Influence of traveling wave effect on seismic mitigation control for long-span cable-stayed bridge
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摘要: 为了研究行波效应对斜拉桥减震控制地震反应的影响, 推导了多点地震动输入下的大跨桥梁减震控制计算方法, 以一座大跨飘浮体系斜拉桥为实例, 在桥塔和桥墩处设置阻尼器, 建立其三维有限元模型, 分析了行波输入下半主动控制和被动控制对斜拉桥的减震效果。计算结果表明: 半主动控制比较缓和地控制桥梁的地震反应, 而被动控制则急剧地控制桥梁的地震反应, 因此, 要慎用被动控制; 行波效应对无控制、半主动控制和被动控制斜拉桥的桥塔均具有很小的不利影响, 仅使桥塔内力增大约10%, 对主梁均具有显著不利影响, 使主梁内力增大近8倍; 行波效应对半主动控制和被动控制减震效果的不利影响很小, 没有出现明显的控制效果变差的现象。Abstract: In order to study the influence of traveling wave effect on the seismic response of vibration mitigation control for cable-stayed bridge, a calculation method of seismic mitigation control for long-span bridge was presented under multiple ground motion inputs, and the vibration-suppressed effeetivenesses of semi-active control and passive control for a long-span floating cable-stayed bridge with dampers set on towers and piers were calculated and analyzed by its 3D finite element model. Calculation result indicates that semi-active control method can gently control the seismic response of bridge, passive control method can sharply control the response, so passive control method should be used carefully. Traveling wave effect makes little bad influence on the tower of cable-stayed bridge for uncontrol, semi-active control and passive control with the maximal augment of 10~ for internal force, but it can make serious bad influence on the beam with maximal augment of about 8 times for internal force. The bad influences of traveling wave effect on the vibration-suppressed effectivenesses of semi-active control and passive control are little with no obvious bad control effectivenesses.
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1978年, Phillips提出交通流的运动微分方程[1]
(1) 1991年, 吴正提出交通流的运动微分方程[2]
(2) 作者在文献[3]中推导出理想交通流的欧拉方程为
(3) 式中: u为车流速度; t为时刻; x为车辆位置; k为车流密度; ue(k)为根据车辆跟驰的概念提出的平均速度与密度之间的函数; A为车道数; P、p为交通压力, 文献[1]认为是密度与速度分布的方差之积, 文献[2]假定为: p=ckn (n≥ 1), c、n为常数, 作者在文献[3]中推导出P=P1+ ku(u1-u), 下标1表示某一已知状态; τw为车流经过单位面积时所受的阻力; λ(k)为待定函数。
比较式(1)~ (3), Phillips方程中的-λ(k)· [u-ue(k)]和吴正方程中的τw可看作粘性阻力项。但要确定Phillips方程中函数λ(k)中的各参数却异常复杂[4]; 吴正方程在应用时假定[2, 5]τw=0;作者的方程是理想交通流的欧拉方程, 没有引入粘性阻力项。
在交通流研究中, 速度—密度关系是参数之间的基本关系之一。1993年, Green Shields提出了速度—密度线性关系模型[6, 7]
(4) 式中: uf为自由流速度(下同); kj为堵塞密度(下同); u为速度(下同); k为密度(下同)。
作者认为速度、密度和流量三者之间的关系也是一种模型, 称为定流量模型
(5) 线性模型和定流量模型在研究交通流时被引用得较多。线性模型是在大量的观测数据的基础上统计回归得到的[6, 7], 与实测数据拟合良好。研究交通流特性时, 多以该模型为基础[8]。定流量模型表示了三参数之间的关系。
本文将在理想交通流的欧拉方程中引入相对粘性阻力项, 建立实际交通流的运动微分方程, 并采用线性模型和定流量模型予以验证。
1. 理想交通流的微分方程组和相对粘性假设
描述单车道理想交通流的微分方程组为
(6) 
(7) 
(8) 式中: 下标1表示某一已知状态(下同)。
交通流达到一定密度后, 由于彼此间的相互干扰, 呈现一定的粘性特点[10]。式(8)表示的交通压力P是与已知状态1有关的相对量。因此, 如同式(2), 在式(7)中引入的粘性阻力项也应该是相对于相同已知状态1的相对粘性阻力项。假设
(9) 式(9)为本文作出的相对粘性假设。
2. 实际交通流的运动微分方程及验证
将式(9)表示的相对粘性阻力项代入式(7)后, 得到描述实际交通流的运动微分方程
(10) 式中: τw由式(9)确定。
由式(8)有
(11) 由式(6), 有
(12) 将式(9)和式(11)代入式(10), 并综合式(12), 有
(13) 式中: 当u≥ u1时, 取“ -”; 当u < u1时, 取“+”; 当x一定时, 有
(14) 解式(14), 即可得到速度—密度关系模型。
(1) 当u>u1时, 由式(14)有
(15) 解式(15), 得
(16) 式中: 下标2表示u>u1时的任一已知状态, 且u2> u1(下同)。
选取阻塞状态(u=0)为状态1时, 由式(16)有亦即ku=k2u2。式(17)为速度—密度定流量模型。
(17) (2) 当u < u1时, 由式(14)有
(18) 解式(18), 得
(19) 式中: 下标2表示u < u1时的任一已知状态, 且u2 < u1(下同)。
当选取u=uf为状态1时, 由式(19)有
(20) 该式对u=0、k=kj状态亦成立, 即有
(21) 代入式(20), 有
(22) 式(22)即为Green Shields的速度—密度线性关系模型。
至此, 本文采用速度—密度定流量模型和Green Shields速度—密度线性关系模型验证了相对粘性假设和实际交通流的运动微分方程。
对定常交通流[3],
3. 结语
本文在理想交通流的欧拉方程基础上是提出的相对粘性假设, 以及据此建立的实际交通流的运动微分方程, 经采用速度—密度定流量模型和Green Shields速度—密度线性关系模型验证是正确的。作者依据实际交通流的运动微分方程对交通流参数之间的关系进行了系列的理论研究, 其结果与文献[8~11]的实测结果相吻合, 作者将陆续予以介绍。
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