0.   引言

为节省时间, 缩短距离和节约成本, 传统的航向自动舵因不能直接控制航迹偏差已不能满足要求^[1-3]。因船舶的欠驱动特性^[4-8], 进行直线航迹控制具有针对性和实践性, 因此引起人们极大的关注, 并很快成为当今船舶运动控制研究中的一个热点。在航海实践中, 尤其是在开阔水域中, 当船舶在直线航行中出现较大的初始航迹偏差(多由避碰行动引起) 时, 由于受到航速限制及为了经济目的, 并不是尽快返回到计划航线上, 而是以一个相对稳定的航向和直线航迹逐渐驶近计划航线, 这是文献[2, 10]所没有解决的难题。本文针对带有约束条件以及模型与外界干扰不确定的非线性船舶航迹控制系统, 提出了一种基于分解迭代非线性滑模的增量反馈控制方法, 无须对不确定项进行估计, 在控制输入增益符号已知的情况下, 可自动寻找使系统稳定的控制输入, 避免了线性反馈常见的超调和稳态误差问题。并针对实习船“育龙”轮在不同船速下存在定常及非定常风、流干扰下的航迹阶跃响应进行了仿真, 对控制方法进行了验证。

1.   问题的描述

考虑外界干扰, 忽略船体横向移动的船舶航迹控制系统模型为

$\{\begin{array}{l}\dot{y}=V{}_{\text{s}}\sin (\phi {}_{\text{s}}-\phi {}_{\text{d}})+V{}_{\text{c}}\sin (\phi {}_{\text{c}}-\phi {}_{\text{d}})\\ \dot{\phi }{}_{\text{s}}=r\\ \dot{r}=f(r)+g\delta +d(t)\end{array}(1)$

式中: y为船舶的航迹偏差; V_s为船舶对水前进速度; φ_s、φ_d分别为船舶实际航向与计划航向; φ_c、V_c为未知时变流向、流速; r为转首角速度; f (r) 为未知光滑连续函数; g为未知控制输入增益; δ为舵角, 且δ∈[-δ_max, δ_max], δ_max为极限舵角, 通常仅为35°; d (t) 为未知外界(风、浪) 干扰。

不失一般性, 可令φ_d=0, 式(1) 简化为

$\{\begin{array}{l}\dot{y}=V{}_{\text{s}}\sin (\phi {}_{\text{s}})+c(t)\\ \dot{\phi }{}_{\text{s}}=r\\ \dot{r}=f(r)+g\delta +d(t)\\ c(t)=V{}_{\text{c}}\sin (\phi {}_{\text{c}})\end{array}(2)$

由系统模型可知, 船舶航迹控制系统为不完全驱动系统^[4-8]。此外, 由于自然界能量及控制能量的有限性, 式(1)、(2) 还存在系统状态变量或参数以及控制器约束问题。

假设1:系统可控, 且控制增益符号已知, 不妨令g > 0。

假设2:V_s、V_c及r有界, 且V_smax、V_cmax及r_max已知。

假设3:存在李普希兹常数L₁、L₂、L₃、L₄及L₅, 满足下列不等式

$\{\begin{array}{l}V{}_{\text{s}}(t{}_2)-V{}_{\text{s}}(t{}_1)\le L{}_1\text{Δ}t\\ c(t{}_2)-c(t{}_1)\le L{}_2\text{Δ}t\\ f(r(t{}_2))-f(r(t{}_1))\le L{}_3\text{Δ}t\\ g(t{}_2)-g(t{}_1)\le L{}_4\text{Δ}t\\ d(t{}_2)-d(t{}_1)\le L{}_5\text{Δ}t\end{array}(3)$

控制目标为确定控制量δ, 使船舶的航迹偏差y→0, 如果不存在流的干扰, 有φ_s→0。

2.   控制器设计

根据控制目标要求、船舶航迹物理特性及约束条件可知, 即使在航迹偏差较大时, 受到航向与航速限制, 偏差衰减速度也不能太大; 而在航迹偏差较小时, 为保证稳定时间和控制品质, 需要随航迹偏差的减小, 衰减速度也逐渐减小。线性的滑动模态无法满足上述要求, 本文采用如下分解迭代非线性滑动模态设计。

第1步, 航迹偏差的非线性滑动模态为

$\sigma {}_1(y)=k{}_1\tanh (k{}_{0}y)+\dot{y}(k{}_0,k{}_1\in \mathbf{R}{}^{+})(4)$

