铁道车辆LZ50车轴钢的概率机械性能

赵永翔; 黄郁仲; 高庆

摘要: 完成了铁道车辆LZ5 0车轴钢的概率机械性能试验研究, 拓宽了确定有限疲劳可靠性数据良好假设分布的统一方法, 比较了6种常用分布(即三参数Weibull、两参数Weibull、正态、对数正态、极大值和极小值分布)对试验数据的描述效果, 综合分析了他们的拟合优度、失效机理的一致性和尾部预测的安全性。从预测的安全性角度, 选择了极小值分布为最佳统计模型, 提出了给定可靠度和置信度下基于极小值分布的机械性能参数估计方法, 并有效地估计了材料的概率机械性能参数。

关键词:

Abstract: Experimental study on the probabilistic mechanical properties was performed on the LZ50 axle steel for railway vehicles.The unified approach for determining appropriate statistical models of the limited fatigue reliability data was developed to analyze the present test data.The six commonly used distributions, namely three parameter Weibull, two parameter Weibull, normal, lognormal, extreme maximum value, and extreme minimum value, were compared in fits of the data from the three considerations of goodness-of-fit, consistency of failure mechanism and safety in tail region predictions.From the viewpoint of safety, the extreme minimum value distribution was selected as an optimal model of the data.A method based on this distribution was proposed for the estimation of mechanical properties under given reliability and confidence levels.The method has been well used for the estimation of probabilistic parameters of the mechanical properties of the present material.

Key words:

理论与实践证明, 可靠性法是考虑各种不确定性因素, 给出合理的应力或强度指标的有效方法。自1947年Freudenthal发表了世界上第一篇结构可靠性分析文章后^[1], 结构静强度和无限寿命疲劳强度度可靠性分析^[2-3]、基于P-S-N曲线的有限疲劳寿命可靠性分析^[3-4]和基于P-da/dN-ΔK曲线的概率损伤容限分析^[5]已较为成熟。然而, 包括静强度在内的强度设计分析尚未纳入规范^[6]。尽管车辆结构服役环境较为复杂, 但探索其可靠性分析或与可靠性分析相结合的方法, 安全合理地进行结构设计分析, 是具有重要工程价值与理论意义的工作。

概率机械性能是结构静强度可靠性设计分析的基础, 尽管结构设计分析中常常接触机械性能, 但从可靠性角度详细给予表征的报道尚很少见。同时, 铁道车辆车轴材料的性能倍受世人关注^[7-8], 目前, 对LZ50车轴钢尚无较为全面的力学性能研究。本文在试验基础上, 研究该材料的机械性能及其概率表征方法。

1. 材料与试验

轴坯材料LZ50钢来自宝钢(样品号254-1), 出厂检验表明, 材料的点偏析、中心疏松、段疏松级别分别为0.5、0.5和1.0, 无方偏析和枝晶现象; 氧化物、硫化物和晶粒度分别为0.5、0.5和7.5级。进一步在重庆达江信达锻造厂经过860℃、保温2.5 h和800℃、保温2.5 h的两次正火处理, 以及570℃、保温1.5 h的回火处理, 晶粒度达到8级。化学成分如表 1所示, 符合规范要求^[9]。相对来说, 在现有的车轴材料中, LZ50钢具有更为严格的制造工艺与材料化学成分要求。

表 1 LZ50车轴钢的化学成分

Table 1. Chemical composition of the LZ50 axle steel / %

C	Si	Mn	Cr	Ni	Cu	Al	P	S
0.470	0.260	0.780	0.020	0.028	0.150	0.021	< 0.014	< 0.007

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轴坯经切割成条后加工成图 1所示直径10 mm光滑圆棒试样。单调拉伸试验在岛津材料试验机上进行, 试验结果见表 2, 机械性能的均值、均方差和变异系数见表 3。从表中可知, 所有指标都较好地满足了要求; 值得注意的是, 屈服强度时的应变达0.37%左右, 与常规屈服强度0.2%的定义相差较远, 说明材料的延韧性较好, 同时也说明在结构强度分析评价中, 应尽可能采用真实材料数据。

图 1 单调拉伸试验试样

Figure 1. Tensional specimen

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表 2 LZ50车轴钢的机械性能试验结果

Table 2. Test results of the mechanical properties of LZ50 axle steel

试样序号	弹性模量E/GPa	名义屈服强度S_s/MPa	名义屈服应变e_s/%	名义强度极限S_b/MPa	名义应变极限e_b/%	真屈服强度σ_s/MPa	真屈服应变ε_s/%	真强度极限σ_b/MPa	真应变极限ε_b/MPa	延伸率δ/%	断面收缩率ψ/%
1	209.82	319.58	0.364	627.71	54.688	320.74	0.3633	970.99	43.624	23.80	42.84
2	195.88	328.49	0.376	635.35	50.778	329.73	0.3753	957.97	41.064	23.60	41.81
3	216.65	332.37	0.368	632.79	52.714	333.59	0.3673	966.36	42.340	23.90	42.16
4	191.85	336.21	0.376	636.62	53.288	337.47	0.3753	975.86	42.715	23.62	40.78
5	221.16	331.09	0.352	625.12	54.204	332.26	0.3514	963.96	43.311	25.68	41.13
6	224.11	333.65	0.360	628.95	53.598	334.85	0.3594	966.05	42.917	24.54	43.19
7	222.16	325.98	0.352	623.84	54.186	327.13	0.3514	961.87	43.299	25.38	40.78
8	198.92	333.65	0.384	634.06	53.960	334.93	0.3833	976.20	43.152	24.62	42.50
9	194.75	329.81	0.392	621.28	53.772	331.10	0.3912	955.35	43.030	24.04	40.81
10	222.16	328.54	0.360	623.84	52.912	329.72	0.3594	953.93	42.469	24.92	43.19

