0.   引言

简支下承式系杆拱受力明确, 为外部静定、内部超静定结构, 下部结构类似于梁桥, 广泛应用于江南水乡河网地区。南河大桥是位于宁杭高速公路溧阳段上的一座大型桥梁。其主桥属于简支下承式钢管混凝土系杆拱桥, 采用刚性系梁刚性拱, 计算跨径L为126.28 m, 拱轴线为二次抛物线, 矢跨比为1/5, 矢高为25.256 m; 拱肋采用哑铃形钢管混凝土, 截面总高为2.6 m, 每个钢管外径为110 cm, 钢管及腹板壁厚为1.4 cm, 内充40号微膨胀混凝土, 钢管采用符合GB 1591-94标准的Q345D(16Mn)钢板卷制; 系梁采用箱形断面, 系梁高为240 cm, 宽为120 cm, 壁厚为30/40 cm, 采用50号混凝土浇筑; 吊杆间距为6.30 m, 每片拱肋设吊杆19根; 横梁采用预应力混凝土结构, 混凝土采用50号; 风撑采用K形, 由外径110和80 cm钢管焊接而成, 钢管材料同拱肋, 每幅桥6组风撑; 桥面板采用高度为35 cm的预制空心板; 设计荷载: 汽车-超20级、挂车-120;桥面净宽: 净-2×15.25 m。主桥桥型布置见图 1。

图  1  主桥立面图

Figure  1.  Elevation of main bridge

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1.   非线性稳定性影响因素

1.1   材料非线性

1.1.1   钢管混凝土拱肋

钢管和混凝土之间粘结较好, 没有相对滑移和变形; 考虑钢管对混凝土的套箍作用, 将钢管混凝土视为单一的组合材料^[1]; 从加载到失稳破坏整个过程中, 平截面假定成立; 截面形状与面积在变形前后不发生变化。钢管混凝土单轴受压应力-应变关系见图 2, N为轴向力; A_sc为钢管混凝土截面面积; ξ、ξ₀为钢管混凝土约束效应系数及其设计值, 对于圆形构件ξ₀取为1

$\xi =A{}_{\text{s}}f{}_{\text{y}}/A{}_{\text{c}}f{}_{\text{c}}(1)$

图  2  钢管混凝土组合构件的本构关系

Figure  2.  Constitutive relationship of CFST

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式中: A_s、A_c分别为截面中钢材与混凝土面积; f_y、f_c分别为钢材屈服强度和混凝土抗压强度设计值。

在ξ≥ξ₀时, 曲线可分为弹性(OA)、弹塑性(AB)与强化(BC)3个阶段; 在ξ < ξ₀时, 曲线可分为弹性(OA)、弹塑性(AB)、强化(BC′)与下降(C′D)4个阶段。

当ξ₀为1时, 经计算ξ为1, 故其应力-应变关系可简化为多线性随动强化模型(图 3)。图 3中: E_sc、E_sct分别定义为钢管混凝土名义弹性模量和名义切线模量; f_scp和ε_scp分别为名义轴压比例极限及其对应的应变; f_scy和ε_scy分别为钢管混凝土轴压强度承载力及其对应的应变^[1]。文中屈服强度f_scy为63.04 MPa, f_scp为48.53 MPa。

图  3  钢管混凝土简化的本构关系

Figure  3.  Simplified constitutive relationship of CFST

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1.1.2   钢材和混凝土

风撑等钢材采用理想弹塑性应力-应变关系, 系梁、横梁等混凝土采用多线性随动强化模型。

1.2   几何非线性

几何非线性指放弃小位移假设, 从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变化, 得到非线性的几何运动方程, 由此造成基本控制方程的非线性问题^[2-3]。几何非线性问题具有如下特点。

(1) 几何运动方程是非线性的, 平衡方程建立在结构变形后的位置上。

(2) 结构刚度除了与材料及初始构形有关外, 与受载后的应力、位移状态也有关。

1.3   结构初始几何缺陷

由于在制造、运输以及安装等施工环节中, 拱肋将产生一定的变形, 钢管成拱后拱轴线偏离设计的理想拱轴线, 即拱肋在平面内、外均存在初始的挠度和初始应力^[4-5]。这种原始几何缺陷具有很大的随机性, 关于随机分布的初挠度对屈曲的影响, 目前有两种研究方法: 将实测得到的初挠度分布进行调和分析, 然后计算极值点屈曲荷载; 将随机理论的方法用于分析任意分布的初挠度对屈曲的影响, 建立结构的屈曲荷载与随机初挠度谱密度间的关系。前一种方法只能对已建成的拱桥进行分析, 且实测工作量很大; 后一种方法公式推导繁杂, 最后得到的不是最不利的失稳形式。

预先进行一个特征值分析有助于非线性屈曲分析: 特征值屈曲载荷是预期的非线性屈曲载荷的上限, 可以作为非线性屈曲分析的给定载荷, 在渐进加载达到此载荷前, 非线性求解应该发散; 特征矢量屈曲形状是最接近于实际屈曲模态的预测值, 可以作为施加初始缺陷或扰动载荷的根据, 因此, 本文采用求特征向量的方法给结构添加初始几何缺陷, 一般假定初始几何缺陷为弹性屈曲计算结果的某一百分值。

