0.   引言

目前国内外对钢箱拱的研究已有较多文献^[1-6], 其主要内容涉及钢箱拱极限承载力计算方法^[6], 及焊接残余应力^{[1, 4]}、矢跨比^[3]、荷载条件^{[2, 4]}、加载方式^[1]、横风^[5]、初始缺陷^{[1, 4]}与支承条件^[4]等因素对极限承载力的影响, 而对钢桁拱的研究较少。钢拱桥极限承载力实质上是由于部分关键截面的材料屈服, 使得截面刚度降低, 当塑性区扩展到一定程度时, 荷载的微小增量就可能导致过大的位移, 从而导致结构的破坏^[7]。对于钢箱拱, 截面弯矩对结构丧失承载能力有重要影响^{[1, 6]}, 而对于钢桁拱, 拱肋构件以承受轴向力为主, 属于大轴压比的偏心受压构件, 拱肋塑性区的扩展情况与钢箱拱有较大不同, 钢桁拱的弹塑性结构行为和极限承载力必然有其自身的特点。

本文以国内跨度最大的某上承式钢桁拱桥为背景, 进行了加载全过程非线性有限元分析, 探讨了加载过程中塑性区发展和应力重分布的特点, 揭示了钢桁拱桥的破坏机理, 在此基础上对几何非线性、施工方式、活载布载方式、拱上建筑联合作用4种因素对面内极限承载力的影响进行了分析。

1.   梁单元弹塑性分析的纤维模型法

纤维模型法是梁单元弹塑性分析的方法之一, 其模型见图 1。在纤维模型法中, 需对截面分网, 每一网格在单元长度方向上形成一条纤维, 每条纤维的轴向变形对应于截面的轴向变形和弯曲变形, 截面上每一网格的应变可由平截面假定确定^[8-9], 即

$\epsilon {}_i=[1y{}_{i}z{}_i][\begin{array}{c}\epsilon {}_0\phi {}_z\phi {}_y\end{array}]{}^{\text{Τ}}(1)$

图  1  纤维模型

Figure  1.  Fibre model

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式中: φ_y、φ_z分别为梁单元对坐标轴y、z的曲率; ε₀为截面几何中心处的轴向应变; y_i、z_i分别为截面上第i条纤维的单元坐标系y、z坐标; ε_i为第i条纤维的应变。在平面分析中不考虑绕单元坐标系y轴弯曲, 应去掉式(1) 中的z_i、φ_y项, 式(1) 退化为文献[10-11]采用的应变计算模式。严格讲, 沿单元轴向, ε₀、φ_y与φ_z均是变化的, 因此, ε_i沿单元轴向也是变化的, 处理这一问题通常有2种方法, 一种是在建立单元时控制单元长度, 由于单元长度不大, 可认为沿单元轴向ε₀、φ_y与φ_z是不变的, 这样每一条纤维的应变沿其长度方向是常数, 单元的刚度矩阵可用显式表达^[10-11]; 另一种是采用与弹性刚度矩阵相同的形函数, 通过单元两端的ε₀、φ_y、φ_z和形函数来表达沿单元长度方向上任意截面的ε₀、φ_y与φ_z, 这样可通过积分来计算单元的刚度矩阵^[8-9]。理论上讲, 第1种方法更为严谨, 但从文献[10-11]的算例来看, 第1种方法也有较高的精度, 且其计算效率较第2种方法要高得多, 故本文采用第1种方法。

由式(1) 得到每一条纤维的应变后, 可由材料的本构关系得到每一条纤维的切线模量, 在每一荷载步内可认为各纤维的切线模量保持不变, 单元的轴向刚度χ与抗弯刚度ψ_y、ψ_z分别为^[10]

$\{\begin{array}{l}\chi =EA={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E}{}_{i}A{}_i\\ \psi {}_y=E{\rm I}{}_y={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E}{}_{i}A{}_i\overline{z}{}_i^2\\ \psi {}_z=E{\rm I}{}_z={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E}{}_{i}A{}_i\overline{y}{}_i^2\end{array}(2)$

式中: E为单元的等效切线模量; A为单元截面面积; E_i、A_i分别为第i条纤维的切线模量和截面面积; $\overline{z}{}_i$、$\overline{y}{}_i$分别为第i条纤维到y向、z向中性轴的距离; I_y、I_z为抗弯惯性矩。要通过式(2) 来计算单元的弹塑性刚度矩阵, 首先需确定单元两端截面中性轴的位置和ε₀、φ_y、φ_z, 这可根据单元两端截面内力的平衡条件来得到^[8-9], 即

