起讫点出行量(OD) 是城市交通规划、控制与管理等工作的基础。比较OD调查而言, 进行路网交通量调查操作简单、易组织、费用少、耗时短、统计精度容易控制。因此, 由路段交通量推算OD出行量的方法, 在理论上和现实上均是可行的, 特别是随着智能交通系统(ITS) 技术的发展, 其可行性、实用性会进一步增强。

已有的由路段交通量推算OD出行量的理论方法概括起来可分为参数估计法和矩阵估计法(以最大熵/最小信息法、均衡法和统计估计法为主), 以及运用神经网络技术等。

本文采用基于改进的有效路径定义的随机—最短路多路径分配模型, 通过建立分配模型的迭代方法来推算OD出行量, 并分析了影响模型的各种因素。

1.   多路径概率分配模型

交通分配模型按照建立模型的出发点——基本假设不同可以得到不同的构造形式, 从而得到不同的分配结果。因此, 在构造分配模型时, 必须作出一些尽可能符合实际的假设。无疑, 假设愈符合实际, 考虑的因素越全面, 得出的模型就越精确, 这是非常重要的。交通分配涉及个人行为, 由于出行者选择路径的基准不同, 同时在不确定信息下通过主观判断进行路径选择, 因此建立具有普遍性的模型有困难。

本文讨论多路径分配模型, 通过引进一个量化指标Δ重新定义有效路径。即在备选可行路径中, 若所选路径的路权与最短路径的路权的相对差小于或等于临界相对差Δ (即出行者在出行过程中所能容忍的比最短路径多走的路程或多用的时间与最短路径路权的比值), 即为有效路径。

$\Delta {}_i=\frac{L{}_{\min }(r,i)+D{}_{\min }(i,s,-r)-L{}_{\min }(r,s)}{L{}_{\min }(r,s)}(1)$

式中: D_min (i, s, -r) 为从i不经过r到达s的最短路权; L_min (r, s) 为从r到达s的最短路权。

有效路段是指在某一出行中, 对于当前节点r的某一邻接节点i, 如果满足

L_min (r, i) +D_min (i, s, -r) ≤ (1+Δ) L_min (r, s) (2)

的判别条件, 则路段[r, i]为这一出行的有效路段。

需强调指出, 有效路段是相对于某一出行过程中的当前节点r而言的, 一系列的有效路段组成了有效路径。某一路段在某一OD点对下为有效路段, 而在另一个OD点对下可能为非有效路段, 每一OD点对的出行量只在它相应的有效路段上分配。多路径分配按节点顺序进行, 有效路径和有效路段是中间过渡量, 只对相应的当前节点有效。当该节点分配结束后, 转入另一个节点继续分配时, 需重新确定有效路段及有效路径。

2.   迭代反推方法

2.1   常规模型的建立

由路段交通量推算OD出行量是交通分配的逆过程, 因此, 对于多路径分配模型的反推研究的方法和模型, 同样必须满足多路径分配模型的假设条件:

(1) 在整个分配过程中, 各路段阻抗为常数;

(2) 各OD点对在各个路段上的分配率P保持不变;

(3) 任意OD点对出行量的分配过程都是相互独立、互不影响。

为了便于研究, 将多路径分配模型的运算过程用矩阵式表达, 设所有OD矩阵的各元素排列成单下标变量T_r (r=1, 2, …, K), 所有路段的分配交通量也排列成单下标变量$\widehat{V}{}_i(i=1‚2‚\cdots ‚{\rm N})$, 则任意路段分配的交通量为OD出行量的线性组合, 表示为式(3) 的形式

$\widehat{V}{}_i={\displaystyle \sum _{r=1}^{{\rm K}}{\rm P}}{}_{i,r}{\rm T}{}_r(i=1,2,\cdots ,{\rm N})(3)$

