0.   引言

从世界范围内来看, 国外城市市区轨道交通的平均长度都不长。例如: 巴黎为13.3 km, 圣彼得堡为24.7 km, 莫斯科为23.7 km, 东京为19.2 km, 慕尼黑为14.2 km, 维也纳为11.0 km, 法兰克福为8.0 km。近年来随着中国各大城市规模的拓展, 城市轨道交通的规划建设中出现了一些长度超过50 km甚至100 km的超长线路, 如上海的R4线、广州地铁3号线等。就目前而言, 国内城市轨道交通线网规划中的线路长度普遍较国外城市长, 在实际中轨道交通线路规划长度问题引起了很大争议。

在理论上, 国内外学者对城市轨道交通的长度问题进行了很多有价值的探讨。其中代表性的有: 沈景炎提出了线路长度主要取决于选择合理的起终点, 并应有客流规模和效益, 要有速度和时间目标^[1], 金锋指出了轨道交通线路单位长度的客流量和线路长度呈递减关系的特征, 并建议轨道交通线路长度应先从经济上考虑^[2]; 美国的Synn从定性角度提出了轨道交通线路规划应适应组织运营的要求^[3]; 李太惠建立了以乘客总出行时间最小化的轨道交通最优长度确定模型^[4]。其中以轨道交通相对常规公交的时间节约为优化变量的思路值得借鉴, 但模型因素较少, 并且部分重要参数在线路运营之前难以获得, 使得模型应用还有一些困难。

总的来看, 目前关于城市轨道交通最优长度问题的研究尚处于理论探索阶段, 既有研究中多是采用定性分析方法对轨道交通线路长度的影响因素进行分析, 以及对线路长度的合理范围进行框定。为适应国内城市轨道交通大规模建设发展时代的到来, 迫切需要量化分析技术以指导具体线路规划设计中的长度拟定。

本文在分析轨道交通运营经济效益表现的基础上, 按照相对净效益最大化, 提出城市轨道交通线路长度的优化模型, 并依据国内相关城市实际运营数据进行实证分析。

1.   轨道交通线路长度的影响因素

城市轨道交通线路规划方案的构成元素主要包括: 线路走向、车站布局以及场站附属设施、轨道轨距和道床选型、列车编组与行车组织、运营设备及通信、控制、供电方式和规格、照明、通风方式和设备等。从规划问题的思考逻辑上讲, 主要包含对3个方面的考察: 从城市规划发展和远景城市发展状态研究到设计年限客流预测分析, 到轨道交通线路走向和经由方案的功能适用性研究层面; 从设施设备选型到造价分析、收益分析, 到经济效果评价和投融资策略的经济合理性研究层面; 从地质勘察到施工方法统筹, 到埋置深度和限界设计的工程可行性研究层面。各部分之间没有明显的阶段性, 往往随着研究的深入互为依据, 相互穿插, 相辅相成, 其关系见图 1^[5-8]。

图  1  城市轨道交通线路规划的构成要素

Figure  1.  Elements of urban rail transit line planning

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图 1中的双线部分为技术上的主要矛盾线路。由图 1可见, 客观合理的城市轨道交通线路规划设计就必须是在不同线路设计方案的功能适用性、经济合理性和工程可行性3个方面求得合理的平衡。从一般性的轨道交通线路规划设计来看, 工程可行性问题作用于线路具体的经由和站点选址, 不会制约线路长度, 因此, 城市轨道交通线路的长度应该主要从功能和经济角度进行考虑, 其中经济效益是关键影响因素。

2.   直线线路的最优长度确定模型

由上述讨论可知, 轨道交通线路的最优长度对应于其净效益最大的情形。但通常测算轨道交通线路的绝对净效益较为困难, 轨道交通线路的乘客出行时间价值节约较难确定。通常轨道交通的直接竞争对象是常规公交, 若轨道交通不能满足乘客节约出行时间的要求, 其乘客往往会转而乘坐常规公交, 因此, 可以用城市轨道交通乘客相对常规公交的出行时间价值节约替代测算轨道交通线路的绝对乘客出行时间价值节约。

