在交叉路口几何特性一定的条件下, 交叉路口的信号配时是提高交叉路口通行能力、减少车辆在交叉路口的排队延误和停车次数最为重要的决定因素。交叉路口的信号配时包括三个方面的内容: 信号周期、绿信比和信号周期的起始时间(在多个交叉路口的信号协调控制中又称为相位差)。

最常用的信号配时方法是Webster法, 该方法是以到达交叉路口的所有车辆延误最小为目标而确定信号周期的^[1-2]。使用Webster法进行信号配时仅可以确定周期长和绿信比, 但不能确定信号相位的起始时间, 也就是说Webster法并没有考虑交通流到达规律对交通延误的影响。

因此, 本文提出一种新的交通信号配时方法, 该方法寻求的不再是单纯地以所有到达交叉路口车辆的总延误最小为目标, 而是把车辆的延误、车辆的停车和启动次数都纳入优化目标, 寻求真正意义上的最佳信号配时。也就是说, 该方法不但要减少车辆在交叉路口的延误, 而且还要考虑交通流的连续性, 即要保证以车队形式密集到达的交通流能够连续而不中断地通过交叉路口。因此, 该方法是把交通信号周期、绿信比、信号周期起始时间都纳入到优化目标的交通信号配时方法。

这里研究的是非拥挤条件下的信号配时, 即认为在一个合理的信号周期长度内到达交叉路口的车辆都能全部通过交叉路口。对于一个周期内到达交叉路口的车辆在同一周期不能通过交叉路口的交通拥挤情况来说, 信号配时主要考虑的是为交叉路口提供最大的通行能力, 一般采用的是可以接受的最大的信号周期, 而不需考虑交通流到达规律与交通信号相协调的问题。

1.   最佳信号配时目标函数的建立

没有考虑信号相位起始时间的交叉路口信号配时常常会遇到这种情况: 当一个方向的交通流以车队形式到达交叉路口时, 绿灯刚好结束, 车队只好在交叉路口等待下一次绿灯信号, 而且这种现象可能一直重复着。造成这种情况的原因就是没有把车辆在交叉路口的停车和启动因素纳入交通信号优化配时中来。因此把车辆的停车和启动次数以及车辆在交叉路口的延误都考虑进来, 才能使通过交叉路口的交通流连续而不中断地通过交叉路口^[3]。这样不但减少了交通延误, 而且保证了车队可以不停车通过交叉路口, 同时也提高了交叉路口的通行能力。

由于车辆的停车和启动次数与车辆在交叉路口的延误是两个不同量纲的量, 因此就要建立一个新的优化指标, 称为PI (Performance Index) 值, 把车辆的延误和停车启动次数都转化为统一的指标PI值, 以PI值建立目标函数进行交通信号的优化配时。很显然, 以PI值建立的目标函数既考虑了一个周期内到达交叉路口的交通量, 又考虑了交通流的到达规律, 这种优化的结果是既确定了最佳的信号周期, 也确定了各个相位的开始时间和持续长度。

在以PI值建立目标函数时, 假定车辆排队等待延误1 s时间相当于1个PI值, 而车辆停车一次相当于5个PI值, 启动一次也相当于5个PI值(车辆停车启动的PI值可以根据具体情况进行调整)。

以两相位的十字交叉路口信号配时方案为例进行研究(多相位的优化原理与两相位相同, 其它形状的交叉路口优化原理与十字路口相同), 到达交叉路口的交通流有四个方向, 因此以PI值最小为目标建立的信号配时优化模型为

$J=\min {\displaystyle \sum _{i=1}^4{\rm P}}{\rm I}{}_{\text{i}}$

假设四个方向交通流到达交叉路口符合的规律分别为: ρ₁ (t)、ρ₂ (t)、ρ₃ (t)、ρ₄ (t), 这一规律可以通过车辆检测设备得到。交通流到达规律中的时间t可以表达为: $t={\displaystyle \sum _{i=1}^n}C{}_i+\tau ,0\le \tau \le C$, 式中${\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i$表示前n个周期时间之和。因此, 可以将交通流到达规律表示为: $\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )$、$\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )$、$\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )$、$\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )‚0\le \tau \le C$。i=0表示进行实时交通信号优化配时的起始周期。