若同时考虑所有的N个路段, 即可得到N个方程、K个未知数的线性方程组

$\begin{array}{l}{\rm P}{}_{1,1}{\rm T}{}_1+{\rm P}{}_{1,2}{\rm T}{}_2+\cdots +{\rm P}{}_{1,{\rm K}}{\rm T}{}_{{\rm K}}=\widehat{V}{}_1\\ {\rm P}{}_{2,1}{\rm T}{}_1+{\rm P}{}_{2,2}{\rm T}{}_2+\cdots +{\rm P}{}_{2,{\rm K}}{\rm T}{}_{{\rm K}}=\widehat{V}{}_2\\ \cdots \\ {\rm P}{}_{{\rm N},1}{\rm T}{}_1+{\rm P}{}_{{\rm N},2}{\rm T}{}_2+\cdots +{\rm P}{}_{{\rm N},{\rm K}}{\rm T}{}_{{\rm K}}=\widehat{V}{}_{{\rm N}}\end{array}\}(4)$

式(4) 表示成矩阵等式, 即有

$\widehat{V}={\rm P}{\rm T}(5)$

式中: P={P_{i, r}}为分配率矩阵(Link Choice Proportion), 其值取决于交通分配方法, 不同的交通分配模型对应不同的分配率矩阵。因此, 对矩阵P的求解, 将对推算OD出行量产生非常重要的影响。求解OD出行量只能是以保证理论分配交通量与实测交通量之间的偏差最小, 也就是在最小二乘意义下求解出行量$\widehat{{\rm T}}‚$使得

$\min {\rm Z}={\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}(}\widehat{V}{}_i-V{}_i){}^2(6)$

2.2   构造依据

OD反推是已知分配率P和路段交通量V求OD出行量的过程。因此, 构造多路径分配反推迭代方法的主要依据为: 据公式V=PT, 理论分配交通量与观测交通量是可比的, 因为它正好是各OD出行量在i路段上分配量的线性叠加, 实际情况也正好如此, 即某路段交通量是由各OD出行量分配在该路段上的交通量之和。因此, 提出多路径概率分配的迭代反推模型, 其方法步骤叙述如下。

2.3   多路径概率分配的迭代反推方法

2.3.1   迭代反推方法的运算步骤

为了求出与实际观测的交通量相匹配的OD出行量, 本文引入偏离度、修正率两个概念进行迭代反推运算。多路径概率分配的迭代反推模型的运算步骤简述如下:

(1) 给定一个初始OD矩阵T ${}_r^{(0)}$, 以多路径概率分配模型及V=PT求出相应理论推算交通量$\widehat{V}{}_i$;

(2) 利用递推格式进行迭代, 引入$\widehat{V}{}_i$与V_i的偏离度(D_i) 反复修正上述OD矩阵;

(3) 使路段的计算交通量$\widehat{V}{}_i$与观测交通量充分接近V_i, 直至要求的精度为止, 就得到所要求的OD矩阵。

为了更具体地说明问题, 一般令

$\begin{array}{l}V{}_i^{(n)}={\rm P}{\rm T}{}_r^{(n-1)},D{}_i^{(n)}=V{}_i/\widehat{V}{}_i^{(n)}\\ W{}_r^{(n)}={\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}(}{\rm P}{}_{i,r}D{}_i^{(n)})\\ {\rm T}{}_r^{(n)}={\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}{\rm P}}{}_{i,r}D{}_i^{(n)}{\rm T}{}_r^{(n-1)}/{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}{\rm P}}{}_{i,r}\\ (i=1,2,\cdots ‚{\rm N}；r=1,2,\cdots ‚{\rm K})\end{array}\}(7)$

如此迭代下去, 直到对于所有路段i均有|D ${}_i^{(n)}$ -1|成立时, 迭代算法终止。此时T ${}_r^{(n)}$就是所求的OD出行量。其中D_i是路段i的偏离度, E_r是矩阵T的修正率, ε是精度水平, 可预先给定一个较小的正数(如0.1、0.05、0.01、…)。

2.3.2   衡量精度指标

本文采用了3个衡量精度的指标:

(1) 第一个指标——对于每一个路段i, |1-D_i|是否趋近于0;

(2) 第二个指标——OD出行量修正率E_r是否充分接近于1;

