0.   引言

由于轨道交通的快速发展, 对其引起的振动污染问题日益引起人们的重视。在国外, 江岛淳和Takemiya分别就轨道车辆引起的大地振动的发生机理、对周围居民的影响及其动力学仿真计算方法进行了研究, 提出了环境振动水平的预测方法^[1-2]; Yang提出用于分析列车引起地面振动的2.5维有限元、无限元耦合方法^[3]; Antes和Von Estorff用二维时域边界元模型研究不同的基础类型^[4]; Sheng根据Haskell-Thomson提出的传递矩阵法, 建立了以柔度矩阵表示分层大地振动特性的传递矩阵法, 对地面波动方程在频率-波数域内求解, 分析了在弹性均匀各向同性地层上的有碴轨道在简谐荷载作用下引起的地面振动响应问题^[5-6]; 中国学者用实测或数值模拟的方法对环境振动的传播规律及影响因素也进行了广泛研究^[7-10]。从基础研究角度考虑, 已有的工作对地表土层动力特性研究还不够, 一般的时域数值方法把波在地面的传播问题作为振动问题求解, 难以解决计算域和边界的能量交换。然而波数-频率域方法对于研究振动波在各向同性、层状、无限大地中的传播特性以及地表的振动响应具有优越性。

板式轨道作为一种具有代表性的无碴轨道结构形式, 在国内外高速铁路的应用中已显示出明显优势, 取得了良好的技术和经济效益, 具有广阔的应用前景^[11]。本文借鉴近年来国外对铁路列车引起的大地振动的研究成果, 建立了板式轨道引起地面振动的分析模型。模型中, 大地按层状考虑, 对振动微分方程用频率-波数域方法求解, 然后用傅立叶逆变换得到地表振动的空间响应。

1.   计算模型

由于轮轨间的相互动力作用, 轨道板将沿轨道纵向对地面传递移动的载荷, 因此研究轨道和地面在移动的单位简谐荷载作用下的响应是十分必要的。本文模型包括单个轮对施加在轨道上的荷载、板式轨道及大地, 且只考虑轨道板对地面的垂向作用, 模型见图 1。

图  1  板式轨道与层状大地耦合模型

Figure  1.  Model of slab track coupled with layered ground

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模型中的轮载用P₀表示, 可以是恒定载荷或者角频率为Ω的周期载荷, 而且可沿着钢轨以速度c在x方向运动; 若初始时刻轮载在坐标原点, 则t时刻轮载距离坐标原点的距离则为ct; 钢轨采用Euler梁模型, 其单位长质量为M_r, 弯曲刚度为EI; 钢轨与轨道板之间以刚度为K_rs的弹簧相连接; 为了简化分析, 将轨道板、底座及下部铺装层作为整体考虑, 简化为梁模型; 下部铺装层与大地之间的耦合作用力为F_bg; 图中大地被分为n层, 第j层的杨氏模量为E_j, 泊松比为υ_j, 质量密度为ρ_j; 第n+1层为弹性半空间, 其相应的特性参数为E_n+1、v_n+1。

1.1   板式轨道模型

将钢轨简化为只考虑垂向振动的Euler梁模型, 其振动微分方程为

$\begin{array}{l}E{\rm I}\frac{\partial {}^{4}W{}_{\text{r}}(x,t)}{\partial x{}^4}+{\rm M}{}_{\text{r}}\frac{\partial {}^{2}W{}_{\text{r}}(x,t)}{\partial t{}^2}+{\rm K}{}_{\text{r}\text{s}}\cdot \\ [W{}_{\text{r}}(x,t)-W{}_{\text{s}\text{b}}(x,t)]={\rm P}{}_0\text{e}{}^{i\Omega t}\delta (x-ct)(1)\end{array}$

式中: δ(·)为Dirac-delta函数; W_r为钢轨的垂向位移; W_sb为轨道板的垂向位移。

轨道板在z向的振动微分方程为

$\begin{array}{l}E{}_{\text{s}\text{b}}{\rm I}{}_{\text{s}\text{b}}\frac{\partial {}^{4}W{}_{\text{s}\text{b}}(x,t)}{\partial x{}^4}+{\rm M}{}_{\text{s}\text{b}}\frac{\partial {}^{2}W{}_{\text{s}\text{b}}(x,t)}{\partial t{}^2}+{\rm K}{}_{\text{r}\text{s}}\cdot \\ [W{}_{\text{s}\text{b}}(x,t)-W{}_{\text{r}}(x,t)]=-F{}_{\text{b}\text{g}}(2)\end{array}$

