Design method of rail grinding profile in frog area of high-speed railway
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摘要: 以心轨顶宽20、35、50 mm处的辙叉区钢轨关键截面作为研究对象，基于NURBS曲线理论建立辙叉区钢轨廓形重构方法；以关键截面钢轨廓形上若干型值点为设计变量，以打磨材料去除量的减少和脱轨系数的降低为目标，以钢轨廓形几何特征和降低钢轨滚动接触疲劳为约束条件，设计出18号道岔辙叉区钢轨经济性打磨廓形；建立了轮轨接触有限元模型和车辆-轨道耦合动力学模型，进行了轮轨接触应力与动力学指标计算。分析结果表明：优化的打磨廓形接触点分布均匀，具有良好的轮轨接触几何特性；钢轨打磨材料去除量在2号截面处降低了17.2%；各截面Mises应力分别降低了8.7%、8.3%和11.5%，轮轨接触应力降幅分别为12.9%、15.8%和18.0%；列车逆侧向过岔时，轮轨横向力与车体横向振动加速度分别降低了10.3%和15.6%，脱轨系数与轮重减载率分别降低了8.1%和10.6%，疲劳因子降低了12.2%。可见，优化廓形在保证列车运行安全性的同时，提升了列车运行的平稳性以及辙叉区钢轨的使用寿命。Abstract: For the critical section of a rail in the frog area with top widths of 20, 35 and 50 mm of the core rail as the research object, the rail profile reconstruction method was developed to analyze the frog area based on the NURBS curve theory. Several types of data points on the rail profile of the key section were set as design variables, and the reduction of the removal amount of grinding material and derailment coefficient were taken as the objective, and the geometric characteristics of the rail profile and the rolling contact fatigue reduction of the rail were used as constraints, the economic grinding profile of the rail in the frog area of No.18 turnout was designed. The wheel-rail contact finite element model and vehicle-track coupling dynamic model were established, and the wheel-rail contact stresses and dynamics indexes were calculated. Analysis results show that the optimized grinding profile contact points are evenly distributed and have good wheel-rail contact geometric characteristics. The removal amount of the rail grinding material decreases by 17.2 % in section 2. The Mises stresses of each section decrease by 8.7%, 8.3%, and 11.5%, respectively, and the wheel-rail contact stresses decrease by 12.9%, 15.8%, and 18.0%, respectively. When the train reversely passing turnout branch, wheel-rail lateral force and lateral vibration acceleration of the car body decrease by 10.3% and 15.6%, respectively, the derailment coefficient and the wheel-load reduction rate decrease by 8.1% and 10.6%, respectively, and the fatigue index decreases by 12.2%. Therefore the optimized profile not only ensures train operation safety, but also improves train operation stability and the service life of the rail in frog areas. 5 tabs, 14 figs, 26 refs.