(3) 第三个指标——全相关系数R是否充分接近于1。

$R=\left[\frac{{\displaystyle \sum (}V{}_i-\overline{V}){}^2}{{\displaystyle \sum (}\widehat{V}{}_i-\overline{V}){}^2}\right]{}^{\frac{1}{2}}‚\overline{V}=\frac{1}{{\rm N}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}V}{}_i$

总而言之, 多路径概率分配的迭代反推方法的优点: 概念清晰、算法简单, 而且迭代法比其它方法简单明了、容易理解、掌握。给定初始值, 利用一种递推格式进行迭代, 使路段计算交通量与观测交通量逐步接近, 直至要求的精度。图 1为多路径概率分配的迭代反推方法流程图。

图  1  多路径概率分配的迭代反推方法流程

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3.   迭代反推模型的影响因素

实际应用中OD推算结果是否符合实际, 与下列因素关系相当密切:

(1) 交通分配模型的方法、分配率P是否符合实际;

(2) 分配率P与实测路段交通量V是否匹配;

(3) 观测路段交通量V是否经过守恒处理;

(4) 初始OD矩阵的取值对反推结果的影响。

3.1   分配参数θ对推算模型结果的影响

交通分配是将OD出行量分配到路网上的路径选择问题, 出行者出行中存在随机因素, 通常根据主观判断选择路径。因此, 分配模型不是从行驶时间上来表现路网上的交通情况, 而是一定的OD出行量进行反复出行时可能产生的交通量的期望值。由多路径概率分配模型

${\rm P}(k)=\exp (-\theta t{}_k/\overline{t})/{\displaystyle \sum _i}\exp (-\theta t{}_i/\overline{t})(8)$

取不同的θ会对分配率P产生影响, 从而影响分配结果, 最终影响反推结果。按上述的分配模型, 如果把阻抗为t₁的最短路径上的交通分配量T₁作为一个份额, 则阻抗为t_k的路径上的分配量T_k为e^{θ (t_k-t₁) /t}份额。由式(7) 可得

$\frac{{\rm T}{}_k}{{\rm T}{}_1}=\exp \theta \left(\frac{t{}_k-t{}_1}{\overline{t}}\right)$

式中: T₁为对应于最短路径阻抗t₁的分配量。T_k/T₁与θ的关系如图 2所示。

图  2  T_k/T₁与θ的关系

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显然, θ愈大, 非最短路径上的分配份额愈低, 当θ变得足够大, 全部分配量就集中到最短路径上; 而当θ为零时, 任何一条路径的分配份额都均等, 交通量均匀地分配到各条路径上。通过具体的网络试算, 得出以下结论: 参数θ对选择概率有很大的调节作用表现为:

(1) θ愈大, 估计的行程时间误差小, 选择概率愈集中于最短路附近;

(2) θ愈小, 估计的行程时间误差大, 愈趋于选择比最短路多得多的各条路径, 尤其当θ趋于0时, 选择所有路径的概率将相等, 出行量趋于平均分配。

因此, 对θ的选取是非常重要的。对它的标定有待于进一步探讨, 对于不同的区域、城市所具有的θ参数的值是不同的。

3.2   反推模型的系统辩识检验

采用假设论证法对OD出行量推算模型进行系统辩识检验, 讨论分配率P与实测的路段交通量V是否匹配, 观测路段交通量V是否经过守恒处理对反推结果的影响及初始OD的影响。

3.2.1   分配率P与实测交通量V是否匹配

(1) 路段交通量误差分析

对于理想的交通量分配结果, 分别具有的非负性、平衡性、源汇性和线性迭加性的特性。对于一定的OD出行量, 只要交通分配模型已给定, 那么各路段交通量也将唯一确定。分析误差产生的原因通常有四点: ①观测时读、记数的误差; ②城市规划中描述的路网与实际路网并不完全一致; ③出行者出行的随机性; ④交通规划的区内出行所形成的那部分交通量在路段的分配交通量中被忽略了。