现以第n+1个信号周期为例分方向对PI值的计算进行分析。

1.1   方向一交通流在一个信号周期内PI的计算

假定第n+1个周期开始时方向一的相位为红灯, 则其到达和通过交叉路口的行为规律可以分三个阶段来考虑: 第一阶段是该方向的交通信号是红灯, 此时到达交叉路口的车辆要在交叉路口停车等待, 在计算PI值时不但要计算延误时间, 还要考虑停车和启动所造成的损失; 第二阶段是绿信开启到整个车队都开始移动这一段时间, 此时间段交通信号虽是绿灯, 但由于存在车辆启动延迟, 车队尾部的车辆要经过一段时间才开始启动, 所以此时间段内到达的车辆仍然要停车加入到排队行列, 这一阶段既存在等待延误也存在停车启动延误; 第三阶段是排队的车辆全部启动到绿信结束这一段时间。在该段时间到达交叉路口的车辆不需要停车, 只是跟随车队尾部缓行, 车辆存在不同程度的缓行延误, 但此值比较小, 一般忽略不计, 所以在第三阶段中可把PI值视为0。因此, 在建立交通信号优化配时模型时只需要计算第一、第二阶段的PI值。

1.1.1   第一阶段交通信号是红灯期间PI值计算

当车辆到达交叉路口交通信号为红灯时, 车辆就要在交叉路口前排队等待, 计算此阶段的PI值就分排队延误和停车启动次数两个部分。

(1) 车辆排队延误时间的PI值计算

方向一交通流在信号红灯期间到达交叉路口至绿信开启这一段时间内由于排队延误产生的PI₁₁₁值由车辆的到达规律和红灯时间来确定, 其计算公式为

${\rm P}{\rm I}{}_{111}={\displaystyle \int }{}_0^R\tau \rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

式中: R为该信号周期的红灯时间。

(2) 车辆停车启动的PI值计算

要计算车辆停车启动的PI值, 就要先确定红灯期间到达交叉路口的车辆数。根据交通流的达到规律ρ₁ (t), 确定红灯期间到达交叉路口的车辆数N₁₁为

${\rm N}{}_{11}={\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

在红灯期间到达交叉路口的车辆在红灯期间只存在停车, 但在随后的绿灯期间这些车辆都将启动通过交叉路口, 因此这里在计算PI值时把绿灯期间车辆启动情况也考虑在内, 所以红灯期间到达车辆停车和启动造成的PI₁₁₂值为

${\rm P}{\rm I}{}_{112}=10{\rm N}{}_{11}=10{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

式中积分前的系数为停车和启动一次的PI值之和。

由上面两个部分可得到在红灯期间到达交叉路口的交通流由于延误和停车启动所产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{11}={\rm P}{\rm I}{}_{111}+{\rm P}{\rm I}{}_{112}={\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ 10{\displaystyle \int }{}_0^R\tau {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau \end{array}$

1.1.2   绿信开启至整个车队开始移动

当交叉路口由红灯转为绿灯时, 在一段时间内到达交叉路口的车辆由于车队启动延迟的存在仍有停车的过程, 这一过程中停车数量由交叉路口前已存在的车队长度、相邻车辆启动的间隔时间, 此阶段交通流到达规律等因素决定。绿灯开启时已存在的车队长度在1.1.1部分已给出, 其值为N₁₁。相邻车辆启动的间隔规律可以参照交通信号由红灯转为绿灯时车辆通过交叉路口的间隔规律来确定, 表 1^[2]给出了车辆启动通过停车线所遵循的规律。由车辆的启动规律, 可以推定车辆启动间隔时间。假定车辆启动后的行驶速度为5.6 m/s (20 km/h), 并且把车辆启动的加速过程的时间延迟也并入车辆启动间隔时间中, 这样所确定的车辆启动间隔时间如表 2所示。在确定车辆启动所遵循的规律后, 根据已存在的车队和交通流的到达规律来确定绿灯开启后到达仍需停车的车辆数。

表  1  交叉口车辆启动时间

进入停车线的车辆	需要的绿灯时间/s	累积时间/s
1	3.8	3.8
2	3.1	6.9
3	2.7	9.6
4	2.4	12.0
5	2.2	14.2
6	2.1 (稳定)	14.2+2.1 (N-5)

