Simplified calculation method of critical value of 3D derailment coefficient under quasi-static condition
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摘要: 根据轮轨系统坐标系间的变换关系, 在准静态条件下建立了轮轨接触斑三维受力分析模型, 推导了考虑轮对摇头角与轮轨蠕滑力的三维脱轨系数计算公式, 得到了脱轨临界状态时三维脱轨系数临界值的计算方法; 以LMA车轮踏面与CHN60钢轨廓形为例, 分析了轮对摇头角与摩擦因数对三维脱轨系数临界值的影响规律, 并与Nadal脱轨系数临界值进行了对比; 为简化三维脱轨系数的计算方法, 根据Shen-Hedrick-Elkins蠕滑模型讨论了不同轮对摇头角、摩擦因数与垂向力条件下Kalker线性合成蠕滑力与3倍库伦摩擦力间的比值关系; 分析了横向蠕滑力与纵向蠕滑力的比值随轮对摇头角与摩擦因数的变化规律, 提出了一种准静态条件的三维脱轨系数简化计算方法, 并与精确公式计算结果进行了对比。分析结果表明: 与三维脱轨系数临界值相比, 当轮对摇头角在1.5°以内时, 纵向蠕滑力在切向力中的占比要明显大于横向蠕滑力, 造成Nadal脱轨系数临界值具有一定的保守性, 但在轮对摇头角较大时, 横向蠕滑力在切向力中的占比达到了90%以上, Nadal与三维脱轨系数临界值计算结果基本相同; 车轮脱轨临界状态下轮轨接触斑内已达到纯滑动状态, 横向蠕滑力和纵向蠕滑力的比值基本不受摩擦因数影响, 并与轮对摇头角存在强线性关系; 与精确公式相比, 三维脱轨系数简化计算方法的误差在±5%以内, 可以满足工程应用的要求。Abstract: According to the coordinate system transformation relationship in wheel-rail system, the 3 Dstress analysis model of wheel-rail contact spot was established under the quasi-static condition, the formula considering wheelset yaw angle and wheel-rail creep force for calculating3 D derailment coefficient was derived, and the calculation method of critical value of 3 D derailment coefficient was obtained when the wheel was in the critical state of derailment.Taking the LMA wheel tread and CHN60 rail profile as examples, the influence rule of wheelset yawangle and friction coefficient on the critical value of 3 Dderailment coefficient was analyzed and compared with the critical value of Nadal derailment coefficient.To simplify the calculation method of 3 Dderailment coefficient, the ratio relation between the Kalker linear synthetic creep force and the three times of Coulomb friction force was discussed according to Shen-HedrickElkins creep model under different wheelset yaw angles, friction coefficients and vertical forces.Through the analysis of variation rules of the ratios between lateral and longitudinal creep forces with different wheelset yaw angles and friction coefficients, a simplified calculation method of 3 D derailment coefficient was proposed under the quasi-static condition and compared with the exact formula.Analysis result shows that compared with the threshold of 3 Dderailment coefficient, when the wheelset yaw angle is less than 1.5°, the proportion of longitudinal creep force in the tangential force is significantly greater than that of lateral creep force, which causes the threshold of Nadal derailment coefficient to be more conservative.However, when the wheelset yaw angle is larger, the proportion of lateral creep force in the tangential force is more than 90%, and the calculated critical values of 3 Dand Nadal derailment coefficient are basically same.In addition, the wheel-rail contact spot has reached purely sliding state in the critical state of wheel derailment.The ratio between lateral and longitudinal creep force is not affected by the friction coefficient and has a strong linear relation with the wheelset yaw angle.Compared with the exact formula, the error by using the simplified method is within±5%, and the simplified method can meet the requirement of engineering application.