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表 3 LZ50车轴钢的机械性能的均值X_m、均方差S_x和变异系数V_x

Table 3. Average values X_m, standard deviations S_xand variations coefficient V_xof the mechanical properties of LZ50 axle steel

参数	弹性模量E/GPa	名义屈服强度S_s/MPa	名义屈服应变e_s/%	名义强度极限S_b/MPa	名义应变极限e_b/%	真屈服强度σ_s/MPa	真屈服应变ε_s/%	真强度极限σ_b/MPa	真应变极限ε_b/MPa	延伸率δ/%	断面收缩率ψ/%
X_m	209.75	329.94	0.3684	628.96	53.41	331.15	0.3677	964.85	42.79	24.41	41.92
S_x	13.1111	4.7277	0.0134	5.4559	1.1060	4.7574	0.0133	7.8738	0.7243	0.7397	0.9963
V_x	0.0625	0.0143	0.0364	0.0087	0.0207	0.0144	0.0363	0.0082	0.0169	0.0303	0.0238

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2. 方法

2.1 “有限数据”的概念

疲劳可靠性的工程实践范围一般为可靠度或存活概率大于0.99。2001年Mencik^[9]将一组小于50个数据的样本称为“小子样”。1998年文献[10]的研究结果表明, 达到存活概率0.99所需一组试样的数量, 按平均秩计算为50个, 按中位秩计算则需要69个。

由于统计分布的选择或确定是随机可靠性分析的基础之一, 对于一组小于50的样本问题, 现有研究一般从统计学上的“小子样”概念出发, 仅考虑数学自洽性, 即拟合效果最佳。如Tanaka等人^[11]和Baldwin-Thacker^[12]在选择三参数Weibull分布为疲劳寿命的统计分布模型时, 仅考虑了总体拟合效果, 殊不知在他们自己对数据的统计分析结果中, 三参数Weibull分布的形状参数在0.5~10之间, 一旦小于1意味着失效率随着疲劳循环数增加而下降, 不符合疲劳失效机理。由此可见, 数学上的最佳, 不一定在工程上有效。

作者等在有关问题的实践与研究中, 逐渐认识到^[13]: 统计学上的“小子样”与实践相结合时, 应当在统计学的基础上有所拓展, 才能解决实际问题。由此, 同时考虑数学自洽性、数理一致性和工程有效性, 将统计学上的“小子样”拓展为工程上的“有限数据”概念, 并进一步提出了相关方法。

2.2 方法简介

数学自洽性即数学上的最佳拟合性。1982年美国土木工程师协会结构可靠性与安全分会疲劳与断裂委员会的总结指出^[13]: 在一般工程实践中, 由于样本少, 只能采用假设分布从比较的角度进行分析。为实现可比的目的, 作者等^[14]发展适于常用7种统计分布(即三参数Weibull、两参数Weibull、正态、对数正态、极大值、极小值和指数分布)参数测定与统计推断的统一线性回归方法。统计检验的依据是, 分布的线性化方程对试验数据的线性拟合相关系数r_XY, 应当大于与置信度和样本数相关的临界值r_c

$r_{c} = \frac{t_{α / 2} (n - 2)}{\sqrt{n - 2 + t_{α / 2}^{2} (n - 2)}} (1)$

式中: t是置信度C=(1-a)×100%下自由度为n-2的t分布函数。统计分布对试验数据的拟合效果, 由分布对概率的预测值与试验值(依据试验数据的中位秩值)间相关系数r的大小来判断, 通过比较来评价。相关系数r由下式计算

$r = \frac{L_{Ρ_{t h} Ρ_{e m}}}{\sqrt{L_{Ρ_{t h} Ρ_{t h}} L_{Ρ_{e m} Ρ_{e m}}}} (2)$

式中: P_th、P_em分别为分布对概率的预测值与试验值; L_{P_thP_em}、L_{P_thP_th}、L_{P_emP_em}分别定义为

$\begin{array}{l} L_{Ρ_{t h} Ρ_{e m}} = (\sum_{i = 1}^{n} Ρ_{t h i} - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Ρ_{t h i}) (\sum_{i = 1}^{n} Ρ_{e m i} - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Ρ_{e m i}) (3) \\ L_{Ρ_{t h} Ρ_{t h}} = (\sum_{i = 1}^{n} Ρ_{t h i} - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Ρ_{t h i})^{2} (4) \\ L_{Ρ_{e m} Ρ_{e m}} = (\sum_{i = 1}^{n} Ρ_{e m i} - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Ρ_{e m i})^{2} (5) \end{array}$

(1) 数理一致性, 即预测失效率与累积损伤失效机制的一致性。极大值和极小值分布恒随载荷水平增加而增加, 符合强度失效的实际物理机制; 正态和对数正态分布在中低载荷水平增加, 在高载荷水平会出现下降现象, 但因不是工程应用范围, 不会因此影响应用; 三参数Weibull和两参数Weibull分布, 当形状参量大于1, 随载荷水平增加而增加, 而当小于1, 则随载荷水平增加而下降, 出现这一情况则不宜采用; 指数分布为恒量, 不宜应用。