根据σ₁定义可知, 当σ₁ (y) →0时, $\dot{y}\to -k{}_1\cdot \tanh (k{}_0,y)；$当y偏差较大时, 以接近固定速率衰减; 偏差较小时以指数规律衰减, 对航迹的控制目标转化为对σ₁的控制。通过调整k₁, 可以限制偏差衰减速率, k₀是为压缩坐标而设置, 与k₁共同作用, 可以调节非线性滑动模态的最大斜率。

第2步, 根据系统模型可知, 由于存在流的干扰, 即使航迹偏差为0, 航向偏差也不能为0, 因此并不存在航迹偏差与航向偏差之间的简单时不变滑动模态。为解决这一问题, 本文定义带积分的时变滑动模态为

σ₂ (σ₁, φ_s) =φ_s+k₂∫tanh (σ₁) dt (k₂∈R⁺) (5)

对航迹偏差及航向的控制转化为对σ₂的控制, 输出通道之间的降维设计已经完成。σ₂→0时, 系统稳定性证明如下。

将$\dot{y}=V{}_{\text{s}}\sin (\phi {}_{\text{s}})+c(t)$代入式(4), 可得

σ₁=k₁tanh (k₀y) +V_ssin (φ_s) +c (t) (6)

由σ₂=0, 可得

$\phi {}_{\text{s}}=-k{}_2{\displaystyle \int \text{t}}\text{a}\text{n}\text{h}(\sigma {}_1)\text{d}t(7)$

假设对所有t∈[t₁, t₂], t₂=t₁+Δt, 有σ₁ > 0 (根据σ₁定义及系统连续性可知, 如果σ₁ (t₂) ≤0, 则必存在0≤ξ≤1, 满足σ₁ (t₁+ξΔt) =0, 且对所有t∈[t₁, t₁+ξΔt], 有σ₁ (t) > 0), 则在t=t₂时, 有

Δφ_s=-k₂tanh (σ₁ (t₁+ξΔt)) Δt (0≤ξ≤1, σ₁ (t₁+ξΔt) > 0) (8)

sin (φ_s (t₂)) -sin (φ_s (t₁)) =cos (φ_s (t₁+ζΔt)) Δφ_s (0≤ζ≤1) (9)

Δσ₁=k₁tanh (k₀y (t₂)) -k₁tanh (k₀y (t₁)) +V_s (t₂) [sin (φ_s (t₂)) -sin (φ_s (t₁)) ]+sin (φ_s (t₁)) [V_s (t₂) -V_s (t₁) ]+c (t₂) -c (t₁) (10)

将式(8)、(9) 代入式(10) 可得

Δσ₁=k₁[tanh (k₀y (t₂)) -tanh (k₀y (t₁)) ]-V_s (t₂) ·cos (φ_s (t₁+ζΔt)) k₂tanh (σ₁ (t₁+ξΔt)) Δt+sin (φ_s (t₁)) [V_s (t₂) -V_s (t₁) ]+c (t₂) -c (t₁) (11)

由式(3) 可得

Δσ₁≤2k₁+L₁Δt+L₂Δt-V_s (t₂) cos (φ_s (t₁+ζΔt)) ·k₂tanh (σ₁ (t₁+ξΔt)) Δt (12)

由V_s > 0及cos (φ_s (t₁+ζΔt)) > 0 (航行实际中流压差通常很小, 如果达到90°已失去意义) 可知存在σ₁ > 0, k₂∈R⁺, 使

$\text{Δ}\sigma {}_1\le 0(13)$

当t=t₁, σ₁ < 0时, 存在σ₁ < 0, k₂∈R⁺, 使

$\text{Δ}\sigma {}_1\ge 0(14)$

则σ₁一致最终有界, 系统处于近似滑动模态或在一定宽度边界层内滑动, 且

$\underset{k{}_2\to \infty }{{\displaystyle \sup }}(\sigma {}_1)=0$

即可通过调整参数k₂调整边界层宽度。

第3步, 为保证系统动态控制品质和不变性, 对σ₂的趋近控制仍采用滑模变结构控制方法, 定义滑动模态为

$\sigma {}_3(\sigma {}_2)=k{}_3\tanh (\sigma {}_2)+\dot{\sigma }{}_2(k{}_3\in \mathbf{R}{}^{+})(15)$