$\begin{array}{l}{\rm N}{}_{\text{e}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}E{}_{i}A{}_i\overline{z}{}_i\phi {}_y+E{}_{i}A{}_i\overline{y}{}_i\phi {}_z+E{}_{i}A{}_i)(3)\\ {\rm M}{}_{y\text{e}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}E{}_{i}A{}_i\overline{z}{}_i^2\phi {}_y+E{}_{i}A{}_i\overline{y}{}_i\overline{z}{}_i\phi {}_z+E{}_{i}A{}_i\overline{z}{}_i)(4)\\ {\rm M}{}_{z\text{e}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}E{}_{i}A{}_i\overline{y}{}_i^2\phi {}_y+E{}_{i}A{}_i\overline{y}{}_i\overline{z}{}_i\phi {}_z+E{}_{i}A{}_i\overline{y}{}_i)(5)\end{array}$

式中: N_e、M_ye、M_ze分别为单元某一端的轴力、单元坐标系y向和z向的弯矩。上式中除A_i、N_e、M_ye与M_ze为已知外, 其余6个参数均为未知, 其中$\overline{z}{}_i$、$\overline{y}{}_i$可用ε₀、φ_y与φ_z表达为

$\{\begin{array}{l}\overline{y}{}_i=y{}_i-\frac{\epsilon {}_0}{\phi {}_z}\\ \overline{z}{}_i=z{}_i-\frac{\epsilon {}_0}{\phi {}_y}\end{array}(6)$

将式(6) 代入式(3) ~ (5) 可消去2个未知数, 而E_i也可表达为ε₀、φ_y与φ_z的函数, 因此, 式(3) ~ (5) 是一个三元非线性方程组, 可采用Newton-Raphson迭代求解, 在求解出ε₀、φ_y与φ_z后, 由材料的本构关系确定出E_i, 最后由式(2) 确定单元抗弯刚度和轴向刚度, 进而得到单元的弹塑性刚度矩阵。

2.   计算模型及有限元模型

某上承式无铰钢桁拱桥净跨度为400 m, 净矢高为80 m, 拱轴线为悬链线, 拱轴系数m为1.9, 拱圈由3片钢桁架拱肋构成, 桁高为10 m, 上下弦杆均采用钢箱。拱上建筑采用梁式腹孔, 腹孔布置为16×27 m。立柱采用钢排架, 横向为3根钢箱截面立柱。桥面系采用钢-混凝土叠合连续梁, 仅在交界墩顶设置伸缩缝, 全桥除在伸缩缝处布置单向活动支座外, 其余立柱顶均布置固定支座。拱肋采用斜拉扣挂法施工, 全桥分为19段吊装。拱桥结构模型见图 2。

图  2  结构模型

Figure  2.  Structure model

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本文采用了2个结构模型, 模型1为原结构, 模型2仅在8号立柱上布置了固定支座, 其余立柱采用单向活动支座, 即放松顺桥向约束, 这样拱上建筑联合作用较弱, 以便与模型1对比。本文采用的单元以梁单元为主, 主拱弦杆、腹杆、横向连接杆件、拱上立柱均采用空间梁单元来模拟, 桥面钢纵、横梁也离散为空间梁单元, 混凝土桥面板及后浇层则采用板壳单元来模拟。根据结构支承情况, 拱肋上下弦、拱脚处斜腹杆、过渡墩的边界条件均取为与地基刚接, 桥面与立柱间的固定支座与活动支座均采用杆端自由度放松来模拟。

由于桥面系的屈服对拱肋的极限承载力基本无影响^[2], 为减少计算量, 本文仅考虑了拱肋弦杆、腹杆、拱肋横撑、立柱材料非线性影响, 对于桥面系仍视为弹性。该桥拱肋弦杆、腹杆与横撑立柱均采用Q345钢, 其本构关系采用理想弹塑性模型来模拟。

3.   加载全过程弹塑性分析

计算采用的荷载为恒载与活载, 恒载考虑了施工过程的影响, 活载采用公路-Ⅰ级, 横向按6车道布载, 纵向按右半跨布载, 集中力位于L/4处, L为拱肋计算跨度。加载方式为: 按施工过程加载至全桥恒载; 施加活载; 按比例将荷载加载至恒载与活载的λ倍。极限荷载系数λ为