(2) 工程有效性, 即满足工程对安全性的要求, 尤其在“有限数据”下, 从偏安全的角度选择统计分布模型。在试验数据没有工程应用可靠度大于0.99范围的情况下, 作者等探索了通过判断尾部预计趋势来评价尾部预计安全性的方法, 即定义两个反映预计误差的参量d_F1和d_F2, 对于左尾部问题, 分别表示一组数据中最小两个数据x₁和x₂的概率经验值与预测值之差

$\begin{array}{l} d_{F 1} = Ρ_{e m} (x_{1}) - Ρ_{t h} (x_{1}) = \frac{1 - 0.3}{n + 0.4} - Ρ_{t h} (x_{1}) (6) \\ d_{F 2} = Ρ_{e m} (x_{2}) - Ρ_{t h} (x_{2}) = \frac{2 - 0.3}{n + 0.4} - Ρ_{t h} (x_{2}) (7) \end{array}$

对于右尾部问题, 表示一组数据中最大两个数据x_n和x_n-1的概率经验值与预测值之差

$\begin{array}{l} d_{F 1} = Ρ_{e m} (x_{n}) - Ρ_{t h} (x_{n}) = \frac{n - 0.3}{n + 0.4} - Ρ_{t h} (x_{n}) (8) \\ d_{F 2} = Ρ_{e m} (x_{n - 1}) - Ρ_{t h} (x_{n - 1}) = \frac{n - 1.3}{n + 0.4} - Ρ_{t h} (x_{n - 1}) (9) \end{array}$

|d_F|越小, 预测误差越小。当d_F1 < d_F2, 预示着有偏于保守的趋势; 如果d_F1 < 0, 则肯定当x < x₁或x > x_n时将偏保守。相反, 当d_F1 > d_F2, 预示着有偏于危险的趋势; 如果d_F1 > 0, 则肯定当x < x₁或x > x_n将给出偏于危险的估计。

在实践中, 可综合诸因素, 也可从某一角度选择自己满意的统计分布模型。无论选择结果如何, 系统地完成以上分析, 做到“心中有数”, 对可靠性实践也是有益的。

以上方法由作者等人在探索疲劳寿命^[15-16]、随机循环应力幅^[17]和短裂纹^[18-19]等数据的统计模型的基础上, 逐步发展起来^[20], 它为疲劳强度的可靠性统计分布模型的确定与选择, 提供了一个参考工具, 或许还有其它更好的方法。这里将其拓展用于机械性能的分析。

3. 分析

本文选用LZ50钢机械性能数据, 每组数据样本量为10和8, 属于“有限数据”, 下面介绍应用前述方法的分析情况。

3.1 统计推断

因为指数分布的失效率为恒量, 不宜应用于机械强度数据的分析。下面分析其余6种分布模型, 即三参数Weibull、两参数Weibull、正态、对数正态、极大值和极小值分布, 对试验数据的拟合情况。

应用线性回归法, 得到6种分布拟合试验数据的分布参量见表 4, 相关系数r与线性拟合相关系数r_XY见表 5。在置信度95%下, 样本量为10时通过检验的线性相关系数临界值r_c为0.6319。从表中可知, 6种分布都通过了统计检验。由此可见, 如果不考虑其它因素, 选择任何一种分布都是合理的。

6种统计分布对典型数据的拟合效果见图 2。从图中可知, 虽然6种分布都通过了统计检验, 但局部拟合效果还是存在明显差异。

3.2 统计模型

比较表 5中相关系数r值的大小, 可得各分布拟合数据的总体优度排序为三参数Weibull、对数正态、两参数Weibull、正态、极小值和极大值分布。其中, 前4种很接近, 后2种稍差。

从表 4中各分布的统计参量和图 2可知, 除正态和对数正态分布在机械性能参量大值范围出现失效率随参量增加而减小的情况此之外, 在其它范围包括工程实践的机械性能小值范围, 所有分布的失效率都随机械性能参量的增加而增加, 这与生产中的实际情况相符。所以, 可以这样说, 各分布可以反映材料的失效机理。

图 2 6种分布对名义屈服强度的描述效果

Figure 2. Effects of the six distributions fitting into the nominal yielding strength data

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表 6为6种分布拟合机械性能两个尾部数据概率预测值与试验值的误差参量d_F1和d_F2。从表中可知, 三参数Weibull对6个机械性能出现d_F1 > d_F2, 对它们的预测, 具有偏于危险的趋势; 两参数Weibull、正态和对数正态分布有4组。而极小值和极大值分布对所有参量的预测趋势偏于安全。同时各分布在尾部的拟合优度很相近。

因此, 综合考虑对试验数据的拟合优度与失效机制的一致性和尾部预测的安全性三因素, 选择LZ50车轴钢机械性能的最佳统计模型有2种方案:

(1) 偏重总体优度, 兼顾考虑尾部预测安全性, 则最佳分布是对数正态分布, 或两参数Weibull, 或正态分布。

(2) 偏重尾部预测的安全性, 则最佳分布是极小值分布, 或极大值分布。

表 4 6种统计分布拟合试验数据的参量点估计值

Table 4. Point estimations for the statistical parameters of the six commonly used distributions fitting into the test data