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表  2  交叉口车辆启动间隔时间

车队中车辆次序	车辆启动时间隔时间/s	累积时间/s
1	2.8	2.8
2	2.1	4.9
3	1.7	6.6
4	1.4	8.0
5	1.2	8.0
6	1.1 (稳定)	9.2+1.1 (N-5)

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假设绿灯开启后t₁时间内到达的车辆仍需要停车, 而且假定在红灯期间在交叉路口前排队车辆长度大于5 (这一假设是合理的, 因为车队到达交叉路口需要一个压缩过程, 在该压缩过程中, 车辆的排队长度一般大于5), 则该段时间内到达的需要停车的车辆数N₁₂为

${\rm N}{}_{12}={\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

根据绿信开启后车辆的启动规律有下式成立

$9.2+1.1({\rm N}{}_{11}-5+{\rm N}{}_{12})=t{}_1$

化简为3.7+1.1 (N₁₁+N₁₂) =t₁

即$3.7+1.1({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +{\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau )=t{}_1$

利用上式解出t₁, 就确定出在绿灯期间到达交叉路口仍需要停车的车辆数。

(1) 车辆等待延误所产生的PI值

车辆等待延误所产生的PI值包括两个部分: 一是在交通信号红灯期间到达交叉路口的车辆在信号转为绿灯时由于启动延迟使各个车辆存在不同的等待过程所产生的PI值, 这部分的车辆数为N₁₁; 另一部分是绿灯开启后到达的需要停车的车辆等待延误所产生的PI值, 这部分的车辆数为N₁₂。

(a) 红灯期间到达的车辆由于启动延迟所产生的PI值

这部分延误由红灯期间到达的车辆数N₁₁以及车辆启动的间隔规律来确定, 其计算公式推导如下

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{121\text{a}}=2.8{\rm N}{}_{11}+2.1({\rm N}{}_{11}-1)+1.7({\rm N}{}_{11}-2)+1.4({\rm N}{}_{11}-\\ 3)+1.2({\rm N}{}_{11}-4)+1.1({\rm N}{}_{11}-5)+\cdots +1.1\times 2+\\ 1.1\times 1=9.2{\rm N}{}_{11}-14.5+1.1({\rm N}{}_{11}-5+1)({\rm N}{}_{11}-5)/2=9.2{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+0.55\times \\ ({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1{\displaystyle \sum _{i=0}^n}(C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1{\displaystyle \sum _{i=0}^n}(C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)\end{array}$

(b) 绿灯期间到达需停车的车辆由于延误所产生的PI值

绿灯期间到达的仍需要停车的车辆数为N₁₂, 所以绿灯期间到达需停车的车辆由于等待延误所产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{121\text{b}}={\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\tau \rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -(t{}_1-(9.2+1.1({\rm N}{}_{11}-5)))\times \\ {\rm N}{}_{12}/2={\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\tau \rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -(t{}_1-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau )){\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2\end{array}$

由以上两个部分可以得到在绿灯开启后车辆等待延迟的PI值

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{121}={\rm P}{\rm I}{}_{121\text{a}}+{\rm P}{\rm I}{}_{121\text{b}}=9.2{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+0.55({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)+{\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\tau \rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -(t{}_1-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau )){\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2\end{array}$

(2) 车辆停车启动所产生的PI值

车辆停车启动所产生的PI值包括两个部分: 一是红灯期间到达的车辆, 二是绿灯期间到达的仍需停车的车辆。红灯期间到达的车辆在1.1.1中已经考虑了停车和启动延误, 在这里就仅需要计算绿灯期间到达车辆的停车启动延误, 绿灯期间到达仍需要停车的车辆数为N₁₂, 所以绿灯期间到达的车辆由于停车启动所产生的PI值为

${\rm P}{\rm I}{}_{122}=10{\rm N}{}_{12}=10{\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

由以上两部分可知, 绿灯期间到达的车辆由于排队延误和停车启动所产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{12}={\rm P}{\rm I}{}_{121}+{\rm P}{\rm I}{}_{122}=9.2{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+10\times \\ {\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)\times \\ ({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)+{\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\tau \rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -\\ (t{}_1-(3.7+1.1{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2\end{array}$

