0.   引言

现代有轨电车是一种中等运量的城市公共交通, 近年在中国迎来了全面发展的阶段。截至2014年底, 中国共有8个城市运营有轨电车线路共计141km, 在建线路312km^[1]。但是受到城市道路特别是信号交叉口的影响, 有轨电车与社会车辆之间存在通行矛盾。为了充分发挥其快速便捷的性能, 有必要对有轨电车在信号交叉口的优先通行进行研究。

现代有轨电车虽然在国内外已经有超过30年的运营历史, 但是专门针对其信号优先的研究大都以定性分析、归纳总结和较为基础的测算为主, 定量化和模型化的研究还比较缺乏。王舒祺将有轨电车的优先控制分为时间优先和空间优先2类^[2]; Sermpis等详细描述了雅典有轨电车信号优先方案, 包括绿波方法和感应信号优先方法^[3]; Gatenby等介绍了英国诺丁汉有轨电车系统, 包括道路监测系统和信号优先系统^[4]; Shalaby等以多伦多核心区国王街上的有轨电车线路为背景, 提出了4种优先仿真场景^[5]; Mstsumoto等对有轨电车车站进行了信号优先控制仿真^[6]; Jeong等在MAXBAND的基础上提出了TRAMBAND模型, 通过干线信号协调得到有轨电车绿波带^[7]; Zhou等改进了既有的AM-BAND模型并将其用于有轨电车的干线信号协调^[8]。

有轨电车信号优先的研究较少, 但公交信号优先和BRT信号优先方面有广泛深入的研究。张伟等选取了有信号优先的北京快速公交1号线和没有信号优先的2号线, 通过调查比较了二者的运行时间和平均速度, 表明信号优先的效果显著^[9]; Wei等提出了以所有车辆的耗油量和尾气排放为目标的公交信号优先策略^[10]; 马万经等以节能减排和最优通行为控制原则, 建立了可变速公交运行与优先控制的协调优化方法^[11]; Mirchandani等将公交信号优先和车辆调度问题相结合, 解决了故障公交后续车辆利用信号优先减少乘客延误的问题^[12]; Kim等研究了多个信号优先申请下的优先处理方法^[13]; Koehler等提出了公交车辆在车站的离开时间与交叉口信号协同控制的方法^[14]; Bagherian等建立了一种将公交信号优先对车辆延误的作用考虑在内的延误方程^[15]。

上述研究以信号优先为切入点, 涉及各个方面, 优先策略一般作为给定条件。然而, 优先程度的不同对社会车辆和优先车辆的影响不同, 因此, 有必要为信号优先设定一个合理的阈值。杨远舟等利用元胞自动机通过比较停车次数、排队长度和车辆延误, 给出了信号优先时长的最大值^[16]。在信号优先研究方法方面, 除元胞自动机外, 常用的模拟方法还有遗传算法^[17-18]、VISSIM仿真^[19-20]、Paramics模拟^[12]等, 虽然它们能够模拟较为真实的道路场景, 但是需要还原复杂的路网, 并且复制性较差。另一类方法是解析法, Liu等利用韦伯斯特图解法研究了信号优先对公交车辆和其他车辆延误的影响, 并用仿真证明了方法的有效性^[21]; 朱晓宁等为多路公交优先建立了信号优化的双层规划模型^[22]; 孙煦等建立了信号优化的双层规划模型并利用遗传算法对模型进行了定量求解^[23]; 杨晓光等建立了公交信号优先的系统最优线性规划模型, 提出了以乘客为对象的延误最小化目标^[24]。

实际上, 交通出行是人的转移, 将人延误代替车延误作为优化目标符合公交优先的宗旨。基于此, 本文借鉴人延误优化目标和韦伯斯特图解法的思想, 针对绿灯提前和绿灯延长2种优先策略, 以交叉口整体效益为优化目标, 建立了求解有轨电车信号优先时长阈值的优化模型。此外, 与BRT和其他道路公交有所不同, 有轨电车具有车身长度长、载客量大、灵活性较差等特点, 本文考虑了有轨电车车身长度的影响, 并且分车道组进行延误计算, 为给予有轨电车合理范围内的信号优先提供依据。