机械性能	三参数Weibull			两参数Weibull		正态		对数正态		极大值		极小值
机械性能	P_L	P_S	m	P_S	m	P_L	P_S	P_L	P_S	P_L	P_S	P_L	P_S
弹性模量E/GPa	190.15	22.7898	1.0174	216.08	16.5808	209.75	15.2991	2.3209	0.0320	216.32	12.5608	202.93	13.0381
名义屈服强度S_s/MPa	0	332.18	76.0653	332.18	76.0654	329.94	5.3935	2.5184	0.0072	332.19	4.3059	327.50	4.6523
名义屈服应变e_s/%	0.3450	0.0270	1.6395	0.3749	29.1408	0.3684	1.4958	-0.4339	0.0175	0.3751	0.0128	0.3620	0.0122
名义强度极限S_b/MPa	618.94	11.5880	1.6592	631.62	122.80	628.96	6.1155	2.7986	0.0042	631.64	5.1265	626.30	5.0793
名义应变极限e_b/%	0	53.9484	51.1501	53.9484	51.1501	53.4100	1.3105	1.7275	0.0108	53.9472	1.0269	52.8078	1.1512
真屈服强度σ_s/MPa	0	333.41	75.8973	333.41	75.8973	331.15	5.4246	2.5200	0.0072	333.42	4.3313	328.71	4.6784
真屈服应变ε_s/%	0.3450	0.0262	1.5771	0.3742	29.2170	0.3677	1.4892	-0.4347	0.0175	0.3744	0.0127	0.3614	0.0121
真强度极限σ_b/MPa	949.51	17.7105	1.7932	968.67	131.69	964.85	8.7551	2.9845	0.0039	968.69	7.3350	961.06	7.2603
真应变极限ε_b/MPa	0	43.1449	62.7053	43.1449	62.7053	42.7921	0.8596	1.6313	0.0089	43.1442	0.6732	42.3968	0.7556
延伸率δ/%	23.5450	0.9491	0.8855	24.7765	34.1600	24.4100	0.8366	1.3874	0.0148	24.7874	0.7214	24.0568	0.6751
断面收缩率ψ/%	40.2600	1.9369	1.4248	42.4140	43.6200	41.9190	1.1416	1.6223	0.0118	42.4221	0.9613	41.4230	0.9481

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表 5 6种统计分布拟合试验数据相关系数r与线性相关系数r_XY

Table 5. Relationship coefficient r and linear relationship coefficient r_XYof the six distributions fitting into the test data

机械性能	三参数Weibull		两参数Weibull		正态		对数正态		极大值		极小值
机械性能	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY
弹性模量E/GPa	0.9660	0.9619	0.9550	0.9374	0.9509	0.9368	0.9498	0.9360	0.9403	0.9019	0.9556	0.9361
名义屈服强度S_s/MPa	0.9881	0.9837	0.9881	0.9837	0.9735	0.9581	0.9721	0.9560	0.9429	0.9114	0.9887	0.9847
名义屈服应变e_s/%	0.9893	0.9739	0.9692	0.9448	0.9842	0.9787	0.9852	0.9802	0.9883	0.9875	0.9670	0.9411
名义强度极限S_b/MPa	0.9841	0.9836	0.9690	0.9550	0.9795	0.9752	0.9796	0.9753	0.9797	0.9633	0.9687	0.9545
名义应变极限e_b/%	0.9739	0.9630	0.9739	0.9630	0.9484	0.9226	0.9447	0.9180	0.9055	0.8617	0.9763	0.9659
真屈服强度σ_s/MPa	0.9885	0.9841	0.9885	0.9841	0.9738	0.9586	0.9723	0.9564	0.9429	0.9120	0.9890	0.9851
真屈服应变ε_s/%	0.9891	0.9736	0.9690	0.9447	0.9840	0.9786	0.9851	0.9801	0.9882	0.9874	0.9668	0.9411
真强度极限σ_b/MPa	0.9899	0.9875	0.9765	0.9634	0.9903	0.9830	0.9904	0.9832	0.9866	0.9726	0.9760	0.9627
真应变极限ε_b/MPa	0.9736	0.9625	0.9736	0.9625	0.9471	0.9210	0.9441	0.9173	0.9037	0.8597	0.9755	0.9649
延伸率δ/%	0.9874	0.9809	0.9586	0.9224	0.9755	0.9664	0.9765	0.9678	0.9827	0.9826	0.9567	0.9196
断面收缩率ψ/%	0.9675	0.9363	0.9720	0.9297	0.9726	0.9540	0.9723	0.9537	0.9631	0.9424	0.9717	0.9291

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3.3 概率机械性能参量

从偏于安全角度, 选择极小值分布作为LZ50钢概率机械性能参量的最佳模型。机械性能参量X服从极小值分布时, 可靠度R与X间存在如下关系

$R = \exp [- \exp (\frac{X - Ρ_{L}}{Ρ_{s}})] (10)$

式中: P_L和P_s分别为极小值分布的位置和尺度参量。式(10)两边取自然对数变换两次, 可得线性方程

$\ln [\ln (\frac{1}{R})] = - \frac{Ρ_{L}}{Ρ_{s}} + \frac{1}{Ρ_{s}} X (11)$

假设该概率直线拟合试验数据的误差服从正态分布, 则置信度C下的概率曲线可近似表示为

$\begin{array}{l} \ln [\ln (\frac{1}{R})] \approx - \frac{Ρ_{L}}{Ρ_{s}} + \frac{1}{Ρ_{s}} X + \\ t_{1 - C} (n - 2) s \sqrt{1 + \frac{1}{n}} (12) \end{array}$