由1.1.1、1.1.2两部分可以得到方向一交通流在一个周期内由于停车启动和排队延误所产生的PI值为

${\rm P}{\rm I}{}_1={\rm P}{\rm I}{}_{11}+{\rm P}{\rm I}{}_{12}$

经化简得

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_1={\displaystyle \int }{}_0^{t{}_1}\tau \rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +9.2{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+0.55\times \\ ({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_1-(3.7+1.1{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times \\ {\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2\end{array}$

1.2   方向三在一个周期中PI值的计算

由于方向三与方向一属于同一个相位, 因此方向三的PI值可以参考方向一的计算方法得到。方向三的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_3={\displaystyle \int }{}_0^{t{}_3}\tau \rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_3}\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +9.2{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+0.55\times \\ ({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -\\ 5)-(t{}_3-(3.7+1.1{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times \\ {\displaystyle \int }{}_R^{t{}_3}\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2\end{array}$

式中: t₃为绿灯开启后到达的车辆仍需要停车的时间长度; t₃为通过求解下面的方程式进行计算的

$\begin{array}{l}3.7+1.1({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ {\displaystyle \int }{}_R^{t{}_3}\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau )=t{}_3\end{array}$

由于方向二、方向四与方向一、方向三属于不同相位, 因此对方向二、方向四的PI值计算应进行单独分析。

1.3   方向二在一个周期中PI值的计算

由于一、三方向的相位与方向二、四的相位相反, 当一、三方向相位为红灯时, 二、四相位则为绿灯时间。因此当信号周期开始时, 二、四相位首先排放上一周期红灯期间到达的车队, 绿灯开启后到达车辆的排队情况与上一周期红灯期间到达车辆的排队长度和绿灯开启后的交通流的到达规律有关。现先以方向二为例进行分析。

对方向二的交通流来说, 其到达和通过交叉路口的行为规律可分为三个阶段来考虑: 第一阶段为绿灯开启后的一段时间, 在此阶段过程中, 有上一个周期红灯期间到达车辆在绿灯期间的排队延误、启动延误和绿灯开启后到达的由于车队启动延迟而产生的停车、等待以及启动延误; 第二阶段是整个车队都开始移动到绿灯结束这一段时间, 此时间段内到达的车辆可以不停车通过交叉路口, 虽然存在一定程度的跟车缓行延误, 但由于这部分的延误比较小, 因此忽略不计; 第三阶段为该信号周期的红灯时间段, 在该段时间内到达交叉路口的车辆需要停车, 直到下一个信号周期的绿信开始, 此时间段内车辆的延误包括停车和等待两个部分。

从以上分析可知, 对于方向二来说, 在建立交通信号优化配时模型时只需要计算第一、第三阶段的PI值。

1.3.1   第一阶段PI值的计算

第一阶段的PI值计算要分等待延误和停车启动延误两个部分。

(1) 车辆排队延误时间的PI值计算

车辆排队延误又分红灯期间到达车辆的排队延误和绿灯开启后到达车辆的等待延误。由于此周期开启时相位为绿灯, 因此绿灯开启时交叉路口停车线前排队的车辆为上一个周期红灯期间到达的车辆, 上一个周期红灯期间到达的车辆数N₂₁可以利用下式进行计算

${\rm N}{}_{21}={\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

式中: G_n为第n周期的方向二交通流对应的绿信时间, 是已经执行完的周期, 为已知值。

(a) 红灯期间到达的车辆在绿信开启后由于等待所产生的PI值

这部分延误由红灯期间到达的车辆数N₂₁以及车辆启动的间隔规律来确定, 其计算方法与1.1.2中的方法相同, 计算公式为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{211\text{a}}=2.8{\rm N}{}_{21}+2.1({\rm N}{}_{21}-1)+1.7({\rm N}{}_{21}-2)+1.4({\rm N}{}_{21}-3)+1.2({\rm N}{}_{21}-4)+1.1({\rm N}{}_{21}-5)+\cdots +1.1\times 2+1.1\times 1=9.2{\rm N}{}_{21}-14.5+1.1({\rm N}{}_{21}-5+1)({\rm N}{}_{21}-\\ 5)/2=9.2{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+0.55\times \\ ({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)\end{array}$

