0.   引言

铁路自1825年开始运营以来, 轮对作为铁道机车车辆系统与铁路线路之间传递载荷的关键承载部件, 直接影响列车的安全和运行品质, 其结构强度和疲劳可靠性一直得到世界各国铁路工程技术人员的广泛关注^[1-5]。随着机车车辆运行速度的不断提高和载质量的不断增加, 为了降低能耗, 改善机车车辆的动力学性能及乘客的舒适性, 提高列车运行的安全性, 在新型高速列车和重载列车的结构设计中, 承载结构所占的质量越来越轻, 承载部件的结构动态刚度随着结构质量的减小而降低, 随着运行速度的提高, 轮轨系统的激扰频率范围将随之加宽。采用轻量化设计的轮对, 由于其固有振动频率的降低, 致使轮轨动作用力增加^[6-8], 其工作应力水平将显著提高, 因此, 在设计轮对阶段, 有必要对其自振频率进行计算, 以分析其对机车车辆系统和轨道系统振动的影响。

1.   弹性车轴动力学模型

高速动力车轮对由2个车轮和车轴组成, 在车轴两端安装有轴箱。为了确定轮对的自振频率和振形函数, 可以将车轴简化为变截面的Timoshenko梁, 车轮和轴箱简化为集中质量和具有转动惯量的节点载荷。对图 1的高速动力轮对用图 2的简化结构代替。

图  1  高速动力车轮对结构

Figure  1.  Wheelset structure of high-speed power vehicle

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图  2  轮对简化模型

Figure  2.  Wheelset simplified model

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1.1   Timoshenko梁的运动微分方程

不考虑安装在车轴上的轴箱和车轮的集中质量和转动惯量时, 变截面自由振动Timoshenko梁的运动偏微分方程^[9]为

$\begin{array}{l}E{\rm I}\frac{\partial {}^2\beta (y,t)}{\partial y{}^2}-k^{\prime }GA\left[\frac{\partial {\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)}{\partial y}+\beta (y,t)\right]-\\ \rho {\rm I}\frac{\partial {}^2\beta (y,t)}{\partial t{}^2}=0(1)\\ k^{\prime }AG\left[\frac{\partial {}^2{\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)}{\partial y{}^2}+\frac{\partial \beta (y,t)}{\partial y}\right]-\rho A\frac{\partial {}^2{\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)}{\partial t{}^2}=0(2)\end{array}$

式中: k′为横截面形状系数(对于圆截面, k′为10/9);A为横截面面积; I为横截面惯性矩; ρ为质量密度; E为梁材料的弹性模量; G为梁材料的剪切弹性模量; Z_rw (y, t) 为梁横截面振动位移; β (y, t) 为梁横截面弯曲角。

对式(1)、(2) 微分, 消去式中的β (y, t) 项, 得出自由振动Timoshenko梁以位移表示的运动微分方程为

$\begin{array}{l}E{\rm I}\frac{\partial {}^4{\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)}{\partial y{}^4}+\rho A\frac{\partial {}^2{\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)}{\partial t{}^2}-\rho {\rm I}\left(\frac{E}{k^{\prime }G}+1\right)\cdot \\ \frac{\partial {}^4{\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)}{\partial y{}^2\partial t{}^2}+\rho A\frac{\partial {}^4{\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)}{\partial t{}^4}=0(3)\end{array}$

1.2   Timoshenko梁的传递矩阵

将连续梁划分为若干段长度为l_i的均匀等值梁, 在相邻梁段的连接点N_i+1 (简称为节点) 处, 节点的位移Z_rw、转角β_i+1和曲率是连续的。在节点N_i+1处, 根据节点的力和力矩平衡方程, 得出相邻微段梁的力和力矩的传递关系。

对于一维Timoshenko梁的弯曲振动, 弯曲刚度为B_i的任意截面i的挠度ω_i、弯曲角β_i、弯矩M_i和剪力Q_i可作为梁截面的状态参数。段梁e_i的2个截面的节点N_i和N_i+1状态矢量分别为

$\begin{array}{l}\mathit{{\rm Z}}{}_i=(w{}_i‚-\beta {}_i‚{\rm M}{}_i/B{}_i‚Q{}_i/B{}_i){}^{\text{Τ}}\\ \mathit{{\rm Z}}{}_{i+1}=(w{}_{i+1}‚-\beta {}_{i+1}‚{\rm M}{}_{i+1}/B{}_{i+1}‚Q{}_{i+1}/B{}_{i+1}){}^{\text{Τ}}\end{array}$

自由振动Timoshenko梁的运动微分方程式(3) 的级数解为

$\{\begin{array}{l}{\rm Z}{}_{\text{r}\text{w}}(y,t)={\displaystyle \sum _{j=1}^n\phi }{}_j(y)\text{e}{}^{j\omega {}_{i}t}\\ \beta (y,t)={\displaystyle \sum _{j=1}^n\psi }{}_j(y)\text{e}{}^{j\omega {}_{i}t}\end{array}(4)$