则控制目标进一步转化为对σ₃的控制。

第4步, 与第3步类似, 对σ₃的趋近控制仍采用滑模变结构控制方法, 定义滑动模态为

$\sigma {}_4(\sigma {}_3)=k{}_4\tanh (\sigma {}_3)+\dot{\sigma }{}_3(k{}_4\in \mathbf{R}{}^{+})(16)$

则控制目标进一步转化为对σ₄的控制。

第5步, 求控制量δ, 使σ₄=0。将σ₄展开可得

$\begin{array}{l}\sigma {}_4(\sigma {}_3)=k{}_4\tanh (\sigma {}_3)+k{}_3\text{t}\text{a}\text{n}{\text{h}}^{\prime }(\sigma {}_2)+\\ k{}_2\text{t}\text{a}\text{n}{\text{h}}^{\prime }(\sigma {}_1)+\dot{r}\end{array}(17)$

将系统模型

$\dot{r}=f(r)+g\delta +d(t)$

代入式(17) 可得

σ₄ (σ₃) =k₄tanh (σ₃) +k₃tanh′ (σ₂) +k₂tanh′ (σ₁) +f (r) +gδ+d (t) (18)

因为系统参数不确定且存在干扰, 需设计鲁棒性较强的控制律, 本文采用如下增量反馈控制律

$\dot{\delta }=-p\sigma {}_4-\epsilon \mathrm{sgn}(\sigma {}_4)(p‚\epsilon \in \mathbf{R}{}^{+})(19)$

系统稳定性证明类似式(8) ~ (14), 具体如下。

假设对所有t∈[t₁, t₂], t₂=t₁+Δt, 有σ₄ > 0 (根据σ₄定义及系统连续性可知, 如果σ₄ (t₂) ≤0, 则必存在0≤ξ≤1, 满足σ₄ (t₁+ξΔt) =0, 且对所有t∈[t₁, t₁+ξΔt], σ₄ (t) > 0), 则在t=t₂时, 有

$\begin{array}{l}\text{Δ}\sigma {}_4=k{}_4[\tanh (\sigma {}_3(t{}_2))-\tanh (\sigma {}_4(t{}_1))]+\\ k{}_3[\text{t}\text{a}\text{n}{\text{h}}^{\prime }(\sigma {}_2(t{}_2))-\text{t}\text{a}\text{n}{\text{h}}^{\prime }(\sigma {}_2(t{}_1))]+\\ k{}_2[\text{t}\text{a}\text{n}{\text{h}}^{\prime }(\sigma {}_1(t{}_2))-\text{t}\text{a}\text{n}{\text{h}}^{\prime }(\sigma {}_1(t{}_1))]+\\ f(r(t{}_2))-f(r(t{}_1))+g(t{}_2)\text{Δ}\delta +\\ \delta (t{}_1)[g(t{}_2)-g(t{}_1)]+d(t{}_2)-d(t{}_1)(20)\end{array}$

由式(18) 可知

$\begin{array}{l}\text{Δ}\delta =\dot{\delta }(t{}_1+\zeta \text{Δ}t)\text{Δ}t=-[p\sigma {}_4(t{}_1+\zeta \text{Δ}t)+\epsilon ]\text{Δ}t\\ (0\le \zeta \le 1‚\sigma {}_4(t{}_1+\zeta \text{Δ}t)>0)(21)\end{array}$

将式(21) 代入式(20), 并考虑到式(3), 可得

Δσ₄≤2k₄+2k₃k₂+2k₃r_max+2k₂k₁k₀ (V_smax+V_cmax) +2k₂ (L₁+k₂V_smax+L₂) +L₃Δt+L₅Δt+δ_maxL₄Δt-g (t₂) [pσ₄ (t₁+ζΔt) +ε]Δt (22)

由假设1、2及σ₄ (t) > 0可知, 存在p, ε∈R⁺, 使

$\text{Δ}\sigma {}_4<0(23)$

在t=t₁, σ₄ < 0时, 同理可证存在p, ε∈R⁺, 使

$\text{Δ}\sigma {}_4>0(24)$

应当指出, 通过式(5)、(15) 可以看出, 设计到第3步, 系统控制目标已经转化为对σ₃ (状态变量的标量函数) 的控制, 可以采用多种变结构趋近控制律求解控制量使滑模满足可达条件。第4步的做法是将非线性滑动模态定义到扩展状态空间, 好处是可使系统从任意初始状态进入滑动模态, 保证变结构控制的不变性, 并可以结合增量反馈控制, 避免对系统与干扰不确定性的估计以及变结构抖振问题, 具体见仿真结果。