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0. 引言
道岔是铁路的三大薄弱环节之一。道岔复杂的线路布置，不同的岔区刚度，尖轨、心轨与基本轨之间的轮载过渡与转移，以及道岔结构中固有的不平顺和复杂的轮轨接触关系，使得列车在通过道岔时的轮轨间作用力增大，车辆运行平稳性和安全性降低，并且使钢轨和车轮的磨耗加剧，出现裂纹、剥离掉块和波磨等损伤。
钢轨打磨作为铁路维护的一种常规方法，可以有效地去除钢轨表面损伤，抑制裂纹延展，增加钢轨的使用寿命；良好的钢轨打磨廓形不仅可以保证列车运营的安全性和平稳性，还能减缓轮轨磨耗速度。众多学者对轮轨廓形设计进行了深入研究。
毛鑫等[1]以轮径差(Rolling Radii Difference，RRD)为目标函数，以轮轨接触状态为边界条件，求解了车轮接触点并反推钢轨，设计出可以同时针对双股钢轨单股优化的钢轨打磨廓形；徐井芒等[2-4]建立了道岔区轮轨接触模型，对比分析了4种不同轨距角半径对转辙区3个不同关键截面接触力学响应的影响，选取合理的轨距角圆弧半径，探究了不同尖轨廓形对地铁道岔使用寿命的影响；宗聪聪等[5]采用轮轨最小间隙法对基本轨和尖轨廓形进行优化，引入踏面跳跃点横向间距作为优化控制条件，完成了道岔尖轨段的优化打磨廓形设计；陈迪来等[6]以滚动圆半径差函数和轮轨间接触点均匀分布为主要的设计目标，利用欧拉积分方法求解微分方程，获得了钢轨打磨的目标廓形；赵向东[7]针对辙叉区钢轨的损伤问题，提出了以轮轨最小法向间隙为目标的廓形优化方法，优化了轮轨接触状态，降低了轮轨接触应力；Nielsen等[8]基于铁路道岔累积损伤数值预测方法，优化了转辙区钢轨的滚动接触疲劳和磨耗；林凤涛等[9-10]使用非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)曲线理论建立钢轨型面曲线的重构方法，结合钢轨型面特性，设计出磨耗型钢轨打磨廓形，减少了打磨去除量，提高了钢轨的缓磨特性；文永蓬等[11]针对城市轨道曲线工况，利用双向渐进结构优化算法对直辐板车轮进行拓扑优化建模, 提出了一种新颖的城市轨道车轮辐板结构，提高了城市轨道车轮的应力性能；郑晓明等[12]为了提高轨道车轮的结构性能, 利用渐进结构拓扑优化(Evolutionary Structure Optimization, ESO)方法建立了轨道车轮的结构优化模型，减少了车轮幅板的应力集中，降低了结构应力；李浩等[13]通过仿真研究提出增加维修及时消除道岔几何超限现象，从而改善小号道岔侧向通过性能的技术措施；杨亮等[14]通过建立道岔力学模型，对道岔的线形结构进行优化设计，从而增加其耐磨性及使用寿命；钱瑶等[15-17]分析了不同轨底坡下，不同高速车轮静态匹配60N钢轨的静态轮轨接触性能，为高速铁路轨底坡的设置提供了参考；陈嵘等[18]基于轮径差对道岔对轮轨接触系统，揭示了轮径差对列车过岔性能的影响，给出了轮径差运用限度；任尊松等[19]利用车辆-道岔模型，从轮岔振动和接触关系出发，研究了心轨顶宽对高速道岔系统动力学的影响，通过设置合理的降低值能够延迟道岔使用寿命；Wan等[20]提出一种改变心轨轨头形状来减小道岔滚动接触疲劳损伤和磨损的数值化方法；Palsson等[21-23]通过车轮动力学仿真模型评估了交通参数中的随机扩散对标准规范中损伤的影响，考虑的参数为车轮轮廓线和轮轨摩擦因数，在所研究的参数中，等效圆锥度是与面板损伤相关性最好的轮廓线参数；Casanueva等[24]基于Archard磨耗模型对货运列车车轮进行磨耗预测，根据车轮的磨耗规律研究道岔结构设计。
上述对道岔打磨廓形的设计大多只对廓形关键部位进行设计，存在多段圆弧拟合误差大、平滑性差及打磨去除量过多等缺点。本文基于NURBS曲线理论，分别将辙叉区心轨顶宽20、35、50 mm处的关键截面作为标准廓形，并设置目标函数与约束条件，建立多目标优化模型，以获得良好的辙叉区钢轨打磨廓形，并对比廓形优化前后列车通过辙叉区的接触几何特性、动力学特性以及接触力学特性，以验证其性能。
1. 辙叉区钢轨廓形拟合描述
道岔钢轨的截面廓形是一种由多段圆弧组成的特殊曲线，整个廓形都需保持连续性和平滑性。NURBS曲线可进行廓形局部修改，且具有连续性及强凸包性，通过NURBS曲线拟合道岔钢轨廓形，可较好地控制廓形曲线度，以满足其连续平滑要求。由n+1个控制点定义的一条k次NURBS曲线，可以表示为如式(1)所示的分段有理矢值函数
γ(u)=n∑τ=0Nτ,k(u)Qτωτn∑τ=0Nτ,k(u)ωτ (1) 式中：γ(u)为独立变量u的矢值函数；Nτ, k(u)为独立变量u在位置τ上k次的样条有理基函数，τ∈[0, n]；Qτ为位置τ上的控制点；ωτ为位置τ上的权因子。
此外，辙叉区心轨顶宽20、35、50 mm处的关键截面(截面1~3)是列车通过辙叉区时轮载由翼轨转移至心轨时的典型代表廓形。图 1为辙叉区不同位置3个截面作为NURBS拟合输入的初始廓形曲线。
1.1 辙叉区钢轨廓形NURBS描述方法验证
