0.   引言

交叉口是城市交通的节点, 也是城市交通的瓶颈所在, 近年来随着机动车数量的迅猛增加, 交叉口拥堵现象频发, 交叉口随之成了交通工作者研究的热点, 其中包括信号交叉口服务水平评价。回顾交叉口服务水平评价的研究, 其评价方法采用灰色聚类法的居多^[1-2]。信号交叉口的服务对象包括机动车、非机动车和行人等, 这些服务对象的交通特性是离散随机的, 显然, 以往的评价指标值和评价灰类阈值采用清晰数的形式有一定的局限性。

灰色聚类评价由于具有简单、实用和可操作性强等优点, 在许多领域得到应用和发展, 如文献[3]在灰色聚类理论基础上引入时间序列的概念, 提出了相对灰类划分的动态聚类方法, 扩大了灰色聚类的内涵; 文献[4]基于灰色趋势关联度的概念, 研究了灰色趋势关联系统及数学模型, 作为该模型的应用, 提出了灰色趋势关联聚类方法; 文献[5]在灰色聚类分析法的基础上提出了粗糙集灰色聚类分析法, 将灰色聚类评价法中权系数确定问题转化为粗糙集中属性重要性评价问题, 并且通过建立单个评价指标的关系数据表模型, 计算知识的熵, 由此给出各个评价指标的权系数的计算方法; 文献[6]建立了标杆瞄准和主成分分析相结合的指标筛选的方法, 设计了基于灰色聚类和小波网络模型的企业投资决策集成评价模型。

目前灰色聚类评价理论与应用研究基本上局限于清晰数的情况, 对区间数意义上的灰色聚类方法只有粗浅的研究^[7-8], 文献[7]采用加权系数的方法化灰数为清晰数, 而后用灰色聚类法进行评价; 文献[8]使用三参数区间数表示灰色模糊数, 而后用模糊聚类法进行评价。事实上在许多领域获得的评价信息通常为灰数, 对任一灰数 , 因为当 时, a (Ä) 为一清晰数(即白数); 当$-\infty =\underset{¯}{a}<\overline{a}=+\infty$时, a (Ä) 为既无上界又无下界的灰数(即黑数); 当$-\infty =\underset{¯}{a}<\overline{a}<+\infty$或$-\infty <\underset{¯}{a}<\overline{a}=+\infty$时, a (Ä) 为有上界而无下界的灰数或有下界而无上界的灰数; 当$-\infty <\underset{¯}{a}<\overline{a}<+\infty$时, a (Ä) 为一标准区间灰数, 所以现实中获取的评价信息均可以用灰数来表示, 将建立在清晰数基础上的灰色聚类评价方法拓展到处理灰数的情况既有理论意义也有实用价值。

传统的白化函数只表示了决策过程定量转化中的信息不完全性, 并没有表示出决策者主观判断的随机性, 并且存在函数具体形式难以确定、确定方式单一、确定后灰色概念转化不够准确等缺点。借鉴经典灰色理论的基本思想, 本文对灰色聚类评价方法进行了改进与拓展, 建了以灰数表示评价指标和聚类阈值的基于梯形白化权函数的灰数表达公式和聚类模型, 通过分析交通特性提出了一种灰数取值方法, 并把所建模型和灰数取值方法用于具有典型灰数特征的信号交叉口服务水平评价。

1.   基本理论

设灰数 灰数 , 则它们的加法、乘法运算分别定义为

设 ; 的可能度为^[9]

式中: $p\{a(\ddot{\mathrm{A}}) \leqslant b(\ddot{\mathrm{A}})\}$ 为灰数$a(\ddot{\mathrm{A}}) \leqslant b(\ddot{\mathrm{A}})$ 的可能度, $p\{a(\ddot{\mathrm{A}}) \leqslant b(\ddot{\mathrm{A}})\}$ 越大, $b(\ddot{\mathrm{A}})$ 大于$a(\ddot{\mathrm{A}})$ 的可能性越大; 当$p\{a(\ddot{A}) \leqslant b(\ddot{A})\}$ 为1时, $b(\ddot{A})$ 完全大于$a(\ddot{A})$; 当$p\{a(\ddot{\mathrm{A}}) \leqslant b(\ddot{\mathrm{A}})\}$ 为0时, $b(\ddot{\mathrm{A}})$ 完全小于$a(\ddot{\mathrm{A}})$。