具体城市轨道交通线路的相对净收益可以从收益、投入两个方面来测算, 其收益主要是轨道交通客票收入和乘客相对时间价值的节约, 其投入主要是轨道交通建设和运营投入。

考虑到城市轨道交通线路工程建设和车辆购置为一次性投入, 重复使用, 而线路的客票收益、乘客相对时间价值节约的收益和运营费用投入在轨道交通运营各年度均存在, 因此, 在有历年客流预测资料的情况下, 对线路的客票收益、乘客相对时间价值节约的收益和运营费用投入应区分各运营年度, 统一向基础年贴现。城市轨道交通线路的相对净效益最大值可表示为

max Z= ${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$ $\frac{Q{}_{\text{R}i}(\eta \overline{t}{}_i+\overline{f}{}_i)-\Phi {}_i}{(1+\gamma ){}^i}-\frac{C+{\rm M}}{365}(1)$

式中: C为轨道交通工程建设费用投入(元); M为轨道交通直线线路配置车辆购置费(元); Q_Ri为第i年轨道交通客流量(人次·d^-1); $\overline{t}{}_i$为第i年轨道交通单位乘客相对常规公交的出行时间节约(h·人次^-1); $\overline{f}{}_i$为第i年轨道交通单位乘客带来的平均客票收入(元·人次^-1); Φ_i为第i年轨道交通系统运营维护费用(元); η为单位时间价值(元·h^-1); γ为贴现率(%)。

同时注意到城市轨道交通线路的客流量可表达为客流强度与线路长度的乘积, 即

$Q{}_{\text{R}i}=\alpha {}_{i}L(2)$

式中: α_i为第i年城市轨道交通线路预测客流强度[人次· (km·d)^-1]; L为轨道交通线路长度(km)。

将式(2) 代入式(1) 中, 得城市轨道交通线路的相对净效益最大值为

max Z= ${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$ $\frac{\alpha {}_{i}L(\eta \overline{t}{}_i+\overline{f}{}_i)-\Phi {}_i}{(1+\gamma ){}^i}-\frac{C+{\rm M}}{365}(3)$

2.1   工程建设费用

城市轨道交通投资规模大, 造价高, 技术复杂, 工程投资动辄数十甚至上百亿。其地面线建设费用约为3亿元·km^-1, 地下线建设费用约为5~8亿元·km^-1, 地铁每公里综合造价是高速公路的6~10倍^[9-10]。轨道交通的工程建设费用主要分为线路建设费用和车站建设费用两部分, 场站、变电站等其他附属设施与线路长短关系不大, 在这里省略, 具体如下

$C=c^{\prime }L(4)$

式中: c′为单位长度线路(含车站) 平均综合造价, 通常为(6~8) ×10⁸元·km^-1。

2.2   配置车辆购置费

车辆购置费在工程投资中占有的比重约为25%, 对项目的平均造价影响较大, 因此, 应研究每公里车辆配置数量。车辆配置总量为运用车数、备用车数和定期维修车数之和, 一般为运用车数的1.20~1.25倍^[1]。直线线路配置车辆购置费M为

${\rm M}=\mu k\frac{\Omega }{{\rm T}{}_{\text{a}}}=\mu k\frac{7200L/v{}_{\text{R}}+2{\rm T}{}_{\text{U}}}{{\rm T}{}_{\text{a}}}(5)$

式中: Ω为全线周转时间(s); v_R为轨道交通行程速度, 按35 km·h^-1; T_a为轨道交通发车间隔, 按120 s计; T_U为两端折返线时间(s), 可视同2T_a; k为车辆配置总量与运用车数之比, 取1.20~1.25;μ为轨道交通车辆的购置费(元·列^-1), 通常为5×10⁶m, m为编组数。

