采用刚度矩阵法的弹性层状体系数值解法

阳恩慧; 艾长发; 邱延峻

采用刚度矩阵法的弹性层状体系数值解法

阳恩慧^{1, 2,},
艾长发^{1, 2},
邱延峻^{1, 2}

1.
西南交通大学土木工程学院, 四川成都 610031
2.
西南交通大学道路工程四川省重点实验室, 四川成都 610031

基金项目:

国家自然科学基金项目 51308477

中央高校基本科研业务费专项资金项目 2682013BR030

详细信息

作者简介:
阳恩慧(1982-), 男, 湖南洞口人, 西南交通大学讲师, 工学博士, 从事道路工程计算力学及新材料研究

中图分类号: U213.1
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出版历程
- 收稿日期: 2014-03-16
- 刊出日期: 2014-08-25

Numerical method of multi-layer elastic system by using stiffness matrix method

YANG En-hui^{1, 2
,},
AI Zhang-fa^{1, 2},
QIU Yan-jun^{1, 2}

1.
School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, Sichuan, China
2.
Highway Engineering Key Laboratory of Sichuan Province, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, Sichuan, China

More Information

Author Bio:
YANG En-hui(1982-), male, lecturer, PhD, +86-28-87634347, yeh1982@163.com

Article Text (Baidu Translation)

摘要

摘要: 从弹性力学基础理论出发, 采用刚度矩阵法, 推导了应用于直角坐标系下的三维多层弹性层状体系静力学数值解法。引入二维傅里叶变换及高斯积分求解法, 基于MATLAB数学软件平台编制计算程序, 实现三维多层弹性层状体系理论计算方法的数值求解。针对典型有砟轨道轨下基础结构, 采用提出的计算方法和编制的相应计算程序对其进行静力学分析, 并将所获得的计算结果与采用通用有限元程序ABAQUS的计算结果进行对比。分析结果表明: 采用提出的计算方法和通用有限元计算方法获得有砟轨道轨下基础最大竖向位移分别为1.50、1.95 mm, 最大竖向应力分别为0.34、0.21 MPa, 计算结果较为接近, 计算反映出来的各状态分量变换规律基本一致, 提出的计算方法及其相应计算程序可应用于多层弹性层状体系的静力学计算。
- 路基工程 /
- 弹性层状体系 /
- 刚度矩阵法 /
- 数值解法
Abstract: By using the theory of elastic mechanics and stiffness matrix method, a numerical method of static mechanics for calculating 3D multi-layer elastic system under rectangular coordinate system was developed.2D Fourier transform and Gauss integral method were used, a calculation program was given based on MATLAB mathematical software platform, and the numerical solution of 3D multi-layer elastic system was got.The static mechanics analysis of ballast track foundation structure was carried out by using the numerical method and program, and the calculation results were compared with the results obtained by using general finite element program ABAQUS.Analysis result shows that the maximum vertical displacements of ballast track foundation are 1.50, 1.95 mm respectively by using the numerical method and general finite element calculation method, and the maximum vertical stresses of the foundation are 0.34, 0.21 MPa respectively by using the two methods.The calculation results are close to each other, and the conversion rules of state components are basically the same according to the calculation, so the proposed numerical method and program can be applied to the static mechanics calculation of multi-layer elastic system.
- subgrade engineering /
- multi-layer elastic system /
- stiffness matrix method /
- numerical method

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车辆是道路交通事故的主要(必然) 当事方, 对道路交通事故进行模拟再现的直接目的是在逆向计算出事故车辆制动前或碰撞前瞬间行驶速度的前提下, 在计算机屏幕上形象再现事故的全过程, 其最终目的是为了帮助交通管理执法人员查证事故原因, 鉴定事故责任。在分析道路交通事故时, 一般都将整个事故过程分为3个阶段^[1]

(1) 碰撞(瞬间) 前的运动过程, 当事方都进入事故不可逆时段但尚未碰撞接触之前的运动阶段;

(2) 碰撞接触过程, 当事方发生接触并且有明显力作用的阶段;

(3) 碰撞后运动过程, 当事方脱离碰撞接触之后的自由运动阶段。

目前, 模拟再现道路交通事故的主流技术路线如下:

