快速路系统反馈控制器设计及算法

谢劲松; 韩印; 范炳全; 干宏程

快速路系统反馈控制器设计及算法

谢劲松^1,,
韩印²,
范炳全^{1, 2,},
干宏程²

1.
上海理工大学管理学院，上海 200093
2.
上海理工大学城市建设与环境工程学院，上海 200093

基金项目:

上海市重点学科建设项目 T0502

上海市科委国际合作研究项目 062107043

上海理工大学博士启动基金项目 X693

详细信息

作者简介:
谢劲松(1974-), 男, 湖南新化人, 上海理工大学管理学博士研究生, 从事智能交通系统规划与管理研究

范炳全(1942-), 男, 江苏丹阳人, 上海理工大学教授

中图分类号: U491.1
计量
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- 被引次数: 0
出版历程
- 收稿日期: 2008-01-11
- 刊出日期: 2008-08-25

Feedback controller design and algorithm of freeway system

1.
School of Management, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
2.
School of Urban Construction and Environmental Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China

More Information

Author Bio:
XIE Jin-song(1974-), male, doctoral student, +86-21-55276729, jinsongxie@163.com

FAN Bing-quan(1942-), male, professor, +86-21-55273671, crts-usst@163.com

Article Text (Baidu Translation)

摘要

摘要: 为了提高快速路系统的利用效率, 设计了一个反馈控制器, 提出了反馈控制器的迭代求解算法, 控制器能实时跟踪车辆的密度, 并与所期望的密度进行比较, 把误差反馈给车辆, 通过给车辆发布恰当的速度命令来控制车辆运行, 使实际车辆密度收敛于期望密度。仿真计算结果表明: 算法取4次迭代时的车辆密度与运行速度最大相对误差为0.32%, 平均耗时为0.32 s, 因此, 设计的控制器使交通流运行趋于平稳, 减少了车辆延误, 从而提高了系统利用效率。
- 交通控制 /
- 快速路系统 /
- 反馈控制器设计 /
- 算法实现 /
- 指数收敛
Abstract: In order to improve the using efficiency of freeway system, a feedback controller was designed and its iterative algorithm was proposed, the controller could track vehicles' real-time densities and compare them with the anticipant density, then it sent the errors to the vehicles, and guaranteed the convergence of the real vehicle density to the anticipant density under appropriate speed command followed by vehicles.Simulation result indicates that the maximum relative error of vehicles' densities and travel speeds is 0.32%, and the average time consumption is 0.32 s after the fourth iteration of the algorithm, so the controller guarantees the smooth and stable traffic flow, reduces the vehicle's delay and increases the efficiency of the system.
- traffic control /
- freeway system /
- feedback controller design /
- algorithm realization /
- exponential convergence

HTML全文

0. 引言

拥挤已成为当今快速路系统的普遍现象, 其表现形式之一为不均一的交通流, 包括同一车道的车辆密度、速度、车头时距的不均一及不同车道间的车辆密度、速度、车头时距的不均一。为了消除拥挤, 人们尝试了不同方法, 从供给方面考虑有新建或者改、扩建已有道路的, 但无数事实证明此方法不能从根本上解决问题。从管理与控制方面考虑, 有通过合理管理和控制已有道路, 提高已有道路设施的利用效率来实现的, 如匝道控制、可变限速控制、路线诱导等策略的应用^[1-3]; 有通过建立拥挤模型和收费理论来进行^[4-5]; 有通过设置路段控制器来实现等^[6]。但这些方法中有些是因为模型本身精度不够高, 有些是模型中的算法不能完全满足实时性的要求, 所以在实际应用当中, 还有改进的余地。本文提出的反馈控制器设计方法对算法进行了切合实际的改进与提高, 能够满足适时性的需要, 它通过实时跟踪车辆的密度, 并与期望密度比较, 从而把误差通过恰当的速度命令实时反馈给运行的车辆, 以此控制车辆运行, 达到提高交通流率及降低拥挤的目的。

1. 快速路交通流模型

快速路宏观交通流模型主要有LWR模型、Payne模型^[7]、Papageorgiou模型^[1]。由于LWR模型只把密度当成状态变量, 而且使用的是稳态流密关系, 不能很好地描述车辆的瞬时行为和交通流的演进过程^[8]; Payne模型和Papageorgiou模型对之做了改进, 尤其是后者在几个地方进行了实际测试^[9], 并证明其有效性, 但通过一些仿真试验发现, 此模型本身也存在一些缺点。为了分析问题方便, 本文利用其改进形式^[9], 在此只考虑一个车道的情形。快速路网拓扑中(图 1), 快速路被分成N段, 每段长度分别为Δ_i(i=1, 2, …, N), ρ_ik、q_ik和v_ik分别为采样时刻k第i段的密度、流率和空间平均速度, r_ik、s_ik分别为相应的入匝与出匝流率。模型改进形式为

