Stability of PID control system for vehicle platoon with input delay and communication delay
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摘要: 针对含输入时延与通信时延的车辆队列PID控制系统，分析了其内部稳定性和队列稳定性，研究了内部稳定的充要条件，求解了完整、精确的时延边界；在内部稳定性分析中，考虑输入时延与通信时延影响下车辆队列PID控制系统为中立型双时延系统的特点，结合Rekasius代换和劳斯表，提出了关于中立算子的系统强稳定充要条件；在此基础上，为了便于PID参数的快速选取，推导了一种形式更为简练的系统强稳定充分条件；在强稳定条件下，基于特征根聚类法求解了系统完整、精确的时延边界；针对具有奇数辆跟随车的车辆队列，推导了无关车辆队列规模的输入时延上界；在队列稳定性分析中，为了保证干扰和误差沿车辆队列向后传播不发散，分析了车间误差传递函数，给出了双时延影响下队列稳定的充分条件。仿真结果表明：在含输入时延与通信时延的分布式PID控制器作用下，车辆队列控制系统可同时保证内部稳定和队列稳定；车间状态误差可在15 s内快速减小并趋近于零；在所有车辆恒速行驶时，车间保持50 m期望安全距离；在领航车以0.5 m·s-2加速和0.8 m·s-2减速时，跟随车的速度和加速度随领航车变化，并在领航车速度稳定时一致；车辆队列在不同行驶工况下，由领航车加、减速引起的车间位置误差小于0.2 m，且沿车辆队列向后传播不发散。Abstract: The internal stability and string stability of the PID control system were analyzed for vehicle platoon with input delay and communication delay, the sufficient and necessary conditions of the internal stability were emphatically studied, and the exhaustive and exact time delay margins were derived. In the internal stability analysis, considering that the PID control system for vehicle platoon is a neutral time delay system with input delay and communication delay, the sufficient and necessary strong stability conditions were proposed by analyzing the stability of the neutral operator via Rekasius substitution and Routh table. In order to facilitate selecting the PID parameters, a sufficient condition with a more concise form was derived. Then, the clustering method of characteristic roots was applied to obtain the exhaustive and exact time delay margins. Considering the vehicle platoon with an odd number of following vehicles, the upper bound of the input delay, which was independent of the scale of the vehicle platoon, was derived. In order to ensure that the interference and error propagated backward along the vehicle platoon without divergence, the error transfer function among the vehicles was analyzed, and the sufficient condition of string stability under the influence of two delays was given. Simulation results show that the internal stability and string stability of vehicle platoon can be guaranteed simultaneously by the distributed PID controllers under communication delay and input delay. The state errors quickly converge to zero within 15 s. When the velocities of the vehicles are constant, an desired safe distance maintains 50 m between the successive vehicles. When the leader vehicle accelerates at 0.5 m·s-2 and decelerates at 0.8 m·s-2, the velocities and accelerations of the following vehicles asymptotically change with those of the leader and are consistent with the leader when the leader's velocity is constant. Under the different driving conditions, the spacing errors caused by the acceleration and deceleration of the leader are less than 0.2 m, and propagate backward along vehicle platoon without divergence. 1 tab, 11 figs, 36 refs.
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0. 引言
车辆队列控制是智能交通领域的研究热点，旨在提高道路容量，降低燃油消耗，增强道路安全性，其研究受到了国内外学者的广泛关注[1-2]。在车辆队列中，利用车-车通信、车-基础设施通信等手段进行信息交互，实现车辆的协作控制和安全行驶[3]。
由于通信带宽的限制和信息传输的堵塞，车辆队列中普遍存在通信时延[4]; 同时，设计车辆队列控制器时还需要考虑输入时延，包括车载计算单元处理数据所需的时间、传感器的测量时间等[5]。通信时延与输入时延共同影响车辆队列控制的动态与静态性能，有时甚至会导致车辆队列不稳定，因此，研究这2种时延影响下车辆队列控制系统的稳定性问题，对提高其控制性能至关重要。
车辆队列控制系统的稳定性，包括内部稳定性与队列稳定性[6]。首先，对于具有线性时不变动力学特性的车辆队列，当且仅当其闭环系统的所有特征根实部均为负数时，内部稳定[6]。而时延影响下的内部稳定性分析，无法通过求解系统特征方程的全部根实现。原因在于其特征方程为超越方程，有无穷多个特征根。再者，队列稳定性是指干扰不会沿车辆队列向后扩散[6]。分析结果表明，时延会削弱队列稳定性，并压缩控制参数的可调范围[7]。
时延影响下车辆队列控制系统的内部稳定性分析方法主要有两大类，时域分析法(Lyapunov-Razumikin法[8]、Lyapunov-Krasovskii法[9]等)和频域分析法(奈奎斯特判据[10]、小增益理论[11]等)。然而，上述方法仅能得到车辆队列控制系统内部稳定的充分条件，而非充要条件，无法获得完整、精确的时延边界[12]。
近年来，一些学者利用频域分析中的特征根聚类法(Cluster Treatment of Characteristic Roots, CTCR)绘制直观的时延稳定区域，得到完整、精确的时延边界[13]。CTCR法是一种融合解析分析与参数扫描的方法，主要由2步骤构成：1)确定虚轴上所有可能的纯虚根; 2)通过计算根趋势确定所有纯虚根穿越虚轴的方向。针对多时延影响下的线性时不变系统，Gao等[14-15]对系统特征方程中指数超越项进行半角正切代换，通过构造的Dixon结式给出了系统特征方程中纯虚根的上下限。在该范围内使用频域扫描方法，在固定其他时延时，可获取任意2个时延的完全稳定边界。
