不可避免地造成了单元的变形, 使得每一荷载步的分析均需考虑网格的重新划分, 耗费了大量的计算时间。目前发展的无网格方法, 由于基于节点近似, 在处理大变形问题时没有网格重新划分的问题, 相对于有限元法具有明显的优点, 因此, 研究沥青路面永久变形分析的无网格方法也是必要的。