Optimal velocity difference model of non-neighboring vehicles
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摘要: 描述了优化速度模型、广义力模型和全速度差模型, 分析了这些模型解决交通流问题的不足。在全速度差模型的基础上, 考虑驾驶人对非邻近双前车优化速度差信息的关注程度, 提出了最优速度差模型。通过线性稳定性分析, 得到交通流的稳定性条件, 通过数值模拟, 比较了最优速度差模型与全速度差模型。模拟结果表明: 应用最优速度差模型, 临界稳定性曲线的敏感系数变小, 自由流区域明显增大; 当敏感系数为0.310 0s-1时, 交通流稳定性增强, 并未出现负速度现象; 当敏感系数为0.777 8s-1且反应系数为0.2时, 车辆速度基本保持在0.963 5m·s-1; 随着反应系数的增大, 速度迟滞环逐渐趋向于一点。可见, 最优速度差模型有效。Abstract: The optimal velocity model, generalized force model and full velocity difference model were described, and the deficiencies of these models solving traffic flow problem were analyzed.On the basis of full velocity difference model, the concern degree of driver on the optimial velocity difference information of two non-neighboring preceding vehicles was considered, and the optimal velocity difference model was put out.Through linear stability analysis, the stability condition of traffic flow was obtained.By using numerical simulation, optimal velocity difference model and full velocity difference model were compared.Simulation result shows that by using optimal velocity difference model, the sensitive coefficient of critical stability curve becomes smaller, free flow region increases obviously.While sensitive coefficient is 0.310 0 s-1, traffic flow stability strengthens, and the phenomenon of negative velocity does not appear.While sensitive coefficient is 0.777 8 s-1, and reaction coefficient is 0.2, vehicle velocities can basically maintain 0.963 5 m·s-1.With the increase of reaction coefficient, the produce hysteresis loops of velocities gradually tend to a point.So the optimal velocity difference model is effective.
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0. 引言
随着社会经济的发展, 机动车数量不断增大, 道路交通拥堵日趋严重, 因此, 如何在现有交通资源条件下, 通过提高交通流稳定性, 从而有效抑制交通拥堵, 已成为研究交通流理论的重要方向。针对交通拥堵机理及其演化规律, 国内外学者除了应用元胞自动机理论进行研究之外[1-2], 还应用了微观领域跟驰模型, 也取得了许多成果。Bando等提出的优化速度(Optimal Velocity, OV)模型是一种被广泛研究的跟驰模型, 可以描述诸如时走时停、阻塞相变等实际交通现象[3]; Christoph基于多前车位置信息, 提出了改进的跟驰模型, 并分析了线性稳定性, 发现交通流的稳定性明显改善[4], 但是改进的模型并未考虑车辆的相对速度影响; Zhu等根据车辆之间距离的变化对OV模型进行改进, 明显提高了交通流的稳定性[5], 但未考虑车辆之间的速度效应; Sipahi等根据自动补偿车间距离提出了新模型, 与OV模型相比, 提高了交通流的稳定性[6]; 孙棣华等根据在实际交通中驾驶人不仅仅关注前方最邻近车辆位置信息的效应, 也会关注到视野中前方多车辆的影响, 考虑多前车位置信息的影响, 建立了多前车的跟驰模型, 增强了交通流稳定性[7]。