式中: n为机械性能参量试验数据的个数; t_1-C(n-2)为自由度n-2、概率等于1-C下的t分布; s为线性方程拟合试验数据的残差。变换式(12), 给定可靠度R和置信度C下的机械性能参量计算公式为

$\begin{array}{l} X = Ρ_{L} + Ρ_{s} \ln [\ln (\frac{1}{R})] - \\ Ρ_{s} t_{1 - C} (n - 2) s \sqrt{1 + \frac{1}{n}} (13) \end{array}$

表 7为试验数据常见置信度水平下的t_1-C(n-2)值; 表 8是极小值分布拟合LZ50钢机械性能数据的位置参量、尺度参量和线性拟合残差; 表 9是若干常用可靠度和置信度水平下的LZ50钢的概率机械性能参量。

表 6 6种统计分布拟合两个尾部数据时的概率预测值与试验值误差参量d_F1和d_F2

Table 6. Errors d_F1and d_F2between the experimental values and the predictions of six commonly used distributions to the minimum and sub-minimum data

机械性能	三参数Weibull		两参数Weibull		正态		对数正态		极大值		极小值
机械性能	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2
弹性模量E/GPa	-0.00150	-0.01477	-0.06258	0.00005	-0.0537	-0.00004	-0.05027	0.00076	-0.0292	0.06698	-0.06557	0.03058
名义屈服强度S_s/MPa	0.01592	-0.04865	0.01592	-0.04865	0.03990	-0.06812	0.04041	-0.07044	0.06318	-0.15934	0.01523	0.11139
名义屈服应变e_s/%	-0.03624	0.05991	-0.08050	0.01565	-0.06914	0.02701	-0.06515	0.03100	-0.03475	0.06141	-0.08392	0.01223
名义强度极限S_b/MPa	-0.00085	-0.05004	-0.05613	-0.03265	-0.03740	-0.03796	-0.03653	-0.03787	-0.00084	0.09532	-0.05688	0.03928
名义应变极限e_b/%	0.02317	-0.10019	0.02317	-0.10019	0.04500	-0.13421	0.04529	-0.13916	0.06427	0.16053	0.02266	0.11881
真屈服强度σ_s/MPa	-0.03505	0.06111	0.01585	-0.04685	0.03984	-0.06575	-0.06512	0.03104	0.06317	0.15932	0.01516	0.11131
真屈服应变ε_s/%	0.01585	-0.04685	-0.08048	0.01568	-0.06910	0.02705	0.04036	-0.06806	-0.03470	0.06146	0.08389	0.01227
真强度极限σ_b/MPa	-0.01233	0.03563	-0.05708	0.01426	-0.03876	0.02462	-0.03792	0.02523	-0.00205	0.09410	-0.05781	0.03834
真应变极限ε_b/MPa	0.02325	-0.10089	0.02325	-0.10089	0.04511	-0.13560	0.04533	-0.14005	0.06439	0.16054	0.02284	0.11899
延伸率δ/%	-0.02159	0.05211	-0.10555	-0.01399	-0.09917	-0.00910	-0.09617	-0.00623	-0.07250	0.02360	-0.10807	-0.01192
断面收缩率ψ/%	-0.07505	0.02110	-0.09760	-0.00140	-0.09190	0.00426	-0.09090	0.00529	-0.07210	0.02406	-0.09853	-0.00238

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表 7 LZ50钢机械性能试验数据的t_1-C(n-2)函数值

Table 7. t_1-C(n-2) function values for the test data of LZ50 axle steel at given confidence level C

n-2	C/%
n-2	90.0	95.0	97.5	99.0	99.5
8	1.3968	1.8595	2.3060	2.8965	3.3554

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表 8 极小值分布拟合LZ50钢机械性能数据的位置参量P_L、尺度参量P_s和线性拟合残差s

Table 8. Location parameter P_L, scale parameter P_sand residual standard deviation s of the extreme minimum value distribution fitting into the test data of mechanical properties of LZ50 axle steel

参数	弹性模量E/GPa	名义屈服强度S_s/MPa	名度屈服应变e_s/%	名义强度极限S_b/MPa	名度应变极限e_b/%	真屈服强度σ_s/MPa	真屈服应变ε_s/%	真强度极限σ_b/MPa	真应变极限ε_b/MPa	延伸率δ/%	断面收缩率ψ/%
P_L	202.93	327.50	0.3620	626.30	52.8078	328.71	0.3614	961.06	42.3968	24.0568	41.4230
P_s	13.0381	4.6523	0.0122	5.0793	1.1512	4.6784	0.0121	7.2603	0.7556	0.6751	0.9481
s	0.4159	0.2061	0.3998	0.3528	0.3062	0.2036	0.4000	0.3200	0.3105	0.4647	0.4374

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表 9 可靠度R和置信度C水平下铁道车辆LZ50车轴钢的概率机械性能参量

Table 9. Probabilistic mechanical properties of the LZ50 axle steel for railway vehicles at given reliabilites and confidences