2.   模型原理

设有$m$ 个对象, $n$ 个评价指标, 令$C_{1}、C_{2}、\cdots、C_{n}$ 为$n$ 个指标, $A_{1}、A_{2}、\cdots、A_{m}$ 为$m$ 个对象, 对象$A_{i}$ 关于指标$C_{j}$ 的效果评价值为非负的灰数$x_{i j}(\ddot{\mathrm{A}}) \in$ $\left[\mathrm{x}_{i j}, \bar{x}_{i j}\right]\left(0 \leqslant \underline{x}_{i j} \leqslant \bar{x}_{i j}; i=1, 2, \cdots, m; j=1, 2, \cdots, n\right)$。对象$A_{i}$ 的效果评价向量记为

因各指标类型有正向指标和负向指标之分, 正向指标为越大越好, 负向指标越小越好。本文以正向指标为例进行模型的说明, 负向指标在图中及表达式中与正向指标相反, 具体如下。

步骤1:按照评价要求所需划分灰类数s, 将各个指标的取值范围也相应地划分为s个灰类。

步骤2 : 令灰数$\lambda_{k}(\ddot{\mathrm{A}}) \in\left[\underline{\lambda}_{k}, \bar{\lambda}_{k}\right]$, 其属于第$\mathrm{k}$ 个灰类的白化权函数值为$[1, 1]$, 点$\left(\underline{\lambda}_{k}, 1\right)$ 与第$k-1$ 个灰类的白化权函数值$[1, 1]$ 的上限对应横轴坐标点$\left(\bar{\lambda}_{k-1}, 0\right)$ 和第$k+1$ 个灰类的白化权函数值$[1, 1]$ 的下限对应横轴坐标点$\left(\underline{\lambda}_{k+1}, 0\right)$ 连接, 得到指标$C_{j}$ 关于第$k$ 灰类的梯形白化权函数$f_{j}^{k}(\cdot)(j=1$, $2, \cdots, n; k=1, 2, \cdots, s)$, 对于$f_{j}^{1}(\bullet)$ 和$f_{j}^{s}(\bullet)$, 可分别将指标$C_{j}$ 取数域向左、右延拓(图 1)。

图  1  梯形白化权函数一般形式

Figure  1.  General format of trapezoid whitenization weight function

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步骤3 : 计算对象$A_{i}$ 关于指标$C_{j}$ 的一个效果评价值$x_{i j}(\ddot{\mathrm{A}}) \in\left[\mathrm{x}_{i j}, \bar{x}_{i j}\right]$ 的下限$\mathrm{x}_{i j}$ 和上限$\bar{x}_{i j}$ 属于灰类$\mathrm{k}(\mathrm{k}=1, 2, \cdots, s)$ 的白化权。为了表达的一般性和计算的方便性, 在图 1和式$(6) \sim(8)$ 中由$x$ 表示清晰数。对清晰数$x$ 来说, 有

