0.   引言

铁道线路的线型对机车车辆的动力学性能有很大的影响。世界上最早的铁路采用的是直线和圆曲线直接相连, 由于列车运行速度比较低, 基本上能够满足安全性和舒适度的要求。随着列车运行速度的提高, 在曲线外轨上设置超高来平衡离心力, 这样直线与圆曲线线路构造就不完全相同, 从而造成车辆的振动加剧。为了减小这些不良影响, 各国铁路部门在1890年以后普遍采用缓和曲线来连接直线和圆曲线以及连接两半径不同的圆曲线。在缓和曲线范围内, 外轨超高由0逐渐上升到圆曲线的超高值, 成一顺坡, 曲线的曲率正比于外轨超高, 从而使车辆的向心力逐渐增加并与离心力的增加相配合, 实现减小车辆在突变点处的轮轨冲击^[1-3]。世界上一些国家针对本国的实际情况设置了不同类型的缓和曲线^[4-5], 日本东海道新干线采用半波长余弦曲线型缓和曲线, 英国高速铁路设置的是“3加圆”3次改善型, 法国高速铁路设置的是“3加余”3次改善型。中国对于缓和曲线的研究主要是在理论上^{[1, 3-4, 6-7]}, 文献[8]主要是对秦沈客运专线的缓和曲线进行了动力学仿真分析, 并与日本新干线采用的缓和曲线进行了对比, 文献[9]主要研究缓和曲线长度对车辆通过性能的影响。而对于直线型、曲线型和分段型缓和曲线之间的仿真试验对比分析的文献则很少, 本文将利用动力学仿真软件对转向架为ZK6的25 t货车通过选取的3种缓和曲线在同样长度的情况下进行了动力学仿真计算, 特别对在缓和曲线连接点处的性能进行了对比分析。缓和曲线的线型很大程度上影响车辆的动力学性能, 因此, 缓和曲线应具有如下几何性质^[1]。

(1) 缓和曲线是连续圆滑的, 即任一点的缓和曲线角存在, 因为车辆行驶的任何时刻其行驶方向是唯一确定的。

(2) 缓和曲线的曲率是连续的, 即任一点的曲率k要存在, 因为车辆行驶的任何时刻转向轮的转向角是唯一确定的。

(3) 缓和曲线的曲率变化率是连续的, 即任一点的dk/dl要存在, 因为车辆行驶的任何时刻轮对转动的角速度是唯一确定的, 或者说轮对转向角的变化率是唯一确定的。

1.   缓和曲线的类型

1.1   直线型外轨超高缓和曲线

直线型外轨超高缓和曲线的超高和曲率在始点处等于0, 随缓和曲线增长呈线性变化, 至终点为圆曲线的超高和曲率。这种缓和曲线理论上在连接点处存在折角, 当车辆通过时会产生附加作用力, 使车辆的安全性、平稳性和旅客舒适度变差。3次抛物线、放射螺形线和双纽线都是直线型外轨超高顺坡的缓和曲线, 其具有如下所述主要特点。

1.1.1   附加垂直作用力

因理论上存在超高角, 车辆通过缓和曲线起、终点时将产生附加垂直作用力。参照国外有关因线路不平顺所引起的垂直作用力的计算方法, 可得出车辆通过直线型缓和曲线起、终点时所产生的附加垂直作用力的计算式^{[4, 6, 10-11]}为

$p=\sqrt{\frac{C{}_0}{g}\frac{{\rm M}{}_{\text{E}}}{1+{\rm M}{}_{\text{E}}/{\rm M}{}_{\text{C}}}}Vi(1)$

式中: M_E为钢轨换算质量(kg); M_C为车体走行部的簧下质量(kg); C₀为轮轨接触刚度(N·m^-1); g为重力加速度(m·s^-2); V为车辆运行速度(m·s^-1); i为超高顺坡率(‰)。

因为M_E值约为M_C值的1/10

$\begin{array}{l}\sqrt{\frac{1}{1+{\rm M}{}_{\text{E}}/{\rm M}{}_{\text{C}}}}\approx 1.0\\ h{}_0=\frac{S{}_{1}V{}_0^2}{gR}\\ i=\frac{\text{d}h}{\text{d}l}=\frac{S{}_{1}V{}^2}{g}\frac{\text{d}k}{\text{d}l}\end{array}$