考虑到辙叉区钢轨的特殊性，将其廓形分为翼轨和心轨两部分进行描述。同时，将翼轨与心轨的接触点归入翼轨的描述曲线中，该点的坐标随着心轨顶宽增大而产生小幅变化；此外，基于与曲率相关联的方式选取初始标准廓形的型值点，并反求其控制点序列，确定对应的权因子序列，最终拟合得到基于三次NURBS曲线描述的辙叉区钢轨廓形。
1.1.1 确定型值点
初始输入廓形中，型值点的个数和坐标会极大地影响NURBS曲线廓形描述的精确度。对于廓形中曲率较大的部分，应选取更多的型值点以保证拟合曲线对输入廓形描述的精确度；对于廓形中曲率较小的部分，则选取较少的型值点，从而降低计算量。对于辙叉区钢轨廓形，翼轨与心轨轨距角部分的曲率较大，轨顶部分曲率较小，因此，在轨距角部分增加型值点的个数，以实现输入廓形的精确描述。
以心轨顶宽35 mm的关键截面为例，将输入廓形进行离散，并在辙叉区钢轨的横向范围[0, 163] mm内选取型值点。廓形局部曲线上型值点的个数与该段曲线曲率成正比，增加曲率较大的轨距角部分曲线的型值点采样个数。同时，考虑到型值点个数对于NURBS曲线计算量的影响，对3个关键截面廓形分别设置了3组不同的型值点个数，综合描述精度和计算量进行对比，确定各截面廓形最合适的型值点个数。
1.1.2 型值点权因子
权因子决定了型值点对于廓型曲线的重要程度。型值点的权因子与曲线和型值点的距离成正比，若某型值点的权因子较大，则说明此型值点对附近点和曲线的影响程度大，反之亦然。翼轨及心轨轨距角部分对轮轨匹配十分重要，且此处廓形曲线的曲率较大，容易产生磨耗，因此，将此范围内型值点的权因子设置在[0.85, 1.00]的范围内。翼轨及心轨轨顶包含了轮轨接触区域，且此处廓形曲线较为平缓，磨耗情况较轻，因此，将轨顶范围内型值点的权因子设置在[0.70, 0.85]的范围内。剩余的型值点位于非接触区域内，且廓形曲线曲率较小，基本无磨耗，因此，将其权因子设置在[0.55, 0.70]的范围内。
表 1为心轨顶宽35 mm的关键截面，分别以13、16、19个型值点对其标准廓形进行NURBS曲线拟合。同时，通过相关性分析，对比关键截面标准廓形Csta与3组NURBS曲线拟合廓形Cfit的相关系数rswt，以判断NURBS拟合廓形的准确度。
表 1 拟合廓形与标准廓形的相关系数Table 1. Correlation coefficients between fitting profile and standard profile情况 型值点个数 rswt 时间/h 1 13 0.89 10 2 16 0.94 23 3 19 0.97 51 由表 1可得以下结论：设置的型值点个数越多，NURBS拟合廓型与输入的标准廓形的相关系数越大，则拟合廓形的精确度越高；但是，型值点的增多也会导致拟合计算所需的时间成本增大，因此，综合型值点个数对曲线拟合精确度和计算成本的影响，选择16个型值点进行标准廓形的NURBS曲线拟合。图 2为拟合廓形曲线与标准廓形曲线对比，可见：心轨顶宽35 mm标准廓形曲线与拟合廓形曲线的对比之下，NURBS拟合廓形曲线Cfit精确度高，准确地拟合了标准廓形曲线Csta；NURBS曲线拟合法可以较好地实现对辙叉区钢轨廓形曲线的精确描述。表 2为NURBS曲线拟合的参数，其他关键截面的拟合参数同理可得。
图 2 拟合廓形与标准廓形曲线对比Figure 2. Comparison between fitting profile and standard profile curves表 2 NURBS拟合廓形关键参数Table 2. Key parameters of NURBS fitting profile型值点 型值点坐标 权因子权重 控制点坐标 横坐标 纵坐标 横坐标 纵坐标 1 -54.22 -16.79 0.6 -54.43 -16.09 2 -50.88 -6.31 1.0 -51.01 -8.31 3 -39.72 -1.57 1.0 -46.47 -3.07 4 -25.27 -0.53 1.0 -33.27 -0.83 5 0.00 0.00 0.9 -1.00 0.20 6 27.81 -1.45 0.8 26.81 -1.25 7 36.04 -2.77 0.9 35.04 -2.57 8 41.39 -6.54 1.0 41.59 -6.34 9 44.27 -11.48 1.0 44.57 -11.28 10 45.10 -16.06 0.7 45.40 -15.86 11 48.42 -12.88 0.9 49.42 -12.68 12 54.25 -10.24 0.9 55.25 -10.04 13 59.59 -9.07 1.0 60.09 -8.87 14 64.99 -10.24 1.0 65.49 -10.04 15 70.24 -13.06 0.9 70.74 -12.86 16 73.82 -17.44 0.7 74.32 -17.24 1.2 辙叉区钢轨廓形三维拟合
完成辙叉区钢轨关键截面拟合后，通过NURBS曲面对整个辙叉区钢轨进行三维拟合，进而得到若干中间截面，用于后续在动力学软件中建立辙叉区钢轨模型。
1.2.1 NURBS曲面定义
一个在u方向p次、v方向q次的NURBS曲面可表达为以下形式的双变量分段有理矢值函数