2.3   运营维护费用

城市轨道交通的后期运营及维护费用很高, 以北京地铁为例, 从1997~2003年, 1、2号线地铁全年的票款收入为530~900万元·km^-1, 但运营成本(含折旧费) 则达900~1 230万元·km^-1。世界各国城市地铁几乎都是亏本运营, 即便是在经营的经济效益方面获得较大成功的香港地铁, 其收入的40%~50%是来自沿线土地房产开发和车站商业物业, 而且经过了近20年的运营后方才进入盈利期。按照当前国内城市轨道交通运行模式和财务成本核算方法计算, 每开通1 km轨道交通线路, 每年就需补贴400~900万元^[9-10]。

考虑到场站等附属设施的运营费用与线路长短关系不大, 因此不予考虑, 那么城市轨道交通的运营维护费用由线路和车站两大块构成。一般来说, 单位长度线路的运营维护费用可视为与客流量成正比, 而车站的运营维护费用与客流量关系不大, 可视为与车站个数成正比。轨道交通系统的运营维护费用可以表达为

$\Phi {}_i=c{}_{i}L(6)$

式中: c_i为第i年单位线路(含车站) 综合运营维护平均费用, 一般为(0.90~1.23) ×10⁷元·km^-1。

2.4   出行时间节约价值

出行时间节约价值可视为单位乘客乘坐城市轨道交通相对常规公交的平均出行时间节约与轨道交通客流量及单位时间价值的乘积。其中, 相对平均出行时间节约为

$\overline{t}{}_i=\overline{t}{}_{\text{B}i}-\overline{t}{}_{\text{R}i}(7)$

式中: $\overline{t}{}_{\text{B}i}$为第i年轨道交通线路单位乘客转而乘坐常规公交时的全程平均出行时间(h·人次^-1); $\overline{t}{}_{\text{R}i}$为第i年轨道交通线路单位乘客的全程平均出行时间(h·人次^-1)。

城市轨道交通线路的平均出行时间包含平均车内行程时间和首、末端步行时间3个部分, 即

$\overline{t}{}_{\text{R}i}=\frac{\overline{l}{}_{\text{R}i}-2D{}_{\text{R}}}{v{}_{\text{R}}}+\frac{2D{}_{\text{R}}}{v{}_{\text{w}}}(8)$

式中: $\overline{l}{}_{\text{R}i}$为第i年轨道交通方式平均乘行距离(km); D_R为轨道交通方式出行的两端到离站步行距离, 取0.6 km; v_w为步行速度, 取3.5 km·h^-1。

如果该城市轨道交通线路的乘客转而乘坐常规公交, 那么其全程平均出行时间变为

$\overline{t}{}_{\text{B}i}=\frac{\overline{l}{}_{\text{R}i}-2D{}_{\text{B}}}{v{}_{\text{B}}}+\frac{2D{}_{\text{B}}}{v{}_{\text{w}}}(9)$

式中: D_B为常规公交方式出行的两端到离站步行距离, 取0.5 km; v_B为常规公交行程速度, 取25 km·h^-1。

将式(8)、(9) 代入式(7) 中得

$\overline{t}{}_i=\left(\frac{1}{v{}_{\text{B}}}-\frac{1}{v{}_{\text{R}}}\right)\overline{l}{}_{\text{R}i}-\frac{2D{}_{\text{B}}}{v{}_{\text{B}}}+\frac{2D{}_{\text{R}}}{v{}_{\text{R}}}+\frac{2(D{}_{\text{B}}-D{}_{\text{R}})}{v{}_{\text{w}}}(10)$

在式(10) 中, 轨道交通方式平均乘行距离$\overline{l}{}_{\text{R}i}$的标定很重要, 在有历年预测客流成果的前提下, 应以站间OD计算平均出行距离, 若不具备上述资料, 也可用0.35倍线路长度近似^[1]。