(1) 首先求解当事车辆在碰撞后运动阶段的瞬态运动状态, 应用经典运动学和动力学理论, 建立车辆运动力学模型(包括车轮-地面力学模型) 和轨迹叠代计算模型等, 根据来自事故现场的碰撞位置和停止位置参数, 逆向计算出碰撞后脱离接触瞬间的车辆速度和角速度。

(2) 根据碰撞模型逆向求解碰撞前瞬间的车辆速度和角速度。

(3) 根据地面痕迹确定事故车辆在发现事故倾向前正常行驶时的速度和路线。

(4) 根据车辆运动力学模型(包括车轮-地面力学模型)、车辆行驶速度、初始位置与路线等, 按设定时间步长正向计算车辆的瞬时状态, 并适时输出到屏幕。

显然, 道路交通事故过程中的第(1) 和第(3) 阶段的定量计算都主要依托于车辆动力学模型, 其模型本身的正确性和精确度对道路交通事故的计算及模拟再现结果正确与否有着决定性的作用。

1.   车辆三维四轮动力学模型

本研究在改进以前的碰撞车辆二维四轮动力学模型^[2-3]的基础上, 提出在进行道路交通事故过程中碰撞后运动阶段的动力学计算时, 可采用如图 1所示的碰撞车辆三维简化模型。在此阶段, 碰撞车辆在冲击或运动惯量的作用下, 从碰撞作用结束瞬间位置开始“自由运动”直至车辆最后停止, 此间车辆只受重力和车轮-地面作用力, 而诸如空气阻力等可忽略不计。若假设:

(1) 路面坡度为零, 无(不计) 坑洼不平;

(2) 忽略空气阻力, 忽略轮胎回正力矩的作用;

(3) 整车质心在车体上的位置不因悬架变形而改变。

则由图 1可得下列碰撞车辆动力学三维计算模型

$\begin{array}{l} \dot{V}_{o z} = (F_{z f h} + F_{z f m} + F_{z r h} + F_{z r m} - m g) / m \\ \dot{V}_{o σ} = - [(F_{υ f h} + F_{υ f m}) \cos δ + (F_{σ r h} + F_{σ r m}) + (F_{ζ f h} + \\ F_{ζ f m}) \sin δ] / m \\ \dot{V}_{o ξ} = - [(F_{ζ f h} + F_{ζ f m}) \cos δ + (F_{ξ r h} + F_{ξ r m}) - (F_{υ f h} + \\ F_{υ f m}) \sin δ] / m \end{array}$

$\begin{array}{l} \ddot{ψ} = [Ζ_{0} (F_{ξ f h} + F_{ξ f m} + F_{ξ r h} + F_{ξ r m}) - \frac{L_{c f}}{2} (F_{z f h} + \\ F_{z f m}) + \frac{L_{c r}}{2} (F_{z r h} + F_{z r m})] / (m ρ_{ψ}^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \ddot{φ} = [Ζ_{0} (F_{σ f h} + F_{σ f m} + F_{σ r h} + F_{σ r m}) + \frac{B_{c m}}{2} (F_{z f m} + \\ F_{z r m}) - \frac{B_{c h}}{2} (F_{z f h} + F_{z r h})] / (m ρ_{ψ}^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \dot{ω} = Μ_{0} / (m ρ_{θ}^{2}) \\ Μ_{0} = [(F_{ζ f h} + F_{ζ f m}) \sin δ + (F_{υ f h} + F_{υ f m}) \cos δ] L_{f} - \\ (F_{σ r h} + F_{σ r m}) (L - L_{f}) + B (F_{ξ f m} - F_{ξ f h}) / 2 + Μ_{f} \end{array}$