已有学者将CTCR法应用于车辆队列控制系统的时延边界求解中，Akkaya等[16]针对含通信时延与输入时延的车辆队列，使用CTCR法得到了系统内部稳定的完整时延边界; Chehardoli等[17]针对含通信时延的车辆队列，面向双向-虚拟领航车拓扑使用CTCR法求解时延边界。
除内部稳定性外，队列稳定性也是时延影响下车辆队列控制的重要研究内容。增强队列稳定性的方法有：放松车辆队列的队形约束、令更多的跟随车接收领航车信息、使用分布式PID控制器等。Bian等[18]设计了随速度变化动态调整的间距策略，给出了队列稳定的充分条件; Liu等[19]针对双向-领航者跟随式拓扑下的车辆队列，定义了前向与后向误差传递函数，给出了队列稳定条件。
分布式PID控制器的积分环节可以提高车辆队列控制系统的稳态性能和鲁棒性，微分环节可以提高动态跟车能力，从而同时增强内部稳定性与队列稳定性[20]。由于PID控制器设计简单，易于调参，在车辆队列控制方面有良好的应用前景。针对含时延的线性时不变系统，蔡迢阳[21]通过计算系统特征方程纯虚根的个数，求解了一阶单时延PID控制系统的时延依赖稳定区域和时延独立稳定区域，并给出了系统稳定时的时延边界; 王洪海[22]针对不确定单时延影响下的一阶PID控制系统，通过扩展Hermite-Bichler定理分析了系统特征方程根的分布，计算了系统稳定时的控制器参数区间; Yu等[23]将分布式PID控制器应用于车辆队列，其PID控制增益可随车辆队列规模的变化而调整，始终保证队列稳定; Fiengo等[24]设计了基于分布式PID的车辆队列控制系统，并使用Lyapunov-Krasovski法得到了系统内部稳定的充分条件。在上述研究的基础上，本文针对含输入时延与通信时延的车辆队列PID控制系统，深入研究内部稳定性分析与队列稳定性分析问题。
然而，PID控制器中的微分环节会导致车辆队列控制系统变为中立型时延系统(Neutral Time Delay System)，而不再是传统的迟后型时延系统(Retarded Time Delay System)，在研究其内部稳定性时，需要先研究关于中立算子的系统强稳定条件。针对基于分布式PID控制器的车辆队列，现有研究未对中立型时延系统特有的强稳定问题进行分析。
含输入时延与通信时延的车辆队列PID控制系统为中立型双时延系统，车辆队列PID控制系统的内部稳定性分析问题实际上是中立型时延系统的稳定性分析问题。相较于迟后型时延系统，中立型时延系统稳定性分析的研究难点在于：当时延从零增加至正无穷小时，无穷多的根可能穿越虚轴，出现在复平面的右半平面，这将导致系统不稳定[25]。中立型时延系统稳定时，要求系统的中立算子必须先稳定，称作中立型时延系统强稳定[26]。
针对强稳定条件的研究，在单时延情况下，当且仅当中立算子的谱半径小于1时，中立型时延系统强稳定[27]。在双时延情况下，使用谱半径方法所得到的强稳定条件具有较大的保守性[28]，因此，部分学者对谱半径方法进行了改进，致力于减少所得强稳定条件的保守性。Song等[29]通过Lyapunov泛函估计中立算子的衰减速率，得到了保守性较小的强稳定条件; Melchor-Aguilar[30]通过线性矩阵不等式的收敛阶判断相应系数矩阵的正定性，从而得到了系统强稳定的充分条件。
与上述通过时域方法分析强稳定性不同的是，Sipahi等[31]利用Rekasius代换，在频域中研究了一阶中立型时延系统的强稳定性，通过分析劳斯表中各个系数在时延从零增加至正无穷小过程中的符号变化情况，给出了系统强稳定的充要条件。需要注意的是，虽然使用Rekasius代换可以无保守性地判断中立型时延系统是否强稳定，但是随着系统阶次的升高，劳斯表系数的复杂度急剧升高，越来越难获得系统强稳定的解析条件。
含通信时延和输入时延的车辆队列PID控制系统为双时延高阶系统，从解析角度分析其强稳定性的难度较大。即使得到了强稳定条件，在求解车辆队列的时延边界时，使用CTCR法的计算量膨胀问题在中立型时延系统中依然存在。而且，由于PID中的积分项会导致系统阶次升高，致使使用CTCR法的计算量进一步增大。目前，尚无时延影响下车辆队列PID控制系统的完整、精确时延边界求解研究，更缺乏双时延影响下的相关研究。
根据上述研究的现状分析可知，关于时延下车辆队列控制以及中立型时延系统稳定性的研究，仍存在诸多问题。本文针对含有输入时延与通信时延的车辆队列PID控制系统，选用双向-领航车跟随式拓扑，开展内部稳定性分析和队列稳定性分析，重点研究内部稳定的充要条件，求解完整、精确的时延边界; 结合Rekasius代换和劳斯表，提出了双时延影响下车辆队列PID控制系统的强稳定条件，保证了系统中时延稳定区域的存在; 在此基础上，为了便于PID参数的快速选取，通过研究劳斯表中的参数关系，给出了系统强稳定的一种显式充分条件，其形式更为简练; 针对具有奇数辆跟随车的车辆队列，通过分析系统解耦后唯一一个单时延子系统的稳定性，推导了无关车辆队列规模的输入时延上界。
1. 问题描述
1.1 车辆的纵向动力学模型
考虑由1辆领航车和N辆跟随车组成的车辆队列，第i辆车的纵向动力学模型为[6]
{˙ri(t)=vi(t)˙vi(t)=ai(t)˙ai(t)=−1ηai(t)+1ηui(t) (1) 式中：ri(t)、vi(t)、ai(t)分别为第i辆车在t时刻的位置、速度、加速度; η为车辆动力系统的时间常数; ui(t)为第i辆车的控制输入; i为0时代表领航车。
式(1)的状态空间表达式为
˙xi(t)=Axi(t)+Bui(t) (2) xi(t)=(ri(t),vi(t),ai(t))TA=[01000100−1η]B=[001η]T 1.2 车辆队列的通信拓扑
如图 1所示，车辆队列的通信拓扑采用双向-领航车跟随式(Bidirectional-Leader Following, BLF)拓扑，箭头表示车辆间的信息交互关系。在使用BLF拓扑的车辆队列中，除了考虑跟随车与相邻前车之间的状态误差外，跟随车与其相邻后车之间的状态误差也会被考虑，这使得跟随车可以有效避免由于相邻后车的错误加速而引发的交通追尾事故[19]，因此，相较于前车跟随式、前车-领航车跟随式、多前车-领航车跟随式等传统的单向通信拓扑，使用BLF拓扑的车辆队列在加快误差衰减和加强队列稳定性方面更具优势。
BLF拓扑的邻接矩阵A为
A=(aij)N×N=[0kbkf0kb⋱⋱⋱kf0kbkf0] 式中：aij为第j辆车向第i辆车通信的权重; kf、kb∈ R+分别为第i辆车的前车和后车向其通信的权重。
入度矩阵D为
D=diag(˜ω1,⋯,˜ωi,⋯,˜ωN)˜ωi=N∑j=1aij 牵引矩阵P为
P=diag(p1,⋯,pi,⋯,pN) 式中：pi为领航车向第i辆跟随车通信的权重，即kl。
在BLF拓扑中，除第一辆和最后一辆跟随车外，每辆跟随车都能接收到领航车和其他两辆跟随车的信息; 但是第一辆和最后一辆跟随车仅能接收到领航车和其他一辆跟随车的信息。为了处置这种信息获取的不匀称，本文对牵引矩阵P的通信权重进行了改造，令p1=kf+k1,pN=kb+k1。
1.3 输入时延与通信时延影响下的分布式PID控制器
车辆队列的间距策略采用固定间距策(Constant Spacing Policy, CSP)，以增加道路容量[17]。相应的车辆队列控制目标为
{lim (3) 式中：d0为跟随车与其前车的期望车间距。
根据车辆队列的控制目标式(3)，定义第i辆跟随车相对于领航车的跟车误差ei(t)为
\begin{aligned} &\boldsymbol{e}_{i}(t)=\left(e_{i}(t), \dot{e}_{i}(t), \ddot{e}_{i}(t)\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{x}_{i}(t)-\boldsymbol{x}_{0}(t)+\boldsymbol{d}_{i} \\ &\boldsymbol{d}_{i}=\left(i d_{0}, 0, 0\right)^{\mathrm{T}} \end{aligned} (4) 式中： e_{i}(t), \dot{e}_{i}(t), \ddot{e}_{i}(t)分别为车间位置误差、速度误差、加速度误差。
为了实现控制目标式(3)，设计含输入时延与通信时延的分布式PID控制器为