将式(4) 代入式(1)、(2) 得

${\displaystyle \sum _{j=1}^n}$ EIφ_j^″ (y) -k^′GA[φ_j^′ (y) -ψ_j (y) ]

$\begin{array}{l}+\\ \rho {\rm I}{\displaystyle \sum _{j=1}^n\phi }{}_j(y)\omega {}_j^2=0(5)\\ k{}^{´}AG{\displaystyle \sum _{j=1}^n[}\phi {}_j^{‴}(y)-\psi {}_j^{´}(y)]+\rho A{\displaystyle \sum _{j=1}^n\psi }{}_j(y)\omega {}_j^2=0(6)\end{array}$

梁段e_i 2个截面的状态矢量满足关系式^[8]

$\mathit{{\rm Z}}{}_{i+1}=\mathit{{\rm T}}{}_i\mathit{{\rm Z}}{}_i(7)$

截面状态矢量的传递矩阵T_i为

$\mathit{{\rm T}}{}_i=\frac{1}{2\overline{\lambda }{}^2\sqrt{1+\overline{\zeta }}}\left[\begin{array}{cccc}\lambda {}^{2}C+\lambda {}^{*2}C{}^{*}\hfill & \lambda S+\lambda {}^{*}S{}^{*}\hfill & C{}^{*}-C\hfill & \frac{1}{\overline{\lambda }{}^4}(\lambda {}^{3}S-\lambda {}^{*3}S{}^{*})\hfill \\ \overline{\lambda }{}^4\left(\frac{S}{\lambda }-\frac{S{}^{*}}{\lambda {}^{*}}\right)\hfill & \overline{\lambda }{}^4\left(\frac{C}{\lambda {}^2}+\frac{C{}^{*}}{\lambda {}^{*2}}\right)\hfill & -\overline{\lambda }{}^4\left(\frac{S}{\lambda {}^3}+\frac{S{}^{*}}{\lambda {}^{*3}}\right)\hfill & C{}^{*}-C\hfill \\ \overline{\lambda }{}^4(C{}^{*}-C)\hfill & \overline{\lambda }{}^4\left(\frac{S{}^{*}}{\lambda {}^{*}}-\frac{S}{\lambda }\right)\hfill & \overline{\lambda }{}^4\left(\frac{C}{\lambda {}^2}+\frac{C{}^{*}}{\lambda {}^{*2}}\right)\hfill & \lambda S+\lambda {}^{*}S{}^{*}\hfill \\ -\overline{\lambda }{}^4(\lambda S+\lambda {}^{*}S{}^{*})\hfill & \overline{\lambda }{}^4(C{}^{*}-C)\hfill & \overline{\lambda }{}^4\left(\frac{S}{\lambda }-\frac{S{}^{*}}{\lambda {}^{*}}\right)\hfill & \lambda {}^{2}C+\lambda {}^{*2}C{}^{*}\hfill \end{array}\right](8)$

$\{\begin{array}{l}C=\cosh (\lambda y),S=\sinh (\lambda y)\\ C{}^{*}=\cosh (\lambda {}^{*}y),S{}^{*}=\sinh (\lambda {}^{*}y)\\ \lambda =\sqrt{\sqrt{\left[\frac{\rho A\omega {}^2}{2S(y)}\right]{}^2+\frac{\rho A\omega {}^2}{B(y)}}-\frac{\rho A(y)\omega {}^2}{2S(y)}}\\ \lambda {}^{*}=\sqrt{\sqrt{\left[\frac{\rho A(y)\omega {}^2}{2S(y)}\right]{}^2+\frac{\rho A(y)\omega {}^2}{B(y)}}+\frac{\rho A(y)\omega {}^2}{2S(y)}}\\ \overline{\lambda }=\sqrt[4]{\frac{\rho A(y)\omega {}^2}{B(y)}},\overline{\zeta }=\frac{\rho A\omega {}^{2}B}{4S{}^2(y)},B(y)=E{\rm I}(y)\\ S(y)=k^{\prime }GA(y)\end{array}(9)$

1.3   Timoshenko梁节点的传递矩阵

如果从一个梁段e_i-1通过节点N_i传递到下一个梁段e_i, 可以将该节点的前后两侧的状态矢量用节点N_i的传递矩阵Tⁱ来连接, 满足下列关系式^[10]

$\mathit{{\rm Z}}{}_i^{\text{L}}=\mathit{{\rm T}}{}^i\mathit{{\rm Z}}{}_i^{\text{R}}(10)$

式中: Z_i^R为梁段e_i-1在节点N_i的状态矢量; Z_i^L为梁段e_i在节点N_i的状态矢量。

在Timoshenko梁的节点N_i上, 如果有集中质量M_i、转动惯量J_i、线弹簧k_i和转动弹簧k_ri的存在, 根据节点的位移、转角和曲率的连续条件及节点的力和力矩平衡条件, 节点N_i的传递矩阵满足下列关系式

