复合式混凝土路面和混凝土路面加铺层在国外已有数十年的应用历史, 中国从20世纪80年代末开始应用, 1994年颁布的行业标准“公路水泥混凝土路面设计规范”^[1]已将这两种结构类型纳入。复合式混凝土路面通常为两层不同强度或不同类型的混凝土复合而成的水泥混凝土路面结构; 混凝土路面加铺层是指为提高原有水泥混凝土路面的承载能力和(或) 改善表面功能而在其上加铺的水泥混凝土面层, 从结构的力学特征来看, 它们均可视为弹性地基上双层板。

双层水泥混凝土路面设计理论、方法和参数的研究较普通单层的水泥混凝土路面的研究薄弱很多, 尚存在一些有待完善和改进之处, 尤其是在双层水泥混凝土路面板的温度应力方面。由于上下层混凝土强度或类型的不同, 以及层间接触状况的影响, 双层水泥混凝土路面板的温度应力计算较为复杂, 迄今尚未得到很好的解决。在现行的设计规范^[1]中, 复合式混凝土路面的温度应力尚未计入; 混凝土路面加铺层的温度应力的计算过于粗略, 误差较大。

1.   基本假设和温度应力的构成

双层水泥混凝土路面板(以下简称双层板) 温度应力的分析基于如下5个基本假设:

(1) 双层板的弯曲是小挠度的, 即板截面竖向拉压和水平剪切变形可以忽略, 且四边自由;

(2) 双层板层间竖向连续, 无夹层, 也无脱空和嵌入现象;

(3) 双层板均为等截面且材料各向同性;

(4) 板的翘曲变形可视为x, y方向翘曲变形的叠合;

(5) 下层板板底与地基竖向连续, 水平向光滑接触无摩阻力。

双层板的温度应力是受到板本身, 上下板变形协调以及地基对温度变形的约束引起的, 它可分解为3个部分: 由于温度沿板厚方向非线性分布引起的内应力σ_a; 上下层板变形协调约束引起板间约束应力σ_b和地基约束引起的温度翘曲应力σ_c。双层板的温度沿板厚方向非线性分布引起的温度内应力σ_a和地基约束引起的温度翘曲应力σ_c在概念和解法上与单层板的相同, 在此不再一一列出。以下讨论双层板间变形约束协调引起的温度层间约束应力和应变。

2.   不计板间及地基约束的温度应变

沿路面深度呈非线性分布的路面结构温度场t_p (τ, z) (图 1(a)), 上下层板的温度状况可用上下层板各自的平均温度t′_i和温度梯度, t_gi (i=1, 表示上层板, i=2表示下层板, 下同) 描述(图 1(b))。t′_i, t_gi的计算式为

图  1  温度场

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$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{t}^{\prime }{}_1=1/h{}_1{\displaystyle {\int }_0^{h{}_1}t}{}_p(\tau ,z)\text{d}z\\ t^{\prime }{}_2=1/h{}_2{\displaystyle {\int }_0^{h{}_2}t}{}_p(\tau ,h{}_1+z)\text{d}z\end{array}\}(1)\\ \begin{array}{l}t{}_{g{}_1}=6t{}_1/h{}_1-12/h{}_1^3{\displaystyle {\int }_0^{h{}_1}t}{}_p(\tau ,z)z\text{d}z\\ t{}_{g{}_2}=6t{}_2/h{}_2-12/h{}_2^3{\displaystyle {\int }_0^{h{}_2}t}{}_p(\tau ,h{}_1+z)z\text{d}z\end{array}\}(2)\end{array}$

式中: h₁为板厚度; τ为时刻(h)。

由上述温度状况引起的上下层板截面的温度应变平均值和斜率(应变梯度) 相应为ε_i和ε_gi (图 2(a)), 其中, 温度应变梯度可等效地表示为受到一虚拟弯矩M_i作用的情况(图 2(b))。还可视为截面平均应变为ε′_i, 且有虚拟轴向力N_i作用的情况(图 2(c))。ε_i、ε_gi、M_i和N_i的表达式为

图  2  温度应变及梯度

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ε_i=α_it_iε_gi=α_it_gi (3)