\begin{aligned} u_{i}(t)=&-\sum\limits_{j=0}^{N} a_{i j} \boldsymbol{K}_{\mathrm{P}}\left[\boldsymbol{e}_{i}\left(t-\tau_{\mathrm{in}, i}\right)-\boldsymbol{e}_{j}\left(t-\tau_{\mathrm{in}, i}-\tau_{\mathrm{com}, i j}\right)\right]-\\ & \sum\limits_{j=0}^{N} a_{i j} \boldsymbol{K}_{\mathrm{I}}\left[\int_{0}^{t-\tau_{\mathrm{in}, i}} \boldsymbol{e}_{i}(y) \mathrm{d} y-\int_{0}^{t-\tau_{\mathrm{in}, i}-\tau_{\mathrm{com}, i j}} \boldsymbol{e}_{j}(y) \mathrm{d} y\right]-\\ & \sum\limits_{j=0}^{N} a_{i j} \boldsymbol{K}_{\mathrm{D}}\left[\dot{\boldsymbol{e}}_{i}\left(t-\tau_{\mathrm{in}, i}\right)-\dot{\boldsymbol{e}}_{j}\left(t-\tau_{\mathrm{in}, i}-\tau_{\mathrm{com}, i j}\right)\right] \\ \boldsymbol{K}_{{\rlap{-} \lambda }}=&\left(k_{{\rlap{-} \lambda } \mathrm{r}}, k_{{\rlap{-} \lambda } \mathrm{v}}, k_{\lambda \mathrm{a}}\right) \quad {\rlap{-} \lambda }=\mathrm{P}, \mathrm{I}, \mathrm{D} \end{aligned} (5) 式中：y∈ \mathbb{R}^{+}，为时间积分变量; τin, i为第i辆跟随车的输入时延; τcom, ij为第j辆车向第i辆车传输信息的通信时延，并且假设输入时延与通信时延均为固定时延; k_{{\rlap{-} \lambda } \mathrm{r}}, k_{{\rlap{-} \lambda } \mathrm{v}}, k_{{\rlap{-} \lambda } \mathrm{a}}分别为PID控制器中各环节的位置、速度、加速度增益。
分布式PID控制器中的积分环节用以提高车辆队列的稳态性能和系统鲁棒性，微分环节用以提高动态跟车能力。
考虑到PID控制器式(5)作用下，车辆队列控制系统为多时延系统，这导致高维的车辆队列控制系统无法解耦为低维子系统，从而大幅增加系统稳定性分析难度[14-15]。为了简化时延个数以便分析时延影响下车辆队列PID控制系统的内部规律，针对τin, i和τcom, ij，假设：1)车辆队列中的所有车辆均使用GPS时钟，时间是同步的; 2)车辆在发送状态信息时，加入时间戳，则获取到状态信息的车辆，可准确计算τcom, ij[18]; 3)τin, i和τcom, ij的边界分别为τin和τcom，即满足0 < τin, i < τin，0 < τcom, ij < τcom[19]。为了实现控制目标式(3)，分布式PID控制器式(5)可简化为
\begin{aligned} u_{i}(t)=&-\sum\limits_{j=0}^{N} a_{i j} \boldsymbol{K}_{\mathrm{P}}\left[\boldsymbol{e}_{i}\left(t-\tau_{1}\right)-\boldsymbol{e}_{j}\left(t-\tau_{2}\right)\right]-\\ & \sum\limits_{j=0}^{N} a_{i j} \boldsymbol{K}_{\mathrm{I}}\left[\int_{0}^{t-\tau_{1}} \boldsymbol{e}_{i}(y) \mathrm{d} y-\int_{0}^{t-\tau_{2}} \boldsymbol{e}_{j}(y) \mathrm{d} y\right] \\ & \sum\limits_{j=0}^{N} a_{i j} \boldsymbol{K}_{\mathrm{D}}\left[\dot{\boldsymbol{e}}_{i}\left(t-\tau_{1}\right)-\dot{\boldsymbol{e}}_{j}\left(t-\tau_{2}\right)\right] \end{aligned} (6) \begin{aligned} &\tau_{1}=\tau_{\text {in }} \\ &\tau_{2}=\tau_{\text {in }}+\tau_{\mathrm{com}} \end{aligned} 针对车辆纵向动力学模型式(1)，使用分布式PID控制器式(6)，车辆队列的控制结构如图 2所示。
1.4 车辆队列的闭环动力学模型
定义车辆队列的状态误差向量E(t)为
\boldsymbol{E}(t)=\left(\boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}}(t), \cdots, \boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}}(t), \cdots, \boldsymbol{e}_{N}^{\mathrm{T}}(t)\right)^{\mathrm{T}} 控制向量U(t)为
\boldsymbol{U}(t)=\left(u_{1}(t), \cdots, u_{i}(t), \cdots, u_{N}(t)\right)^{\mathrm{T}} 车辆队列的闭环动力学可写为
\dot{\boldsymbol{E}}(t)=\left(\boldsymbol{I}_{\bf{N}} \otimes \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{E}(t)+\left(\boldsymbol{I}_{\bf{N}} \otimes \boldsymbol{B}\right) \boldsymbol{U}(t) (7) 式中：IN为N维单位阵; \otimes 为Kronecker积。
根据Kronecker积的乘法性质有
\left(\boldsymbol{Y}_{1} \otimes \boldsymbol{Y}_{2}\right)\left(\boldsymbol{Y}_{3} \otimes \boldsymbol{Y}_{4}\right)=\boldsymbol{Y}_{1} \boldsymbol{Y}_{3} \otimes \boldsymbol{Y}_{2} \boldsymbol{Y}_{4} 结合式(7)，车辆队列PID控制系统可写为
\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{E}}(t)=&\left(\boldsymbol{I}_{N} \otimes \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{E}(t)-\alpha\left(\boldsymbol{I}_{\bf{N}} \otimes \boldsymbol{\beta}_{1}\right) \boldsymbol{E}\left(t-\tau_{1}\right)+\\ &\left(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{\beta}_{1}\right) \boldsymbol{E}\left(t-\tau_{2}\right)-\alpha\left(\boldsymbol{I}_{N} \otimes \boldsymbol{\beta}_{2}\right) \int_{0}^{t-\tau_{1}} \boldsymbol{E}(y) \mathrm{d} y+\\ &\left(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{\beta}_{2}\right) \int_{0}^{t-\tau_{2}} \boldsymbol{E}(y) \mathrm{d} y-\alpha\left(\boldsymbol{I}_{\bf{N}} \otimes \boldsymbol{\beta}_{3}\right) \dot{\boldsymbol{E}}\left(t-\tau_{1}\right)+\\ &\left(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{\beta}_{3}\right) \dot{\boldsymbol{E}}\left(t-\tau_{2}\right) \end{aligned} (8) \begin{aligned} &\alpha=k_{\mathrm{f}}+k_{\mathrm{b}}+k_{1} \\ &\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}_{\mathrm{P}} \\ &\boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}_{\mathrm{I}} \\ &\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}_{\mathrm{D}} \end{aligned} \dot{\boldsymbol{E}}\left(t-\tau_{1}\right)、\dot{\boldsymbol{E}}\left(t-\tau_{2}\right)导致时延项的最高阶微分量与不含时延项的最高阶微分量同阶，所以基于分布式PID的车辆队列控制系统式(8)是中立型时延系统。