R	0.500			0.900			0.990			0.999
C/%	90	95	99	90	95	99	90	95	99	90	95	99
弹性模量E/GPa	190.207	187.576	181.678	165.646	163.014	157.116	135.009	132.377	126.480	104.928	102.297	96.3993
名义屈服强度S_s/MPa	324.390	323.925	322.882	315.626	315.161	314.1128	304.694	304.229	303.186	293.961	293.495	292.452
名义屈服应变e_s/%	0.35038	0.34802	0.34271	0.32740	0.32503	0.31973	0.29873	0.29637	0.29106	0.27059	0.26822	0.26291
名义强度极限S_b/MPa	621.813	620.944	618.995	612.244	611.375	609.426	600.309	599.440	597.491	588.591	587.721	585.772
名义应变极限e_b/%	51.8695	51.6984	51.3150	49.7008	49.5297	49.1463	46.9957	46.8246	46.4413	44.3398	44.1687	43.7853
真屈服强度σ_s/MPa	325.600	325.138	324.102	316.786	316.324	315.288	305.793	305.331	304.295	295.000	294.537	293.501
真屈服应变ε_s/%	0.34988	0.34753	0.34226	0.32708	0.32473	0.31947	0.29865	0.29630	0.29104	0.27073	0.26838	0.26312
真强度极限σ_b/MPa	954.995	953.868	951.341	941.318	940.191	937.664	924.258	923.130	920.604	907.508	906.380	903.853
真应变极限ε_b/MPa	41.7762	41.6623	41.4071	40.3527	40.2389	39.9837	38.5772	38.4634	38.2082	36.8340	36.7201	36.4649
延伸率δ/%	23.3498	23.1975	22.8563	22.0780	21.9257	21.5845	20.4916	20.3394	19.0082	18.9341	18.7819	18.4407
断面收缩率ψ/%	40.4680	40.2667	39.8157	38.6819	38.4807	38.0296	36.4541	36.2528	35.8081	34.2667	34.0654	33.6144

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4. 结语

(1) 拓展赵永翔等提出的确定有限疲劳可靠性数据良好假设分布的统一方法, 到机械性能数据分析, 完成了LZ50车轴钢的概率机械性能试验研究。

(2) 考虑总体拟合优度与失效机制的一致性和尾部预测的安全性三要素, 比较了6种常用统计分布对试验数据的描述效果。

(3) 从偏重尾部预测的安全性角度, 选择了极小值分布作为LZ50车轴钢机械性能的良好统计分布, 提出了给定可靠度和置信度下基于极小值分布的机械性能参数估计方法, 并有效估计了LZ50车轴钢的概率机械性能参数。

图 1 单调拉伸试验试样

Figure 1. Tensional specimen

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图 2 6种分布对名义屈服强度的描述效果

Figure 2. Effects of the six distributions fitting into the nominal yielding strength data

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表 1 LZ50车轴钢的化学成分

Table 1. Chemical composition of the LZ50 axle steel / %

C	Si	Mn	Cr	Ni	Cu	Al	P	S
0.470	0.260	0.780	0.020	0.028	0.150	0.021	< 0.014	< 0.007

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表 2 LZ50车轴钢的机械性能试验结果

Table 2. Test results of the mechanical properties of LZ50 axle steel

试样序号	弹性模量E/GPa	名义屈服强度S_s/MPa	名义屈服应变e_s/%	名义强度极限S_b/MPa	名义应变极限e_b/%	真屈服强度σ_s/MPa	真屈服应变ε_s/%	真强度极限σ_b/MPa	真应变极限ε_b/MPa	延伸率δ/%	断面收缩率ψ/%
1	209.82	319.58	0.364	627.71	54.688	320.74	0.3633	970.99	43.624	23.80	42.84
2	195.88	328.49	0.376	635.35	50.778	329.73	0.3753	957.97	41.064	23.60	41.81
3	216.65	332.37	0.368	632.79	52.714	333.59	0.3673	966.36	42.340	23.90	42.16
4	191.85	336.21	0.376	636.62	53.288	337.47	0.3753	975.86	42.715	23.62	40.78
5	221.16	331.09	0.352	625.12	54.204	332.26	0.3514	963.96	43.311	25.68	41.13
6	224.11	333.65	0.360	628.95	53.598	334.85	0.3594	966.05	42.917	24.54	43.19
7	222.16	325.98	0.352	623.84	54.186	327.13	0.3514	961.87	43.299	25.38	40.78
8	198.92	333.65	0.384	634.06	53.960	334.93	0.3833	976.20	43.152	24.62	42.50
9	194.75	329.81	0.392	621.28	53.772	331.10	0.3912	955.35	43.030	24.04	40.81
10	222.16	328.54	0.360	623.84	52.912	329.72	0.3594	953.93	42.469	24.92	43.19

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表 3 LZ50车轴钢的机械性能的均值X_m、均方差S_x和变异系数V_x

Table 3. Average values X_m, standard deviations S_xand variations coefficient V_xof the mechanical properties of LZ50 axle steel

参数	弹性模量E/GPa	名义屈服强度S_s/MPa	名义屈服应变e_s/%	名义强度极限S_b/MPa	名义应变极限e_b/%	真屈服强度σ_s/MPa	真屈服应变ε_s/%	真强度极限σ_b/MPa	真应变极限ε_b/MPa	延伸率δ/%	断面收缩率ψ/%
X_m	209.75	329.94	0.3684	628.96	53.41	331.15	0.3677	964.85	42.79	24.41	41.92
S_x	13.1111	4.7277	0.0134	5.4559	1.1060	4.7574	0.0133	7.8738	0.7243	0.7397	0.9963
V_x	0.0625	0.0143	0.0364	0.0087	0.0207	0.0144	0.0363	0.0082	0.0169	0.0303	0.0238

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表 4 6种统计分布拟合试验数据的参量点估计值

Table 4. Point estimations for the statistical parameters of the six commonly used distributions fitting into the test data