γ(u,v)=n∑τ=0m∑j=0Nτ,p(u)Nj,q(v)ωτ,jQτ,jn∑τ=0m∑j=0Nτ,p(u)Nj,q(v)ωτ,j (2) U为在u方向上的节点矢量，V为在v方向上的节点矢量，则
U=(0,⋯,0,up+1,⋯,ur−p−1,1,⋯,1) (3) V=(0,⋯,0,vp+1,⋯,vs−q−1,1,⋯,1) (4) 式中：γ(u, v)为独立变量u和v的分段有理矢值函数，其中0≤u, v≤1；Qτ, j为τ、j位置上的控制点，其中j∈[0, m]；ωτ, j为τ、j位置上的权因子；Nτ, p(u)为变量u在τ位置上p次基函数；Nj, q(v)为变量v在j位置上q次基函数；r、s为数据点个数，r=n+p+1，s=m+q+1。
1.2.2 NURBS曲面拟合
通过全局曲面插值对辙叉区钢轨廓形进行拟合，给定(n+1)×(m+1)个数据点坐标{λk, l}，k=0, 1, …, n和l=0, 1, …, m，创建一个非有理的(p, q)次B样条曲面，使其插值于这些点，即
λk,l=γ(ˉuk,ˉvl)=n∑τ=0m∑j=0Nτ,p(ˉuk)Nj,q(ˉvl)Qτ,j (5) 式中：λk, l为坐标点(k, l)插值数据点坐标，其中k、l为坐标点数；γ(uk, vl)为坐标点λk, l对应的参数uk和vl的有理矢值函数；Nτ, p(uk)为在参数uk下τ位置上p次基函数，uk为坐标点λk, l对应的参数，uk∈[0, 1]；Nj, q(vl)为在参数vl下j位置上q次基函数，vl为坐标点λk, l对应的参数，vl∈[0, 1]。
计算出合理的(uk, vl)以及节点矢量U和V，以uk求法为例，对于每个l，通过弦长参数化计算参数uk，见式(6)，则u0=0，un=1
ˉuk=ˉuk−1+|λk,l−λk−1,l|d (6) d=n∑k=0|λk,l−λk−1,l| (7) 式中：d为总弦长。
采用弦长参数化可使数据点发生急转时，拟合效果更好。通过对所有的uk, l取平均值得到uk
ˉuk=1m+1m∑l=0ˉuk,l (8) vl与uk的计算方法相同，计算出了(uk，vl)，便可得到节点矢量U和V，表示为
u0=⋯=up=0um−p=⋯=um=1uj+p=1pj+p−1∑τ=jˉuτj=1,2,⋯,n−p (9) 考虑到控制点的计算，式(5)给出了(n+1)×(m+1)个线性方程，其中Qτ, j是未知的。因为矢值函数γ(u, v)是张量积曲面，Qτ, j可以通过一系列曲线插值得到，对于固定的l，将式(5)写成
λk,l=n∑τ=0Nτ,p(ˉuk)[m∑j=0Nj,q(ˉvl)Qτ,j]=n∑τ=0Nτ,p(ˉuk)Tτ,l (10) Tτ,l=m∑j=0Nj,q(ˉvl)Qτ,j (11) 式中：Tτ, l为τ、l位置插值的方程。
式(10)是对数据点λk, l进行曲线插值的方程，Tτ, l是固定v=vl时，计算得出的张量积曲面数据点，固定τ让l变化，则式(11)就是对数据点Tτ, 0、…、Tτ, m进行曲线插值的方程，而Qτ, 0、…、Qτ, m就是要计算的控制点。
2. 钢轨打磨廓形设计模型
以心轨顶宽35 mm的2号截面为例，将其廓形作为初始廓形输入，通过三次NURBS曲线重构出拟合廓形，并将拟合廓形上16个型值点的纵坐标yi(i=1, 2, …, 16)作为设计变量，其中，翼轨上有10个型值点，心轨上有6个型值点。
2.1 目标函数
2.1.1 打磨去除材料减小目标函数
在某线路上测得各截面处的磨耗廓形曲线方程Cworn(y)。相比于将磨耗廓形打磨成标准廓形曲线方程Csta(y)，将磨耗廓形打磨成优化廓形曲线方程Copt(y)所产生的道岔截面材料去除面积更小，并由此建立目标函数，取道岔辙叉区3个关键截面，表示为
{S1=|Sworn−Ssta|S2=|Sworn−Sopt|ΔS=S2−ΔS1⩽ (12) 式中：Sworn为截面磨耗廓形曲线Cworn(y)与坐标轴围成的面积；Ssta为截面标准廓形曲线Csta(y)与坐标轴围成的面积；Sopt为截面优化廓形曲线Copt(y)与坐标轴围成的面积；S1为Sworn与Ssta之差；S2为Sworn与Sopt之差；ΔS为S1与S2之差。
2.1.2 脱轨系数目标函数
为保证设计廓形的列车运行安全性，根据Nadal脱轨系数计算公式，建立脱轨系数目标函数
f_{\mathrm{d}}=\frac{Q}{P} \leqslant \frac{\tan (\alpha-\mu)}{1+\mu \tan (\alpha)} (13) \varGamma\left(f_{\mathrm{d}, \mathrm{opt}}\right)-\varGamma\left(f_{\mathrm{d}, \mathrm{sta}}\right) \leqslant 0 (14) 式中：fd为脱轨系数目标函数；Q、P分别为轮轨横向力和轮轨垂向力；α为最大轮缘角；μ为轮缘处的摩擦因数；Γ(fd, opt)和Γ(fd, sta)为优化廓形曲线和标准廓形曲线脱轨系数目标函数的均方根。
2.2 约束函数
为保证拟合廓形曲线的光滑且无奇异点、波浪点，在通过NURBS曲线描述辙叉区钢轨廓形时，加入了曲线单调性、凹凸性以及标准廓形纵坐标作为优化的几何约束条件。此外，加入轮轨滚动疲劳作为优化的约束条件。
2.2.1 型值点纵坐标约束条件