M_i=α_it_giD_iN_i= (ε′_i-ε_i) E_ih_i (4)

式中: α_i为板混凝土热膨胀系数; t_i为以上层板混凝土硬化时板截面平均温度t_0i为起点的板平均温度增量, 即t_i=t′_i-t_0i; D_i=E_ih ${}_i^3$ /12为板的弯曲刚度; E_i为混凝土弹性模量, 若处于板中部平面应变状况, 则E_i应改为E_i^*, E_i^*=E_i/ (1-μ_i), μ_i为泊松比。

3.   板间约束应变和应力

根据本文的基本假设, 可以推定上下层板中性面的挠曲方程相同, 上下层板具有相同的弯曲曲率, 即上下层的应变梯度相同, 这一应变梯度可称为双层板的综合温度应变梯度, 记作ε_g。

在双层板层间水平方向光滑无摩阻状态下, 上下层板弯曲中性面位于各自的中面。双层板的总弯曲刚度为上下层板刚度之和, 即D_g=D₁+D₂。上下板截面上作用的虚拟弯矩M₁和M₂引起双层板综合温度应变梯度ε_g为(图 3(a))

图  3  双层板综合温度应变梯度

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ε_g= (α₁t_g1D₁+α₂t_g2D₂) / (D₁+D₂) (5)

当层间为结合状态, 上下层板在层间无相对水平位移, 即ε′₁=ε′₂=ε₀。双层板平均应变ε₀和轴向力N_i表达式

$\begin{array}{l}\epsilon {}_0=e(\alpha {}_{1}t{}_1/E{}_{2}h{}_2+\alpha {}_{2}t{}_2/E{}_{1}h{}_1)(6)\\ {\rm N}{}_1=-{\rm N}{}_2=e(\alpha {}_{1}t{}_1-\alpha {}_{2}t{}_2)(7)\end{array}$

式中: e= (1/E₁h₁+1/E₂h₂)^-1, 其物理意义为双层板截面相对抗拉刚度。

在层间结合状态下, 上下层板截面具有同一弯曲中性面, 它与上下层板中面的距离h_s和h_x为

$h{}_s=eh{}_0/2E{}_{1}h{}_1;h{}_x=eh{}_0/2E{}_{2}h{}_2(8)$

式中: h₀=h₁+h₂为双层板总厚度。

这时双层板截面受到的总弯矩M_g和截面弯曲总刚度D_g分别为

$\begin{array}{l}{\rm M}{}_g={\rm M}{}_1+{\rm M}{}_2+{\rm N}{}_{1}h{}_0/2(9)\\ D{}_g=D{}_1+D{}_2+D{}_3‚D{}_3=eh{}_0/4(10)\end{array}$

双层板的综合温度应变梯度ε_g则为(图 3(b))

ε_g= (α₁t_g1D₁+α₂t_g2D₂+2D₃ (α₁t₁-α₂t₂) /h₀) / (D₁+D₂+D₃) (11)

在层间接触条件从光滑向结合过渡中, 上下层板的中性面从光滑状态的各自中面向结合状况的同一中性面等比例过渡, 其比例系数k_u可称为层间结合系数。当k_u=0, 层间为光滑状态, k_u=1为结合状态, 0 < k_u < 1称为半结合状态。在此作类似的推广, ε′₁和ε′₂从光滑状况的ε₁和ε₂向结合状况的ε₀过渡的增量Δε₁和Δε₂仍然与k_u成正比, 即

$\begin{array}{l}\text{Δ}\epsilon {}_1={\epsilon }^{\prime }{}_1-\epsilon {}_1=-ek{}_u/E{}_{1}h{}_1(\alpha {}_{1}t{}_1-\alpha {}_{2}t{}_2)\\ \text{Δ}\epsilon {}_2={\epsilon }^{\prime }{}_2-\epsilon {}_2=ek{}_u/E{}_{2}h{}_2(a{}_{1}t{}_1-\alpha {}_{2}t{}_2)\end{array}\}(12)$