Helbing等依据车流的负速度差效应, 在OV模型的基础上提出了广义力(Generalized Force, GF)模型, 可以较好地描述车流的演化规律[8], 但会出现加速度过大等不符合实际的现象; 鉴于GF模型仅仅考虑了负速度差信息对车流的影响, Jiang等提出了全速度差(Full Velocity Difference, FVD)模型, 能够成功预测堵塞情况下车辆启动的延迟时间和车辆启动波速度[9], 但在低敏感系数时, 会出现负速度现象; 王涛等在FVD模型的基础上, 考虑前方多辆车的相对速度信息, 提出了多速度差模型, 避免了OV模型与FVD模型中负速度现象的出现[10]; 彭光含等根据在实际的交通中驾驶人一般主要关注前方不超过三辆车信息的影响, 考虑双前车速度信息, 建立了一种双前车的跟驰模型, 模拟的交通流稳定性明显增强[11-12]; Tian等在FVD模型的基础上, 考虑到前车加速度和速度的效应, 建立了一种新的模型来加强交通流稳定性[13]。
上述研究表明, 利用前车的位置信息和速度信息均可增强交通流的稳定性, 从而抑制交通阻塞的形成。事实上, 当前车速度达到最优时, 驾驶人可以通过考虑非邻近车辆优化速度差的变化, 采取相应的加速或减速, 使跟驰车辆达到最优速度, 从而保证车辆行驶安全, 但上述文献均未涉及非邻近车辆的最优速度差信息对交通流稳定性的影响, 因此, 本文在FVD模型的基础上, 考虑相对优化速度信息对跟驰车辆的影响, 提出一种新的跟驰模型, 即最优速度差(Optimal Velocity Difference, OVD)模型, 利用线性稳定性理论分析该模型的线性稳定性, 在周期边界条件下对该模型进行数值仿真, 并验证模型的合理性。
1. 模型描述
1.1 OV模型、GF模型和FVD模型
在OV模型中, 车辆微分方程为[3]
dvn,t dt=a(v−vn,t)v=vmax (1) 式中: a为跟驰车辆(n)的驾驶人对前车(n+1)的敏感系数, 一般为时间的倒数; t为车辆到达最优速度的时间; v为跟驰车辆(n)的优化速度; xn, t和xn+1, t分别为t时刻跟驰车辆(n)和前车(n+1)的位置; vn, t为t时刻跟驰车辆(n)速度; h0为待定常数, 一般为两车的安全距离; vmax为车辆最大速度, 所有车辆均一样; Δxn, t为t时刻跟驰车辆(n)与前车(n+1)的车头距离, 即为跟驰车辆(n)的前车距。
在GF模型中, 车辆微分方程为[8]
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} v_{n, t}}{\mathrm{~d} t} &=a\left(v-v_{n, t}\right)+\lambda H \Delta v_{n, t} \\ \Delta v_{n, t} &=v_{n+1, t}-v_{n, t} \end{aligned} (2) 式中: H为Heaviside阶梯函数; Δvn, t为t时刻跟驰车辆(n)与前车(n+1)的速度差; λ为Δvn, t的反应系数。
鉴于GF模型仅仅考虑了负速度差信息对车流的影响, 在FVD模型中, Treiber等进一步考虑正速度差信息的效应, 发现当前车(n+1)比跟驰车辆(n)快得多时, 尽管车头间距小于安全距离, 跟驰车辆也不会减速[14], 车辆微分方程为[9]
\frac{\mathrm{d} v_{n, t}}{\mathrm{~d} t}=a\left(v-v_{n, t}\right)+\lambda \Delta v_{n, t} (3) 1.2 OVD模型
上述模型主要通过车头间距来调整车辆速度, 在延迟时间内, 驾驶人采取加速或减速, 使车辆速度达到最优速度, 而在实际调整车辆速度过程中, 还应该通过调整相对运动速度, 才能获得最优速度。考虑到跟驰车辆(n)不但会受到前方车辆(n+1)的影响, 还会受到次前车(n+2)和再前车(n+3)的影响[7-8]。在t时刻, 如果次前车(n+2)的前车距Δxn+2, t大于跟驰车辆(n)的前车距Δxn, t, 且当前方车辆速度达到最优速度时, 驾驶人可以通过考虑非邻近双前车优化速度差的变化, 进而采取相应的加速或减速以使跟驰车辆达到最优速度。在实际交通中, 一般离驾驶人越近的车辆对驾驶人的刺激强度越大, 另一方面, 由于驾驶人的性别、年龄、个性等具体因素的影响, 其具体的关注程度也呈现出差异。基于此, 本文引入参数p来表示驾驶人对非邻近车辆优化速度差信息的关注程度, OVD模型的微分方程为