实测并选取某线路18号道岔心轨顶宽35 mm的2号截面处的磨耗廓形，将其廓形型值点纵坐标与该截面标准廓形的型值点纵坐标作为优化廓形的边界条件，表示为
B_{1} \leqslant y_{\mathrm{opt}} \leqslant B_{2} (15) 式中：yopt为截面优化廓形曲线型值点纵坐标；B2与B1分别为截面优化廓形曲线的型值点纵坐标上下边界。
2.2.2 钢轨廓形曲线单调性约束条件
由于辙叉区钢轨廓形不具有对称性，因此，通过分段函数表达截面廓形曲线的单调性约束条件，表示为
\begin{cases}g\left[C_{\mathrm{opt}}^{\prime}\left(y_{i}\right)\right]<0 & i \in[5, 10] \cup[13, 16] \\ g\left[C_{\mathrm{opt}}^{\prime}\left(y_{i}\right)\right]>0 & i \in[1, 5) \cup(10, 13)\end{cases} (16) 式中：Copt(yi)为型值点i纵坐标yi下优化廓形曲线方程；g[C'opt(yi)]为优化廓形曲线方程一阶导，且曲线方程一阶导不为0。
2.2.3 钢轨廓形曲线凹凸性约束条件
对辙叉区钢轨廓形的凹凸特性进行分析，设定整体廓形曲线为凸曲线，因此，凹凸性约束条件为
g\left[C_{\mathrm{opt}}^{\prime \prime}\left(y_{i}\right)\right] \geqslant 0 \quad i \in(1, 10) \cup(10, 16) (17) 式中：g[Copt"(yi)]为型值点i纵坐标yi下优化廓形曲线方程二阶导。
2.2.4 轮轨滚动接触疲劳约束条件
轮轨滚动接触使得钢轨表面材料产生塑性流动，当塑性变形超过钢轨表面材料的断裂应变时，在钢轨表面上就会形成裂纹。随着持续的滚动接触载荷，表面裂纹可逐渐向下扩展至数毫米的深度。基于Ekberg等[25-26]提出的轮轨滚动接触疲劳理论，采用滚动接触疲劳来预测钢轨的接触疲劳，则约束条件为
F=\frac{\sqrt{\zeta_{x}^{2}+\zeta_{y}^{2}}}{\zeta_{z}}-\frac{\sigma}{\zeta_{z}} (18) F_{\mathrm{opt}}-F_{\mathrm{sta}} \leqslant 0 (19) 式中：F为滚动接触疲劳因子；Fopt和Fsta分别为优化廓形与标准廓形的疲劳因子；ζx、ζy、ζz分别为横向(x)、纵向(y)和垂向(z)轮轨接触应力；σ为钢轨表面材料剪切屈服应力。
基于上述约束条件，同理可完成对其他关键截面的打磨廓形的设计，不再赘述。
3. 优化结果分析
3.1 优化结果
以截面2为例，图 3(a)为优化廓形曲线Copt与标准廓形曲线Csta的对比，由图 3(a)可得：在x∈[-55, 0)∪[45, 60) mm的轮轨非接触区域内，优化前后的廓形曲线形式基本一致，在翼轨轨顶区域斜率变化均较为平缓；在x∈[0, 45)∪[60, 77] mm的轮轨接触区域内，优化廓形曲线Copt在翼轨和心轨轨距角处的曲线斜率变化较快，纵坐标较小，与标准廓形纵坐标最大差值为1.07 mm，出现在心轨轨距角处。图 3(b)为优化廓形的三维拟合廓形。
3.2 打磨材料去除量
由于轮轨力以及岔区固有结构不平顺，使得翼轨和心轨工作区域产生严重磨损，需通过打磨以还原成标准廓形。图 4为截面2打磨材料去除量对比，即磨耗廓形与标准廓形曲线Csta、优化廓形曲线Copt所围成的截面面积进行分析，由图 4可得以下结论：由于该截面处由翼轨和心轨共同承载，工作区域磨耗较大，故钢轨打磨材料去除量在翼轨轨顶及心轨工作边轨距角处达到峰值；与标准廓形曲线Csta相比，采用优化廓形曲线Copt作为目标廓形进行打磨后，钢轨打磨材料去除量由411.63 mm2减少至340.68 mm2，降低了17.2%。优化打磨廓形曲线Copt有效地减少了钢轨打磨材料去除量，有利于磨耗钢轨使用寿命的延长及打磨工作量的降低。
3.3 轮轨接触点匹配分析
为求解轮轨接触几何，提出以下假设：车轮和钢轨均为刚体; 轮对是以车轮中心线为轴的对称体。基于这些假设，可以得到在任意给定摇头角及侧滚角下，轮轨接触点的平面坐标，使得空间接触点的求解转化为了平面接触点的求解。图 5~7分别为不同横移下辙叉区钢轨关键截面1~3处的轮轨接触点状态, 其中，轨距为1 435 mm，轮对直径为860 mm，轨底坡为1∶40，摇头角和侧滚角均为0。图 5~7中车轮廓形上的数字即为轮对横移，单位为mm。
由图 5~7可得以下结论：在心轨顶宽20 mm截面处，存在接触点位置明显跳跃的现象，不利于车辆的平稳安全运行；且当轮对横移为[-4, 8]和[-10, -6] mm时，翼轨接触区域出现了接触点过于集中的现象，致使轮轨接触区域磨耗不均，局部磨耗过大，降低了车轮和钢轨的使用寿命；在心轨顶宽35 mm截面处，当轮对横移为[-10, 8] mm时，翼轨接触区域呈现明显的接触点集中现象，使得局部磨耗过大；在心轨顶宽50 mm截面处，轮载已全部转移至心轨，当轮对横移为[-10, 0]和[2, 8]mm时，存在着显著的接触点跳跃现象，且接触分布过于集中，使得列车运行的平稳性下降，局部磨耗增大。各关键截面廓形优化后，轮轨接触点分布更加均匀，且分布范围更宽，有利于钢轨磨耗的降低，延缓疲劳掉块的发生；翼轨顶端和心轨轨距角部位的接触点跳跃现象也得到改善，有利于列车运行的安全平稳性。