1.   信号优先时长阈值建模

信号优先时长阈值建模最终目标是得到有轨电车信号优先时长t的阈值上下限, 令t_min为阈值的下限, t_max为阈值的上限。

1.1   阈值的下限

在绿灯提前策略下, 有轨电车与一般公交车无差别, 提前启动的绿灯只要保证优先车辆的车头能够越过进口道的停车线即可, 有轨电车便会在绿灯时间内通过交叉口, 因此, t_min≥0。

在绿灯延长策略下, 由于有轨电车的车身较长, 仅保证有轨电车车头越过停车线显然不够, 有轨电车在穿越交叉口时, 会与下一相位已经开始通行的车辆互相影响, 因此, 需要设置最小优先时长, 保证有轨电车车头越过出口道的停车线, 此时有

式中: L为交叉口宽度; v为有轨电车通过交叉口的平均速度。

1.2   阈值的上限

阈值的上限问题可以看作是有轨电车优先的交叉口信号优化问题, 找到满足约束条件并使目标函数取到最大的t, 便得到了t_max。2种策略的求解方法无差别, 优化模型为

式中: P为交叉口的整体效益; I(t)为优先时长为t时的目标函数; W为单个车辆的延误; S为交叉口处车道的饱和度; 式(3)、(4)为约束条件。

根据《城市道路工程设计规范》(CJJ37—2012), 新建道路信号交叉口服务水平按照三级水平设计, 控制单个车辆的延误为50~60s, 以60s作为单个车辆延误的最大值。中国城市道路交叉口的设计多以延误为约束, 并没有明确要求饱和度的大小。饱和度大于1会引起部分车辆二次等灯, 过高会造成车辆排队和拥堵, 因此, 将交叉口饱和度作为约束条件, 其值等于信号周期内车辆的到达量与有效绿灯时间内通行能力的比值。交叉口的整体效益是优先时长的函数。信号优先会给优先相位带来正效益, 给非优先相位带来负效益。若以车辆为研究单元, 那么该效益可以用所有车辆减少和增加的延误总和来衡量。然而, 有轨电车编组灵活, 载客量为150~300人。以出行者为研究单元, 交叉口的整体效益可用所有出行者减少和增加的延误总和来衡量, 因此, 若整体效益大于零, 表示执行优先能给交叉口的通行者带来正效益, 且整体效益值越大, 正效益越大, 反之则带来负效益。

在信号周期不变的条件下, 绿灯提前会导致前一相位的红灯提前到来, 绿灯延长会导致后一相位的绿灯推迟到来。绿灯提前优先策略与绿灯延长优先策略下交叉口的整体效益P₁、P₂分别为

式中: D₂、D₁分别为执行绿灯提前后优先相位所有出行者减少的总延误和其前一相位所有出行者增加的总延误; E₂、E₁分别为执行绿灯延长后优先相位所有出行者减少的总延误和其后一相位所有出行者增加的总延误。

2.   延误的计算方法

延误的计算需要借助韦伯斯特图解法^[21], 但1个相位通常有2个以上车道组, 不同车道组的车辆到达及车辆组成不同, 因此, 在韦伯斯特图解法的基础上以车道组为研究单位, 车道组用j表示。

2.1   绿灯提前策略

2.1.1   绿灯提前策略下优先相位减少的延误

令交叉口的信号周期为C, 优先相位红灯时长为r₂, 并假设车辆均匀到达, 车道组j的到达率为p_2j, 离开率为q_2j。检测到有轨电车需要的绿灯提前时长为t, 那么优先相位的绿灯开始时刻将由t₁向前移至t₂, 移动时长为t, 绿灯提前策略下优先相位减少的延误见图 1。优先相位所有车辆减少的总延误d₂为图 1中阴影部分的面积, 该面积可以通过对车辆到达、离开曲线函数在相应区间上的积分得到, 此时有