定义对角矩阵 \boldsymbol{\varLambda}=\boldsymbol{T}^{-1} \mathcal{A} \boldsymbol{T}, \boldsymbol{T}为变换矩阵。Λ=diag(λ1, …, λi, …, λN)，λi为邻接矩阵\boldsymbol{\mathcal{A}} 的特征值。将λi降幂排列为
\lambda_{i}=2 \sqrt{k_{\mathrm{f}} k_{\mathrm{b}}} \cos \left(\frac{i \pi}{N+1}\right) (9) 式(9)的详细证明见文献[19]。定义新的状态量\boldsymbol{\sigma}(t)=\left(\boldsymbol{\xi}_{1}^{\mathrm{T}}(t), \cdots, \boldsymbol{\xi}_{i}^{\mathrm{T}}(t), \cdots, \boldsymbol{\xi}_{N}^{\mathrm{T}}(t)\right)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{3 N \times 1} ，满足 \boldsymbol{\sigma}(t)=\left(\boldsymbol{T}^{-1} \otimes \boldsymbol{I}\right) \boldsymbol{E}(t), \boldsymbol{I}为单位阵，因此，车辆队列PID控制系统可解耦为若干子系统，即
\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{\xi}}_{i}(t)=& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{i}(t)+\boldsymbol{B}_{1} \boldsymbol{\xi}_{i}\left(t-\tau_{1}\right)+\boldsymbol{B}_{2} \boldsymbol{\xi}_{i}\left(t-\tau_{2}\right)+\\ & \boldsymbol{B}_{3} \int_{0}^{t-\tau_{1}} \boldsymbol{\xi}_{i}(y) \mathrm{d} y+\boldsymbol{B}_{4} \int_{0}^{t-\tau_{2}} \boldsymbol{\xi}_{i}(y) \mathrm{d} y+\\ & \boldsymbol{B}_{5} \dot{\boldsymbol{\xi}}_{i}\left(t-\tau_{1}\right)+\boldsymbol{B}_{6} \dot{\boldsymbol{\xi}}_{i}\left(t-\tau_{2}\right) \end{aligned} (10) \begin{aligned} &\boldsymbol{B}_{1}=-\alpha \boldsymbol{\beta}_{1} \\ &\boldsymbol{B}_{2}=\lambda_{i} \boldsymbol{\beta}_{1} \\ &\boldsymbol{B}_{3}=-\alpha \boldsymbol{\beta}_{2} \\ &\boldsymbol{B}_{4}=\lambda_{i} \boldsymbol{\beta}_{2} \\ &\boldsymbol{B}_{5}=-\alpha \boldsymbol{\beta}_{3} \\ &\boldsymbol{B}_{6}=\lambda_{i} \boldsymbol{\beta}_{3} \end{aligned} 2. 车辆队列PID控制系统的稳定性分析
2.1 内部稳定性分析
车辆队列PID控制系统的内部稳定性分析包括：强稳定条件推导，完整、精确的时延边界求解。
2.1.1 强稳定条件推导
车辆队列子系统式(10)的特征方程 \bar{C}_{i}\left(s, \tau_{1}, \tau_{2}\right)为
\begin{gathered} \bar{C}_{i}\left(s, \tau_{1}, \tau_{2}\right)=\operatorname{det}\left[s^{2}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}_{5} \mathrm{e}^{-\tau_{1} s}-\boldsymbol{B}_{6} \mathrm{e}^{-\tau_{2} s}\right)-\right. \\ s\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}_{1} \mathrm{e}^{-\tau_{1} s}+\boldsymbol{B}_{2} \mathrm{e}^{-\tau_{2} s}\right)- \\ \left.\boldsymbol{B}_{3} \mathrm{e}^{-\tau_{1} s}-\boldsymbol{B}_{4} \mathrm{e}^{-\tau_{2} s}\right]=0 \end{gathered} (11) 与迟后型时延系统有所不同，对于引入分布式PID控制器后的车辆队列子系统，其特征方程根的连续性在时延从零增加至正无穷过程中可能受到破坏。具体地，当τ1、τ2从零增加至正无穷小时，特征方程式(11)的一些根，可能从复平面左半平面穿越虚轴至右半平面。为了避免发生上述情况，要求式(8)在τ1、τ2从零增加至正无穷小的过程中必须是强稳定的。
将子系统式(10)中含微分项的状态量 \dot{\xi}_{i}(t) 、\dot{\boldsymbol{\xi}}_{i}\left(t-\tau_{1}\right) 、\dot{\boldsymbol{\xi}}_{i}\left(t-\tau_{2}\right)取出，构建中立算子
\boldsymbol{\xi}_{i}(t)-\boldsymbol{B}_{5} \boldsymbol{\xi}_{i}\left(t-\tau_{1}\right)-\boldsymbol{B}_{6} \boldsymbol{\xi}_{i}\left(t-\tau_{2}\right)=\bf{0} (12) 根据文献[27]、[28]中的结论知，中立型时延系统式(8)强稳定的充要条件是中立算子式(12)稳定。
为了便于推导车辆队列PID控制系统强稳定的充要条件，假设系统式(8)在(τ1, τ2)=(0, 0)处是Hurwitz稳定的，也称为车辆队列初始稳定。初始稳定条件如下。
引理1 当且仅当如下不等式满足时，车辆队列PID控制系统式(8)在(τ1, τ2)=(0, 0)处稳定，即
\left\{\begin{array}{l} \kappa_{\rho}-\psi \psi_{\mu}>0 \\ \left(\kappa_{p}-\psi \mu\right) \mu-\kappa^{2} \varphi>0 \end{array}\right. (13) \begin{aligned} &\kappa=1+\left(\alpha-\lambda_{i}\right)\left(k_{\mathrm{Dv}}+k_{\mathrm{Pa}}\right) \\ &\rho=\left(\alpha-\lambda_{i}\right)\left(k_{\mathrm{Dr}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Pv}}\right) \\ &\psi=\eta+\left(\alpha-\lambda_{i}\right) k_{\mathrm{Da}} \\ &\varphi=\left(\alpha-\lambda_{i}\right) k_{\mathrm{Ir}} \\ &\mu=\left(\alpha-\lambda_{i}\right)\left(k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}\right) \end{aligned} 引理1 可用劳斯判据进行证明，此处略去证明过程。接下来，给出关于车辆队列PID控制系统式强稳定的主要结论。
定理1 对于满足引理1的车辆队列PID控制系统式(8)，其强稳定的充要条件为
\begin{aligned} \bar{C}_{i}\left(s, T_{1}, m T_{1}\right)=\sum\limits_{z=0}^{6} P_{z} T_{1}^{z} s^{z}=0 \end{aligned} (14) m=\tau_{2} / \tau_{1} 式中：T1∈(－∞, +∞)，为τ1经过Rekasius代换后的伪时延。
所构建劳斯表的第1列各个元素的符号在T1从零增加至正无穷小的过程中不发生改变。多项式系数P6、P5、…、P0分别为