4. 打磨廓形性能分析
4.1 轮轨接触有限元分析
通过有限元分析软件ANSYS建立了列车经过辙叉区时的弹塑性轮轨接触有限元模型，依据《整体车轮的技术验收》(UIC 510-5)的规定对模型施加载荷工况。图 8为辙叉区轮轨接触有限元模型，其中车轮廓形为标准LMA，轴重为16 t，分两半分别施加在轮轴两末端处，轨底坡为1∶40，车轮半径为430 mm，材料泊松比为0.28，弹性模量为205 GPa，轮轨间摩擦因数为0.3。
截面1~3分别代表了列车经过辙叉区时，心轨完全不承受荷载、心轨承受部分荷载、心轨承受全部荷载时的状态。图 9~11为截面1~3在轮轨接触时的接触应力，可得以下结论：在心轨顶宽为20 mm处，由翼轨单独承受全部轮载，优化后的Mises应力由621 MPa降低至567 MPa, 减小了8.7%；随着顶宽增加，在心轨顶宽为35 mm处，由心轨和翼轨共同承受轮载，辙叉区钢轨发生两点接触，此时，优化后的Mises应力由648 MPa降至594 MPa, 减小了8.3%；在心轨顶宽为50 mm处，随着心轨顶宽的增加以及心轨下降值的减小，心轨进入了独自承受全部轮载的状态，此时，优化后的Mises应力由702 MPa降低至621 MPa，减小了11.5%。
图 12为优化前后轮轨接触应力对比，可见：轮轨最大接触应力与Mises应力变化趋势相似，随着心轨顶宽的增加，心轨轨顶降低值逐渐减小，轮载逐渐由翼轨单独承受过渡到心轨单独承受；在心轨顶宽为50 mm处，心轨独自承受全部轮载，接触应力达到最大值，优化后的廓形使得接触应力由1 463 MPa降至1 200 MPa，减小了18.0%；在心轨顶宽为20 mm处，接触应力由1 222 MPa降至1 064 MPa，降幅为12.9%；在心轨顶宽为35 mm处，接触应力由1 331 MPa降至1 121 MPa，减小了15.8%；优化后3个关键截面接触应力的平均降幅为15.6%，有效降低了轮轨接触应力，进而减少了列车过岔时的轮轨磨耗及损伤破坏。
图 12 优化前后轮轨接触应力对比Figure 12. Comparison of wheel-rail contact stresses between optimized and standard profiles4.2 动力学性能分析
本文通过多体动力学仿真软件Universal Mechanism建立了车辆-轨道耦合动力学模型。表 3为车辆系统基本动力学参数，采用单编组的车辆模型，选用CRH2型高速列车，车轮型面为标准LMA踏面，车辆轴重取16 t，轮轨摩擦因数取0.3，名义滚动圆半径取430 mm。表 4为18号高速道岔辙叉区钢轨各关键截面参数。
表 3 车辆系统基本动力学参数Table 3. Basic dynamics parameters of vehicle system参数 取值 参数 取值 车体质量/kg 4.24×104 一系悬挂横向刚度之半/(kN·m-1) 4 000 车体摇头惯量/(kg·m2) 2.08×106 一系悬挂纵向刚度之半/(kN·m-1) 2.8×104 车体侧滚惯量/(kg·m2) 2.27×106 一系悬挂垂向阻尼之半/(kN·s·m-1) 17.7 车体点头惯量/(kg·m2) 7.06×105 一系悬挂横向阻尼之半/(kN·s·m-1) 0 构架质量/kg 3 100 一系悬挂纵向阻尼之半/(kN·s·m-1) 0 构架摇头惯量/(kg·m2) 2 250 二系悬挂横向刚度之半/(kN·m-1) 148 构架侧滚惯量/(kg·m2) 2 810 二系悬挂纵向刚度之半/(kN·m-1) 205 构架点头惯量/(kg·m2) 5 050 二系悬挂纵向刚度之半/(kN·m-1) 145 车轮质量/kg 1 850 二系悬挂垂向阻尼之半/(kN·s·m-1) 31.6 车轮摇头惯量/(kg·m2) 717 二系悬挂横向阻尼之半/(kN·s·m-1) 24.5 车轮侧滚惯量/(kg·m2) 717 二系悬挂纵向阻尼之半/(kN·s·m-1) 343 一系悬挂垂向刚度之半/(kN·m-1) 1 216 车轮名义滚动圆半径/m 0.43 表 4 18号高速道岔辙叉区钢轨各关键截面参数Table 4. Key section parameters of rail in frog area of No.18 high-speed turnoutmm 长心轨 距离尖端长度 0 599 895 1 518 4 000 顶宽 20 40 50 71 71 顶高 -5.0 -1.6 0 0 0 道岔模型的建立为将3个关键截面及通对插值拟合生成的中间截面作为输入，实现了18号道岔变截面动力学模型的建立。表 5为道岔辙叉区轨道系统动力学参数。