图  1  绿灯提前策略下优先相位减少的延误

Figure  1.  Decreased delay of priority phase under early green strategy

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假设第i种车辆类型的车辆换算系数为k_i, 载客人数为λ_i, 在车道组j的到达率为n_ij, 那么, 优先相位所有出行者减少的总延误为

2.1.2   绿灯提前策略下非优先相位增加的延误

在这种情况下, 令非优先相位红灯时长为r₁, 并假设车辆均匀到达, 车道组j的到达率为p_1j, 离开率为q_1j, 绿灯提前策略下非优先相位增加的延误见图 2。非优先相位的绿灯开始于t₃, 在t₂时车辆到达率等于车辆离开率, 延误为零, 最后绿灯结束于t₁。由于有轨电车的绿灯开始时刻提前了t, 那么非优先相位原本绿灯结束时刻就要相应提前。若绿灯结束时刻由t₁移至t₁和t₂之间, 非优先相位所有车辆增加的总延误为阴影部分①的面积。若绿灯结束时刻由t₁移至t₂和t₃之间, 总延误为阴影部分①和②的面积之和, 此时信号周期内到达的车辆无法在一次绿灯内全部驶离, 部分车辆需要二次等灯, 黄灯时长和行人过街的最小绿灯时长分别为y和g, 因此, 车道组j所有车辆增加的总延误d_1j、所有车辆的总延误W_1j与受影响车辆的持续时间T_1j的计算分为2种情况。

图  2  绿灯提前策略下非优先相位增加的延误

Figure  2.  Increased delay of non-priority phase under early green strategy

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当0≤t≤C-r₁/(1-p_1j/q_1j)时, 有

当C-r₁/(1-p_1j/q_1j) < t≤C-r₁-y-g时, 有

所有车辆增加的总延误d₁、单个车辆的平均延误W₁、所有出行者增加的总延误D₁分别为

2.2   绿灯延长策略

2.2.1   绿灯延长策略下优先相位减少的延误

若检测到有轨电车需要的绿灯延长时间为t, 那么优先相位的绿灯结束时刻会由t₁向后移至t₂, 移动时长为t, 绿灯延长策略下优先相位减少的延误见图 3。优先相位所有车辆减少的总延误e₂为图 3中阴影部分的面积, 同时可以求出优先相位所有出行者减少的总延误E₂, 令车道组j的受影响车辆的持续时间为T_2j。

图  3  绿灯延长策略下优先相位减少的延误

Figure  3.  Decreased delay of priority phase under extended green strategy

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2.2.2   绿灯延长策略下非优先相位增加的延误

在这种情况下, 令非优先相位红灯时长为r₃, 并假设车辆均匀到达, 车道组j的到达率为p_3j, 离开率为q_3j, 绿灯延长策略下非优先相位增加的延误见图 4。t₁为非优先相位的绿灯开始时刻, 在t₂时刻车辆到达率等于车辆离开率, t₃为绿灯结束时刻。若绿灯开始时刻由t₁后移至t₁和t₂之间, 非优先相位所有车辆增加的总延误为阴影部分①的面积; 若绿灯开始时刻由t₁后移至t₂和t₃之间, 部分车辆需要二次等灯, 总延误为阴影部分①和②的面积之和, 因此, 车道组j所有车辆增加的总延误e_1j、所有车辆的总延误W_2j、以及受影响车辆的持续时间T_3j的计算分为2种情况。

图  4  绿灯延长策略下非优先相位增加的延误

Figure  4.  Increased delay of non-priority phase under extended green strategy

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当0≤t≤C(1-p_3j/q_3j)-r₃时, 有

当C(1-p_3j/q_3j)-r₃ < t≤C-r₃-y-g时, 有

此时所有车辆增加的总延误e₁、单个车辆的平均延误W₂、所有出行者增加的总延误E₁分别为

3.   案例研究

以一个四相位交叉口为例, 由于绿灯提前和绿灯延长只对优先相位的前后相位有影响, 因此, 只需列出3个相关相位的参数, 交叉口和车流的相关参数见表 1, 交通量换算前、后单位分别为veh、pcu。有轨电车需要穿过的交叉口宽度为21m, 平均速度为15km·h^-1。