$\lambda ={\rm P}{}_{\text{c}\text{r}}/(Q{}_{\text{D}}+Q{}_{\text{L}\text{Ο}})$

式中: P_cr为极限荷载; Q_D为恒载; Q_LO为活载。

目前在进行钢拱的加载全过程弹塑性计算时, 多从荷载-位移关系的角度去分析, 然而, 荷载-位移关系只是钢拱非线性行为的宏观表现, 难以把握钢桁拱桥破坏的实质。要揭示钢桁拱桥的破坏机理, 必须掌握钢桁拱在加载过程中塑性区的发展和应力重分布的特点。

图 3中给出了塑性单元的位置、出现的顺序及对应的屈服荷载系数, 图中以Y_i (i=1, 2, …, 9) 的形式指示出了屈服单元的位置, i既是屈服单元编号也是单元屈服的顺序。单元屈服荷载系数见表 1。图 4~6中的B_i为与Y_i相对应的未屈服单元。图 7、8中CMN为斜拉扣挂法施工仅考虑材料非线性, UMN为一次落架施工仅考虑材料非线性, CGM为斜拉扣挂法施工考虑了几何及材料非线性。

图  3  破坏过程

Figure  3.  Failure process

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表  1  单元屈服荷载系数

Table  1.  Load coefficients of yielding units

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图  4  y₁与y₉应力历程

Figure  4.  Stress histories of y₁ and y₉

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图  5  y₃与B₃应力历程

Figure  5.  Stress histories of y₃ and B₃

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图  6  Y₇与B₇应力历程

Figure  6.  Stress histories of Y₇and B₇

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图  7  荷载-位移曲线

Figure  7.  Load-displacement curves

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图  8  拱肋下弦应力

Figure  8.  Down chord stresses of arch rib

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图  9  y_l单元应力影响线

Figure  9.  Stress influence line in y₁ element

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由图 3可知, 钢拱肋构件的屈服首先发生在加载侧拱脚下弦Y₁单元, 屈服荷载为恒载加活载的1.60倍, 这是由于拱结构在半跨活载作用下, 在布载侧拱脚附近将产生较大的负弯矩, 对于桁架式拱肋则表现为下弦的压应力较大, 故该区域单元首先屈服。由图 4可知, 当Y₁屈服后, 在以后的加载过程中其应力基本不再变化, 而Y₉的应力却以Y₁的屈服荷载为起点快速增长, 因此, Y₁屈服后, 该位置处的拱肋仍可继续承担轴力, 但继续承受负弯矩的能力却大为下降, Y₁与Y₉之间实际上已构成塑性铰, 结构体系发生了第1次转换。由于结构体系的变化, 在Y₁屈服后的加载过程中, 结构其余部分应力发展情况也发生了变化, 见图 5, 在Y₁屈服后, Y₃、B₃的轴向应力的发展速度明显加快, 表明体系转换的结果使未屈服区域的应力发展加快, 这对于拱肋继续承载是不利的。当加载至1.85倍荷载后, Y₃屈服, B₃的应力快速增长, 在该处形成了第2个塑性铰, 至此结构发生了第2次体系转换。与第1次结构体系转换相似, 第2次体系转换后, 在其后的加载过程中, 拱肋应力也发生了重分布, 见图 6, Y₇发展加快, B₇单元的应力发展则有所减慢, 上下弦应力发展速度的差异, 反映了压力线与拱轴线间偏离在逐渐增大。当加载至2.55倍荷载时, Y₇的屈服使拱肋中出现第3个塑性铰, 对拱平面内而言, 拱肋已由无铰拱转变为三铰拱。当加载至2.80倍荷载时, Y₉屈服, 拱脚处的塑性铰丧失承载能力, 导致结构最终破坏。最后值得指出的是, 至拱肋丧失承载能力时, 所有腹杆均未屈服, 拱肋的承载力完全由弦杆控制。

半跨布载时上承式钢桁拱桥的破坏过程可描述如下, 首先布载侧拱脚出现第1个塑性铰, 随后在未布载侧L/8~L/4间和布载侧L/4~3L/8间出现第2和第3个塑性铰, 结构由超静定体系转变为静定体系, 最后由于布载侧拱脚塑性铰的破坏使结构丧失承载能力。与文献[12]对某下承式钢桁拱桥的计算结果相比, 虽然两者塑性铰的位置和塑性区域分布稍有不同, 但两者均经历了3次体系转换, 最后均由于加载侧拱脚的塑性铰丧失承载能力, 表明这两类拱桥的破坏机理是相同的。从上述塑性区的发展情况和分布区域可知, 拱脚区域、L/8~3L/8区域是钢桁拱肋在面内荷载作用下的薄弱环节, 在拱肋承载能力不足时应优先加强这些区域。