表 5 辙叉区轨道系统动力学参数Table 5. Dynamics parameters of track system in frog area参数 取值 参数 取值 钢轨单位质量/(kg·m-1) 60.64 岔枕单位质量/(kg·m-1) 154 钢轨侧滚惯性矩/m4 0.33×10-4 岔枕侧滚惯性矩/m4 2.49×10-4 钢轨摇头惯性矩/m4 0.52×10-5 道床单位质量/(kg·m-1) 69.94 道床侧滚惯性矩/m4 0.5×10-4 道床摇头惯性矩/m4 0.08×10-4 钢轨横向刚度/(N·m-1) 5.0×107 岔枕横向刚度/(N·m-1) 5.0×107 钢轨垂向刚度/(N·m-1) 2.5×107 岔枕垂向刚度/(N·m-1) 1.0×108 钢轨横向阻尼/(kN·s·m-1) 1.2×104 岔枕横向阻尼/(kN·s·m-1) 4.9×104 钢轨垂向阻尼/(kN·s·m-1) 2.7×104 岔枕垂向阻尼/(kN·s·m-1) 9.4×104 基于上述模型，对理想工况下列车80 km·h-1速度侧逆向过岔时的动力学响应进行仿真，分析关键截面廓形优化前后列车过岔时车辆运行的安全性和平稳性。根据《铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范》(GB/T 5599—2019)，对动力学指标计算结果进行评价。图 13为列车逆侧向过岔动力学响应，可得以下结论：在距离心轨尖端0~4 m的范围内，动力学指标产生了剧烈的响应，列车进入辙叉区，优化廓形的轮轨横向力低至49.6 kN，与标准廓形相比减小了10.3%；轮重减载率最大值由0.348降低至0.311，减小了10.6%；脱轨系数最大值由0.784降低至0.721，减小了8.1%；车体横向振动加速度最大值由0.301 m·s-2降低至0.254 m·s-2，减小了15.6%；优化廓形有效地提升了列车侧逆向通过辙叉区时的平稳性和安全性。此外，优化廓形使得列车的动力学响应小幅延后，改变了轮载冲击的位置，进而使最易产生疲劳掉块的辙叉叉心处得到保护。
图 13 列车侧逆向过岔动力学响应Figure 13. Vehicle dynamics responses when train reversely passing turnout branch4.3 滚动接触疲劳分析
取钢轨表面材料的剪切屈服应力为300 MPa，并通过数值程序计算得到若干ζx、ζy、ζz的值，代入式(18)得到滚动接触疲劳因子F。若F > 0，作用在钢轨表面的剪切应力大于其剪切屈服极限，钢轨表面进入滚动接触疲劳区，更易产生疲劳裂纹；若F < 0，则不易产生疲劳裂纹。图 14为优化前后的滚动接触疲劳因子，可得以下结论：当横移为[0, 9] mm时，廓形优化前后的疲劳因子均小于0；当横移大于9 mm时，疲劳因子增大并大于0，钢轨表面材料进入滚动接触疲劳区域，易产生疲劳伤损；廓形优化后，疲劳因子最大值由0.188降至0.165，降低了12.2%，有效减少了辙叉区钢轨产生的疲劳损伤。
图 14 优化前后的滚动接触疲劳因子Figure 14. Rolling contact fatigue indices of optimized and standard profiles5. 结语
(1) 选取心轨顶宽20、35、50 mm处关键截面的钢轨廓形作为标准廓形，采用与曲率正比关联的方式，选取16个型值点，结合NURBS曲线重构标准廓形，精确地实现了对廓形曲线的描述。
(2) 以重构廓形上的16个型值点作为设计变量，以钢轨打磨材料去除量和脱轨系数的减小为目标函数，以钢轨廓形几何特性和降低钢轨滚动接触疲劳为约束条件，建立多目标优化模型，求解获得优化廓形曲线Copt。与标准廓形曲线相比，优化廓形曲线Copt的钢轨打磨材料去除量在2号截面处降低了17.2%，提升了钢轨的使用寿命。
(3) 建立轮轨接触有限元模型及车辆-轨道耦合动力学模型，验证优化廓形的性能，结果表明：优化廓形曲线Copt的轮轨接触点分布更加均匀，有利于列车运行的安全平稳性；列车逆侧向过岔时，轮轨横向力与车体横向振动加速度各降低10.3%和15.6%，脱轨系数与轮重减载率各降低8.1%和10.6%，在保证列车运行安全性的同时，提升了列车运行的平稳性；截面1~3 Mises应力分别降低了8.7%、8.3%和11.5%，轮轨接触应力降幅分别为12.9%、15.8%和18%；疲劳因子降低了12.2%，降低了钢轨表面的疲劳伤损。
(4) 采用16个型值点拟合出的廓形与标准廓形不能达到完全相似，计算结果存在一定误差，设计的打磨廓形有待进一步改进。
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图 2 拟合廓形与标准廓形曲线对比
Figure 2. Comparison between fitting profile and standard profile curves
图 12 优化前后轮轨接触应力对比
Figure 12. Comparison of wheel-rail contact stresses between optimized and standard profiles
图 13 列车侧逆向过岔动力学响应
Figure 13. Vehicle dynamics responses when train reversely passing turnout branch
图 14 优化前后的滚动接触疲劳因子
Figure 14. Rolling contact fatigue indices of optimized and standard profiles
表 1 拟合廓形与标准廓形的相关系数