机械性能	三参数Weibull			两参数Weibull		正态		对数正态		极大值		极小值
机械性能	P_L	P_S	m	P_S	m	P_L	P_S	P_L	P_S	P_L	P_S	P_L	P_S
弹性模量E/GPa	190.15	22.7898	1.0174	216.08	16.5808	209.75	15.2991	2.3209	0.0320	216.32	12.5608	202.93	13.0381
名义屈服强度S_s/MPa	0	332.18	76.0653	332.18	76.0654	329.94	5.3935	2.5184	0.0072	332.19	4.3059	327.50	4.6523
名义屈服应变e_s/%	0.3450	0.0270	1.6395	0.3749	29.1408	0.3684	1.4958	-0.4339	0.0175	0.3751	0.0128	0.3620	0.0122
名义强度极限S_b/MPa	618.94	11.5880	1.6592	631.62	122.80	628.96	6.1155	2.7986	0.0042	631.64	5.1265	626.30	5.0793
名义应变极限e_b/%	0	53.9484	51.1501	53.9484	51.1501	53.4100	1.3105	1.7275	0.0108	53.9472	1.0269	52.8078	1.1512
真屈服强度σ_s/MPa	0	333.41	75.8973	333.41	75.8973	331.15	5.4246	2.5200	0.0072	333.42	4.3313	328.71	4.6784
真屈服应变ε_s/%	0.3450	0.0262	1.5771	0.3742	29.2170	0.3677	1.4892	-0.4347	0.0175	0.3744	0.0127	0.3614	0.0121
真强度极限σ_b/MPa	949.51	17.7105	1.7932	968.67	131.69	964.85	8.7551	2.9845	0.0039	968.69	7.3350	961.06	7.2603
真应变极限ε_b/MPa	0	43.1449	62.7053	43.1449	62.7053	42.7921	0.8596	1.6313	0.0089	43.1442	0.6732	42.3968	0.7556
延伸率δ/%	23.5450	0.9491	0.8855	24.7765	34.1600	24.4100	0.8366	1.3874	0.0148	24.7874	0.7214	24.0568	0.6751
断面收缩率ψ/%	40.2600	1.9369	1.4248	42.4140	43.6200	41.9190	1.1416	1.6223	0.0118	42.4221	0.9613	41.4230	0.9481

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表 5 6种统计分布拟合试验数据相关系数r与线性相关系数r_XY

Table 5. Relationship coefficient r and linear relationship coefficient r_XYof the six distributions fitting into the test data

机械性能	三参数Weibull		两参数Weibull		正态		对数正态		极大值		极小值
机械性能	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY	r	r_XY
弹性模量E/GPa	0.9660	0.9619	0.9550	0.9374	0.9509	0.9368	0.9498	0.9360	0.9403	0.9019	0.9556	0.9361
名义屈服强度S_s/MPa	0.9881	0.9837	0.9881	0.9837	0.9735	0.9581	0.9721	0.9560	0.9429	0.9114	0.9887	0.9847
名义屈服应变e_s/%	0.9893	0.9739	0.9692	0.9448	0.9842	0.9787	0.9852	0.9802	0.9883	0.9875	0.9670	0.9411
名义强度极限S_b/MPa	0.9841	0.9836	0.9690	0.9550	0.9795	0.9752	0.9796	0.9753	0.9797	0.9633	0.9687	0.9545
名义应变极限e_b/%	0.9739	0.9630	0.9739	0.9630	0.9484	0.9226	0.9447	0.9180	0.9055	0.8617	0.9763	0.9659
真屈服强度σ_s/MPa	0.9885	0.9841	0.9885	0.9841	0.9738	0.9586	0.9723	0.9564	0.9429	0.9120	0.9890	0.9851
真屈服应变ε_s/%	0.9891	0.9736	0.9690	0.9447	0.9840	0.9786	0.9851	0.9801	0.9882	0.9874	0.9668	0.9411
真强度极限σ_b/MPa	0.9899	0.9875	0.9765	0.9634	0.9903	0.9830	0.9904	0.9832	0.9866	0.9726	0.9760	0.9627
真应变极限ε_b/MPa	0.9736	0.9625	0.9736	0.9625	0.9471	0.9210	0.9441	0.9173	0.9037	0.8597	0.9755	0.9649
延伸率δ/%	0.9874	0.9809	0.9586	0.9224	0.9755	0.9664	0.9765	0.9678	0.9827	0.9826	0.9567	0.9196
断面收缩率ψ/%	0.9675	0.9363	0.9720	0.9297	0.9726	0.9540	0.9723	0.9537	0.9631	0.9424	0.9717	0.9291

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表 6 6种统计分布拟合两个尾部数据时的概率预测值与试验值误差参量d_F1和d_F2

Table 6. Errors d_F1and d_F2between the experimental values and the predictions of six commonly used distributions to the minimum and sub-minimum data