上下层板截面的轴向力N_i, 双层板截面的总弯矩M_g以及总刚度D_g分别为

$\begin{array}{l}{\rm N}{}_1=-{\rm N}{}_2=e(\alpha {}_{1}t{}_1-\alpha {}_{2}t{}_2)k{}_u(13)\\ {\rm M}{}_g={\rm M}{}_1+{\rm M}{}_2+{\rm N}{}_{1}h{}_0/2\\ D{}_g=D{}_1+D{}_2+D{}_{3}k{}_u(14)\end{array}$

由此可得到半结合式双层板的综合温度应变梯度ε_g为(图 3(c))

ε_g= (α₁t_g1D₁+α₂t_g2D₂+2D₃ (α₁t₁-α₂t₂) k_u/h₀) /

(D₁+D₂+D₃k_u) (15)

式(12) 和式(15) 分别为不同层间接触状况的上下层板平均温度应变和双层板综合温度应变梯度的统一式, k_u=0为光滑状况, k_u=1为结合状况, k_u在0~1之间则为半结合状况。由此可方便地推出由层间变形协调条件引起的双层板温度约束应力σ_b的计算式如下

$\sigma {}_b=\{\begin{array}{cc}E{}_1[\text{Δ}\epsilon {}_1+\alpha {}_{1}t{}_{g{}_1}(z-h{}_1/2)-\epsilon {}_g(z-h{}_1/2-h{}_{s}k{}_u)]\hfill & z\in [0,h)\hfill \\ E{}_2[\text{Δ}\epsilon {}_2+\alpha {}_{2}t{}_{g{}_2}(z-h{}_1-h{}_2/2)-\epsilon {}_g(z-h{}_1-h{}_2/2+h{}_{x}k{}_u)]\hfill & z\in (h{}_1,h{}_1+h{}_2]\hfill \end{array}(16)$

4.   板间约束应变分析

在无隔温度夹层或层间脱空的条件下, 双层板温度场与普通单层混凝土路面的温度场基本相同。按现行规范采用的路表温度拟合规律, 在无云晴天双层水泥混凝土路面的温度场t_p (τ, z) 可表示为^[2]

$t{}_p(\tau ,z)=t^{\prime }{}_m+t{}_{hl}/2\text{e}{}^{-\beta z}\sin (\omega \tau +\beta z)(17)$

式中: t′_m为路表日平均温度(℃); t_hl为路表温度的日较差(℃); ω=π/12 (rad/h); β= (ω/2λ)^0.5, λ为上层板混凝土的导热系数, 若下层板的导热系数λ′与λ差异较大, 则在应用式(17) 时, 下层板的厚度当量为(λ′/λ) h₂。

将式(17) 的双层板温度场t_p (τ, z) 代入式(1) 和式(2), 并假设上下层板的导热系数相同, 得到上下层板的平均温度t′₁, t′₂和温度梯度t_g1, t_g2为

式中: f_t、f_g、ξ_t、ξ_g为βh的函数(图 4), 下标1表示βh₁, 下标2表示βh₂。

图  4  βh函数

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由于上层板的蔽盖, 下层板的平均温度t′₂的日较差增量和温度梯度t_g2的最大值为相同板厚的上层板的e^-βh₁倍, 出现最大值的相位角与相同板厚的上层板的相位角滞后βh₁ (rad)。f_t和f_g均随着βh的增大而减小, 其中f_g的减小速率稍大于f_t的; 而ξ_t和ξ_g则随着βh的增大而增大, 无论βh为何值, ξ_t/π > 0.5, 也就是说板平均温度的最大值出现时刻总是迟于路表温度最大值出现时刻; 在βh较小时, ξ_g/π < 0.5, βh较大时, ξ_g/π > 0.5, 其分界点在βh=1.95左右, 这说明, 板的温度梯度t_g的最大值在βh较小时, 先于路表温度最大值出现, 而βh较大时, 则滞后于路表温度最大值出现时刻。

将式(18) 代入式(12), 整理得到上下层板中性面的应变增量Δε₁和Δε₂为

Δε₁=-ek_u/{E₁h₁[ (α₁t_m1-α₂t_m2) +t_h1/2A_tcos (ωτ-ζ_t) ]}

Δε₂=ek_u/{E₂h₂[ (α₁t_m1-α₂t_m2) +t_h1/2A_tcos (ωτ-ζ_t) ]} (19)