\frac{\mathrm{d} v_{n, t}}{\mathrm{~d} t}=a\left[v+p\left(v_{1}-v\right)-v_{n, t}\right]+\lambda \Delta v_{n, t} (4) 式中: v1为次前车(n+2)的优化速度。
在本文中, p的取值范围为[0, 0.5), p值越大表示非邻近车辆优化速度差信息对当前驾驶人的影响越大; 由于在模型中前方再前车(n+3)对当前驾驶人的影响强度小于最邻近车对当前驾驶人的影响强度, 因此, p最大值应小于0.5;当p取0时, 本文模型将不考虑优化速度差信息的影响, 即退化为FVD模型。
2. 线性稳定性分析
为了分析最优速度差信息对车流稳定性的影响, 本节利用线性稳定性理论以获得扩展跟车模型的线性稳定性。假设给定初始状态为稳定态, 则有
b=L / N 式中: b为所有车辆车头的间距; L为道路长度, N为总车辆数。
在稳定态下, 所有车辆对应的优化速度均为vb, 车辆位置为
x_{n, t}^{0}=b n+v_{b} t (5) 对式(5)加一位置扰动yn, t, 可得
x_{n, t}=x_{n, t}^{0}+y_{n, t} (6) 对式(6)进行Taylor展开并进行线性化得
\begin{aligned} y_{n, t}^{\prime \prime}=& a\left[v_{b}^{\prime} \Delta y_{n, t}+p v_{b}^{\prime}\left(\Delta y_{n+2, t}-\Delta y_{n, t}\right)-\right.\\ &\left.y_{n, t}^{\prime}\right]+\lambda \Delta y_{n, t}^{\prime} \end{aligned} (7) 令yn, t=eikm+zt, 按照Fourier级数展开yn, t得
z^{2}+\left(a-\lambda \mathrm{e}^{\mathrm{i}k}+\lambda\right) z-a v^{\prime}{ }_{b}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} k}-1\right)- \\ a p v^{\prime}{ }_{b}\left(\mathrm{e}^{3 i k}-\mathrm{e}^{2 i k}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}k}+1\right)=0 (8) 对特征根z展开得
z=z_{1} i k+z_{2}(i k)^{2}+\cdots+z_{m}(i k)^{m}+\cdots (9) z_{1}=v_{b}^{\prime} (10) z_{2}=\frac{-\left(v_{b}^{\prime}\right)^{2}+(\lambda+a / 2+2 a p)^{v_{b}^{\prime}}}{a} (11) 式中: Δyn, t为前车(n+1)与跟驰车辆(n)的小扰动之差; i为虚数单位; k与m均为傅里叶展开参数; zm为第m项参数。
当z2 < 0时, 初始均衡的系统将演化为不稳定状态, 反之将保持原来的交通流状态不变, 因此, 可以得到车流的临界稳定条件为
v_{b}^{\prime}=\frac{a}{2}(1+4 p)+\lambda (12) 要使车流保持稳定状态, 车头间距必须满足
v_{b}^{\prime}<\frac{a}{2}(1+4 p)+\lambda (13) 当p=0时, 参考文献[9], FVD模型的稳定性条件为
v_{b}^{\prime}<\frac{a}{2}+\lambda (14) 当OVD模型不满足式(13)时, 在小扰动干扰下, 车流将演化为拥堵状态, 出现时走时停现象, 反之, 车流将演化为稳定状态。通过与式(14)比较可以发现, 在区域\frac{a}{2}+\lambda<v^{\prime}{ }_{b}<\frac{a}{2}(1+4 p)+\lambda内, 交通流进一步稳定, 这表明OVD模型考虑了最优速度差的信息, 能够增强交通流的稳定性。
当反应系数λ为0.2时, OVD模型的临界稳定性曲线见图 1, 临界稳定性曲线以下为不稳定区域, 表现为交通阻塞、时走时停等, 临界稳定性曲线以上则为稳定性区域, 表现为自由流等; 当p为0时, 临界稳定性曲线与FVD的模型一致, 随着p的增大, 稳定性区域不断增大, 说明考虑最优速度差信息能够明显提高车流的稳定性。
3. 数值模拟