因此, 有

$\begin{array}{l}p=\sqrt{\frac{C{}_0}{g}{\rm M}{}_{\text{E}}}Vi=\sqrt{\frac{C{}_0}{g}{\rm M}{}_{\text{E}}}V\frac{\text{d}h}{\text{d}l}=\\ \sqrt{\frac{C{}_0}{g}{\rm M}{}_{\text{E}}}V\frac{S{}_{1}V{}^2}{g}\frac{\text{d}k}{\text{d}l}\end{array}$

式中: h₀为圆曲线超高(mm); V₀为圆曲线上的车辆速度(km·s^-1); R为曲线半径(m); h为缓和曲线超高(mm); l为曲线弧长(m); S₁为车轮滚动圆横向跨距(m)。

常用缓和曲线的$\frac{\text{d}k}{\text{d}l}=\frac{1}{Rl{}_0}$为常数, 这说明车体通过缓和曲线始、终点时, 必然产生竖向附加垂直作用力p, 其值约随运行速度的3次方增长, 而随半径变化率Rl₀(l₀为曲线总弧长)的增大而减小。

1.1.2   平面上回转角加速度

任何曲线的弧长l等于其所对的中心角φ和曲线曲率半径R的乘积。由于缓和曲线的曲率k是变动的, 车辆虽以均匀速度运行, 但回转角速度却是变动的^{[1, 6-7, 10]}。

缓和曲线长度dl=Rdφ, 则dφ=kdl, 角速度$\omega =\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}=Vk$, 其回转速度即回转角加速度为

$\alpha =\frac{\text{d}\omega }{\text{d}t}=\frac{\text{d}{}^2\phi }{\text{d}t{}^2}=V{}^2\frac{\text{d}k}{\text{d}l}(2)$

式中: t为运行时间。

1.1.3   未被平衡的横向加速度的变动速度

车辆通过缓和曲线时速度V未必与计算外轨超高度所用的速度V₀相等, 由此产生未被平衡的离心加速度。未被平衡的横向加速度的变动速度为^{[1, 6, 10]}

$\frac{\text{d}\alpha }{\text{d}t}=(V{}^2-V{}_0^2)\frac{\text{d}k}{\text{d}t}=(V{}^2-V{}_0^2)V\frac{\text{d}k}{\text{d}l}(3)$

1.1.4   横向水平附加力和竖向附加力

车体通过缓和曲线时, 由于曲线外轨超高使车轴在其上呈倾斜状态。车轴倾角ψ的大小随车轴在缓和曲线上所在的位置而异^{[1, 4, 6]}, 即

$\psi =f(l)$

由于ψ值很小, 所以

$\psi =\sin (\psi )=\frac{h}{S{}_1}$

车轴倾转角速度为

$\omega {}_{\text{n}}={\psi }^{\prime }=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{h}{S{}_1}\right)=\frac{1}{S{}_1}\frac{\text{d}h}{\text{d}t}=\frac{V{}^3}{g}\frac{\text{d}k}{\text{d}l}$

由牛顿第二定律得横向水平附加力为

$F{}_{\text{Η}}=m\frac{V{}^2}{R}=mS{}_1\omega {}_{\text{n}}^2=mS{}_1\frac{V{}^6}{g{}^2}\left(\frac{\text{d}k}{\text{d}l}\right){}^2(4)$

式中: m为轮对质量。

而车轴倾转角加速度为

$\alpha {}_{\text{n}}={\psi }^{″}=\frac{\text{d}\omega {}_{\text{n}}}{\text{d}t}=\frac{1}{S{}_1}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}h}{\text{d}t}\right)=\frac{V{}^4}{g}\frac{\text{d}{}^{2}k}{\text{d}l{}^2}$

由牛顿第二定律得竖向附加力为

$F{}_{\text{V}}=mR\alpha =mS{}_1\frac{V{}^4}{g}\frac{\text{d}{}^{2}k}{\text{d}l{}^2}(5)$

由式(5)可以看到, 由于车轴倾转而产生的横向力与竖向力分别随行车速度的6次方与4次方增长, 还与$\frac{\text{d}{}^{2}k}{\text{d}l{}^2}$成正比, 理论上$\frac{\text{d}{}^{2}k}{\text{d}l{}^2}$在直缓点与缓圆点的值为无穷大。

由以上分析可以看出, 在车辆通过缓和曲线起、终点时将产生附加的垂向力和横向力, 而这些力的产生都将影响到轮轨间的作用力, 从而使车辆在通过缓和曲线起、终点时的动力学性能指标, 如轮轨横向力、轮轨垂向力、脱轨系数与磨耗功率等变差, 进而恶化车辆动力学性能。