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1. 脱轨临界状态下脱轨系数分析
1.1 轮轨系统坐标系
轮轨接触关系是耦合车轮与钢轨的纽带, 而建立轮轨系统坐标系是确定轮轨关系的基础。如图 1所示, 以轨道中心为原点OT, 线路纵向为xT轴, 线路横向为yT轴, 线路垂向为zT轴, 建立轨道坐标系OTxTyTzT; 以轮对中心为原点OW, 轮轴纵向为xW轴, 轮轴横向为yW轴, 轮轴垂向为zW轴, 建立轮对坐标系OWxWyWzW; 分别以左侧与右侧轮轨接触斑中心为原点OL、OR (脱轨临界条件下), 以车轮接触斑纵向运动方向为xL、xR轴, 以车轮接触斑所在踏面位置的切向为yL、yR轴, 以车轮接触斑所在踏面位置的法向为zL、zR轴, 建立左侧与右侧轮轨接触斑坐标系OLxLyLzL、ORxRyRzR。轨道坐标系以一定速度沿轨道中心线移动。轮对坐标系随轮对一起运动, 相对轨道坐标系具有平移与转动自由度。轮轨接触斑坐标系随轮对一起运动。轮对坐标系至轨道坐标系间的变换关系为
式中: xT、yT、zT分别为轨道坐标系3个方向的坐标; ψ为轮对摇头角; φ为轮对侧滚角; xW、yW、zW分别为轮对坐标系3个方向的坐标。
以右轮为例, 接触斑坐标系至轮对坐标系间的变换关系为
式中: δ为右侧轮轨接触斑处的轮轨接触角; xR、yR、zR分别为右侧轮轨接触斑坐标系3个方向的坐标。
将式(2) 代入式(1), 则右侧轮轨接触斑坐标系与轨道坐标系间的变换关系为
式中: A为右侧轮轨接触斑坐标系至轨道坐标系的变换矩阵。
1.2 准静态条件下脱轨系数临界值求解
以右轮为例, 车轮稳态脱轨临界状态下, 轮轨接触斑处受力见图 2, F、Q、P分别为轨道坐标系下接触斑受到的纵向力、横向力与垂向力, TxR、TyR、N分别为轮轨接触斑坐标系下接触斑受到的纵向蠕滑力、横向蠕滑力与法向力。
在准静态条件下, 根据接触斑受力平衡有
则车轮在脱轨临界条件下脱轨系数为
由于轮对摇头角和侧滚角较小, 则式(6) 可简化为
由式(7) 可知, 车轮脱轨临界状态下脱轨系数与蠕滑力和法向力有关。准静态条件下轮轨蠕滑率为
式中: ξxr、ξyr、ξs分别为接触斑内的纵向蠕滑率、横向蠕滑率与自旋蠕滑率; rW为接触斑处车轮的实际滚动圆半径; rn为名义滚动圆半径。
由式(8) 可知, 准静态条件下的蠕滑率只与轮轨接触几何参数有关。得到车轮脱轨临界状态下的蠕滑率后, 根据Kalker线性蠕滑理论, 蠕滑力与蠕滑率间存在如下关系
式中: T′xR、T′yR分别为Kalker线性纵、横向蠕滑力; G为轮轨材料合成剪切模量; a、b分别为Hertz接触斑椭圆的长半轴与短半轴; C1、C2、C3均为Kalker蠕滑系数, 与a、b的比值有关。
根据Hertz接触理论, 轮轨接触斑椭圆的长短半轴a、b分别为
式中: σ为泊松比; RT、RW分别为轮轨接触斑处钢轨和车轮型面的半径; m、n分别为椭圆长短半轴修正系数; θ为Hertz接触参数。
由于Kalker线性蠕滑力模型假设接触斑内无相对滑动, 仅在小蠕滑情况下适用, 而在轮缘接触的情况下, 由于蠕滑率的增大, 接触斑甚至可以达到全滑动状态, 因此, 必须要对线性蠕滑力进行修正。采用Shen-Hedrick-Elkins非线性蠕滑模型[24]对轮轨蠕滑力进行修正, 计算方法为
式中: T′为Kalker线性蠕滑理论计算得到的合成蠕滑力; T为修正后的合成蠕滑力; μ为轮轨摩擦因数。
1.3 计算结果分析
由轮轨蠕滑力计算模型可知, 在轮轨接触参数与轮对摇头角给定的情况下, 蠕滑力只与法向力有关, 由式(5) 中接触斑垂向受力平衡可以得到
式中: TyR (N) 为以法向力N为变量的横向蠕滑力函数。
忽略侧滚角后, 可以得到
在给定轮轨垂向力P的条件下, 可通过迭代方法求解得到轮轨法向力, 进而得到蠕滑力。
以中国LMA车轮踏面和CHN60钢轨型面为例, 表 1给出了车轮准静态脱轨临界状态下的轮轨接触参数。在此基础上对不同轮对摇头角与摩擦因数下轮轨法向力、纵向蠕滑力、横向蠕滑力与脱轨系数临界值变化规律进行分析, 结果分别见图 3~6。
表 1 脱轨临界状态下的轮轨接触参数Table 1. Wheel-rail contact parameters under derailment critical state
图 3 不同摩擦因数下轮轨法向力变化规律Figure 3. Variation rules of wheel-rail normal forces under different friction coefficients
图 4 不同摩擦因数下纵向蠕滑力变化规律Figure 4. Variation rules of longitudinal creep forces under different friction coefficients