P_{6}= \delta m^{3} \\ P_{5}= (2 \delta+\chi) m^{3}+(\varepsilon+2 \delta) m^{2} \\ P_{4}= (\delta+2 \chi) m^{3}+(\gamma+2 \varepsilon+4 \delta+2 \chi) m^{2}+\\ (2 \varepsilon+\delta) m \\ P_{3}= \chi^{3}+(2 \gamma+\varepsilon+2 \delta+4 \chi) m^{2}+\\ (2 \gamma+4 \varepsilon+2 \delta+\chi) m+\varepsilon \\ P_{2}= (\gamma+2 \chi) m^{2}+(4 \gamma+2 \varepsilon+\delta+2 \chi) m+\gamma+2 \varepsilon \\ P_{1}= (2 \gamma+\chi) m+2 \gamma+\varepsilon \\ P_{0}= \gamma \\ \delta= 1+\left(\lambda_{i}-\alpha\right) k_{\mathrm{Da}} / \eta \\ \chi=1+\left(\lambda_{i}+\alpha\right) k_{\mathrm{Da}} / \eta \\ \gamma= 1-\left(\lambda_{i}-\alpha\right) k_{\mathrm{Da}} / \eta \\ \varepsilon= 1-\left(\lambda_{i}+\alpha\right) k_{\mathrm{Da}} / \eta 证明 中立算子式(12)的特征方程为
\bar{C}\left(s, \tau_{1}, \tau_{2}\right)=\operatorname{det}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}_{5} \mathrm{e}^{-\tau_{1} s}-\boldsymbol{B}_{6} \mathrm{e}^{-\tau_{2} s}\right)=0 (15) 利用Rekasius代换[12]对式(15)中的超越项e－τls进行替换
\mathrm{e}^{-\mathrm{r}_{l}^{s}}=\frac{1-T_{l} s}{1+T_{l} s} \quad T_{l} \in \mathbb{R}, l=1, 2 (16) 令T2=mT1，则中立算子的特征方程式(12)可重写为式(14)。
Rekasius代换只是在纯虚根s=\mathrm{j} \omega, \mathrm{j}=\sqrt{-1} 处为一种精确代换[12]，可通过式(14)的根在T1、mT1从零增加至正无穷小时变化情况准确地研究特征方程式(15)的根是否在τ1、τ2从零增加至正无穷小的过程中穿越虚轴。若式(14)所列劳斯表的第1列系数的符号在T1从零增加至正无穷小过程前后均相同，则在τ1、τ2从零增加至正无穷小的过程中，特征方程式(15)所有的根均不会穿越虚轴，那么中立算子式(12)必然稳定，即车辆队列PID控制系统式(8)强稳定。证明成立。
注1:定理1给出了车辆队列PID控制系统式(8)强稳定的充要条件，保证了时延稳定区域的存在。只要满足定理1，在(τ1, τ2)>(0, 0)时一定存在\left(\tau_{1}, \tau_{2}\right) \in\left(\left[0, \bar{\tau}_{1}\right), \left[0, \bar{\tau}_{2}\right)\right) , 使车辆队列PID控制系统内部稳定。\bar{\tau}_{1} 和 \bar{\tau}_{2}分别为系统稳定时τ1和τ2的边界。
考虑到定理1的结论略显复杂，为了便于PID控制增益的快速选取，接下来给出车辆队列PID控制系统式(8)强稳定的一种充分条件。
推论对于满足引理1的车辆队列PID控制系统式(8)，其强稳定的充分条件为
1-\left(\left|\lambda_{i}\right|+\alpha\right) k_{\mathrm{Da}} / \eta>0 (17) 证明 由于篇幅原因，由式(14)所构建的复杂劳斯表并未列出，但通过计算劳斯表发现，其第1列元素均由χ、γ、δ、ε的次幂形式加和而成，因此，当χ、γ、δ、ε>0时，劳斯表第1列中各个元素在T1从0增加到无穷小的过程中始终大于0。
根据Gersgorin圆盘定理[32]，α>λi。又因为η、α、kDa>0，所以当λi>0时，χ>γ>δ>ε。欲使χ、γ、δ、ε>0成立，只需ε=1－(λi+α)kDa/η>0。当λi 6 0时，γ>χ>ε>δ。欲使χ、γ、δ、ε>0，只需δ=1+(λi－α)kDa/η>0。将上述2种情况合并后，可得1－(|λi|+α)kDa/η>0，其为定理1的一种充分条件。证明成立。
注2:为了便于PID控制增益的快速选取，推论给出了系统强稳定的一种显式条件。推论的结论与Song等[29]和Melchor-Aguilar[30]通过谱半径方法所得出的结果一致，这就从相互印证的角度表明了本文所提出强稳定性分析方法的正确性。
2.1.2 完整、精确的时延边界求解
针对车辆队列PID控制系统式(8)，在定理1的强稳定条件下，使用CTCR法求解其完整、精确的时延边界。针对含有奇数辆跟随车的车辆队列，推导其输入时延上界\bar{\tau}_{1, \max } 。
定理2 对于车辆队列PID控制系统式(8)，若跟随车数量为奇数，则车辆队列的输入时延上界为
\bar{\tau}_{1, \max }=\left[\tan ^{-1}\left(\frac{\eta \omega \iota_{2}+\iota_{1}}{\eta \omega \iota_{1}-\iota_{2}}\right)+\pi\right] / \omega (18) \begin{aligned} &\iota_{1}=k_{\mathrm{Da}} \omega^{3}-\left(k_{\mathrm{Dr}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Pv}}\right) \omega+k_{\mathrm{Ir}} / \omega \\ &\iota_{2}=k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}-\left(k_{\mathrm{Dv}}+k_{\mathrm{Pa}}\right) \omega^{2} \end{aligned} ω为下列方程的解
\sqrt{\frac{\left[\alpha\left(\eta \omega \iota_{1}-\iota_{2}\right)\right]^{2}+\left[\alpha\left(\eta \omega \iota_{2}+\iota_{1}\right)\right]^{2}}{\left(\eta^{2} \omega^{3}+\omega\right)^{2}}}=1 (19) 证明 考虑由2n+1辆跟随车和1辆领航车组成的车辆队列。首先，根据式(10)中邻接矩阵\boldsymbol{\mathcal{A}} 的特征值为\lambda_{i}=2 \sqrt{k_{\mathrm{f}} k_{\mathrm{b}}} \cos \left(\frac{i \pi}{2 n+2}\right) ，可以得到当i=n+1时，λn+1=0，因此，在第n+1个车辆队列子系统式(10)中，与τ2有关的系统矩阵B2、B4、B6均变为零矩阵，该子系统可表示为
\begin{aligned} \dot{\xi}_{n+1}(t)=& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{n+1}(t)+\boldsymbol{B}_{1} \boldsymbol{\xi}_{n+1}\left(t-\tau_{1}\right)+\\ & \boldsymbol{B}_{3} \int_{0}^{t-\tau_{1}} \boldsymbol{\xi}_{n+1}(y) \mathrm{d} y+\boldsymbol{B}_{5} \dot{\xi}_{n+1}\left(t-\tau_{1}\right) \end{aligned} (20) 显然，第n+1个子系统式(20)只含有输入时延τ1。相较于其他的双时延子系统，该子系统为单时延子系统，其稳定性分析更为简单，可求解其输入时延边界的解析解。
接下来，求解第n+1个子系统式(20)的输入时延边界，其特征方程 \bar{C}_{n+1}\left(s, \tau_{1}\right)为
\bar{C}_{n+1}\left(s, \tau_{1}\right)=1+G(s) \mathrm{e}^{-\tau_{1} s}=0 \\ G(s)= {\left[k_{\mathrm{Da}} s^{4}+\left(k_{\mathrm{Dv}}+k_{\mathrm{Pa}}\right) s^{3}+\left(k_{\mathrm{Dr}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Pr}}\right) s^{2}+\right.} \\ \left.\left(k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}\right) s+k_{\mathrm{Ir}}\right] /\left(\eta s^{4}+s^{3}\right) (21) 令s=jω为特征方程式(21)的纯虚根，则有