1.2   曲线型外轨超高缓和曲线

随着车辆运行速度的提高, 理论上的直线型超高顺坡的3次抛物线型缓和曲线, 在始、终点处立面上是折角型, 将会使车辆在通过这些点时的竖向加速度值为无穷大, 以至于作用到车辆的附加作用力产生突变, 影响车辆的安全性及平稳性。为了使车辆能够高速运行且满足行车安全、平稳、舒适的要求, 国内外学者提出了数十种超高和曲率均为非线性变化的缓和曲线, 大体上可分为3类^[3]:

(1) 缓和曲线的曲率k对l的一阶导数, 在其始、终点为0, 即$\frac{\text{d}k}{\text{d}l}=0‚\frac{\text{d}{}^{2}k}{\text{d}l{}^2}\ne 0$, 例如半波正弦型、5次代数式型、7次4项式型与S型。

(2) 缓和曲线始、终点$\frac{\text{d}k}{\text{d}l}=0‚\frac{\text{d}{}^{2}k}{\text{d}l{}^2}=0‚\frac{\text{d}{}^{3}k}{\text{d}l{}^3}\ne 0$, 例如1次正弦型与7次代数式型。

(3) 缓和曲线始、终点$\frac{\text{d}k}{\text{d}l}=0‚\frac{\text{d}{}^{2}k}{\text{d}l{}^2}=0‚\frac{\text{d}{}^{3}k}{\text{d}l{}^3}=0$, 例如稻田型与9次代数式型。

从理论推导可以看出, 在缓和曲线连接点处曲率k对缓和曲线长度l的导数等于0的阶数愈高, 车辆通过时的动力学性能就愈好。国内外学者从理论上和实践上也证明了在满足相同舒适度的条件下, 对于缓和曲线连接点处曲率k对缓和曲线长度l的导数为0的阶数越高的线型, 在始、终点附近超高和支距的增量愈小, 但要满足超高和支距的设置就必须增加缓和曲线长度, 有的增加量可达3次抛物线型缓和曲线长度的2倍以上。次数越高的缓和曲线在施工时不仅增加了工程量, 而且设置时很难保证其精度, 特别是在碎石道床条件下, 线型将难以保持, 也会增加养护维修的困难和成本。于是出现了对3次抛物型缓和曲线进行改善, 使其能兼容直线超高顺坡和曲线型超高顺坡2种缓和曲线的优点^[3]。

把3次抛物线型缓和曲线两端改为曲率变化更为平缓的曲线, 在立面上直线超高顺坡的两端各加1条2次抛物线进行圆顺; 为了与立面相匹配, 平面上3次抛物线型缓和曲线两端用4次曲线圆顺, 也就是两端为4次曲线, 中间一段为3次曲线, 称其为4-3-4缓和曲线^[3]; 后又提出6-3-6、8-3-8等超高圆顺3次抛物线型。

由缓和曲线的发展变化可以看出, 缓和曲线对车辆性能的影响是比较复杂的, 因此, 需要通过仿真计算来分析不同类型对车辆的影响。

2.   动力学仿真分析

2.1   分析内容

本文主要是对车辆通过3次抛物线型、4-3-4型、5次型缓和曲线进行动力学仿真分析, 对车辆通过缓和曲线连接点时的动力学性能进行研究。

本文采用的车辆为25 t货车, 转向架为ZK6, 车轮踏面为LM型, 与之对应的为60 kg·m^-1标准断面钢轨。

线路的曲线半径为350 m, 缓和曲线长度为90 m, 圆曲线长度为80 m, 超高为100 mm, 运行速度为65 km·h^-1。为了清楚显示在连接点处的动力学性能, 本文在仿真时没有增加轨道激励。