$q_{i k}=\alpha \rho_{i k} v_{i k}+(1-\alpha) \rho_{(i+1) k} v_{(i+1) k}$

(1)

$\begin{array}{l} ρ_{i (k + 1)} = ρ_{i k} + \frac{Τ}{Δ_{i}} (q_{(i - 1) k} - q_{i k} + r_{i k} - s_{i k}) (2) \\ v_{i (k + 1)} = v_{i k} + \frac{Τ}{τ} [V_{f u n d} (ρ_{i k}) - v_{i k}] + \\ \frac{Τ}{Δ_{i}} v_{i k} [v_{(i - 1) k} - v_{i k}] - u_{i k} (3) \\ V_{f u n d} (ρ_{i k}) = v_{f} [1 - (\frac{ρ_{i}}{ρ_{j a m}})^{l}]^{m} (4) \\ u_{i k} = \frac{υ Τ}{τ Δ_{i}} \frac{ρ_{(i + 1) k} - ρ_{i k}}{ρ_{i k} + κ} (5) \end{array}$

图 1 快速路网拓扑

Figure 1. Topology of freeway network

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式中: α、τ为正的模型参数, 其值由实际的交通数据标定而得; T为采样周期; V_fund(ρ_ik)代表稳态速密关系; v_f、ρ_jam分别为自由流速度和阻塞密度; l、m为模型参数; u_ik为速度的演进对车辆产生的影响。式(5)为通常的Papageorgiou模型, 式中υ、κ为模型参数。当u_ik选取不同的形式, 对车辆就会产生不同的影响, 下面的反馈控制器设计正是基于此而提出的。

2. 反馈控制器设计

为了跟踪车辆密度, 并与期望密度比较, 以及把误差通过适当方式反馈给行驶的车辆, 需要有反馈控制器来产生恰当的速度命令给车辆, 车辆据此命令调整自身行为, 从而达到期望的密度。为了得到满足要求的反馈控制器, 定义每一路段的跟踪误差为

$ξ_{i k} = ρ_{i k} - ρ_{d_{i} k} (6)$

因为反馈控制器可以通过设计u_ik来实现, 不同的u_ik产生不同的速度和密度, 从而实现交通密度ρ_ik指数收敛于期望密度ρ_{d_ik}, 简记为 $ρ_{i k} \overset{\exp}{\to} ρ_{d_{i} k}, k \to \infty$ 。

为了简化分析, 可考虑没有出入口的快速路系统。首先给出引理如下。

引理考虑离散系统

$x (k + 1) = c x (k) + z (k), x (0) = x_{0} (7)$

其中c为常数, 且c < 1, 那么当 $z (k) \overset{\exp}{\to} 0, k \to \infty$ , 有 $x (k) \overset{\exp}{\to} 0, k \to \infty ‚ x (k)$ 、z(k)为k时刻不同状态变量, x₀为初值。

定理如果存在满足式(8)的反馈控制器U_k, 则快速路的交通密度指数收敛于期望密度。

$\begin{array}{l} Ρ_{Ν k} U_{k} = E_{k} (8) \\ Ρ_{Ν k} = [\begin{matrix} \frac{α b_{1 (k + 1)}}{2 α - 1} & c_{1 (k + 1)} \\ a_{2 (k + 1)} & b_{2 (k + 1)} & c_{2 (k + 1)} \\ ⋱ \\ a_{(Ν - 1) (k + 1)} & b_{(Ν - 1) (k + 1)} & c_{(Ν - 1) (k + 1)} \\ a_{Ν (k + 1)} & \frac{α b_{Ν (k + 1)}}{2 α - 1} \end{matrix}] \\ U_{k} = [u_{1 k} u_{2 k} \dots u_{Ν k}]^{Τ} \\ E_{k} = [e_{1 k} e_{2 k} \dots e_{Ν k}]^{Τ} \\ a_{i k} = \frac{Τ}{Δ_{i}} α ρ_{(i - 1) k}, b_{i k} = \frac{Τ}{Δ_{i}} (1 - 2 α) ρ_{i k} \\ c_{i k} = \frac{- Τ}{Δ_{i}} (1 - α) ρ_{(i + 1) k} \\ f_{i k} = v_{i k} + \frac{Τ}{τ} [V_{f u n d} (ρ_{i k}) - v_{i k}] + \frac{Τ}{Δ_{i}} v_{i k} [v_{(i - 1) k} - v_{i k}] \end{array}$