4.   钢桁拱承载力影响因素分析

4.1   施工方式的影响

施工方式的影响可归结为时变力学中的路效问题, 表现为不同的结构几何形状变化路径, 即使是最终几何形状与荷载、边界条件相同, 也会得到不同的力学分析结果, 从而导致相异的结构行为^[13]。为探讨钢桁拱桥的路效问题, 本文共计算了2种施工方式(或施工路径), 2种方式均考虑了恒载和活载, 活载等级与纵横桥向布载情况均同前。方式1为斜拉扣挂施工, 计算中再现了施工过程, 考虑了扣索力的施加、卸除以及体系转换的影响; 方式2为一次落架施工, 对于大跨度的拱桥, 一次落架施工在实际工程中是难以实施的。比较这2种施工方式的目的, 在于考察不同施工路径的影响。

从图 7的荷载-位移曲线可知, 仅从拱顶位移发展这样的宏观表现就可看出, 2种施工方式对拱肋的弹塑性结构行为是有影响的。这首先表现在2种施工方式拱肋的初始屈服荷载系数(第1根构件屈服时的荷载) 不同, 方式1的初始屈服荷载系数为1.6, 而方式2的初始屈服荷载系数为1.9, 比方式1要高20%;其次, 第1根构件屈服后, 方式2的位移发展比方式1要慢; 最后, 从工程中最为关心的极限承载力来看, 方式1的极限荷载系数为2.80, 而方式2的极限荷载系数则为3.05, 比方式1高8.9%。由此可知, 施工过程中的临时荷载和体系转换对拱肋的极限承载力是有影响的, 其原因在于: 采用斜拉扣挂法施工, 拱肋经历了斜拉悬臂曲梁、两铰拱与无铰拱3种结构体系, 在施工中还有众多的加载、卸载过程, 由于加载时的结构体系和卸载时的结构体系不同, 虽然施加的荷载和卸除的荷载在数值上相同, 但在结构中产生的效应却是不同的, 由于初始应力情况不同, 必然会影响构件的屈服和结构的承载能力。文献[14]对钢管混凝土拱桥施工工序的研究结果也表明, 施工工序对拱肋的恒载应力有较为明显的影响。

本文计算结果表明, 斜拉扣挂法施工的拱肋其极限承载力比一次落架要低, 但这不能作为一般性结论, 因为通过调整扣索索力既可能优化拱肋的恒载应力分布也可能恶化拱肋的恒载应力分布, 因此, 对于施工方式的影响应针对具体问题来分析, 而不能从少数算例的结果来推论, 但不同的施工方式可能导致不同的拱肋承载力却是不争的事实。

4.2   几何非线性的影响

由图 7可知, 考虑双重非线性时的拱顶位移变化历程与仅考虑材料非线性时是有一定差别的, 一个较为明显的现象是, 考虑双重非线性时的拱顶位移较仅考虑材料非线性时要大, 例如, 加载至2.3倍恒载加活载时, 双重非线性的位移为0.990 m, 材料非线性的位移为0.872 m, 前者比后者大14%。但从极限荷载和初始屈服荷载来看两者却相差不多, 前者的初始屈服荷载系数和极限荷载系数分别为1.55和2.70, 后者分别为1.60和2.80, 极限荷载系数仅相差4%。由以上分析可知, 钢桁拱的极限承载能力主要与材料非线性有关, 与拱肋构型的变化关系不大。

究其原因, 钢拱肋丧失承载能力过程实质上是一个由于塑性区域的扩展使拱肋由超静定体系向机动体系转换的过程^[7], 在这一过程中几何非线性的影响主要来自于由于考虑初应力导致的拱肋刚度变化和拱肋几何构型即拱轴线的变化。对于前者, 钢桁拱肋的截面尺寸较大, 初应力导致的刚度改变较为有限; 对于后者, 双重非线性分析是以前一荷载步的几何构型作为当前荷载步的几何构型, 而材料非线性分析, 则始终以结构的初始构型作为计算对象。从计算结果来看, 在加载过程中拱肋的变形并不大, 2.5倍恒载加活载时拱顶位移为1.14 m, 约为拱肋跨度的1/350, 因此其对拱肋内力的影响也较为有限, 这一分析可从2.5倍荷载时拱肋下弦应力变化情况(图 8) 得到证实。