$\begin{array}{l}f{}_j^1(x)=\{\begin{array}{cc}1\hfill & x\le \overline{\lambda }{}_1\hfill \\ (\underset{¯}{\lambda }{}_2-x)/(\underset{¯}{\lambda }{}_2-\overline{\lambda }{}_1)\hfill & x\in (\overline{\lambda }{}_1,\underset{¯}{\lambda }{}_2)\hfill \\ 0\hfill & x\ge \underset{¯}{\lambda }{}_2\hfill \end{array}(6)\\ f{}_j^k(x)=\{\begin{array}{cc}(x-\overline{\lambda }{}_{k-1})/(\underset{¯}{\lambda }{}_k-\overline{\lambda }{}_{k-1})\hfill & x\in [\overline{\lambda }{}_{k-1},\underset{¯}{\lambda }{}_k)\hfill \\ 1\hfill & x\in [\underset{¯}{\lambda }{}_k,\overline{\lambda }{}_k]\hfill \\ (\underset{¯}{\lambda }{}_{k+1}-x)/(\underset{¯}{\lambda }{}_{k+1}-\overline{\lambda }{}_k)\hfill & x\in (\overline{\lambda }{}_k,\underset{¯}{\lambda }{}_{k+1}]\hfill \\ 0\hfill & x\notin [\overline{\lambda }{}_{k-1},\underset{¯}{\lambda }{}_{k+1}]\hfill \end{array}(7)\\ f{}_j^s(x)=\{\begin{array}{cc}0\hfill & x\le \overline{\lambda }{}_{s-1}\hfill \\ (x-\overline{\lambda }{}_{s-1})/(\underset{¯}{\lambda }{}_s-\overline{\lambda }{}_{s-1})\hfill & x\in (\overline{\lambda }{}_{s-1},\underset{¯}{\lambda }{}_s)\hfill \\ 1\hfill & x\ge \underset{¯}{\lambda }{}_s\hfill \end{array}(8)\end{array}$

根据式$(6) \sim(8)$ 计算出灰数$x_{i j}(\ddot{\mathrm{A}}) \in\left[\mathrm{x}_{i j}, \bar{x}_{i j}\right]$ 的下限$\bf{x}_{i j}$ 和上限$\bar{x}_{i j}$ 属于灰类$k(k=1, 2 \cdots, s)$ 的白化权$f_{j}^{k}\left(x_{i j}\right)$ 和$f_{j}^{k}\left(\bar{x}_{i j}\right)$, 其中$0 \leqslant f_{j}^{k}\left(x_{i j}\right) \leqslant 1$, $0 \leqslant f_{j}^{k}\left(\bar{x}_{i j}\right) \leqslant 1$。

当$x_{i j}(\ddot{A}) \in\left[\mathrm{x}_{i j}, \bar{x}_{i j}\right]$ 完全属于$\left[\bar{\lambda}_{k-1}, \underline{\lambda}_{k}\right]$ 或$\left[\bar{\lambda}_{k}, \lambda_{k+1}\right]$ 时

当$x_{i j}(\ddot{A}) \in\left[\mathrm{x}_{i j}, \bar{x}_{i j}\right]$ 完全属于$\left[\underline{\lambda}_{k}, \bar{\lambda}_{k}\right]$ 时

当$x_{i j}(\ddot{A}) \in\left[\underline{x}_{i j}, \bar{x}_{i j}\right]$ 部分属于$\left[\underline{\lambda}_{k}, \bar{\lambda}_{k}\right]$ 时

当$x_{i j}(\ddot{A}) \in\left[\mathrm{x}_{i j}, \bar{x}_{i j}\right]$ 仅部分属于$\left[\bar{\lambda}_{k-1}, \lambda_{k}\right]$ 或$\left[\bar{\lambda}_{k}, \underline{\lambda}_{k+1}\right]$ 时

步骤4: 计算对象$A_{i}$ 的效果评价向量

关干灰类$k(k=1, 2, \cdots, s)$ 的综合评价值$\sigma_{i}^{k}(\ddot{A})$ 为

式中: $f_{j}^{k}\left[\mathrm{x}_{i j}(\ddot{\mathrm{A}})\right]$ 为对象$\mathrm{A}_{i}$ 在指标$C_{j}$ 下属于灰类$k$ 的白化权函数; $w_{j}$ 为指标$C_{j}$ 在综合评价值中的权重, 权重可以是清晰数的形式也可以是灰数的形式, 分别用式(2)、(3)来计算。