(b) 绿灯期间到达需停车的车辆由于等待延误所产生的PI值

绿灯期间到达需要停车的车辆数为N₂₂, 其计算公式为

${\rm N}{}_{22}={\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

式中: t₂为绿灯开启后到达的车辆仍需要停车的时间长度; t₂为通过求解下面的方程式进行计算的

$\begin{array}{l}3.7+1.1({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau )=t{}_2\end{array}$

所以绿灯期间到达需停车的车辆由于等待延误所产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{211\text{b}}={\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -(t{}_2-(3.7+1.1{\rm N}{}_{21}))\times \\ {\rm N}{}_{22}/2={\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -(t{}_2-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2\end{array}$

所以第一阶段由于等待延误产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{211}={\rm P}{\rm I}{}_{211\text{a}}+{\rm P}{\rm I}{}_{211\text{b}}=9.2{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+\\ {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -\\ 4)({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_2-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2\end{array}$

(2) 车辆由于停车启动所产生的PI值计算

车辆停车启动所产生的PI值分两部分进行计算: 第一部分是上一个周期到达的车辆, 这部分车辆在此周期内只存在启动延迟, 因此只考虑启动部分而不考虑停车部分; 第二部分是该周期绿信开启后需要停车的车辆停车启动所产生的PI值计算。

(a) 红灯期间到达的车辆由于启动所产生的PI值

红灯期间到达的车辆数为N₂₁, 这部分车辆在绿灯开启后仅存在启动损失, 因此这部分车辆所产生的PI值为

${\rm P}{\rm I}{}_{212\text{a}}=5{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

(b) 绿灯期间到达需停车的车辆由于停车启动所产生的PI值

绿灯期间到达需停车的车辆数为N₂₂, 所以绿灯期间到达的车辆的停车启动所产生的PI值为

${\rm P}{\rm I}{}_{212\text{b}}=10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

所以第一阶段由于车辆的停车启动所产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{212}={\rm P}{\rm I}{}_{212\text{a}}+{\rm P}{\rm I}{}_{212\text{b}}=5{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ 10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau \end{array}$

由以上可得到第一阶段由于第待、停车和启动所产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{21}={\rm P}{\rm I}{}_{211}+{\rm P}{\rm I}{}_{212}=9.2{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+\\ {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -\\ 4)({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_2-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2+\\ 5{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau \end{array}$

由于第二阶段到达的车辆可以不停车通过交叉路口, 故认为第二阶段不存在等待、停车和启动延误, 即第二阶段的PI值为0。因此在第一阶段PI值计算之后, 只要进行第三阶段的PI值计算就可以确定方向二一个周期的PI值。

1.3.2   第三阶段PI值的计算

第三阶段是该周期红灯开始到该周期结束, 在此阶段中存在车辆到达的等待延误和停车延误两个部分, 下面分别进行计算。

(1) 红灯期间车辆到达由于等待延误所产生的PI值

红灯期间到达的车辆要在交叉路口前排队等待, 其PI值的计算公式为

${\rm P}{\rm I}{}_{231}={\displaystyle \int }{}_g^C\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

式中: g为该周期方向二的绿灯相位时间, g=R-Y-H, R为方向一对应的红灯相位时间, Y为黄灯时间, H为全红时间。

(2) 红灯期间车辆到达由于停车所产生的PI值

红灯期间到达的车辆数N₂₃为

${\rm N}{}_{23}={\displaystyle \int }{}_g^C\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

由于在该红灯期间到达的车辆要在下一个周期开始后才能启动, 所以仅存在停车所产生的PI值, 其计算公式为

${\rm P}{\rm I}{}_{232}=5{\displaystyle \int }{}_g^C\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau$

所以第三阶段由于车辆等待、停车所产生的PI值为

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_{23}={\rm P}{\rm I}{}_{231}+{\rm P}{\rm I}{}_{232}=\\ {\displaystyle \int }{}_g^C\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +5{\displaystyle \int }{}_g^C\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau \end{array}$

通过第一阶段和第三阶段PI值的计算, 得到方向二在一个周期的PI值

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_2={\rm P}{\rm I}{}_{21}+{\rm P}{\rm I}{}_{23}=9.2{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+\\ {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -\\ 4)({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_2-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2+\\ 5{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ {\displaystyle \int }{}_g^C\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +5{\displaystyle \int }{}_g^C\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau \end{array}$