2.2   仿真分析

图 1~7为车辆通过3种缓和曲线时的动力学性能仿真结果, 计算时除了缓和曲线线型改变外, 其他参数完全一样。

图  1  车体横向加速度

Figure  1.  Lateral accelerations of carbody

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图  2  车体垂向加速度

Figure  2.  Vertical accelerations of carbody

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图  3  轮轨横向力

Figure  3.  Wheel-rail lateral forces

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图  4  轮轨垂向力

Figure  4.  Wheel-rail vertical forces

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图  5  脱轨系数

Figure  5.  Derailment coefficients

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图  6  磨耗功率

Figure  6.  Wear powers

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图  7  磨耗指数

Figure  7.  Wear indexes

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从图 1可以看出, 在通过3次抛物线型缓和曲线的连接点处时车体横向加速度均有波动, 其中在直缓点和圆缓点处的幅值稍大, 较4-3-4型和5次型分别相差9.90%和8.86%。4-3-4型和5次型缓和曲线整体相对比较平滑, 相差率为1.16%, 并且加速度的增长趋势和3种缓和曲线曲率的变化率一致。但对于车体垂向加速度(图 2), 3种缓和曲线在直缓点、缓圆点和缓直点处都有较大的波动, 其中在圆缓点处的幅值较其他连接点处较大, 整体上3次抛物线型幅值稍大, 较4-3-4型和5次型分别相差77.27%和82.50%, 且在连接点处3次型的波动时间较其他2种长。4-3-4型的垂向加速度不仅在直缓点、缓圆点、圆缓点和缓直点处有波动, 并且在缓和曲线上的分段点处也有波动, 较5次型相差也达到63.3%, 5次型相对比较平缓。

由图 3可见, 3种缓和曲线在连接点处的轮轨横向力均有波动, 尤其在缓圆点、圆缓点处的波动最为激烈, 幅值比较大, 其中以3次抛物线型的要稍大, 较4-3-4型和5次型分别相差11.76%和11.37%。对于轮轨垂向力(图 4), 3种缓和曲线在连接点处均有较大的波动, 其中3次抛物线型较为剧烈, 较4-3-4型和5次型分别相差13.2%和13.6%, 4-3-4型和5次型相对比较平滑。总体上, 3种缓和曲线的整体趋势是一样的, 4-3-4型和5次型的变化更接近, 仅相差1.3%。图 4中明显可以看到4-3-4型轮轨垂向力在缓和曲线段上的分段点附近有较小的波动, 幅值较小。

由图 5可以看到, 3种缓和曲线在连接点处有波动, 其中在缓圆点与圆缓点处的波动稍大。其中, 以3次抛物线的波动幅值较大, 较4-3-4型和5次型分别相差3.60%和2.78%。在缓和曲线段, 3次抛物线型脱轨系数的增加趋势相对4-3-4型和5次型的比较平缓, 这主要是与缓和曲线超高变化率有关。总体上, 4-3-4型和5次型的变化比较接近, 相差仅为1.02%。

由图 6可以看出, 3种缓和曲线轮轨间的磨耗功率都比较平滑, 只是3次型的在缓圆点与圆缓点处最大值稍微大一点。对于轮轨间的磨耗指数(图 7), 3种缓和曲线均在缓圆点、圆缓点处的波动较大, 其中3次型的幅值略大, 较4-3-4型和5次型分别相差12.7%和10.2%。从图 6和图 7看到高次缓和曲线的磨耗功率和磨耗指数并没有3次抛物线的好, 这是由于在设置缓和曲线时缓和曲线的长度是一样的, 如果按最大的顺坡率设置, 则高次的曲线在低次的包络线之内, 但是高次的缓和曲线长度要比低次的长很多, 这一点是高次缓和曲线比较突出的缺点之一。

通过以上分析说明, 3种缓和曲线在连接点处均有不同程度的波动, 但是3次抛物线相对于4-3-4型和5次型在连接点处车体垂向加速度、轮轨横向力、轮轨垂向力与脱轨系数波动比较大, 幅值较大, 特别是在缓圆点和圆缓点处。由理论分析可知, 如果速度提高, 3次抛物线在连接点处的波动会更大, 4-3-4型由于在缓和曲线上有分断点, 随着速度的提高在这些分断点处同样也会出现较大的波动。

3.   结语

从仿真结果可以看到3种缓和曲线在连接点处动力学性能存在着差别, 总体上说, 3次型的稍微差些。但3次抛物线缓和曲线并没有出现理论上的突变, 这主要是由于车辆具有悬挂系统, 并且在实际中轮对和钢轨都是有弹性的, 在缓和曲线的始、终点的立面不会出现折角, 都有较小弧度的圆顺。仿真结果中曲线型缓和曲线的优点并没有完全显露出来, 是由于本文是在相同缓和曲线长度的情况下进行的仿真, 要实现其优点就得加长缓和曲线的长度, 使其和3次型缓和曲线有相同的最大坡度, 这样就会加大成本投入, 并且轨道结构的施工和养护的精度很难达到计算所要求的精度。但为了改善曲线通过性能, 应该说以采用曲线型外轨超高顺坡的缓和曲线为宜。不过, 至于采用何种缓和曲线则需借鉴当前国内外最新的技术成果, 结合中国铁路建设及运营的实际情况, 综合考虑施工成本、运营维护与舒适度等。