式中: K_rs是沿着钢轨方向单位长度上轨下支撑的线弹性刚度, 因为轨下支撑的质量很小, 故本文忽略其影响。

对方程(1)、(2)关于x实施一维的傅立叶变换, 在波数域内方程的解为

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\overline{W}{}_{\text{r}}=\widetilde{{\displaystyle W}}{}_{\text{r}}(\beta )\text{e}{}^{i(\Omega -\beta c)t}\\ \overline{W}{}_{\text{s}\text{b}}=\widetilde{{\displaystyle W}}{}_{\text{s}\text{b}}(\beta )\text{e}{}^{i(\Omega -\beta c)t}\end{array}(3)\\ \text{令}\omega =\Omega -\beta c(4)\end{array}$

可得波数域内振动位移幅值方程为

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}E{\rm I}\beta {}^4-\omega {}^2{\rm M}{}_{\text{r}}+{\rm K}{}_{\text{r}\text{s}}& -{\rm K}{}_{\text{r}\text{s}}\\ -{\rm K}{}_{\text{r}\text{s}}& E{}_{\text{s}\text{b}}{\rm I}{}_{\text{s}\text{b}}\beta {}^4+{\rm K}{}_{\text{r}\text{s}}-\omega {}^2{\rm M}{}_{\text{s}\text{b}}\end{array}\right]\cdot \\ \left[\begin{array}{c}\widetilde{{\displaystyle W}}{}_{\text{r}}\\ \widetilde{{\displaystyle W}}{}_{\text{s}\text{b}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\rm P}{}_0\hfill \\ -\widetilde{{\displaystyle F}}{}_{\text{b}\text{g}}\hfill \end{array}\right](5)\end{array}$

1.2   分层大地模型

由于地质沉积作用, 大地具有明显的层状结构, 因此为了研究波在大地中的传播规律, 通常将其分为若干层。不同层的土质不一样, 但同一层的土质是均匀、各向同性的, 并且最下层覆盖在一个均匀各向同性的半无限大弹性体上, 各层只在接触边界上发生相互作用。假设在简谐荷载作用下, 沿坐标方向的位移随时间做简谐振动, 忽略体力的影响, 则第j层的弹性动力特性可以用Nawier-Lamé方程表示为^[5]

$\{\begin{array}{l}(\lambda {}_j+\mu {}_j)\frac{\partial \Delta {}_j}{\partial x}+\mu {}_j\nabla {}^{2}u{}_j=-\rho {}_j\omega {}^{2}u{}_j\\ (\lambda {}_j+\mu {}_j)\frac{\partial \Delta {}_j}{\partial y}+\mu {}_j\nabla {}^{2}v{}_j=-\rho {}_j\omega {}^{2}v{}_j\\ (\lambda {}_j+\mu {}_j)\frac{\partial \Delta {}_j}{\partial z}+\mu {}_j\nabla {}^{2}w{}_j=-\rho {}_j\omega {}^{2}w{}_j\end{array}(6)$

式中: u_j、v_j、w_j分别为沿着图 1所示坐标系的3个坐标轴方向的位移幅值; λ_j、μ_j为Lamé常数; Δ_j为体积应变。

对式(6)关于x、y实施二维傅立叶变换, 在波数域内, 考虑相邻层之间的连续性, 各层表面上位移与应力之间的关系应为: 第j层上表面的位移和应力与第j-1层下表面的位移和应力相等; 第j层下表面的位移和应力与第j+1层上表面的位移和应力相等。应用分层大地的位移-应力传递矩阵法, 波数域内大地表面位移和应力之间的关系可用下面的矩阵形式来表示

$\left[\begin{array}{l}\widetilde{{\displaystyle u}}{}_{10}\\ \widetilde{{\displaystyle v}}{}_{10}\\ \widetilde{{\displaystyle w}}{}_{10}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}Q{}_{11}& Q{}_{12}& Q{}_{13}\\ Q{}_{21}& Q{}_{22}& Q{}_{23}\\ Q{}_{31}& Q{}_{32}& Q{}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\widetilde{{\displaystyle \tau }}{}_{x10}\\ \widetilde{{\displaystyle \tau }}{}_{y10}\\ \widetilde{{\displaystyle \tau }}{}_{z10}\end{array}\right](7)$