$\begin{array}{l} Μ_{f} = B [(F_{ζ f m} - F_{ζ f h}) \cos δ - (F_{υ f m} - F_{υ f h}) \sin δ] / 2 \\ F_{ξ f h} = F_{ζ f h} \cos δ - F_{υ f h} \sin δ \\ F_{z f h} = [m_{f} g - Κ_{f h} (L_{s f h} - L_{s p}) + D_{f h} (L_{c f} \dot{ψ} + B_{c h} \dot{φ})] / \cos (φ + ψ) \\ F_{z f m} = [m_{f} g - Κ_{f m} (L_{s f m} - L_{s p}) + D_{r h} (L_{c f} \dot{ψ} - B_{c h} \dot{φ})] / \cos (φ + ψ) \\ F_{ξ f m} = F_{ζ f m} \cos δ - F_{υ f m} \sin δ \\ F_{σ f h} = F_{υ f h} \cos δ + F_{ζ f h} \sin δ \\ F_{σ f m} = F_{υ f m} \cos δ + F_{ζ f m} \sin δ \\ F_{z r h} = [m_{r} g - Κ_{r h} (L_{s r h} - L_{s p}) + D_{f m} (L_{c f} \dot{ψ} - B_{c m} \dot{φ})] / \cos (φ + ψ) \\ F_{z r m} = [m_{r} g - Κ_{r m} (L_{s r m} - L_{s p}) - D_{r m} (L_{c f} \dot{ψ} + B_{c m} \dot{φ})] / \cos (φ + ψ) \end{array}$

图 1 动力学三维模型

Figure 1. Dynamics 3-D model

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图 2为碰撞车辆动力学简化模型的侧视分析示意图、正视分析示意图, 由图 2可得车辆各相关参数关系式

图 2 碰撞车辆动力学简化模型

Figure 2. Simplified impact vehicle dynamics model

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L_sfm=[ (Z₀-r_t) secψ-L_ftg $ψ] \sec φ + \frac{B}{2} t g φ$

L_srm=[ (Z₀-r_t) secψ+L_rtg $ψ] \sec φ + \frac{B}{2} t g φ$

L_sfh=[ (Z₀-r_t) secψ-L_ftg $ψ] \sec φ - \frac{B}{2} t g φ$

L_srh=[ (Z₀-r_t) secψ-L_ftg $ψ] \sec φ - \frac{B}{2} t g φ$

$B_{c m} = \frac{B}{2} \cos φ + (Ζ_{0} + \frac{B}{2} \sin φ - r_{e}) t g φ$

$B_{c h} = \frac{B}{2} \cos φ - (Ζ_{0} - \frac{B}{2} \sin φ - r_{e}) t g φ$

L_cf=L_fvcosψ- (Z₀-L_fsinψ-r_e) tgψ

L_cr=L_rvcosψ+ (Z₀+L_rsinψ-r_e) tgψ

模型中诸符号意义为: Z、X、Y为车辆质心在地面坐标系中的位置坐标值(m); ψ为过质心的车体横截面与Z轴向所成角度值(俯仰角, 逆时针为正) (rad); φ为车体纵向中心面与Z轴向所成角度值(侧倾角, 逆时针为正) (rad); θ为车体纵向中心面与X轴向所成角度值(横摆角, 逆时针为正) (rad); ω为车体横摆角速度(rad/s); δ为转向角度值(逆时针为正) (rad); V为速度(m/s); F为地面对轮胎的作用力(N); M为作用力矩(N·m); ρ为车体横摆转动惯性半径(m); m为汽车质量(kg); K为悬架等效刚度(N/m); D为悬架阻尼系数(Ns/m); L为轴距(m); B为轮距(m); L_f为车体质心距前轴距离(m); L_r为车体质心距后轴距离(m); L_sp为车辆静止状态时质心距车轴垂直平面的距离(m); r_e为车轮滚动半径(m)。

上述模型中各符号的下标意义: z、x、y为Z轴向、X轴向、Y轴向分量; f为前轴的值; r为后轴的值; o为质心处的值; σ、ξ为σ轴向、ξ轴向分量; υ、ζ为前轮有转向角δ时的车轮侧向及纵向; h为左侧车轮的值; m为右侧车轮的值; φ为绕ξ轴转动的量; ψ为绕σ轴转动的量; θ为绕Z轴转动的量。碰撞车辆运动力学计算模型中地面对轮胎的作用力可由简化的G.Gim and P.E Nikavesh轮胎理论模型^[4-6]求得, 其纵向力特性(F_x-s_s) 和横向力特性(F_y-α) 分为下列3种情况表述。