2.5   客票收入

一般城市轨道交通多采用计程票价, 因此, 客票收入可以表达为轨道交通线路上乘行距离的函数。若假定城市轨道交通的价格不随时间变化, 则一次出行中的客票收入为

$\overline{f}{}_i=f{}_0+\text{Δ}f\overline{l}{}_{\text{R}i}(11)$

式中: f₀为轨道交通起步票价(元); Δf为轨道交通起步票价之外单位乘行距离的增加票价(元·km^-1)。

2.6   优化模型简化

为了分析问题的方便, 假设各年情况均相同, 则上述模型可简化为

$\{\begin{array}{l}\max {\rm Z}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{\alpha L(\eta \overline{t}+\overline{f})-\Phi }{(1+\gamma ){}^i}}-\frac{C+{\rm M}}{365}\\ C=c^{\prime }L\\ {\rm M}=\mu k\frac{7200L/v{}_{\text{R}}+2{\rm T}{}_{\text{U}}}{{\rm T}{}_{\text{a}}}\\ \Phi =cL\\ \overline{f}=f{}_0+\text{Δ}f\overline{l}{}_{\text{R}}\\ \overline{t}=\left(\frac{1}{v{}_{\text{B}}}-\frac{1}{v{}_{\text{R}}}\right)\overline{l}{}_{\text{R}}-\frac{2D{}_{\text{B}}}{v{}_{\text{B}}}+\frac{2D{}_{\text{R}}}{v{}_{\text{R}}}+\frac{2(D{}_{\text{B}}-D{}_{\text{R}})}{v{}_{\text{w}}}\end{array}(12)$

式中: α、$\overline{t}$、$\overline{f}$、Φ、c、$\overline{l}{}_{\text{R}}$分别为对应于α_i、$\overline{t}{}_i$、$\overline{f}{}_i$、Φ_i、c_i、$\overline{l}{}_{\text{R}i}$的各年度平均值。

从式(12) 可以看出, 其约束条件均为等式, 因此, 在相关参数确定的情况下, 可将上述约束代入目标函数, 从而转化为无约束规划问题, 进而可通过取极值条件求解。

3.   环线线路的最优长度确定模型

线路长度也是轨道交通环线在线路设置过程中需要重点考虑的因素之一, 它对环线今后的运营及服务水平有着重要影响。环线过短, 其串联的区域有限, 与网络中其他放射性线路交叉换乘的概率会下降, 环线的功能将大打折扣; 而环线的长度过长, 其客流的均衡性、运营时间及服务水平都会受到影响, 车辆投入等方面的运营成本也会大大增加, 最终会削弱环线的吸引力。与独立的直线类似, 环线也可以用式(3) 所表达的无约束规划模型来进行分析, 不同点仅在于配车数量的计算, 环线线路的配置列车购置费M′ (元) 为

${{\rm M}}^{\prime }=\mu k\frac{{\Omega }^{\prime }}{{\rm T}{}_{\text{a}}}=\mu k\frac{3600L/v{}_{\text{R}}}{{\rm T}{}_{\text{a}}}(13)$

式中: Ω′为环线周转时间(s)。

根据对世界上已经投入运营的典型结构性环线的数据统计, 其平均长度为28.0 km, 其中, 中心区环线平均长度为23.7 km, 另外有3条环线长度在35.0 km左右(上海4号线、东京的山手线以及柏林的共线环线), 最长的是韩国首尔的环线(2号线), 全长达到了48.8 km, 运营一周耗时84 min。根据世界各国地铁运营经验, 为使调度合理, 通常单条地铁线路的长度为30 km左右, 而环线由于换乘车站数量较多, 相应的在站点累计停靠时间较一般线路要长, 因此, 对于中心区环线, 其长度应以20~25 km为宜; 而对于多中心环线, 在35~40 km之间则较为合适。对超过40 km的轨道交通环线, 其运营一周的时间通常都在1 h以上, 如巴黎最新规划的RER环线, 长度达到了50 km, 虽然采取了无人驾驶和市域快线的形式, 站间距比市中心线路也大得多, 但运营时间还是达到了75 min。