实际中由于交通量的波动性及观测误差, 实测交通量与“实际”交通量不完全一致。因此, 需分析路段交通量的误差对推算OD出行量的影响。假设由此产生的实测交通量的随机误差为E, 并模拟此误差特性, 即在V⁰中加上随机误差项E。如果作为该系统输入的实测路段交通量无误差, 则该系统的输出——根据全部路段交通量推算OD出行量也无误差; 如果输入的交通量有误差, 则输出的推算OD出行量也有误差。研究发现, 出行量误差ΔT不会超过交通量误差E, 其输入误差与输出误差很接近。

基于上述原因, 观测路段交通量若能经过守恒处理, 将提高推算的精度。如果采用假设论证法研究方法系统的误差, 即用理论分配的路段交通量作为实际观测的路段交通量, 则不须进行交通量的守恒处理。

(2) 分配率与实测的路段交通量不匹配

分配率P与实测的路段交通量V是否匹配也影响反推的结果, 分析有两种不匹配的形式:

形式1:在OD反推时, 观测路段交通量的值必须是所要考察的OD出行量形成的交通量。例如对于给定OD点对集, 在反推时, 所给的观测路段交通量实际并不仅包含此OD集的出行、或者OD点对集有所遗漏(即忽略了本应属于该集的路段交通量), 则反推结果将会有较大误差甚至没有意义, 这一点非常重要。

形式2:多路径分配模型及其参数是否符合实际, 均能影响到分配率P, 分配率P是否符合实际, 是非常重要的。P不符合实际, 则会导致OD出行量结果的误差或失去实际意义。

(3) 系统误差分析及结论

① 由全样本路段交通量推算OD出行量。假设给定的OD出行量, 按照前述的多路径分配方法, 求出各路段的分配交通量, 把该交通量当作实测路段交通量。采用多路径分配的反推迭代法, 按照给定的精度控制指标进行迭代运算, 便可由全样本路段交通量推算出OD出行量, 与原假设OD出行量一致, 说明该系统是可靠的、合理的。因此, 该推算模型本身不产生系统误差, 具有误差的传递性, 但无误差的扩散性。

② 由部分路段交通量样本推算OD出行量。分析可知, 当路段交通量样本数N′大于OD点对数K时, 用部分路段交通量与用全部路段交通量推算的OD出行量相比, 几乎不产生误差; 当样本数小于OD点对数时, 推算的误差随着N′的减少而逐渐增大, 尤其当样本数太少时, 有的OD出行量已不可推算。

之所以产生上述2种情况, 可以从分配率P矩阵中得到解释: 当P矩阵满列秩, 每列都至少具有两个非零元素, 出行量所受约束较大, 取值稳定; 当P矩阵不满列秩, 其中某些列只有一个非零元素, 出行量所受约束小, 取值不稳定, 甚至P矩阵中出现了零列, 使得该列的出行量完全不受约束, 即该OD上没有一个观测路段交通量, 因而不可能推算出行量。

(4) 所需最少观测路段样本数影响因素

基于以上分析, 在选择路段样本时, 可以确认某些路段不需要观测交通量, 即当舍弃某个路段时, 如果推算不产生较大误差, 则此路段可以不用观测。然后在已选择的路段样本的基础上, 继续选择可以舍弃的路段, 依此下去, 直到没有可舍弃的路段为止, 剩余的路段即是必须进行观测的样本路段。若选择某样本路段产生了较大的误差, 可考虑恢复先前舍弃的一个或几个路段, 直至此路段可以舍弃为止。

分析结果表明: 所需的最少路段样本数与网络结构、OD出行量分布情况、被观测交通量的样本路段位置有关。以上的结论在实际中具有很大的应用价值: 可以通过假设论证的方法确定给定的OD对集, 以便可靠地确定最少的需观测的路段作为样本。