表  1  交叉口和车流构成的相关参数

Table  1.  Relevant parameters of intersection and vehicle flow

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3.1   两种策略的对比

根据绿灯提前和绿灯延长2种策略下的模型, 得到非优先相位单个车辆的延误、非优先相位交叉口饱和度、交叉口整体效益分别见图 5~7。对于绿灯提前策略, 图 5中车辆延误随优先时长的增加而增加, 在A₁点时单个车辆延误为60.2s, 根据约束条件式(3), 此时达到延误约束, 因此, 自变量t < 15s。图 6中非优先相位两车道组分别在横坐标为16、17s时饱和度同为1.6, 根据约束条件式(4), 此时超过约束, 因此, 自变量t < 16s, 因此, 由约束条件得到自变量的取值范围为t∈[0, 14]。根据目标函数式(2), 由图 7可知在t∈[0, 14]范围内当t=13s时交叉口的整体效益最大, 因此t_max=13s, 绿灯提前时长的阈值应为0~13s, 意味着有轨电车绿灯提前的时间应该控制在13s以内, 如果超过该值, 就会给其他相位的车辆造成较大延误。对于绿灯延长策略, 由图 5得t < 13s, 由图 6得t < 12s, 因此, 自变量的取值范围为t∈[0, 11], 由图 7可知当t=11s时交叉口的整体效益最大, 因此, t_max=11s, 由式(1)得t_min=5s, 绿灯延长时间的阈值为5~11s。

图  5  两种策略下非优先相位单个车辆的延误

Figure  5.  Single vehicle delays of non-priority phase under two strategies

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图  6  两种策略下非优先相位交叉口的饱和度

Figure  6.  Intersection saturations of non-priority phase under two strategies

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图  7  两种策略下非优先相位交叉口的整体效益

Figure  7.  Intersection overall benefits of non-priority phase under two strategies

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为了研究图 5中车辆延误曲线在A₂点的增长率突然变大的原因, 将各参数代入绿灯提前中的单个车辆延误公式(16), 得到非优先相位单个车辆延误关于t的分段函数的斜率在t=12s时由0.5突然变为2.8, 因此, 曲线在A₂点的增长率突然变大。同样地, 图 7中整体效益值在t=13s时达到最大, 之后开始迅速下降。这与图 2中涉及到的2种情况的分界值C-r₁/(1-p_1j/q_1j)有关, 当t大于该值时, 部分车辆需要等2次信号灯才能离开, 车辆在交叉口的滞留会带来较大延误, 造成交叉口整体效益迅速下降, 出现了计算结果在图上的拐点。

3.2   优先时长对滞留车辆数的影响

案例中共有4个车道组受信号优先的影响, 其饱和度分别为0.69、0.74、0.59和0.65, 以饱和度最大的车道组为例, 研究优先时长对滞留车辆数的影响。假设在研究时段内绿灯提前策略仅执行一次, 本周期及随后周期该车道组在交叉口的滞留车辆数见图 8。可以看出, 当绿灯提前时长小于7s时, 该车道组所在相位的绿灯时长大于19s, 该车道组的车辆在本周期的绿灯时间内能够被清空。随着绿灯提前时长的增加, 该车道组所在相位的绿灯时长不断减小, 滞留车辆数不断增加。当优先时长增加到14s时, 车辆在下周期的绿灯结束时仍无法被清空。当优先时长为21s时, 该车道组所在相位的绿灯时长为5s, 达到最小绿灯时长限制, 下下周期绿灯结束时仍有一辆车没有顺利通过交叉口。绿灯提前时长的阈值为0~13s, 在优先时长不大于13s的约束下, 滞留车辆在下周期绿灯期间能够被完全清空。优先阈值的设置保证了信号优先不会对较多后续周期产生影响。