上述模型中诸符号意义: T为车轮的侧偏角(rad); V为车轮的侧顷角(rad); s_s为纵向滑移率; s_sc为纵向临界滑移率; s_V为由侧顷角V引起的车轮滑移率(s_V=sinV); s_Vc为s_V的临界值; s_T为由侧偏角引起的侧向滑移率(s_T=tanT); s_Tc为侧向临界滑移率; l为轮胎与地面的接触面长度(m); l_a为纵向接触面长度中附着区长度(m); l_n为附着接触面长度的无量纲值(l_n=l_a/l); C_s为轮胎纵向刚度(N); C_T为轮胎横向刚度(N); C_V为轮胎侧顷刚度(N); ＿_y为横向附着系数; 为纵向摩擦系数的最大值; F_z为垂直载荷(N)。

2.   三维模拟模型的计算误差界定

通常情况下, 实际道路交通事故现场实测数据, 尤其是由调查或简单计算而得的碰撞车速数据都是不准确的, 不宜用来精确界定模拟再现模型的计算误差。本研究引用参考文献[7]所示的由日本汽车研究所提供的16起(T₁~T₁₆) 在可精确控制和测定条件下进行的车对车实车碰撞试验的条件数据, 采用本文提出的车辆动力学三维模型进行逆向模拟计算。16起车对车碰撞试验的车辆碰撞车速计算值、实验实测值及其计算误差见表 1, 悬架刚度为13500 N/m, 悬架阻尼系数为1500 N·s/m。16例中各车辆计算碰撞车速相对试验测定值的最大绝对误差值为8.6 km/h (T₇例); 计算碰撞车速的最大平均相对误差值为11.58% (T₈例), 总体平均相对误差值为6.65%;甲车计算碰撞车速的最大相对误差值为14.15% (T₃例); 乙车计算碰撞车速的最大相对误差值为14.29% (T₇例)。

表 1 计算车速与实测车速比较

Table 1. Comparison of computation vehicle speeds and measured vehicle speeds

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3.   三维模拟模型与二维四轮模拟模型使用效果比较

图 3 三维模型与二维四轮模型平均相对计算误差比较

Figure 3. Comparison of average relative computation errors between 3-D and 2-D simulation models

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将采用车辆三维动力学模型进行模拟计算时的碰撞车速平均相对误差值与采用车辆二维动力学模型进行模拟计算时的碰撞车速平均相对误差值(根据参考文献[7]的模拟结果计算而得) 进行比较, 其结果如图 3所示, 16例中有10例(占62.5%) 是三维模型的平均相对误差值大于二维四轮模型的平均相对误差值; 三维模型的总体平均相对误差值(6.65%) 比二维四轮模型的总体平均相对误差值(5.22%) 大1.43%;三维模型的最大相对误差(T₇例乙车14.29%) 比二维四轮模型的最大相对误差^[6] (T₉例乙车11.20%) 大3.09%。

上述16例针对实车碰撞实验数据的模拟计算结果比较表明, 在目前采用的假设条件及模型结构下, 三维模型的模拟计算精度会略差于二维四轮模型的模拟计算精度。

4.   采用三维计算模型对道路交通事故的模拟再现

在本验证比较例中, 采用三维模型比采用二维四轮模型时总体平均计算精度有所下降, 但对含有车辆滚翻及坠崖等空间运动的事故形态进行模拟再现时, 必须采用车辆三维模型。图 4为采用本文的车辆三维计算模型对一起含有车辆侧翻运动形式的实际道路交通事故的模拟再现画面帧。

图 4 三维模型道路交通事故模拟再现

Figure 4. Simulation and reconstruction for traffic accident of 3-D model

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作为模拟计算初始条件的是事故前车辆的行驶路线、位置和速度, 这些参数是在此前的事故逆向分析计算阶段求得: 甲车为以31.1 km/h的车速由西向北左转行驶的轻型货车, 乙车为以73.6 km/h的车速由东向西行驶的小轿车。

5.   结语

本文提出的用于道路交通事故模拟再现的车辆三维计算模型的总体(针对16例实车实验数据) 平均相对误差界定为6.65%, 相对本研究以前所用的二维四轮模型, 其模拟计算的总体平均精度下降了1.43%, 但考虑到采用车辆三维计算模型时在道路交通事故形态包容性方面的巨大优势, 计算精度的适度降低是可以接受的。