$\mathit{{\rm T}}{}^i=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& k{}_{\text{r}i}-J{}_i\omega {}^2& 1& 0\\ k{}_i-{\rm M}{}_i\omega {}^2& 0& 0& 1\end{array}\right](11)$

1.4   用传递矩阵法求解Timoshenko梁的固有频率

如图 2所示的轮对由n段梁和n+1个节点组成, 各段梁和节点的传递矩阵满足关系式

$\{\begin{array}{l}\mathit{{\rm Z}}{}_1^{\text{R}}=\mathit{{\rm T}}{}^1\mathit{{\rm Z}}{}_1,\mathit{{\rm Z}}{}_2^{\text{L}}=\mathit{{\rm T}}{}_1\mathit{{\rm Z}}{}_1^{\text{R}}\\ \mathit{{\rm Z}}{}_2^{\text{R}}=\mathit{{\rm T}}{}^2\mathit{{\rm Z}}{}_2^{\text{L}},\mathit{{\rm Z}}{}_3^{\text{L}}=\mathit{{\rm T}}{}_2\mathit{{\rm Z}}{}_2^{\text{R}}\\ ⋮\\ \mathit{{\rm Z}}{}_i^{\text{R}}=\mathit{{\rm T}}{}^i\mathit{{\rm Z}}{}_i^{\text{L}},\mathit{{\rm Z}}{}_{i+1}^{\text{L}}=\mathit{{\rm T}}{}_i\mathit{{\rm Z}}{}_i^{\text{R}}\\ ⋮\\ \mathit{{\rm Z}}{}_n^{\text{R}}=\mathit{{\rm T}}{}^n\mathit{{\rm Z}}{}_n^{\text{L}},\mathit{{\rm Z}}{}_{n+1}^{\text{L}}=\mathit{{\rm T}}{}_n\mathit{{\rm Z}}{}_n^{\text{R}}\\ \mathit{{\rm Z}}{}_{n+1}=\mathit{{\rm T}}{}^{n+1}\mathit{{\rm Z}}{}_{n+1}^{\text{L}}\end{array}(12)$

根据相邻梁段的连接关系, 梁首尾2个节点的状态矢量满足关系式

$\begin{array}{l}\mathit{{\rm Z}}{}_{n+1}=\mathit{{\rm T}}\mathit{{\rm Z}}{}_1(13)\\ \mathit{{\rm T}}=\mathit{{\rm T}}{}^{n+1}\mathit{{\rm T}}{}_n\mathit{{\rm T}}{}^n\mathit{{\rm T}}{}_{n-1}\cdot \cdots \cdot \mathit{{\rm T}}{}^{i+1}\mathit{{\rm T}}{}_i\cdot \cdots \cdot \\ \mathit{{\rm T}}{}_2\mathit{{\rm T}}{}^2\mathit{{\rm T}}{}_1\mathit{{\rm T}}{}^1(14)\end{array}$

根据梁的边界条件: 当y=0时, M₁=0, Q₁=0;当y=2B_w时, M₁₀=0, Q₁₀=0。由式(13) 可得出梁的频率方程f (ω) =0。由于频率方程为超越方程, 采用Newton-Raphson方法求解频率方程, 有无穷个固有频率和固有振型。

2.   轮对自振频率数值计算

用ANSYS 5.7有限元软件对图 1的高速动力轮对进行分析, 模型中的车轴和车轮用8节点6面体实体单元划分网格, 轴箱用3维质量单元模拟。用传递矩阵法将车轴划分长度不等的9个分段, 车轮和轴箱用集中质量和惯量代替, 其值见表 1。

表  1  轮对基本参数

Table  1.  Basic parameters of wheelset

名称	质量/kg	转动惯量/ (kg·m2)
主动车轮	536.0	46.25
从动车轮	532.0	45.72
轴箱	183.5	8.67

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图  3  基于本文方法的轮对固有频率和振型

Figure  3.  Wheelset natural frequency and mode shape based on transfer matirixes method

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用传递矩阵法和ANSYS有限元法计算轮对的一、二阶固有振频率和振型见图 3、4。两种方法轮对一、二阶固有频率的计算相对误差分别为-6.66%和8.42%。

3.   结语

综合上述分析可以看出, 用传递矩阵法和有限元法得出轮对一、二阶固有频率的计算相对误差小于10%, 满足工程分析的要求; 对弹性车轴动力学分析得出, 轮对的一阶振动频率对机车车辆系统动力学、轮轨动作用力和车轴动应力的影响较大, 因此, 在轮对方案设计阶段, 采用简化模型用传递矩阵法估算其固有频率的方法简单有效, 在工程应用中有较大的实用价值。

图  4  基于有限元方法的轮对固有频率和振型

Figure  4.  Wheelset natural frequency and mode shape based on FEM

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