4.3   布载方式的影响

目前在拱桥的极限承载力分析中, 活载如何合理布置是尚未得到解决的问题, 其复杂性在于构件屈服后结构不再满足叠加原理, 不能采用影响线来确定布载位置。在大跨拱桥的极限承载力分析中, 活载的布载通常采用全跨布载和半跨布载^{[2, 6]}, 文献[2, 6, 12]的研究结果表明, 活载半跨布载比全跨布载更为不利, 然而这一布载方式带有较为明显的经验性, 本文试图从破坏机理的分析中为这一方法提供一些理论依据。Y₁单元应力影响线见图 9。

从图 9可知, 若采用公路车道荷载或城市桥梁荷载, 活载半跨布载时均布荷载基本满布于影响线的压应力区, 而集中力布置于L/4也基本位于影响线的最大量值处, 以此方式布载, 初始屈服荷载接近于最小。由破坏过程的分析可知, 拱肋的极限承载能力与初始屈服荷载密切相关, 初始屈服荷载越小, 拱肋发生第1次体系转换的荷载越小, 而体系转换的结果将使未屈服构件的应力发展加快, 使得第2、3次体系转换的荷载减小, 这对于钢桁拱的极限承载力显然是不利的。也就是说, 小的初始屈服荷载将导致小的极限荷载, 而半跨布载基本可认为是一种使初始屈服荷载最低的布载方式, 因此, 用半跨布载来计算钢桁拱的极限承载力有其合理性, 也证明了上文中采用活载半跨布载的形式来讨论钢桁拱的破坏机理及影响因素是合理的。

4.4   拱上建筑联合作用的影响

拱上建筑与拱圈协调变形、共同受力是上承式拱桥特有的结构行为特点。对于常规的梁式腹孔, 桥面一般采用简支梁, 拱上建筑与拱圈的联合作用较弱。对于大跨度的钢桁拱桥, 拱上立柱较高, 立柱的稳定问题较为突出, 在解决这一问题时, 使立柱与桥面铰接或刚接, 桥面采用连续梁, 无疑是提高拱上立柱屈曲安全系数的有效手段。由于桥面与立柱连接方式的改变, 拱上建筑与拱圈的联合作用也会与常规的梁式腹孔有所不同, 但就极限承载力而言, 拱上建筑联合作用的影响却不大。计算表明, 考虑拱上建筑联合作用时(模型1) 极限荷载系数为2.80, 不考虑时(模型2) 为2.79, 两者相差仅3‰左右。

究其原因, 拱上建筑联合作用的大小不仅与桥面、立柱间的连接方式有关, 而且还与立柱刚度有关, 即使对于拱上联合作用较强的拱式腹拱, 影响较大的区域也仅为拱上立柱刚度较大的拱顶至3L/8附近^[15]。对于钢桁拱桥, 由于屈服区域均位于立柱高度较大、抗弯刚度较小的拱脚、L/4与L/8处, 因此, 拱上建筑与拱圈的联合作用并不大, 这一分析可从模型1、2在2.5倍荷载时拱肋下弦应力计算结果(表 2) 得到证实。从表 2可看出, 不论是否考虑联合作用, 拱肋下弦在拱脚、L/4与L/8处的应力均相差不大, 最大仅相差4%左右。

表  2  下弦应力计算结果

Table  2.  Calculation result of down chord stress MPa

位置	0	L/8	L/4	3L/8	L/2	5L/8	3L/4	7L/8	L
模型1	-215	-345	-327	-240	-119	-156	-237	-345	-345
模型2	-218	-349	-332	-242	-124	-159	-239	-345	-345

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5.   结语

通过对某桥的加载全过程分析可知, 上承式钢桁拱桥的破坏始于拱脚下弦的屈服, 拱肋由超静定体系逐渐转化为静定体系, 体系转化的结果使未屈服的拱肋构件应力发展加快, 加速了拱肋破坏。通过对模型1的计算分析可知, 钢桁拱肋的施工方式对承载力的影响不容忽视, 不同的施工方式可能导致不同的拱肋承载力; 几何非线性对结构的位移发展有一定影响, 但对承载力影响不大, 钢桁拱的承载能力主要取决于材料的本构关系; 用半跨布载来计算钢桁拱的极限承载力有其合理性。模型1、2的计算结果表明, 拱上建筑与拱肋的联合作用对上承式钢桁拱的极限承载力影响不大。