3.   仿真结果分析

为验证非线性分解迭代滑模控制算法的可行性与控制效果, 本文应用Matlab的Simulink仿真环境设计了船舶航迹控制程序。以实习轮“育龙”为对象, 针对不同航速和干扰情况下航迹控制进行了仿真计算和对比分析。

船舶、舵机模型及参数设置^[6]为

$\{\begin{array}{l}f(r)=-\frac{1}{{\rm T}}r-\frac{\alpha }{{\rm T}}r{}^3\\ g=\frac{{\rm K}}{{\rm T}}\\ \dot{\delta }=(\delta {}_{\text{r}}-\delta )/{\rm T}{}_{\text{E}}\end{array}(25)$

式中: K与T分别为船舶旋回性与追随性指数; α为非线性项参数。航速为15 kn时, K为0.478, T为216, α为30, δ_r为命令舵角, 舵机时间常数T_E为2.5 s, 受舵机功率限制, 舵角变化极限速率通常仅为3 (°) ·s^-1~7 (°) ·s^-1, 仿真中限制为5 (°) ·s^-1。

控制器设计参数k₀为0.10, k₁为0.40, k₂为0.02, k₃为0.02, k₄为0.10, p为200, ε为0.05。

外界条件设置: 往复流为60°~240°, 周期为12 h, 振幅为2 kn, 初始相位为-π/6, 定常风干扰处理为恒值干扰, d为-2×10^-4 (忽略航向、航速变化对风力的影响), 需压舵5°保向, 初始航向设置为0 (下同), 航迹变化200 m的阶跃响应见图 1。

图  1  航速为15 kn时y、φ_s及δ的响应曲线

Figure  1.  Response curves of y, φ_s and δ at 15 kn

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由图 1可以看出, 进入滑动模态后, 航迹偏差几乎为匀速衰减, 且最大速率可控(根据式(4) 可知, k₁为0.40时, 控制最大速率为0.4 m·s^-1); 操舵只需抵抗风力, 没有抖振现象。为验证控制器参数的物理意义, 将参数设置为: k₀为0.02, k₁为2.00, 其他参数、船速及外界干扰条件不变, 航迹变化为200 m的阶跃响应见图 2。与图 1对比可看出, 航迹偏差衰减速率明显加快, 稳定时间明显缩短。

图  2  控制器参数改变后y、φ_s及δ的响应曲线

Figure  2.  Response curves of y, φ_s and δ while controller being modified

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为验证航迹偏差较大时的非线性滑动模态的特性以及控制效果与鲁棒性, 将船速设置为8 kn, 相应K为0.25, 初始航迹偏差设置为-1 n mile (1 852 m), 流初始相位设置为π/6, 振幅设置为3 kn, 风力处理为定常风干扰, d为-2×10^-4, 叠加周期为1 min、振幅为2×10^-4的正弦干扰, 仿真结果见图 3 (图中x为船舶前航距离)。

图  3  航速为8 kn时y、φ_s及δ的响应曲线

Figure  3.  Response curves of y, φ_s and δ at 8 kn

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可以看出, 非线性滑动模态可以控制航迹偏差衰减速率(2 m·s^-1), 有利于保持相对稳定航向及直线航迹(未计操舵对航速的影响), 避免频繁转向影响船速, 控制效果符合航海实际, 航迹、航向响应曲线及操舵没有抖振现象; 在流向流速有利于航迹偏差减小时, 控制算法能够对流压加以巧妙地利用。仿真结果说明控制算法对系统参数及外界干扰变化不敏感, 具有强鲁棒性。

4.   结语

非线性迭代滑模使系统输出偏差较大时的衰减速率受到限制, 解决了系统的状态变量及控制器的约束问题, 可适应航海实际需要; 非线性滑模的设计参数物理意义明显, 有利于整定参数以得到期望的系统响应特性; 增量反馈控制能够巧妙地对系统本身的特性甚至外界干扰加以利用, 而不是一概地予以抵消, 避免浪费控制能量; 增量反馈控制可以避免定常干扰引起的系统输出稳态误差, 其原理在于误差会持续反馈至控制增量, 直到消失为止, 同时未对输入的积分进行反馈, 避免了积分超调。由于设计模型忽略了船体对水横向运动, 与实际尚存在差别, 下一步的研究工作是控制算法的实船验证、控制系统的频率响应分析与滑模参数优化等问题。