通过线性稳定性分析可知, 与FVD模型比较, OVD模型扩大了稳定性区域, 对增强交通流稳定性有明显作用。为了进一步分析OVD模型对交通流稳定性的作用, 可以通过所有车辆在某一时刻的速度分布来研究。
在OVD模型中, 初始条件L为200 m; N为100;h0为2 m; vmax为2 m·s-1[11]。给处于稳定状态的交通流中头车(n为1)施加小扰动, 其余车辆保持不变, 则有
x_{1, 0}=b+0.1 \quad n=1 (15) x_{n, 0}=(n-1) b \quad n=2, 3, \cdots, N (16) 当敏感系数a为0.310 0 s-1, λ为0.2, t分别为100、400 s时, 所有车辆速度分布的模拟结果分别见图 2、3, 从中可见初始时刻施加的小扰动随着时间推移不断向后扩大, 车辆速度在0~2 m·s-1变化; 与FVD模型比较, 随着p的增大, 所有车辆速度的波动幅度不断减小, 交通流趋向稳定。
图 2 a为0.310 0 s-1, t为100 s时的车辆速度分布Figure 2. Vehicle velocity distributions while a is 0.310 0 s-1 and t is 100 s
图 3 a为0.310 0 s-1, t为400 s时的车辆速度分布Figure 3. Vehicle velocity distributions while a is 0.310 0 s-1 and t is 400 s从图 3可以看出, 当p为0, 即在FVD模型下, 车流将会出现负速度现象; 当p不为0, 即在OVD模型下, 通过调整p的大小, 可以避免出现负速度现象。
当敏感系数a为0.777 8 s-1, λ为0.2, t分别为100、400 s时, 所有车辆速度分布的模拟结果分别见图 4、5, 从中可以看出, 当p为0时, FVD模型的车辆速度波动仍比较大; 当p不为0时, OVD模型的车辆速度波动变小, 当p为0.2时, 所有车辆的速度基本保持在0.963 5 m·s-1, 表明OVD模型可进一步增强交通流的稳定性。
图 4 a为0.777 8 s-1, t为100 s时的车辆速度分布Figure 4. Vehicle velocity distributions while a is 0.777 8 s-1 and t is 100 s
图 5 a为0.777 8 s-1, t为400 s时的车辆速度分布Figure 5. Vehicle velocity distributions while a is 0.777 8 s-1 and t is 400 s当敏感系数a为0.310 0 s-1, λ为0.2时, 不同p下形成的车头间距-速度空间(速度迟滞环)见图 6, 从中可知, 当p为0(FVD模型)时, 将会出现负速度现象(如图 6中点G)。通过改变p值大小, 得到形状大小不同的空间迟滞环, 避免了负速度现象的出现。当p为0.2时, 迟滞环不存在, 图中只存在一点M。
4. 结语
本文通过考虑最优速度差信息对当前车跟驰特性的影响, 在现有车辆跟驰理论的基础上, 提出了OVD模型, 分析了线性稳定问题, 表明非邻近双前车辆优化速度差在车流的演化过程中起到了致稳作用。通过应用本文模型可以进一步扩大交通流的稳定区域, 有效抑制交通阻塞的形成, 从而有效降低车流能耗和废气排放, 为绿色交通管理提供了有效的理论支撑, 具有理论意义和应用价值。
本文主要研究无超车单车道OVD模型的交通特性, 下一步可以考虑在OVD模型中引入换道规则, 研究有超车条件下双车道交通流系统的微观特性及阻塞传播规律。
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图 2 a为0.310 0 s-1, t为100 s时的车辆速度分布
Figure 2. Vehicle velocity distributions while a is 0.310 0 s-1 and t is 100 s
图 3 a为0.310 0 s-1, t为400 s时的车辆速度分布
Figure 3. Vehicle velocity distributions while a is 0.310 0 s-1 and t is 400 s
图 4 a为0.777 8 s-1, t为100 s时的车辆速度分布
Figure 4. Vehicle velocity distributions while a is 0.777 8 s-1 and t is 100 s
图 5 a为0.777 8 s-1, t为400 s时的车辆速度分布
Figure 5. Vehicle velocity distributions while a is 0.777 8 s-1 and t is 400 s
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