$\begin{array}{l} e_{i k} = a_{i (k + 1)} f_{(i - 1) k} + b_{i (k + 1)} f_{i k} + c_{i (k + 1)} f_{(i + 1) k} + \\ d_{i (k + 1)} - c_{ζ} ζ_{i k} \\ d_{i k} = ρ_{i k} - ρ_{d_{i} (k + 1)} - c_{ξ} ξ_{i k} \\ ζ_{i k} = \frac{Τ}{Δ_{i}} [q_{(i - 1) k} - q_{i k}] + ρ_{i k} - ρ_{d_{i} (k + 1)} - c_{ξ} ξ_{i k} \\ θ_{i k} = - a_{i (k + 1)} u_{(i - 1) k} - b_{i (k + 1)} u_{i k} - c_{i (k + 1)} u_{(i + 1) k} + e_{i k} \end{array}$

证明: 由上述定义得系统

${\begin{cases} ξ_{i (k + 1)} = c_{ξ} ξ_{i k} + ζ_{i k} \\ ζ_{i (k + 1)} = c_{ζ} ζ_{i k} + θ_{i k} \end{cases} (9)$

其中c_ξ、c_ζ为常数, 0 < c_ξ < 0, 0 < c_ζ < 1。

由引理知, 如果恰当设计u_ik使θ_ik为0成立, 则可得 $ζ_{i k} \overset{\exp}{\to} 0, k \to \infty$ , 从而 $ξ_{i k} \overset{\exp}{\to} 0 ‚ k \to \infty ‚ 即 ρ_{i k} \overset{\exp}{\to} ρ_{d_{i} k}, k \to \infty$ 。考虑到边界的交通情况^[6]: 进入路段的平均速度等于第一段的平均速度, 退出路段的平均速度、交通密度分别等于最后一段的平均速度、交通密度, 并利用式(1), 得如下的边界条件

${\begin{cases} ρ_{0 k} = \frac{q_{0 k} / v_{1 k} - (1 - α) ρ_{1 k}}{α} \\ v_{0 k} = v_{1 k} \\ ρ_{(Ν + 1) k} = ρ_{Ν k} \\ v_{(Ν + 1) k} = v_{Ν k} \end{cases} (10)$

由此求得

${\begin{cases} a_{1 (k + 1)} = \frac{Τ q_{0 (k + 1)}}{Δ_{1} v_{1 (k + 1)}} + \frac{1 - α}{2 α - 1} b_{1 (k + 1)} \\ c_{Ν (k + 1)} = \frac{1 - α}{2 α - 1} b_{Ν (k + 1)} \end{cases} (11)$

于是求解θ_ik=0, 并利用式(10)、(11)即得u_ik, 从而定理得证。

由于矩阵P_Nk可逆, 所以满足要求的u_ik总存在。求得u_ik后知k+1时刻给车辆的速度命令为

$v_{c o m} = f_{i k} - u_{i k}$

此时交通密度指数收敛于期望密度。

3. 算法实现

由上可知, 为了获得每一段的控制律u_ik, 须求解

$U_{k} = Ρ_{Ν k}^{- 1} E_{k}$

如果N很大, 已有的求解P $_{Ν k}^{- 1}$ 的算法需要花费大量的计算时间。为此下面给出一个改进的迭代算法, 在保证精度的前提下可以大大节省计算时间, 从而提高计算效率。

分解P_Nk得

$Ρ_{Ν k} = L_{k} + R_{k}$

利用泰劳展式有

P $_{Ν k}^{- 1}$ =L $_{k}^{- 1}$ -L $_{k}^{- 1}$ R_kL $_{k}^{- 1}$ +L $_{k}^{- 1}$ R_kL $_{k}^{- 1}$ R_kL $_{k}^{- 1}$ -…

U_k=L $_{k}^{- 1}$ E_k-L $_{k}^{- 1}$ R_kL^-1E_k+L $_{k}^{- 1}$ R_kL $_{k}^{- 1}$ R_kL $_{k}^{- 1}$ E_k-…