图 5 不同摩擦因数下横向蠕滑力变化规律Figure 5. Variation rules of lateral creep forces under different friction coefficients
图 6 不同摩擦因数下脱轨系数临界值变化规律Figure 6. Variation rules of critical values of derailment coefficient under different friction coefficients由图 3可知: 在负摇头角下轮轨法向力随着摩擦因数的增大而增大; 在正摇头角下, 轮轨法向力随着摩擦因数的增大而减小; 摩擦因数相同时, 负摇头角下轮轨法向力随着摇头角绝对值的增大而快速增大, 正摇头角下轮轨法向力则基本保持不变。
由图 4可知: 纵向蠕滑力随着摩擦因数的增大而增大; 摩擦因数相同时, 负摇头角下纵向蠕滑力随着摇头角绝对值的增大呈先增大后减小的规律变化, 正摇头角下纵向蠕滑力随着摇头角的增大而逐渐减小。
由图 5可知: 横向蠕滑力随着摩擦因数的增大而增大, 但在负摇头角时, 横向蠕滑力始终为负, 起到阻止车轮上爬的作用, 车轮脱轨表现为滑轨脱轨; 在正摇头角时, 横向蠕滑力始终为正, 起到帮助车轮上爬的作用, 车轮脱轨表现为爬轨脱轨; 摩擦因数相同时, 负摇头角下横向蠕滑力绝对值随着摇头角绝对值的增大而快速增大, 正摇头角下横向蠕滑力随着摇头角的增大基本保持不变。
由图 6可知: 负摇头角下脱轨系数临界值随着摇头角绝对值的增大而显著增大, 而在正摇头角下脱轨系数临界值随着摇头角的增大而有一定的降低, 当摇头角超过1.5°时脱轨系数临界值基本保持不变。
从准静态条件下车轮三维脱轨系数的临界值与Nadal脱轨系数临界值的对比可知(图 6) : 负摇头角下三维脱轨系数的临界值明显大于Nadal脱轨系数, 这是由于Nadal脱轨模型仅考虑到了爬轨脱轨的情况, 未考虑滑轨脱轨中横向蠕滑力对车轮脱轨的阻碍作用; 正摇头角下当摇头角较小时(1.5°以内), Nadal脱轨系数相比三维脱轨系数的临界值有一定的保守性, 这是由于摇头角较小时, 纵向蠕滑力在切向力中的占比要明显大于横向蠕滑力(图 4(b)、5(b)), 而Nadal脱轨模型则认为切向力全部由横向蠕滑力提供, 但在摇头角较大时, 横向蠕滑力在切向力中的占比达到了90%以上(图 5(b)), 两者脱轨系数临界值基本相同。由此可知: 当正摇头角较大时采用Nadal脱轨系数限值是合适的, 但在小摇头角及负摇头角情况下, 采用Nadal脱轨系数限值则有一定的保守性。
2. 脱轨系数临界值简化计算方法
根据式(14), 不同轮对摇头角、摩擦因数与垂向力条件下Kalker线性合成蠕滑力与3倍库伦摩擦力间的比值关系见图 7, 可知: 当车轮处于脱轨临界状态时, Kalker线性合成蠕滑力随着轮对摇头角的增大而增大, 且Kalker线性合成蠕滑力均超过了3倍库伦摩擦力, 即轮轨滚动接触表现为纯滑动。
图 7 Kalker线性合成蠕滑力与3倍库伦摩擦力比值Figure 7. Ratios of Kalker linear synthetic creep forces and 3times Coulomb frictions当蠕滑力达到饱和时, 根据式(14), 修正后的合成蠕滑力为
设TxR与TyR间的夹角为α, 则有
将式(18) 代入式(7), 则临界脱轨系数可表示为
脱轨临界状态下横向蠕滑力与纵向蠕滑力的比值为
将式(7)、(10) 代入式(20), 可得
由式(21) 可知, 当车轮脱轨临界状态下的接触参数已知时, 则横向蠕滑力与纵向蠕滑力的比值只与轮对摇头角及法向力有关。图 8给出了最大轮轨接触角分别为65°、70°时, 不同摩擦因数下横向蠕滑力与纵向蠕滑力的比值随轮对摇头角的变化情况。当最大轮轨接触角分别为65°、70°时, 根据式(22)、(23) 计算得到的K1分别为84.423 6、104.269 6, K2分别为0.005 5、0.005 7。由图 8可以看出: 在正摇头角下, 二者比值基本不受摩擦因数的影响, 而在负摇头角下, 摩擦因数对二者比值有一定的影响, 但影响不大。这是由于在正摇头角下轮轨法向力较小且随摩擦因数变化不大, 但在负摇头角下, 轮轨法向力较正摇头角下明显增大, 且受摩擦因数影响较大。总体来看, 由于脱轨临界状态下K1远大于K2, 横向蠕滑力与纵向蠕滑力的比值随轮对摇头角变化呈强线性规律变化, 且受摩擦因数影响较小。
图 8 横向蠕滑力与纵向蠕滑力比值计算结果Figure 8. Computation results of ratios of lateral creep force and longitudinal creep force然而在实际应用中, 由于式(21) 中的轮轨法向力不易给出, 考虑到横向蠕滑力与纵向蠕滑力间的强线性关系, 本文基于最小二乘法原理[25], 采用式(24) 对图 8中的横向蠕滑力与纵向蠕滑力的比值进行拟合