机械性能	三参数Weibull		两参数Weibull		正态		对数正态		极大值		极小值
机械性能	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2	d_F1	d_F2
弹性模量E/GPa	-0.00150	-0.01477	-0.06258	0.00005	-0.0537	-0.00004	-0.05027	0.00076	-0.0292	0.06698	-0.06557	0.03058
名义屈服强度S_s/MPa	0.01592	-0.04865	0.01592	-0.04865	0.03990	-0.06812	0.04041	-0.07044	0.06318	-0.15934	0.01523	0.11139
名义屈服应变e_s/%	-0.03624	0.05991	-0.08050	0.01565	-0.06914	0.02701	-0.06515	0.03100	-0.03475	0.06141	-0.08392	0.01223
名义强度极限S_b/MPa	-0.00085	-0.05004	-0.05613	-0.03265	-0.03740	-0.03796	-0.03653	-0.03787	-0.00084	0.09532	-0.05688	0.03928
名义应变极限e_b/%	0.02317	-0.10019	0.02317	-0.10019	0.04500	-0.13421	0.04529	-0.13916	0.06427	0.16053	0.02266	0.11881
真屈服强度σ_s/MPa	-0.03505	0.06111	0.01585	-0.04685	0.03984	-0.06575	-0.06512	0.03104	0.06317	0.15932	0.01516	0.11131
真屈服应变ε_s/%	0.01585	-0.04685	-0.08048	0.01568	-0.06910	0.02705	0.04036	-0.06806	-0.03470	0.06146	0.08389	0.01227
真强度极限σ_b/MPa	-0.01233	0.03563	-0.05708	0.01426	-0.03876	0.02462	-0.03792	0.02523	-0.00205	0.09410	-0.05781	0.03834
真应变极限ε_b/MPa	0.02325	-0.10089	0.02325	-0.10089	0.04511	-0.13560	0.04533	-0.14005	0.06439	0.16054	0.02284	0.11899
延伸率δ/%	-0.02159	0.05211	-0.10555	-0.01399	-0.09917	-0.00910	-0.09617	-0.00623	-0.07250	0.02360	-0.10807	-0.01192
断面收缩率ψ/%	-0.07505	0.02110	-0.09760	-0.00140	-0.09190	0.00426	-0.09090	0.00529	-0.07210	0.02406	-0.09853	-0.00238

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表 7 LZ50钢机械性能试验数据的t_1-C(n-2)函数值

Table 7. t_1-C(n-2) function values for the test data of LZ50 axle steel at given confidence level C

n-2	C/%
n-2	90.0	95.0	97.5	99.0	99.5
8	1.3968	1.8595	2.3060	2.8965	3.3554

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表 8 极小值分布拟合LZ50钢机械性能数据的位置参量P_L、尺度参量P_s和线性拟合残差s

Table 8. Location parameter P_L, scale parameter P_sand residual standard deviation s of the extreme minimum value distribution fitting into the test data of mechanical properties of LZ50 axle steel

参数	弹性模量E/GPa	名义屈服强度S_s/MPa	名度屈服应变e_s/%	名义强度极限S_b/MPa	名度应变极限e_b/%	真屈服强度σ_s/MPa	真屈服应变ε_s/%	真强度极限σ_b/MPa	真应变极限ε_b/MPa	延伸率δ/%	断面收缩率ψ/%
P_L	202.93	327.50	0.3620	626.30	52.8078	328.71	0.3614	961.06	42.3968	24.0568	41.4230
P_s	13.0381	4.6523	0.0122	5.0793	1.1512	4.6784	0.0121	7.2603	0.7556	0.6751	0.9481
s	0.4159	0.2061	0.3998	0.3528	0.3062	0.2036	0.4000	0.3200	0.3105	0.4647	0.4374

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表 9 可靠度R和置信度C水平下铁道车辆LZ50车轴钢的概率机械性能参量

Table 9. Probabilistic mechanical properties of the LZ50 axle steel for railway vehicles at given reliabilites and confidences

R	0.500			0.900			0.990			0.999
C/%	90	95	99	90	95	99	90	95	99	90	95	99
弹性模量E/GPa	190.207	187.576	181.678	165.646	163.014	157.116	135.009	132.377	126.480	104.928	102.297	96.3993
名义屈服强度S_s/MPa	324.390	323.925	322.882	315.626	315.161	314.1128	304.694	304.229	303.186	293.961	293.495	292.452
名义屈服应变e_s/%	0.35038	0.34802	0.34271	0.32740	0.32503	0.31973	0.29873	0.29637	0.29106	0.27059	0.26822	0.26291
名义强度极限S_b/MPa	621.813	620.944	618.995	612.244	611.375	609.426	600.309	599.440	597.491	588.591	587.721	585.772
名义应变极限e_b/%	51.8695	51.6984	51.3150	49.7008	49.5297	49.1463	46.9957	46.8246	46.4413	44.3398	44.1687	43.7853
真屈服强度σ_s/MPa	325.600	325.138	324.102	316.786	316.324	315.288	305.793	305.331	304.295	295.000	294.537	293.501
真屈服应变ε_s/%	0.34988	0.34753	0.34226	0.32708	0.32473	0.31947	0.29865	0.29630	0.29104	0.27073	0.26838	0.26312
真强度极限σ_b/MPa	954.995	953.868	951.341	941.318	940.191	937.664	924.258	923.130	920.604	907.508	906.380	903.853
真应变极限ε_b/MPa	41.7762	41.6623	41.4071	40.3527	40.2389	39.9837	38.5772	38.4634	38.2082	36.8340	36.7201	36.4649
延伸率δ/%	23.3498	23.1975	22.8563	22.0780	21.9257	21.5845	20.4916	20.3394	19.0082	18.9341	18.7819	18.4407
断面收缩率ψ/%	40.4680	40.2667	39.8157	38.6819	38.4807	38.0296	36.4541	36.2528	35.8081	34.2667	34.0654	33.6144

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铁道车辆LZ50车轴钢的概率机械性能

作者简介:
赵永翔(1963-), 男, 四川金堂人, 教授, 博士, 从事机车车辆可靠性与安全性设计、评价和控制研究

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