式中: 关于Q_ij的具体形式见文献[6]; $\widetilde{{\displaystyle u}}{}_{10}$、$\widetilde{{\displaystyle v}}{}_{10}$、$\widetilde{{\displaystyle w}}{}_{10}$及$\widetilde{{\displaystyle \tau }}{}_{x10}$、$\widetilde{{\displaystyle \tau }}{}_{y10}$、$\widetilde{{\displaystyle \tau }}{}_{z10}$分别为波数域内的位移和应力; 下角标10表示第1层土的上表面。

1.3   轨道板与地表的振动耦合

板式轨道通过下部铺装层作用在大地表面的力, 可以看成是沿着x方向宽度为B的垂向带状荷载, 所以地表在x、y方向的应力可表示为

$\begin{array}{l}\tau {}_{x10}=0\\ \tau {}_{y10}=0\end{array}$

z方向的应力为^[6]

$\tau {}_{z10}(x,y,t)=\{\begin{array}{cc}-F{}_{\text{b}\text{g}}(x,t)/2B\hfill & (-B\le y\le B)\hfill \\ 0\hfill & (\text{其}\text{他})\hfill \end{array}(8)$

下部铺装层的底部与地表的接触面上, 其位移满足下面的关系

$w{}_{10}(x,0,t)=W{}_{\text{s}\text{b}}(x,t)(9)$

对式(8)、(9)通过傅立叶变换, 在波数域内考虑式(5)得波数域内垂向位移幅值为

$\widetilde{{\displaystyle w}}{}_{10}=-Q{}_{33}\frac{\sin (\gamma b)}{\gamma b}\widetilde{{\displaystyle F}}{}_{\text{b}\text{g}}(10)$

$\widetilde{{\displaystyle F}}{}_{\text{b}\text{g}}$可由式(5)得出。通过对上式的逆傅立叶变换可以得到空间域内地面的垂向位移幅值。

2.   算例分析

表 1、2给出了本文算例中所采用的大地和轨道的特性参数, 其中表 1数据源于文献[12]。为了简化分析, 将大地分为上、下两层, 上层弹性土厚度取值为5 m, 下层为弹性半空间。表 2是常见板式轨道的动力学参数。通过算例在波数域中分析了波在分层大地中的波动特性, 并模拟了载荷速度对板式轨道引起的地表振动的影响。

表  1  分层大地参数

Table  1.  Layered ground parameters

层数j	厚度zj/m	杨氏模量Ej/(N·m-2)	密度ρj/(kg·m-3)	泊松比υj	损失因子ηj
1	5	30×106	1 550	0.47	0.1
无限半空间		360×106	2 000	0.49	0.1

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表  2  板式轨道参数

Table  2.  Slab track parameters

单位长度钢轨的质量Mr/(kg·m-1)	120
单位长度轨道板的质量Msb/(kg·m-1)	4 000
轨下支撑损失因子ηrs	0.25
轨道板的弯曲刚度EIsb/(N·m2)	1.11×108
钢轨的弯曲刚度EI/(N·m2)	6.621×107
轨下支撑刚度Krs/(N·m-2)	1.7×108
轨道和地面的接触宽度B/m	2.4
轨道板的损失因子ηsb	0.03

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2.1   振动波的传播特性

为了说明分层大地模型反映的波动特性, 现考虑直接在地表2.4 m×2.4 m的范围作用不同频率的垂向单位载荷。图 2~5是在波数域范围-3 m^-1≤β≤3 m^-1, -3 m^-1≤γ≤3 m^-1内垂向位移幅值的绝对值。图 2对应的荷载频率为10 Hz, 图 3是图 2的康托图, 图 4是当荷载频率分别为10 Hz和20 Hz时, 在正四分之一波数域内垂向位移幅值的绝对值。

图  2  波数域位移

Figure  2.  Displacement in wave-number domain

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图  3  波数域位移康托

Figure  3.  Displacement contours in wave-number domain

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图  4  1/4波数域位移

Figure  4.  Displacement in quarter wave-number domain

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研究表明, 如果将大地视为均匀各向同性的半无限大弹性体, 则其中只能存在唯一的P-SV波和唯一的SH波^[12]。而如果将其按层状考虑, 则可以同时存在多个频散的P-SV波和SH波, 图 2~4反映了这种现象。