$\begin{array}{l} L_{k} = [\begin{matrix} \frac{α b_{1 (k + 1)}}{2 α - 1} \\ a_{2 (k + 1)} & b_{2 (k + 1)} \\ a_{3 (k + 1)} & b_{3 (k + 1)} \\ ⋱ \\ a_{(Ν - 1) (k + 1)} & b_{(Ν - 1) (k + 1)} \\ a_{Ν (k + 1)} & \frac{α b_{Ν (k + 1)}}{2 α - 1} \end{matrix}] \\ R_{k} = [\begin{matrix} 0 & c_{1 (k + 1)} \\ 0 & c_{2 (k + 1)} \\ 0 & c_{3 (k + 1)} \\ ⋱ \\ 0 & c_{(Ν - 1) (k + 1)} \\ 0 \end{matrix}] \end{array}$

记Z $_{k}^{0}$ =L $_{k}^{- 1}$ E_k

Z $_{k}^{n}$ =L $_{k}^{- 1}$ R_kZ $_{k}^{n - 1}$

得 $U_{k} = \sum_{j = 0}^{\infty} (- 1)^{j} Ζ_{k}^{j}$

U_k可用前n阶泰劳展式近似替代, 即

$\overset{—}{U}_{k}^{n} = \sum_{j = 0}^{n - 1} (- 1)^{j} Ζ_{k}^{j} \approx U_{k}$

于是在采样时刻k, 在路段i处的反馈控制器近似表示为 $\bar{u}_{i k}^{n} ‚ \bar{u}_{i k}^{n}$ 是 $\overset{—}{U}_{k}^{n}$ 中的元素, 从而得如下迭代算法。

步骤1: 求解Z $_{k}^{0}$ 。

令Z $_{k}^{0}$ =[Z $_{1 k}^{0}$ Z $_{2 k}^{0}$ …Z $_{Ν k}^{0}$ ]^T

由L_kZ $_{k}^{0}$ =E_k得

${\begin{cases} \frac{α}{2 α - 1} b_{1 (k + 1)} Ζ_{1 k}^{0} = e_{1 k} \\ a_{2 (k + 1)} Ζ_{1 k}^{0} + b_{2 (k + 1)} Ζ_{2 k}^{0} = e_{2 k} \\ a_{Ν (k + 1)} Ζ_{(Ν - 1) k}^{0} + \frac{α}{2 α - 1} b_{Ν (k + 1)} Ζ_{Ν k}^{0} = e_{Ν k} \end{cases}$

步骤2:求解Z $_{k}^{n}$ 。

令Z $_{k}^{n}$ =[Z $_{1 k}^{n}$ Z $_{2 k}^{n}$ …Z $_{Ν k}^{n}$ ]^T

由L_kZ $_{k}^{n}$ =R_kZ $_{k}^{n - 1}$ 得

${\begin{cases} \frac{α}{2 α - 1} b_{1 (k + 1)} Ζ_{1 k}^{n} = c_{1 (k + 1)} Ζ_{2 k}^{n - 1} \\ a_{2 (k + 1)} Ζ_{1 k}^{n} + b_{2 (k + 1)} Ζ_{2 k}^{n} = c_{2 (k + 1)} Ζ_{3 k}^{n - 1} \\ a_{Ν (k + 1)} Ζ_{(Ν - 1) k}^{n} + \frac{α}{2 α - 1} b_{Ν (k + 1)} Ζ_{Ν k}^{n} = 0 \end{cases}$

步骤3:求解 $\overset{—}{U}_{k}^{n}$ 。

从后面的仿真分析知, $\overset{—}{U}_{k}^{n}$ 虽然只是U_k的近似, 但是当选取适当的模型参数后, 4次迭代就能到达很高的精度。

4. 仿真实例

本文考虑一个单向单车道的快速路系统, 其由8个路段组成, 每段的长度均为1 km, 初始时刻进入路段1的流率假设为1 500 veh·h^-1。速度和密度初始值及相应的模型参数见表 1、2^[10]。

表 1 初始速度和密度

Table 1. Initial speeds and densities

路段	1	2	3	4	5	6	7	8
速度/(km·h^-1)	81	81	29	29	81	81	81	81
密度/(veh·km^-1)	18	18	52	52	18	18	18	18

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表 2 模型参数

Table 2. Model parameters

α	l	m	τ	κ	υ	T	v_f	ρ_jam	c_ξ	c_ζ	ρ_{d_i}
0.95	1.86	4.05	20	40	60	10	110	110	0.85	0.85	25