1.4   方向四在一个周期中PI值的计算

由于方向四与方向二属于同一相位, 所以同理可以推导出方向四的在一个周期中的PI值

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm I}{}_4=9.2{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -14.5+{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_4}\tau \rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)\times \\ ({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_4-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_4}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2+5{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_4}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +{\displaystyle \int }{}_g^C\tau \rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +5{\displaystyle \int }{}_g^C\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau \end{array}$

式中: t₄通过求解下面的方程式确定

$\begin{array}{l}3.7+1.1({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_4}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau =t{}_4\end{array}$

1.5   以PI值最小为目标的信号配时优化函数模型

由以上分析可知, 将交叉路口四个交通流方向的PI进行求和, 就可以得到以PI值最小为目标建立的信号配时优化函数模型, 优化函数模型为

$\begin{array}{l}J=\min {\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\rm P}{\rm I}{}_i={\displaystyle \int }{}_0^{t{}_1}\tau \rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\\ \tau )\text{d}\tau +9.2{\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -58+0.55({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_1-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_R^{t{}_1}\rho {}_1({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2+\\ {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_3}\tau \rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_3}\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +9.2\times \\ {\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)\times \\ ({\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_3-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_0^R\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_R^{t{}_3}\rho {}_3({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2+9.2\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ {\displaystyle \int }{}_g^C\tau \rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -\\ 4)({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_2-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2+5\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_2}\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ 5{\displaystyle \int }{}_g^C\rho {}_2({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +9.2{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_4}\tau \rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +0.55({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -4)\times \\ ({\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau -5)-(t{}_4-(3.7+1.1\times \\ {\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau ))\times {\displaystyle \int }{}_0^{t{}_4}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau /2+\\ 5{\displaystyle \int }{}_{G{}_n}^{C{}_n}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +10{\displaystyle \int }{}_0^{t{}_4}\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau +\\ 5{\displaystyle \int }{}_g^C\rho {}_4({\displaystyle \sum _{i=0}^n}C{}_i+\tau )\text{d}\tau 0<R<C\end{array}$

在此优化目标函数中包含两个未知量: 信号周期C和方向一的红灯时间R, 确定出方向一的红灯时间也就是确定了方向一的相位时间, 进而可以确定出各个方向交通的相位时间, 其中周期的启始时间隐含在优化模型中, 是上一个周期的结束时间。

在优化过程中, 优化模型根据交叉口各个方向交通流实时到达的情况, 不断地进行优化, 对于一个两相位的十字交叉路口来说, 最大信号周期一般取120 s, 也可以根据实际需要进行调整。

在进行交通信号优化配时时, 依据交通流的到达规律对目标函数进行优化求解, 从而得出最优交通信号配时方案, 使各个方向到达的交通流能够在最合理的周期时间和最恰当的相位内顺利地通过交叉路口。如果求出的信号周期大于120 s, 则说明该交叉路口出现拥挤, 此时交叉路口的信号控制机将自动启动拥挤条件下的配时方案, 此配时方案以提高交叉路口的通行能力、缓解交叉路口的交通拥挤为目标。在执行拥挤条件下的配时方案时, 交通信号控制优化部分也一直在实施优化配时方案, 一旦出现优化配时方案的信号周期小于120 s, 就终止拥挤条件下的配时方案, 启动交通信号优化配时方案。因此, 该交通信号配时优化理论模型可以根据交通流的实际到达规律, 给出实时的交通信号配时优化方案, 并适用于交通拥挤情况。所以该优化模型是能够适应交通流不断变化情况的本地自适应交通信号优化模型。

2.   结语

本文通过对交叉路口交通流到达和排队延误规律的研究, 提出了一种新的交通信号控制方法, 此方法把交通延误和停车启动次数综合为一个性能指标PI值, 建立了以PI值最小为目标的交通信号配时优化理论模型。该模型是以实时交通流的到达规律作为交通信号配时方案的依据, 从而使交叉路口的信号配时能够对实时变化的交通流作出及时反应, 使以车队形式到达的交通流可以不停车通过交叉路口, 从而减少交叉路口的交通延误, 提高交叉路口的通行能力, 保证交叉路口交通流的连续畅通。此外该模型不但可以对非拥挤条件下的交叉路口进行信号配时优化, 而且也适用于交通流拥挤的情况。