步骤5 : 由式(4) 比较$\sigma_{i}^{k}(\ddot{A})(k=1, 2, \cdots, s)$ 的大小, 再由$\max _{1 \leqslant i \leqslant s}\left\{\sigma_{i}^{k}(\ddot{A})\right\}=\sigma_{i}^{k^{*}}(\ddot{A})$, 判断对象$A_{i}$ 属于灰类$k^{*}$; 当有多个对象同属于$k^{*}$ 时, 如需要更具体的比较, 可以进一步根据综合评价值的大小确定同属于$k^{*}$ 灰类的各对象的优劣或位次。

3.   信号交叉口服务水平评价

3.1   评价体系的选取

由于交叉口尤其是信号交叉口在城市交通中的重要性, 改善信号交叉口的交通状况成了各个城市交通硬件设施规划建设的重点^[10-20], 为更确切地了解已有信号交叉口的服务水平, 便于合理利用有限的资金最大程度地改善现有交通状况, 有必要进行信号交叉口服务水平的评价。信号交叉口是一个复杂的系统, 由于一定时段通过信号交叉口的车辆数、车型、车速及非机动车和行人等客观因素是不确定的, 与之相关的指标值也是不确定的, 用灰数来表示各指标值及用灰数聚类法进行综合评价是合理可行的。

由于各地区交通特点不同, 反映信号交叉口服务水平的指标也不尽相同。美国《道路通行能力手册》仅以平均停车延误作为服务水平评价的依据, 他们认为诸因素对信号交叉口服务水平的影响程度均可反映在延误的大小上, 如饱和度、速度比、红灯平均阻车长度、交叉口条件、管理水平(特别是信号控制条件)、停车次数等。由于中国城市交通出行中非机动车出行比例较大, 机非混行现象突出, 且交通条件及设置与西方多数国家相差较大, 国内外专家均已认识到现行美国《道路通行能力手册》对信号交叉口的评价指标及评价标准并不完全适合中国现有的交通状况。中国对信号交叉口的服务水平研究还不够, 本文参考的信号交叉口服务水平评价指标和评价标准见表 1。

交通负荷系数也称饱和度, 其反映了交叉口处交通的繁忙程度; 效率系数也称速度比, 它是通过交叉口的机动车行驶速度与相应路段上(主要指上游路段) 的区间平均速度的比值, 其反映了交叉口畅通的程度; 交叉口受阻车辆比例是交叉口受阻而停车等待绿灯的车辆占总交通量的比例; 平均停车延误反映了交叉口交通畅通与否及交叉口的服务经济性; 排队长度也称红灯平均阻车长度, 即红灯时间被阻排队车辆的平均数。其中交通负荷系数、交叉口受阻隔车辆比例、平均停车延误、排队长度为负向指标, 效率系数为正向指标。

表  1  中国常用信号交叉口服务水平评价指标和评价标准

Table  1.  Indexes and criterions of service level on signalized intersection in China

服务水平指标	1级	2级	3级	4级	5级
交通负荷系数	< 0.6	0.6~0.7	0.7~0.8	0.8~0.9	> 0.9
效率系数	> 0.80	0.65~0.80	0.50~0.65	0.35~0.50	< 0.35
交叉口受阻车辆比例/%	< 10	10~15	15~20	20~30	> 30
平均停车延误/s	< 30	30~40	40~50	50~60	> 60
排队长度/m	< 30	30~60	60~80	80~100	> 100