G(\mathrm{j} \omega)=\frac{\alpha\left[\eta \omega \iota_{1}-\iota_{2}+\mathrm{j}\left(\eta \omega \iota_{2}+\iota_{1}\right)\right]}{\eta^{2} \omega^{4}+\omega^{2}} (22) 求解|G(\mathrm{j} \omega)|=1 ，即式(19)，可求出ω。再根据相角条件得到\angle G(\mathrm{j} \omega)=\tan ^{-1}\left(\frac{\eta \omega \iota_{2}+\iota_{1}}{\eta \omega \iota_{1}-\iota_{2}}\right) ，进而特征方程式(21)可重写为
1-\mathrm{e}^{\mathrm{j}\left[\tan ^{-1}\left(\frac{n \pi \iota _{2}+\iota_{1}}{\eta \mu_{1}-\iota _{2}}\right)+\pi-\tau _{1}{ }^{\omega}\right]}=0 (23) 最后，根据式(23)获取第n+1个子系统式(20)的输入时延边界，结果即式(18)。又因为整个车辆队列PID控制系统式(8)的时延稳定区域是由各个子系统的时延稳定区域取交集而得，所以第n+1个子系统的输入时延边界\bar{\tau} _{1, \max} 即为整个车辆队列的输入时延上界。证明成立。
注3:定理2给出了关于车辆队列PID控制系统式(8)的输入时延上界\bar{\tau} _{1, \max} 。值得注意的是，\bar{\tau} _{1, \max} 仅与PID控制增益KP、KI、KD以及参数α、η相关，而与表征车辆队列规模的参数λi无关，因此，\bar{\tau} _{1, \max} 是独立于车辆队列规模的输入时延上界。
注4:针对含奇数辆跟随车的车辆队列，定理2给出了输入时延上界\bar{\tau} _{1, \max} 然而，对于含偶数辆跟随车的规模车辆队列，不存在λi=0的特殊子系统，难以给出输入时延上界。
接下来，简述使用CTCR方法求解车辆队列PID控制系统式(8)时延边界的步骤。首先，针对车辆队列子系统特征方程式(11)，利用Rekasius代换式(16)，将其中的超越项e－τls替换为伪时延Tl，则特征方程式(11)可重写为
\begin{gathered} \bar{C}_{i}\left(s, T_{1}, m T_{1}\right)=\operatorname{det}\left[\left(1+T_{1} s\right)\left(1+T_{2} s\right)\left(s^{2} \boldsymbol{I}-s \boldsymbol{A}\right)-\right. \\ \quad\left(1-T_{1} s\right)\left(1+T_{2} s\right)\left(s^{2} \boldsymbol{B}_{5}+s \boldsymbol{B}_{1}+\boldsymbol{B}_{3}\right)- \end{gathered} \begin{aligned} &\left.\left(1-T_{2} s\right)\left(1+T_{1} s\right)\left(s^{2} \boldsymbol{B}_{6}+s \boldsymbol{B}_{2}+\boldsymbol{B}_{4}\right)\right]=0\\ &s=\mathrm{j} \omega \end{aligned} (24) 在(－∞, +∞)范围内进行扫描Tl，得到满足式(24)所列劳斯表的{T1, T2, ω}。将{T1, T2, ω}代入方程τl=[tan－1(ωTl)+2kπ]/ω，k=0, 1, 2, …，可求解系统稳定性发生切换处的核心曲线(Kernel Curves, KC)以及衍生曲线(Offspring Curves, OC)[13]。
在时延空间(Delay Space, DS)(τ1, τ2)∈([0, +∞), [0, +∞))与时延频谱空间(Spectral Delay Space)(τ1ω, τ2ω)∈([0, +∞), [0, +∞))内分别绘制KC和OC，得到系统的时延边界图和时延频谱图。在DS中，可以得到系统完整、精确的时延稳定区域。同时，在SDS中可以直观、简单地分析系统稳定性的变化情况，其原因在于：1)SDS中KC被压缩至固定范围(τ1ω, τ2ω)∈([0, 2π), [0, 2π))内; 2)沿坐标轴方向复制和平移KC即可得到OC[33-34]。
然后，当且仅当时延穿越KC和OC时，特征方程式(24)中不稳定根的数量发生变化。这种变化可用根趋势 \bar{R}表示[13]，即
\bar{R}=\operatorname{sign}\left[\left.\operatorname{Re}\left(\partial_{s} / \partial_{\tau_{l}}\right)\right|_{s=\mathrm{j}_{\omega}}\right] (25) 具体地，当\bar{R}=+1 =+1(或－1)时，不稳定根的数量相应地增加(或减少)2个。根据式(25)，在每个由KC和OC所划分的区域内，不稳定根的数量都可以被确定。其中，不稳定根数量为零的区域即为车辆队列子系统式(10)的时延稳定区域，时延稳定区域边界处的KC和OC即为子系统的时延边界。
最后，对所有车辆队列闭环子系统式(10)的时延稳定区域求交集，即可得到整个车辆队列PID控制系统式(8)的时延稳定区域和时延边界。
2.2 队列稳定性分析
在图 1的BLF拓扑下，研究车辆队列PID控制系统式(8)的队列稳定性。将PID控制器式(5)代入车辆动力学模型式(1)，并对其中的误差项作拉氏变换可得
E_{i}(s)=H_{\mathrm{b}}(s) E_{i-1}(s)+H_{\mathrm{f}}(s) E_{i+1}(s) (26) 式中：Ei(s)为状态误差ei(t)的拉氏变换; Hf(s)为系统前向误差传递函数; Hb(s)为系统后向误差传递函数。
Hf(s)和Hb(s)可合并为
\begin{aligned} &H_{\mathrm{f} / \mathrm{b}}(s)=\frac{k_{\mathrm{f} / \mathrm{b}} f(s) \mathrm{e}^{-\tau_{2} s}}{\eta s^{3}+s^{2}+\alpha f(s) \mathrm{e}^{-\tau_{1} s}} \\ &f(s)=k_{\mathrm{Da}} s^{3}+\left(k_{\mathrm{Pa}}+k_{\mathrm{Dv}}\right) s^{2}+\left(k_{\mathrm{Pv}}+k_{\mathrm{la}}+k_{\mathrm{Dr}}\right) s+ \end{aligned} k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}+k_{\mathrm{Ir}} / s 式中：kf/b为kf或kb，对应Hf(s)或Hb(s)。
为了推导队列稳定条件，令s=jω，由式(26)得到车辆队列的误差传递函数为
\frac{E_{i}(\mathrm{j} \omega)}{E_{i-1}(\mathrm{j} \omega)}=\frac{H_{\mathrm{f}}(\mathrm{j} \omega)}{1+H_{\mathrm{b}}(\mathrm{j} \omega) E_{i+1}(\mathrm{j} \omega) / E_{i}(\mathrm{j} \omega)} (27) 根据队列稳定的判定条件|Ei(jω)/Ei－1(jω)|≤1[17]，给出车辆队列PID控制系统式(8)队列稳定的充分条件如下。
定理3 在BLF拓扑下，当PID控制器式(5)的增益和车辆队列参数η、α满足如下不等式时，车辆队列PID控制系统式(8)队列稳定