图  8  不同优先时长的滞留车辆数

Figure  8.  Retention vehicles number in different priority times

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3.3   公交车辆数对阈值的影响

影响优先时长阈值上限的因素包括车流构成、车辆到达率、饱和流率与信号配时等。为了研究各因素对t_max的影响, 以绿灯提前策略为例, 以非优先相位的公交车辆数、车辆到达率与红灯时长为对象, 设置多种情景进行分析。为对非优先相位的公交车辆数对阈值的影响进行分析, 保持信号参数和车辆到达率、离开率等其他参数不变, 令非优先相位平均每小时到达的公交车辆数n为变化量, 得到公交车辆数分别为0、2、4、…、18veh等10种情景下整体效益随优先时长的变化曲线见图 9。可以看出, 随着公交车辆数的增加, 同样优先时长下的整体效益越来越小, 但是使整体效益取最大值的优先时长基本不变, 表明如果单纯考虑信号优先给出行者带来的延误, 公交车辆数对信号优先时长阈值的影响较小。但是, 当公交车辆数不少于16时, 整体效益趋于0甚至为负, 表明非优先相位的公交车辆数存在临界值, 公交车辆数小于临界值时公交车数量不影响信号优先时长阈值, 但是大于该临界值时设置任何程度的信号优先都会给交叉口带来负效益, 因此, 在实际中如果与有轨电车相交道路上的公交车较多, 若考虑以出行者为对象的交叉口整体效益, 有轨电车不适合享有信号优先权。

图  9  不同公交车辆数下的整体效益

Figure  9.  Overall benefits with different bus numbers

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图 9中的多条曲线表明不同情景的整体效益差别很大, 若以车辆为研究单元, 此时整体效益只与车辆总的到达率有关, 而与车流构成无关, 则所有情景的整体效益曲线只有一条, 进一步证明将出行者作为研究单元的必要性, 因此, 如果用车辆延误来衡量有轨电车优先对交叉口的影响, 忽略公交系统里的乘客数量, 对于乘坐公共交通的乘客有失公平。

3.4   车辆到达率对阈值的影响

为对非优先相位的车辆到达率对阈值的影响进行分析, 令非优先相位各车道组的车辆到达率均为p, 保持车辆构成等比例变化且其他参数不变, 得到车辆到达率分别为0.040、0.045、0.050、…、0.115pcu·s^-1等16种情景下整体效益随优先时长的变化曲线见图 10。若不考虑车辆延误和交叉口饱和度的约束, t_max便是整体效益取最大值时的t。可以看出, t_max随着非优先相位车辆到达率的增加而减小, 当p大于0.115pcu·s^-1(414pcu·h^-1)时, t_max趋于0, 此时不再适合给有轨电车设置信号优先。

3.5   红灯时长对阈值的影响

为对非优先相位的红灯时长对阈值的影响进行分析, 令非优先相位的红灯时长r₁分别为80、81、…、101s, 其他参数保持不变, 得到这22种情景下整体效益随优先时长的变化曲线见图 11。可以看出, t_max随着非优先相位红灯时长的增加而减小, 当r₁大于101s时, t_max趋于0, 此时不再适合给有轨电车设置信号优先。

图  10  不同到达率下的整体效益

Figure  10.  Overall benefits with different arrival rates

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图  11  不同红灯时长下的整体效益

Figure  11.  Overall benefits with different red times

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4.   结语

(1) 本文借鉴了以出行者为研究单元和韦伯斯特图解法计算延误的方法, 提出了确定有轨电车信号优先时长阈值的优化模型, 分车道组进行延误计算, 提高了准确度。

(2) 信号优先会引起非优先相位的车辆滞留, 优先时长控制在阈值范围内能够保证滞留车辆在下一周期被清空。非优先相位的车流构成变化对信号优先时长阈值的影响不大, 但是非优先相位的公交车辆数大于临界值时有轨电车信号优先会给交叉口交通状况造成较大影响。信号优先时长阈值的上限随着非优先相位车辆到达率和红灯时长的增大而减小, 本文提出的模型可以求出二者的临界值, 非优先相位车辆到达率和红灯时长超过临界值时, 不再适合给有轨电车设置信号优先。

(3) 由于韦伯斯特图解法的局限性, 无法反映车辆到达不均匀的情况, 因此, 后续研究可以根据车辆到达的时空特性进一步细化车辆到达过程。