Table 1. Correlation coefficients between fitting profile and standard profile
情况 型值点个数 rswt 时间/h 1 13 0.89 10 2 16 0.94 23 3 19 0.97 51 
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表 2 NURBS拟合廓形关键参数
Table 2. Key parameters of NURBS fitting profile
型值点 型值点坐标 权因子权重 控制点坐标 横坐标 纵坐标 横坐标 纵坐标 1 -54.22 -16.79 0.6 -54.43 -16.09 2 -50.88 -6.31 1.0 -51.01 -8.31 3 -39.72 -1.57 1.0 -46.47 -3.07 4 -25.27 -0.53 1.0 -33.27 -0.83 5 0.00 0.00 0.9 -1.00 0.20 6 27.81 -1.45 0.8 26.81 -1.25 7 36.04 -2.77 0.9 35.04 -2.57 8 41.39 -6.54 1.0 41.59 -6.34 9 44.27 -11.48 1.0 44.57 -11.28 10 45.10 -16.06 0.7 45.40 -15.86 11 48.42 -12.88 0.9 49.42 -12.68 12 54.25 -10.24 0.9 55.25 -10.04 13 59.59 -9.07 1.0 60.09 -8.87 14 64.99 -10.24 1.0 65.49 -10.04 15 70.24 -13.06 0.9 70.74 -12.86 16 73.82 -17.44 0.7 74.32 -17.24
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表 3 车辆系统基本动力学参数
Table 3. Basic dynamics parameters of vehicle system
参数 取值 参数 取值 车体质量/kg 4.24×104 一系悬挂横向刚度之半/(kN·m-1) 4 000 车体摇头惯量/(kg·m2) 2.08×106 一系悬挂纵向刚度之半/(kN·m-1) 2.8×104 车体侧滚惯量/(kg·m2) 2.27×106 一系悬挂垂向阻尼之半/(kN·s·m-1) 17.7 车体点头惯量/(kg·m2) 7.06×105 一系悬挂横向阻尼之半/(kN·s·m-1) 0 构架质量/kg 3 100 一系悬挂纵向阻尼之半/(kN·s·m-1) 0 构架摇头惯量/(kg·m2) 2 250 二系悬挂横向刚度之半/(kN·m-1) 148 构架侧滚惯量/(kg·m2) 2 810 二系悬挂纵向刚度之半/(kN·m-1) 205 构架点头惯量/(kg·m2) 5 050 二系悬挂纵向刚度之半/(kN·m-1) 145 车轮质量/kg 1 850 二系悬挂垂向阻尼之半/(kN·s·m-1) 31.6 车轮摇头惯量/(kg·m2) 717 二系悬挂横向阻尼之半/(kN·s·m-1) 24.5 车轮侧滚惯量/(kg·m2) 717 二系悬挂纵向阻尼之半/(kN·s·m-1) 343 一系悬挂垂向刚度之半/(kN·m-1) 1 216 车轮名义滚动圆半径/m 0.43
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表 4 18号高速道岔辙叉区钢轨各关键截面参数
Table 4. Key section parameters of rail in frog area of No.18 high-speed turnout
mm 长心轨 距离尖端长度 0 599 895 1 518 4 000 顶宽 20 40 50 71 71 顶高 -5.0 -1.6 0 0 0
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表 5 辙叉区轨道系统动力学参数
Table 5. Dynamics parameters of track system in frog area
参数 取值 参数 取值 钢轨单位质量/(kg·m-1) 60.64 岔枕单位质量/(kg·m-1) 154 钢轨侧滚惯性矩/m4 0.33×10-4 岔枕侧滚惯性矩/m4 2.49×10-4 钢轨摇头惯性矩/m4 0.52×10-5 道床单位质量/(kg·m-1) 69.94 道床侧滚惯性矩/m4 0.5×10-4 道床摇头惯性矩/m4 0.08×10-4 钢轨横向刚度/(N·m-1) 5.0×107 岔枕横向刚度/(N·m-1) 5.0×107 钢轨垂向刚度/(N·m-1) 2.5×107 岔枕垂向刚度/(N·m-1) 1.0×108 钢轨横向阻尼/(kN·s·m-1) 1.2×104 岔枕横向阻尼/(kN·s·m-1) 4.9×104 钢轨垂向阻尼/(kN·s·m-1) 2.7×104 岔枕垂向阻尼/(kN·s·m-1) 9.4×104
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