式中: B、C均为线性方程的拟合系数。
不同摩擦因数下横向蠕滑力与纵向蠕滑力比值的拟合结果见图 9。当δ分别为65°、70°时, 式(24) 中系数B分别为1.454 3、1.952 9, 系数C分别为0.263 3、0.444 6。
图 9 横向蠕滑力与纵向蠕滑力比值拟合结果Figure 9. Fitting results of ratios of lateral creep force and longitudinal creep force由此, 可以得到准静态条件下车轮脱轨临界状态下的三维脱轨系数简化评判公式为
中国常用的车轮踏面(LM、LMA、S1002CN等) 最大轮轨接触角均为70°, 常用钢轨型面参数如表 1所示, 则根据图 9可取B为1.952 9, C为0.444 6。
为验证本文脱轨系数简化公式(式(25)) 与精确公式(式(6)) 所计算的脱轨系数临界值的差异, 图 10给出了不同轮对摇头角与摩擦因数下两者之间的对比情况, 图 11给出了简化公式与精确公式间的误差率。
由图 10可知: 式(25) 与式(6) 计算得到的脱轨系数临界值具有较高的一致性, 尤其是在轮对摇头角较大时二者之间具有较好的逼近程度。由图 11可知: 随着摩擦因数的增大, 式(25) 与式(6) 计算得到的脱轨系数临界值之间的误差率有一定的增大, 但均能够控制在-5%~5%以内, 可以满足工程应用的要求。由此说明, 本文所提出的简化公式作为准静态条件下车轮脱轨评判准则是合理可行的, 并且具有较高的可信度。
3. 结语
(1) 在轮对摇头角较大时(大于1.5°), 采用Nadal脱轨系数作为车轮脱轨的评判标准是合适的; 在正摇头角较小的情况下, 由于纵向蠕滑力在切向力中的占比明显大于横向蠕滑力, 采用Nadal脱轨系数作为车轮脱轨的评判标准则有一定的保守性; 在负摇头角情况下, 由于Nadal脱轨模型未考虑到横向蠕滑力对车轮脱轨的阻碍作用, 其保守性较大, 说明并不适用于滑轨脱轨的评判。
(2) 在车轮准静态脱轨临界条件下, 通过推导横向蠕滑力与纵向蠕滑力的比值关系可知二者比值随轮对摇头角呈强线性变化, 且对摩擦因数变化不敏感。
(3) 基于横向蠕滑力与纵向蠕滑力比值随轮对摇头角的强线性变化规律, 采用最小二乘法对其进行了线性拟合, 进而提出了准静态条件车轮脱轨临界状态下的三维脱轨系数简化计算公式, 通过与精确公式的对比, 简化公式计算结果误差在±5%以内, 表明其可以满足工程应用的要求。
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图 3 不同摩擦因数下轮轨法向力变化规律
Figure 3. Variation rules of wheel-rail normal forces under different friction coefficients
图 4 不同摩擦因数下纵向蠕滑力变化规律
Figure 4. Variation rules of longitudinal creep forces under different friction coefficients
图 5 不同摩擦因数下横向蠕滑力变化规律
Figure 5. Variation rules of lateral creep forces under different friction coefficients
图 6 不同摩擦因数下脱轨系数临界值变化规律
Figure 6. Variation rules of critical values of derailment coefficient under different friction coefficients
图 7 Kalker线性合成蠕滑力与3倍库伦摩擦力比值
Figure 7. Ratios of Kalker linear synthetic creep forces and 3times Coulomb frictions
图 8 横向蠕滑力与纵向蠕滑力比值计算结果
Figure 8. Computation results of ratios of lateral creep force and longitudinal creep force
图 9 横向蠕滑力与纵向蠕滑力比值拟合结果
Figure 9. Fitting results of ratios of lateral creep force and longitudinal creep force
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