\left\{ \begin{array}{l} \eta^{2}-2 \eta \alpha\left[k_{\mathrm{Da}}+\left(k_{\mathrm{Pa}}+k_{\mathrm{Dv}}\right) \tau_{1}\right]-\\ 2 \alpha k_{\mathrm{Da}} \tau_{1}+2 k_{\mathrm{Da}}^{2}\left(\alpha-4 k_{\mathrm{f} / \mathrm{b}}^{2}\right) \geqslant 0 \\ 1-2 \eta \alpha\left[k_{\mathrm{Pv}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Dr}}+\right.\\ \left.\left(k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}\right) \tau_{1}\right]-2 \alpha\left[k_{\mathrm{Pa}}+k_{\mathrm{Dv}}+\right.\\ \left.\left(k_{\mathrm{Pv}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Dr}}\right) \tau_{1}\right]+\left(\alpha^{2}-4 k_{\mathrm{f} / \mathrm{b}}\right) \cdot \\ {\left[\left(k_{\mathrm{Pa}}+k_{\mathrm{Dv}}\right)^{2}-2 k_{\mathrm{Da}}\left(k_{\mathrm{Pv}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Dr}}\right)\right] \geqslant 0 } \\ \left(\alpha^{2}-4 k_{\mathrm{P} / \mathrm{b}}\right)\left[\left(k_{\mathrm{Pv}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Dr}}\right)^{2}+\right. \\ \left.2 k_{\mathrm{Dr}} k_{\mathrm{Ir}}-2\left(k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}\right)\left(k_{\mathrm{Pa}}+k_{\mathrm{Dv}}\right)\right]- \\ 2 \eta \alpha k_{\mathrm{Ir}}-2 \alpha\left(k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}+k_{\mathrm{Ir}} \tau_{1}\right) \geqslant 0 \\ \left(k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}\right)^{2}-2 k_{\mathrm{Ir}}\left(k_{\mathrm{Pv}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Dr}}\right) \geqslant 0 \end{array} \right. (28) 证明 分析式(27)可知，当|Hf/b(jω)|≤0.5时，|Ei(jω)/Ei－1(jω)|≤1。|Hf/b(jω)|2可写为
\left|H_{\mathrm{f} / \mathrm{b}}(\mathrm{j} \omega)\right|^{2}=h_{1} / h_{2} (29) \begin{aligned} h_{1}=& k_{\mathrm{f} / \mathrm{b}}^{2}\left(g_{1}^{2}+g_{2}^{2}\right) \\ h_{2}=& \eta^{2} \omega^{8}+\omega^{6}+2 \eta \alpha \omega^{4}\left[g_{1} \cos \left(\tau_{1} \omega\right)+g_{2} \sin \left(\tau_{1} \omega\right)\right]+\\ & 2 \alpha \omega^{3}\left[g_{1} \cos \left(\tau_{1} \omega\right)-g_{2} \sin \left(\tau_{1} \omega\right)\right]+\\ &\left(\alpha^{2}-4 k_{\mathrm{f} / \mathrm{b}}^{2}\right)\left(g_{1}^{2}+g_{2}^{2}\right) \\ g_{1}=& k_{\mathrm{Da}} \omega^{4}-\left(k_{\mathrm{Pv}}+k_{\mathrm{Ia}}+k_{\mathrm{Dr}}\right) \omega^{2}+k_{\mathrm{Ir}} \\ g_{2}=&-\left(k_{\mathrm{Pa}}+k_{\mathrm{Dv}}\right) \omega^{3}+\left(k_{\mathrm{Iv}}+k_{\mathrm{Pr}}\right) \omega \end{aligned} 欲使|Hf/b(jω)|≤0.5成立，只需|Hf/b(jω)|2=h1/h2≤0.25，即h2－4h1≥0。利用三角函数的性质±sin(τω)≥－τω，± cos(τω)≥－1，h2－4h1≥0可简化为 \sum\limits_{z=0}^{4} q_{z} \omega^{2 z} \geqslant 0，其中q4~q1分别为式(28)中4个分式左侧的表达式，且q0=kIr2>0。显然，当q1~q4均大于0时， \sum\limits_{z=0}^{4} q_{z} \omega^{2 z} \geqslant 0成立。可见，满足不等式(28)时，车辆队列PID控制系统式(8)是队列稳定的。证明成立。
3. 数值仿真
为了验证所提出的车辆队列PID控制系统稳定性分析方法的有效性，进行数值仿真。仿真中考虑包括1辆领航车和7辆跟随车所组成的车辆队列，采用图 1的BLF拓扑，进行5组仿真试验。根据式(9)，λ1~λ7分别为－1.937 9、－1.483 2、－0.802 7、0.000 0、0.802 7、1.483 2、1.937 9。根据文献[21]~[24]中所使用的仿真数据，对PID控制增益、车辆参数进行设置，具体参数如表 1所示。第1、2组试验用以验证关于内部稳定性的定理1和定理2; 第3~5组试验用以验证关于队列稳定性的定理3。
表 1 车辆队列参数和分布式PID控制器参数Table 1. Parameters of vehicle platoon and distributed PID controllerη/s d0/m kb kf kl kPr kPv kPa kIr kIv kIa kDr kDv kDa 0.79 50 0.794 0.026 1.000 1.300 3.800 1.293 0.907 0.221 0.197 0.213 0.047 0.051 3.1 内部稳定性验证
试验1：用以验证定理1中强稳定条件的正确性。该试验中令车辆队列子系统式(10)在(τin, τcom)=(0, 0)处满足初始稳定条件式(13)，但不满足定理1的强稳定条件。将表 1中PID控制器微分环节的加速度增益改为kDa=0.15即可，其他参数不变。用(τin, τcom)=(0.001 s, 0.002 s)近似正无穷小。当(τin, τcom)=(0.001 s, 0.002 s)时，车辆队列的位置误差如图 3所示，所有跟随车的位置误差均发散。该结果验证了定理1中强稳定条件对于保证车辆队列内部稳定的必要性。
试验2：用以验证关于车辆队列内部稳定性的定理1和定理2的正确性。使用表 1的车辆队列参数，该组参数满足初始稳定条件式(13)和定理1的强稳定条件。使用CTCR方法求解车辆队列控制系统的完整、精确时延边界，图 4绘制了各个车辆队列子系统式(10)的KC和OC，时延稳定区域为阴影部分，时延边界为紧贴稳定区域的KC和OC。根据定理2中式(18)，求解输入时延上界\bar{\tau} _{1, \max} =0.238 8 s，并用黑色直线在图 4中标出。
图 4 试验2中车辆队列各个子系统的时延边界Figure 4. Time delay margins of subsystems of vehicle platoon in Example 2对所有车辆队列子系统的时延稳定区域求交集后，整个车辆队列的时延稳定区域如图 5(a)中阴影部分所示，车辆队列PID控制系统的完整、精确时延边界为紧贴时延稳定区域的KC和OC。同时，车辆队列控制系统的时延频谱图如图 5(b)所示，将KC以2π为周期沿坐标轴方向复制和平移即可得到OC。
图 5 试验2中车辆队列的时延边界与时延谱域Figure 5. Time delay margins and spectral domains of vehicle platoon in Example 2为了验证图 5(a)中所求解时延边界的正确性，在图 5(a)中取位于3个不同区域的点a、b、c，点b=(0.172 6 s, 0.127 5 s)位于时延边界上，点a=(0.170 5 s, 0.128 3 s)和c=(0.173 5 s, 0.126 9 s)分别位于时延稳定区域与不稳定区域，仿真结果分别如图 6~8所示。在点a处，跟随车与领航车的位置误差和速度随时间收敛，车辆队列PID控制系统是内部稳定的; 在点b处，车辆队列的位置误差和速度等幅振荡，车辆队列PID控制系统处于临界稳定状态; 在点c处，位置误差和速度发散，车辆队列不稳定。图 5(b)的时延边界是精确的，从而验证了定理2的正确性。同时，试验2中使用的车辆队列参数满足定理1中的稳定条件，且在a点处车辆队列的误差随时间收敛。该结果表明只有满足定理1的强稳定条件时，才能保证车辆队列控制系统式(8)内部稳定。