由图 3可见, 图中各个峰值对应的振动波以波数(β²+γ²)^1/2传播。图 4中的峰值对应频率分别为10 Hz和20 Hz的荷载所激发的出的波, 图 4(a)中的峰值个数显然比图 4(b)中少, 说明当载荷的频率由10 Hz增加到20 Hz时有新的波被激发出来。由于表面SH波对于地表垂向振动的作用可以忽略, 所以图中峰对应的是P-SV波。而P-SV波一般和Ralyergh波相关, 通常当频率比较高时, 第1阶P-SV波(在波数域中波数最大者)的波速将接近于Ralyergh波的波速。显然当荷载频率为20 Hz时, 本文上层土体的Ralyergh波波数为1.63, 这和图 4(b)中最大峰值所对应的波数是一致的, 所以, 若大地具有明显的层状地质特征, 则不宜简单地将大地简化为弹性半空间, 而将其以层状考虑比较合理。

2.2   地面振动的三维模拟

振动强度与行车速度之间的关系是研究列车运行所引起大地振动特性的一个重要课题。对于图 1所示模型, 选择表 1、2的参数, 当20 Hz的单位荷载沿轨道分别以不同的速度运动时, 在一个沿轨道方向与载荷一起移动的相对坐标系中观察, 将地表垂向振动位移响应的幅值表示在图 1的笛卡儿坐标空间中得图 5、6。由于轨道结构沿x方向布置, 所以从下列各图中可以看出地面的垂向位移响应相对于轨道方向对称。

图  5  地面垂向位移

Figure  5.  Vertical displacement of ground surface

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图  6  地面位移的康托

Figure  6.  Displacement Contours of ground surface

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图 5是当荷载移动速度为60 m·s^-1时, 在随荷载一起移动的动坐标系中得到的地面垂向位移响应, 可以看出荷载附近的振幅较大, 在轨道两侧随着相对轨道中心距离的增加振幅逐渐衰减。这是因为当波向外传播时, 不但存在因土体内阻尼而引起的能量衰减(阻尼衰减), 而且由于波面的逐渐增大也会使能量密度逐渐减小(几何衰减), 所以在阻尼衰减和几何衰减的共同作用下, 波在传播过程中位移的振幅会逐渐衰减。

图 6是当20 Hz的单位激振荷载沿轨道方向分别以0、20、80 m·s^-1的不同速度移动时, 在以速度c随荷载一起移动的动坐标系中观察地表垂向位移振动幅值的康托图。可见随着荷载速度的增大, 不但引起振动波传播范围的扩大, 而且地面振动的幅值也会增大。另外, 各图形关于轨道方向对称, 轨道刚度对波形的影响比较大, 这点在图 5中也能观察到。

当荷载移动速度为0时, 振动幅值在相对坐标系中相对于坐标轴对称, 被激发的波面是以荷载作用点为中心的同心圆, 见图 6(a)。由图 6(b)可以看出, 当荷载运动速度较小(荷载运动速度小于Ralyeigh波速)时, 振动波也以同心圆的形式向外传播^[5]。显然荷载的移动相当于波源的移动, 所以由于荷载速度的影响, 出现了图 5、6所示的多普勒效应。而且在荷载移动速度超过了地面Ralyeigh波波速的情况下, 后发生的波面将会超越先形成的波面而形成锥形的波阵面(马赫锥), 就是所谓的冲击波, 见图 6(c)。

3.   结语

(1) 本文模型的计算结果能够分别在波数域内和图 1所示三维坐标空间对板式轨道引起的地面振动特性进行分析。

(2) 波数域内的分析表明, 若将大地按层状考虑, 随着荷载频率的增大, 将会有更多的波被激发出来, 这能反映大地的层状沉积地质特性, 所以在分析板式轨道引起的地面振动时, 不宜将大地只简化成弹性半空间模型。

(3) 由于轨道的影响, 波形关于轨道方向对称向周围传播, 而且主要的影响区域是在载荷的作用点之后。

(4) 荷载的运动速度也是影响地面振动的一个重要因素, 当荷载速度增大时响应幅值和波的传播范围都会增大。由于波源的移动而使振动波的传播具有多普勒效应, 且当荷载移动速度超过地面的Ralyeigh波速度时, 将产生冲击波现象。