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显然从初始密度可知, 如果不采取控制措施, 那么路段的拥挤将很快由中间路段蔓延至上游路段, 并最终导致阻塞形成。下面是采纳控制措施的情形, 不同之处在于对上面所提算法分别进行了1~4次迭代, 以此来比较其相应的性能指标, 从而为采取合理可行的措施提供依据。在给定入口处的流率为定值1 500 veh·h^-1, 期望密度为25 veh·km^-1的情况下, 仿真1 h, 结果见表 3和图 2~9。

表 3 迭代后性能指标

Table 3. Performance indexes after iterations

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图 2 1次迭代后的密度演化曲线

Figure 2. Evolution graph of density after one iteration

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图 3 1次迭代后的速度演化曲线

Figure 3. Evolution graph of speed after one iteration

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图 4 2次迭代后的密度演化曲线

Figure 4. Evolution graph of density after two iterations

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图 5 2次迭代后的速度演化曲线

Figure 5. Evolution graph of speed after two iterations

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图 6 3次迭代后的密度演化曲线

Figure 6. Evolution graph of density after three iterations

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图 7 3次迭代后的速度演化曲线

Figure 7. Evolution graph of speed after three iterations

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图 8 4次迭代后的密度演化曲线

Figure 8. Evolution graph of density after four iterations

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图 9 4次迭代后的速度演化曲线

Figure 9. Evolution graph of speed after four iterations

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从表 3知, 迭代1次虽耗时少, 平均只需0.12 s, 但是误差较大, 其相对误差达到8.48%, 而且在速度演化曲线图上, 出现了不太合理的数值(大于110 km·h^-1), 密度曲线离期望密度也有一定距离。虽然迭代次数增加会降低相对误差, 但由此所需的时间会指数增加, 这不利于实际应用。所以取4次迭代既可以满足精确要求(最大相对误差只有0.32%), 又可以满足实际耗时需要(平均耗时只有0.32 s)。同时从密度曲线可知, 在控制器作用下交通拥挤现象很快就被消除, 并且快速路各段的密度都趋于期望密度。从速度曲线可知, 所有车辆以一致的速度行驶。这样快速路上的车辆很快就达到均一的速度和密度, 交通流运行趋于平稳, 从而提高了系统流率, 减少了车辆延误。

5. 结语

本文基于改进的宏观离散交通流模型, 对快速路系统进行了建模分析, 在实时跟踪车辆密度与期望密度误差的基础上提出了反馈控制器设计方法, 它以给车辆发布恰当速度命令为手段来控制车辆运行, 使系统中车辆达到一致的速度与密度, 然后提出了求解此控制器的有效的迭代算法, 并对一个单车道单方向的快速路系统进行了仿真分析, 结果表明算法在取4次迭代时既能达到很好的精度, 又能满足实时性的需要。仿真分析亦显示快速路系统运行平稳高效, 由此知本文方法有效。

图 1 快速路网拓扑

Figure 1. Topology of freeway network

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图 2 1次迭代后的密度演化曲线

Figure 2. Evolution graph of density after one iteration

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图 3 1次迭代后的速度演化曲线

Figure 3. Evolution graph of speed after one iteration

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图 4 2次迭代后的密度演化曲线

Figure 4. Evolution graph of density after two iterations

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图 5 2次迭代后的速度演化曲线

Figure 5. Evolution graph of speed after two iterations

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图 6 3次迭代后的密度演化曲线

Figure 6. Evolution graph of density after three iterations

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图 7 3次迭代后的速度演化曲线

Figure 7. Evolution graph of speed after three iterations

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图 8 4次迭代后的密度演化曲线

Figure 8. Evolution graph of density after four iterations

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图 9 4次迭代后的速度演化曲线

Figure 9. Evolution graph of speed after four iterations

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表 1 初始速度和密度

Table 1. Initial speeds and densities

路段 1 2 3 4 5 6 7 8

速度/(km·h^-1) 81 81 29 29 81 81 81 81

密度/(veh·km^-1) 18 18 52 52 18 18 18 18

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表 2 模型参数

Table 2. Model parameters

α l m τ κ υ T v_f ρ_jam c_ξ c_ζ ρ_{d_i}

0.95 1.86 4.05 20 40 60 10 110 110 0.85 0.85 25

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表 3 迭代后性能指标

Table 3. Performance indexes after iterations

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参考文献(10)

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0. 引言
1. 快速路交通流模型
2. 反馈控制器设计
3. 算法实现
4. 仿真实例
5. 结语

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快速路系统反馈控制器设计及算法

作者简介:
谢劲松(1974-), 男, 湖南新化人, 上海理工大学管理学博士研究生, 从事智能交通系统规划与管理研究

范炳全(1942-), 男, 江苏丹阳人, 上海理工大学教授

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