A_t=α₁f_t1cos (ζ_t-ξ_t1) -α₂f_t2e^-βh₁cos (ζ_t-ξ_t2-βh₁)

$\begin{array}{l}\zeta {}_t=\text{a}\text{r}\text{c}\text{t}\text{g}\left[\frac{\alpha {}_{1}f{}_{t1}\sin \xi {}_{t1}-\alpha {}_{2}f{}_{t2}\text{e}{}^{-\beta h{}_1}\sin (\xi {}_{t2}+\beta h{}_1)}{\alpha {}_{1}f{}_{t1}\cos \xi {}_{t1}-\alpha {}_{2}f{}_{t2}\text{e}{}^{-\beta h{}_1}\cos (\xi {}_{t2}+\beta h{}_1)}\right]\\ t{}_{mi}=t^{\prime }{}_m-t{}_{0i}\end{array}$

将式(18) 代入式(15), 整理得到双层板温度应变梯度ε_g的表达式如下

ε_g=2 (α₁t_m1-α₂t_m2) D₃k_u/h₀D_g+th₁/[2βA_gcos (ωτ-ζ_g) ] (20)

A_g=[a_g1cos (ζ_g-ξ_t1) +a_g2cos (ζ_g-ξ_t2-βh₁) +a_g3cos (ζ_g-ξ_g1) +a_g4cos (ζ_g-ξ_g2-βh₁) ]/D_g

ζ_g=arctg[a_g1sinξ_t1+a_g2sin (ξ_t1+βh₁) +a_g3sinξ_g1+

a_g4sin (ξ_g2+βh₁) ]/[a_g1cosξ_t1+a_g2cos (ξ_t1+βh₁) +

a_g3cosξ_g1+a_g4cos (ξ_g2+βh₁) ]

a_g1=2α₁f_t1D₃k_u/βh₀, a_g2=-2α₂f_t2e^-βh₁D₃k_u/βh₀,

a_g3=α₁f_g1D₁, a_g4=α₂e^-βh₁f_g2D₂

从式(19) 和式(20) 中可以看到, 双层板层间约束条件引起双层板综合温度应变梯度ε_g和上下层板原中面约束应变增量Δε₁和Δε₂由二部分组成: 第一部分由上下层板热膨胀系数差异(α₁t_m1-α₂t_m2) 引起的; 第二部分是由温度的日较差t_h1产生的。第一部分温度应变一般是不考虑的, 原因有2个: ①相同的水泥和骨料的情况下, 不同强度和不同类型的混凝土热膨胀系数差异一般不大; ②欲想正确地估计混凝土初始温度t_0i极为困难, 另外, 必须弄清温度变化的路径, 混凝土在缓慢应变下的力学性质, 如蠕变和松驰等。

若不计α₁和α₂的差异或α₁=α₂, 则双层板的温度应变梯度ε_g和上下层板中性面的应变增量Δε₁和Δε₂可改为双层板的综合温度梯度t_g, 以及上下层中性面的等效温度增量t₁和t₂, 它们日变化均为一余弦波, 即在式(19) 和式(20) 中剔除α₁和α₂即可。

5.   结语

(1) 双层板的温度应力由温度沿板厚非线性引起的内应力, 上下层板变形约束引起的板间约束应力和地基约束引起的温度翘曲应力三部分组成。

(2) 采用层间结合系数k_u表征双层板间接触状况时, 双层板综合温度梯度ε_g和上下层板原中面的温度约束应变增量ε′₁和ε′₂的计算式可统一为式(15) 和(12)。

(3) 上下层板的平均温度梯度和板中面平均温度的计算方法同单层板, 下层板的平均温度梯度和板面平均温度的最大值为相同板厚的层板的最大值的e^-βh₁倍, 最大值的相位角滞后βh₁ rad。

(4) 在路表温度采用正弦函数拟合时, 上下层板的平均温度、温度梯度、上下层板的综合温度应变梯度、原中面的温度应变增量随时间的变化规律均为一个简谐函数。