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3.2   评价体系的改进

以往的评价标准一般根据经验或根据累积百分率确定, 如表 1属于前者, 这样的评价标准跳跃性过大, 以表 1的排队长度为例, 如一交叉口平均队长为78 m, 另一交叉口平均队长为82 m, 两者虽然相差不大却属于不同的分级。如果评价指标是区间数形式, 即为[78, 82], 以表 1的评价标准就较难评判。以清晰数形式表示评价指标值的取值方法一般是取平均值, 以区间数形式表示评价指标值的取值方法研究较少, 一般凭经验选取, 且认为在区间内服从均匀分布。以交通为例, 交通主体在一定时间段内的交通特性并不是均匀的而是随机的, 表现在信号交叉口服务水平评价指标值上也呈随机分布。根据调查累积的数据, 在交通高峰期内交叉口的交通负荷系数、效率系数、受阻车辆比例、平均停车延误、排队长度等大体上服从正态分布。如果认为78%的置信度就可以满足评价的要求, 假设x~N (μ, σ) 正态分布, 由正态分布的3σ原则, 即P{x-μ≤3σ}≈0.997 3, 可知x几乎肯定落在区间(μ-3σ, μ+3σ) 内; 再由P{x-μ≤1.23σ}≈0.780 4, 也即x有78.04%的机率落在区间(μ-1.23σ, μ+1.23σ) 内, 那么取区间数[μ-1.23σ, μ+1.23σ]作为评价值就可满足78%的置信度要求, 本文称1.23σ原则。

灰数是系统行为特征的一种表现形式, 它的信息含量反映了人们对灰色系统的认识程度, 灰数的取值与灰数的产生背景有着不可分割的联系。为了提高对灰数的认识程度, 增加评价结果的合理性, 根据产生灰数的评价指标特征, 本文依据正态分布的3σ原则和1.23σ原则对评价标准取值, 即对某一指标某一灰类来说, 参考梯形白化权函数的形式, 取[μ-3σ, μ+3σ]作为梯形大区间, 取[μ-1.23σ, μ+1.23σ]作为峰值区间。根据表 1提供的服务水平分级标准, 整理出适合信号交叉口服务水平评价的分级阈值及数域拓延, 具体见表 2。

表  2  改进的信号交叉口服务水平评价标准

Table  2.  Modified criterions of service level on signalized intersection

服务水平指标	权重ωj	$$[\underset{¯}{\lambda }{}_1,\overline{\lambda }{}_1]$$	$$[\underset{¯}{\lambda }{}_2,\overline{\lambda }{}_2]$$	$$[\underset{¯}{\lambda }{}_3,\overline{\lambda }{}_3]$$	$$[\underset{¯}{\lambda }{}_4,\overline{\lambda }{}_4]$$	$$[\underset{¯}{\lambda }{}_5,\overline{\lambda }{}_5]$$
交通负荷系数	0.242	[0.52, 0.58]	[0.62, 0.68]	[0.72, 0.78]	[0.82, 0.88]	[0.92, 0.98]
效率系数	0.097	[0.83, 0.92]	[0.68, 0.77]	[0.53, 0.62]	[0.38, 0.47]	[0.23, 0.32]
交叉口受阻车辆比例/%	0.161	[2, 8]	[11, 14]	[16, 19]	[22, 28]	[32, 38]
停车延误/s	0.306	[22, 28]	[32, 38]	[42, 48]	[52, 58]	[62, 68]
排队长度/m	0.194	[14, 26]	[36, 54]	[64, 76]	[84, 96]	[104, 116]

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由于各指标的量纲不统一, 不适合用传统的变权聚类法, 本文采用定权聚类法。本文以潍坊市城市综合交通规划调查(2006年) 的采样数据为例, 结合潍坊市的实际情况, 用德尔菲(Delphi) 函询及会议咨询的方式给出各指标的权重(此权重主观性较强, 仅代表本文实例的评价倾向), 见表 2。

3.3   评价指标值的确定及评价结果

潍坊城市综合交通规划工作组于2006年9月份按不同工作日对典型信号交叉口的交通状况进行了大规模的现场调查, 选择早高峰(上午7:00~10:00) 和晚高峰(下午16:00~19:00) 为大时间段, 以10 min为最小时段单位进行统计。本文选择3个有代表性的十字型平面信号交叉口作为实例进行分析, 调查数据的计算整理按正态分布的3σ原则界定大区间和1.23σ原则截取评价指标值, 结果见表 3。