图 1 三维多层弹性层状体系理论计算

Figure 1. Theoretical calculation of 3D multi-layer elastic system

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图 2 单一层应力及位移

Figure 2. Stress and displacement of each layer

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图 3 有砟轨道系统整体结构计算模型

Figure 3. Calculation model of ballast track system overall structure

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图 4 轨枕节点力链杆等效转换

Figure 4. Equivalent conversion of sleeper nodal force

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图 5 有砟轨道结构单元划分及节点编号

Figure 5. Structure units and node numbers of ballast track

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图 6 有砟轨道轨下基础顶面竖向位移

Figure 6. Vertical displacement above ballast track foundation

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图 7 有限元计算模型

Figure 7. Finite element calculating model

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图 8 竖向位移计算结果对比

Figure 8. Comparison of vertical displacement calculating results

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图 9 竖向应力计算结果对比

Figure 9. Comparison of vertical stress calculating results

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表 1 有砟轨道计算参数

Table 1. Calculating parameters of ballast track

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表 2 最大竖向位移对比

Table 2. Comparison of maximum vertical displacements

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[22]	刘尧军, 郭增强, 赵玉成. 秦沈客运专线不同填料路基动力特性的试验研究[J]. 石家庄铁道学院学报, 2004. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SJZT200402005.htm 17(2): 19-22. LIU Yao-jun, GUO Zeng-qiang, ZHAO Yu-cheng. Research on dynamic characteristics of Qinshen high-speed railway roadbed with different filling materials[J]. Journal of Shijiazhuang Railway Institute, 2004, 17(2): 19-22. (in Chinese). https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SJZT200402005.htm
[23]	WANG Kai-yun, HUANG Chao, ZHAI Wan-ming, et al. Progress on wheel-rail dynamic performance of railway curve negotiation[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering; English Edition, 2014, 1(3): 209-220.
[24]	杨尧. 客运专线铁路基床填料动静三轴试验研究[D]. 成都: 西南交通大学, 2009. YANG Yao. Experimental study on typical filler for passenger dedicated railway subgrade roadbed by static and dynamic triaxial test[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2009. (in Chinese).

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1. 车辆三维四轮动力学模型
2. 三维模拟模型的计算误差界定
3. 三维模拟模型与二维四轮模拟模型使用效果比较
4. 采用三维计算模型对道路交通事故的模拟再现
5. 结语

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采用刚度矩阵法的弹性层状体系数值解法

作者简介:
阳恩慧(1982-), 男, 湖南洞口人, 西南交通大学讲师, 工学博士, 从事道路工程计算力学及新材料研究

计量

Numerical method of multi-layer elastic system by using stiffness matrix method

Author Bio:
YANG En-hui(1982-), male, lecturer, PhD, +86-28-87634347, yeh1982@163.com

1. 车辆三维四轮动力学模型

2. 三维模拟模型的计算误差界定

3. 三维模拟模型与二维四轮模拟模型使用效果比较

4. 采用三维计算模型对道路交通事故的模拟再现

5. 结语

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目录

1. 车辆三维四轮动力学模型

2. 三维模拟模型的计算误差界定

3. 三维模拟模型与二维四轮模拟模型使用效果比较

4. 采用三维计算模型对道路交通事故的模拟再现

5. 结语

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采用刚度矩阵法的弹性层状体系数值解法

作者简介: 阳恩慧(1982-), 男, 湖南洞口人, 西南交通大学讲师, 工学博士, 从事道路工程计算力学及新材料研究

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出版历程

Numerical method of multi-layer elastic system by using stiffness matrix method

Author Bio: YANG En-hui(1982-), male, lecturer, PhD, +86-28-87634347, yeh1982@163.com

1. 车辆三维四轮动力学模型

2. 三维模拟模型的计算误差界定

3. 三维模拟模型与二维四轮模拟模型使用效果比较

4. 采用三维计算模型对道路交通事故的模拟再现

5. 结语

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出版历程

目录

1. 车辆三维四轮动力学模型

2. 三维模拟模型的计算误差界定

3. 三维模拟模型与二维四轮模拟模型使用效果比较

4. 采用三维计算模型对道路交通事故的模拟再现

5. 结语

作者简介:
阳恩慧(1982-), 男, 湖南洞口人, 西南交通大学讲师, 工学博士, 从事道路工程计算力学及新材料研究

Author Bio:
YANG En-hui(1982-), male, lecturer, PhD, +86-28-87634347, yeh1982@163.com