4.   实证分析

参照目前国内城市轨道交通和常规公交的实际运营情况^[1], 城市轨道交通的两端步行距离取0.6 km, 轨道交通行程速度取35 km·h^-1, 发车间隔时间取120 s; 而常规公交的两端步行距离取0.5 km, 其目标行程速度取25 km·h^-1。参照一般城市轨道交通工程建设的实际情况^[9], 城市轨道交通的建设费用取6.5×10⁸元·km^-1, 每年运营费用取1.065×10⁷元·km^-1, 时间价值按照12.5元· (人·h)^-1计, 贴现率按照10%计。将上述数据代入式(12), 同时注意到$\overline{l}{}_{\text{R}i}\approx L/3.5$, 则代入数据后得到无约束规划问题最终表达为

$\begin{array}{l}\max {\rm Z}=1.25\alpha L{}^2-2.01\times 10{}^5+\\ (19.8\alpha -2.25\times 10{}^6)L(14)\end{array}$

当式(14) 取得极大值时有

$L=-\frac{19.8\alpha -2.25\times 10{}^6}{2.5\alpha }(15)$

对式(15) 进行简化得

$L{}_{}\approx 9\times 10{}^5\alpha {}^{-1}-8(16)$

按照国内外城市轨道交通的实际运营客流强度, 可假设轨道交通客流强度在(2~4) ×10⁴人次· (km·d)^-1之间变化, 那么根据式(16) 计算得到轨道交通最优长度见表 1。从表 1可以得出如下结论。

表  1  计算结果

Table  1.  Calculation results

α/[104人次· (km·d)-1]	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6
L/km	37.0	34.9	32.9	31.1	29.5	28.0	26.6
α/[104人次· (km·d)-1]	2.7	2.8	2.9	3.0	3.1	3.2	3.3
L/km	25.3	24.1	23.0	22.0	21.0	20.1	19.3
α/[104人次· (km·d)-1]	3.4	3.5	3.6	3.7	3.8	3.9	4.0
L/km	18.5	17.7	17.0	16.3	15.7	15.1	14.5

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(1) 城市轨道交通线路的最优长度与客流强度成反比。对较长的轨道交通线路, 其客流强度较低, 交通运输效率较差, 因此, 在轨道交通规划中长线、超长线应慎重。

(2) 城市轨道交通线路的客流强度通常在(2~4) ×10⁴人次· (km·d)^-1之间, 根据模型计算结果, 相应的城市轨道交通最优线路长度为14.5~37.0 km。

(3) 按照本文所提出模型计算得到的一般城市轨道交通线路最优长度范围与《城市轨道交通工程项目建设标准》 (JB 104—2008) 中所提出的城市轨道交通正线线路长度不宜短于15 km或大于35 km的经验性控制目标^[1]非常接近, 从侧面说明了上述模型的可行性。

5.   结语

(1) 本文依据交通规划学的理论方法, 按照运营收益最优化为目标, 综合考虑工程建设费用、配置车辆购置费、运营维护费用、出行时间节约价值和客票收入等方面, 按直线和环线两类线路分别提出了城市轨道交通线路长度的优化模型。

(2) 依据国内相关城市轨道交通、常规公交的通常运营数据, 应用上述模型进行了实证分析, 结果表明: 在通常的客流强度下, 城市轨道交通线路的最优长度在14.5~37.0 km之间, 并且与客流强度成反比。

(3) 实际应用中应在上述模型基础上, 从功能的适用性、经济的合理性和工程的可行性3个方面进一步综合判断轨道交通线路长度的合理性, 并且这一判断过程是随着研究的深入而逐步完善、反复循环的一个探索过程。