图 6 试验2中点a处车辆队列的位置误差和速度Figure 6. Spacing errors and velocities of vehicle platoon at point a in Example 2
图 7 试验2中点b处车辆队列的位置误差和速度Figure 7. Spacing errors and velocities of vehicle platoon at point b in Example 2
图 8 试验2中点c处车辆队列的位置误差和速度Figure 8. Spacing errors and velocities of vehicle platoon at point c in Example 23.2 队列稳定性验证
试验3~5：用以验证车辆队列在不同行驶工况下与不同初始条件下定理3中队列稳定性条件的正确性。输入时延与通信时延为(τin, τcom)=(0.04 s, 0.06 s)，可以发现其满足定理3。试验3和4中车辆队列的行驶工况不同：试验3中领航车状态分为“加速-匀速-减速-巡航”四阶段; 试验4中领航车正弦加速。试验3与5中车辆队列的初始条件不同：试验3中设置车辆队列各车初始位置、速度、加速度满足控制目标式(3)，即各车初始状态误差为零; 试验5中设置车辆队列各车初始状态误差不为零，即不满足控制目标式(3)。
试验3：车辆队列中各车初始状态误差满足控制目标式(3)，即各个车辆初始状态误差为零。领航车状态分为“加速-匀速-减速-巡航”四阶段。领航车在30~50 s的加速或120~130 s的减速可以看作是车辆队列的干扰[18]，因此，设置领航车的加速度为
a_{0}(t)= \begin{cases}0.5 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2} & 30 \mathrm{~s} \leqslant t \leqslant 50 \mathrm{~s} \\ -0.8 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2} & 120 \mathrm{~s} \leqslant t \leqslant 130 \mathrm{~s} \\ 0 & \text { 其他时间段 }\end{cases} (30) 如图 9(d)所示，领航车加速和减速过程中，各跟随车的位置误差沿车辆队列向后依次减小，车辆队列PID控制系统队列稳定。
图 9 试验3中车辆队列的状态与位置误差Figure 9. States and spacing errors of vehicle platoon in Example 3试验4：车辆队列中各车初始状态误差满足控制目标式(3)，在30~50 s和120~130 s内针对领航车的加速度进行正弦干扰，领航车加速度为
a_{0}(t)= \begin{cases}0.5 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2} & 30 \mathrm{~s} \leqslant t \leqslant 50 \mathrm{~s} \\ 0.5 \sin \left(\frac{\pi}{8} t\right) \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} & 120 \mathrm{~s} \leqslant t \leqslant 130 \mathrm{~s} \\ 0 & \text { 其他时间段 }\end{cases} (31) 如图 10(d)所示，由领航车做正弦加速所引起的位置误差沿车辆队列传播时逐渐减小，车辆队列PID控制系统是队列稳定的。
图 10 试验4中车辆队列的状态与位置误差Figure 10. States and spacing errors of vehicle platoon in Example 4试验5：车辆队列中各车初始状态误差不满足控制目标式(3)，即各个车辆初始状态误差均不为零。领航车在20~35 s内加速度为
a_{0}(t)= \begin{cases}4 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-2} & 20 \mathrm{~s} \leqslant t \leqslant 35 \mathrm{~s} \\ 0 & \text { 其他时间段 }\end{cases} (32) 如图 11所示，车辆队列在分布式PID控制器的作用下实现了控制目标式(3)，且在该过程中车辆队列控制系统始终是队列稳定的。
图 11 试验5中车辆队列的状态与位置误差Figure 11. States and spacing errors of vehicle platoon in Example 54. 结语
本文考虑输入时延与通信时延的影响，针对基于分布式PID控制器的车辆队列控制系统，提出了内部稳定性判据与队列稳定性判据。
(1) 结合Rekasius代换和劳斯表提出关于中立算子的系统强稳定充要条件，并为了便于PID控制增益的快速选择，给出了一种系统强稳定的显式充分条件; 在强稳定条件下，通过CTCR法求解了车辆队列PID控制系统的完整、精确时延边界。
(2) 针对具有奇数量跟随车的车辆队列，通过对BLF拓扑的相关矩阵进行特征值分析，推导了无关车辆队列规模的输入时延上界。
(3) 通过分析BLF拓扑下车辆队列PID控制系统的误差传递函数，推导了系统的队列稳定性条件。
(4) 由于车间通信信号波动以及车载传感器功率变化，不同车辆间信息交互的时延均不同，从而导致产生多时延[14-15]，因此，在下一步的工作中可研究多时延影响下的车辆队列控制系统的稳定性问题。
(5) 时延影响下控制系统的参数优化问题旨在通过调节控制增益，提高系统响应速度以及增强时延鲁棒性[35-36]。在下一步的工作中，针对时延影响下的PID控制系统，可开展参数优化相关的研究。
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图 4 试验2中车辆队列各个子系统的时延边界
Figure 4. Time delay margins of subsystems of vehicle platoon in Example 2
图 5 试验2中车辆队列的时延边界与时延谱域
Figure 5. Time delay margins and spectral domains of vehicle platoon in Example 2
图 6 试验2中点a处车辆队列的位置误差和速度
Figure 6. Spacing errors and velocities of vehicle platoon at point a in Example 2
图 7 试验2中点b处车辆队列的位置误差和速度
Figure 7. Spacing errors and velocities of vehicle platoon at point b in Example 2
图 8 试验2中点c处车辆队列的位置误差和速度
Figure 8. Spacing errors and velocities of vehicle platoon at point c in Example 2
图 9 试验3中车辆队列的状态与位置误差
Figure 9. States and spacing errors of vehicle platoon in Example 3
图 10 试验4中车辆队列的状态与位置误差
Figure 10. States and spacing errors of vehicle platoon in Example 4
图 11 试验5中车辆队列的状态与位置误差
Figure 11. States and spacing errors of vehicle platoon in Example 5
表 1 车辆队列参数和分布式PID控制器参数
Table 1. Parameters of vehicle platoon and distributed PID controller
η/s d0/m kb kf kl kPr kPv kPa kIr kIv kIa kDr kDv kDa 0.79 50 0.794 0.026 1.000 1.300 3.800 1.293 0.907 0.221 0.197 0.213 0.047 0.051 
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1. Parameters of vehicle platoon and distributed PID controller
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