3.2.2   初始OD对推算出行量的影响

本文按分配率P矩阵满列秩和不满列秩2种情况, 讨论初始OD对反推结果是否具有约束性。

(1) 分配率P矩阵满列秩时的模型检验

研究发现, 不同的初始OD矩阵, 对反推OD结果的终极值是没有影响的。因此, 根据已知的路段交通量V和分配率P, 并给定非零的任意初始OD出行量矩阵将不会影响到最终结果。值得注意的是, 为了增加方法的可信度, 在说明问题时取相差很大的各个初始OD矩阵的值。同时, 为达到相同精度, 迭代次数也相差较大。因此, 只要初始OD各个元素均大于0, 并且各初始值之间数量级相差不大, 则初始OD矩阵对反推OD结果并没有什么实质性的影响, 只是可能在迭代运算中多迭代一些步骤。

(2) 分配率P矩阵不满列秩时的模型检验

研究发现, 给定初始OD矩阵, 通过分配率P得到一组路段交通量作为实测值以推算OD出行量, 当选取不同的初始OD, 反推的OD结果则不同。例如当给定的初始OD元素相同时, 反推的结果与给定的OD出行量完全一致; 若给定的初始OD值任意, 则反推OD与给定的OD有很大出入, 初始OD对反推结果具有约束性。

但是, 当假设给定的初始OD出行量之间的数量关系(比率关系) 与给定的OD出行量之间的比率关系一致或比较接近, 则可获得较满意的解。

为了更清楚地说明问题, 给出所谓的比率关系的形式化描述:

设Y={xx为初始OD向量}, 在集合Y上定义关系R: x_i1∶x_i2∶…=x_j1∶x_j2∶…。若两个不同的初始OD向量x_i和x_j满足关系R, 则分别由x_i和x_j反推的OD出行量应该是一致的。

因此, 对于分配率P矩阵不满列秩的情况, 若有城市的先验OD出行具体量值, 以之作为初始OD出行量, 进行反推迭代运算, 将获得更加符合实际情况的OD出行量; 而对于P满列秩的情况, 可以不需要先验OD出行量具体值。

3.3   OD反推软件系统

3.3.1   系统功能

(1) 多路径分配;

(2) OD反推迭代计算法;

(3) 内部数据导出及外部数据导入。

3.3.2   主要特点

(1) 采用工程概念进行系统构造, 方便最终用户的使用和操作, 采用图形用户界面, 操作简洁、明了、直观;

(2) 可以方便地使用多套数据而不用退出本系统(选择目录即可);

(3) 轻松对各种计算的参数进行设置, 大大减少人工录入工作量;

(4) 本系统采用C⁺⁺语言编制, 生成的是MS WIN32平台下32位软件, 其处理数据量大, 运算快。

4.   结语

本文建立的多路径分配的反推迭代法在某种程度上, 比序列无约束极小化技术SUMT法(当N′ < K时有明显推算误差) 有了改进, 它不但可以适用于N大于K或等于K (P矩阵列满秩) 的情况, 也能在一定程度、一定误差范围内适用于小于K (P矩阵列不满秩) 的情况。影响因素有交通分配模型的方法、分配率P是否符合实际; 分配率P与实测的路段交通量V是否匹配和观测路段交通量V是否经过守恒处理。

当P满列秩时, 该法对初始值的要求不高, 只要初始值不为零即可, 可以不需要先验OD量, 本方法对误差只有传递性, 而没有扩散性。并且在选择路段样本的研究中, 可以确认某些路段不需要观测交通量, 而不影响OD反推。这在实际中具有很大的应用价值, 即可以通过假设论证的方法, 可靠地确定对于给定的OD对集最少的须观测的路段样本。

当P不满列秩时, 该法对不同的初始OD量, 会得到不同的解, 但在具有先验OD的情况下, 能得到较为满意的解; 而对于P满列秩的情况, 可以不不需要先验OD出行量具体值。

有待于研究和改进的工作: 分配模型理论方法、参数θ标定、求解的分配率P是否符合实际; 当P不满列秩时, 如何在没有先验OD出行的具体量值或先验OD出行量值不够充分的情况下得到满意的解, 以及如何实现在P满列秩的情况下, 让计算机自动确定最小的须观测路段样本的算法。