根据上文计算方法, 利用表 3的数据对3个信号交叉口的服务水平进行聚类评价, 结果见表 4。由表 4可知, 在聚类评价中交叉口A₁处于3级服务水平, A₂、A₃处于4级服务水平。再进一步比较A₂、A₃的次最大值可知, A₂处于4级偏5级服务水平, A₃处于4级偏3级服务水平, 从而可知道这3个交叉口服务水平从优到劣排序为A₁、A₃、A₂。

表  3  3个信号交叉口服务水平评价指标值

Table  3.  Index values of service levels on three signalized intersections

编号	交叉口名称	交通负荷系数	效率系数	交叉口受阻车辆比例/%	平均停车延误/s	排队长度/m
A1	东风东街—北海路	[0.703, 0.742]	[0.572, 0.637]	[32.1, 36.4]	[44.2, 50.1]	[57.2.64.3]
A2	健康西街—和平路	[0.894, 0.926]	[0.317, 0.364]	[56.2, 62.5]	[54.5, 60.5]	[79.6, 86.4]
A3	健康街—潍州路	[0.826, 0.853]	[0.423, 0.486]	[42.3, 48.7]	[49.3, 55.4]	[66.8, 75.2]

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表  4  聚类评价结果

Table  4.  Results of clustering evaluation

交叉口	1级	2级	3级	4级	5级	最大值	归属
A1	[0, 0]	[0, 0.262]	[0.416, 0.839]	[0, 0.161]	[0.161, 0.161]	[0.416, 0.839]	3级
A2	[0, 0]	[0, 0]	[0, 0.107]	[0.202, 0.728]	[0.272, 0.691]	[0.202, 0.728]	4级
A3	[0, 0]	[0, 0]	[0.194, 0.426]	[0.413, 0.645]	[0.161, 0.161]	[0.413, 0.645]	4级

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潍坊市的交通基础设施较好, 如东风街施行机非分离, 双向8车道, 北海路也施行机非分离, 双向6车道, 交叉口处采取“信号灯+渠化”, 且东风街—北海路交叉口不在市中心, 交通压力不大, 所以服务水平相对较好。健康西街—和平路交叉口与潍坊市联运客运汽车站、长途汽车站、小商品城批发市场及火车站相邻, 和平路和健康街分担了大量的公交车和长途客车的交通量, 再加上人流量较大, 混合交通严重, 该交叉口交通拥堵频发, 服务水平较差, 也是交通部门治理的重点。健康街和潍州路分别是潍坊市东西向和南北向的交通主干道, 人流量和车流量都较大, 由于承载交通量过大, 健康街—潍州路交叉口的服务水平有所下降。

4.   结语

(1) 以往的灰色聚类分析大都基于清晰数的形式进行研究, 通过分析灰数表征事物特征的可行性, 借鉴经典灰色理论的思想构建了以灰数表示评价指标和聚类阈值的灰数聚类模型, 该模型的建立有效地拓延了灰色理论的研究空间。

(2) 根据交通主体的特征指出交通特性的随机性, 且在交通高峰小时接近正态分布。根据产生灰数的评价指标特征和决策者的主观要求, 文中根据正态分布的99.73%置信度即3σ原则界定了评价取值的大区间[μ-3σ, μ+3σ], 根据78.04%的置信度即1.23σ原则界定了峰值的取值域[μ-1.23σ, μ+1.23σ], 这样的取值方法给灰数或区间数的研究提供了新思路。

(3) 基于正态分布的3σ原则和1.23σ原则, 对现有的信号交叉口服务水平评价标准如交通负荷系数、效率系数、交叉口受阻隔车辆比例、平均停车延误、排队长度等进行了改进, 使评价结果更为合理。

(4) 运用灰色理论的非唯一性原理对少量已掌握的信息进行筛选、加工和扩展, 将信号交叉口服务水平确定在某一灰域内, 从而实现宏观评价信号交叉口服务水平的目的。