2.   稳定计算理论

结构失稳有两种性质根本不同的失稳形式, 即分枝点失稳和极值点失稳, 对应着两种分析方法: 第1类为线弹性最小特征值屈曲问题, 用于确定一个理想弹性结构的理论屈曲强度; 第2类为极值点问题, 即考虑了结构几何非线性和材料非线性情况下的极限承载力问题。

第1类稳定问题无论在理论分析中还是在工程应用上都占有重要的地位, 这不仅是由于第1类稳定问题的力学概念比较明确, 在数学上可归结为特征值问题, 因而求解相对较容易, 更重要的是因为第1类和第2类稳定问题有着良好的相关性, 往往代表着第2类稳定问题的上限, 所以工程中通常以第1类稳定问题的计算结果作为设计的依据。

线性屈曲主要特点是在结构未变形位置建立结构总体弹性刚度阵和几何刚度阵, 最后把稳定分析转化为求解矩阵广义特征值问题。在临界载荷下, 拱桥结构线性屈曲的平衡方程为

$\mathit{{\rm K}}{}_{\text{d}}+\lambda \mathit{{\rm K}}{}_{\text{g}}=0(2)$

式中: K_d为弹性刚度矩阵; K_g为几何刚度矩阵, 它只与结构的轴力有关; λ为载荷稳定系数。式(2)在数学上表现为广义特征问题, 应用各种迭代方法, 如逆矢量迭代法、子空间迭代法等都可以很方便地求解^[6]。

非线性方程组的求解方法为荷载增量法: 荷载从0开始, 按照某种增量形式逐步增大到λ_iF, 当δ开始发散时, λ_iF即为拱桥极限承载力。通常将非线性方程组写成如下形式

$\mathit{{\rm K}}\mathit{\delta }-\lambda {}_i\mathit{F}=0(3)$

式中: K为结构刚度矩阵; δ为节点位移列向量; F为节点荷载列阵。λ为荷载因子, 可以假定

$0=\lambda {}_0<\lambda {}_1<\lambda {}_2<\cdots <\lambda {}_i<\lambda$

可以预测拱桥达到极限承载力时的稳定系数一般情况下不大于10, 为保险起见, 可设λ为100。对式(3)按照不同的方法进行线性化时, 采用自修正Euler法求解。结构的极限承载力在开始发散的荷载和在此前一级已收敛的荷载之间; 在极限荷载附近, 如荷载增量划分得较细, 可以偏于安全地认为是前一级荷载, 避免更加复杂的计算^[7]。

3.   弹性屈曲分析

3.1   计算模型

南河大桥的稳定采用空间有限元分析程序(ANSYS)分析。在建立有限元模型的过程中, 桥面系没有按实际情况输入, 而是将桥面板和桥面铺张视为均布线荷载加在横梁上; 拱肋截面按等惯性矩原则换算为矩形截面, 拱肋采用空间曲线梁单元; 系梁、横梁、风撑按实际截面输入, 采用空间直线梁单元; 吊杆仅承受拉力, 采用空间单向受拉杆单元; 桥梁橡胶支座采用接触单元模拟。参照以往拱桥空间有限元分析经验, 遵循空间拱肋曲梁单元划分精细些, 可以提高计算精度的原则, 综合分析考虑后, 模型共有空间杆单元38个, 空间梁单元808个, 接触单元4个。有限元模型见图 4。

图  4  有限元模型

Figure  4.  Finite element model

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3.2   弹性屈曲分析

本文考虑了两种工况, 一种是只有恒载作用的情况, 另一种是恒载作用+活载不利布置的情况(活载不利布置为考虑挂车偏载的情况)。弹性屈曲的分析结果表明, 活载不利布置对屈曲系数的影响较小, 两种工况下的屈曲安全系数变化不大, 面外屈曲安全系数均达到5.7以上, 面内弹性屈曲安全系数均达到27.3以上, 屈曲安全系数均大于规范要求4~5, 弹性稳定满足要求。恒载下南河大桥弹性部分屈曲模态见图 5及部分屈曲计算结果见表 1。

图  5  恒载下部分屈曲模态

Figure  5.  Several buckling modals under dead load

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表  1  计算结果

Table  1.  Computation result

SET	屈曲系数K	屈曲模态
1	5.8305	面外对称(一阶)
2	5.8728	面外反对称(一阶)
3	7.7990	面外反对称(二阶)
4	8.1245	面外对称(二阶)
5	9.3250	面外对称(三阶)
6	9.4965	面外非对称(三阶)
19	27.9330	面内对称

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4.   非线性稳定分析

4.1   非线性稳定判据和分析求解策略

在进行极值点失稳分析时, 本桥分析过程与一般的非线性分析过程相似, 通过采用一系列子步以增量加载的方式施加一个预定的载荷增量, 直到求解发散, 因此需要有一个特恰当的载荷增量来使载荷达到预期的临界载荷。在屈曲分析中, 如果在给定载荷下解不收敛, 程序就会将载荷步增量自动减半, 并在此较小载荷下重新进行新一轮求解。在分析中, 每一个这种收敛失败都通常伴随着一个“负主对角”信息, 这意味着所施加的荷载等于或超过了屈曲载荷。非线性方程组采用拟Newton法来求解, 用每个荷载增量等级的初始切线刚度矩阵的修正矩阵来进行迭代, 实践证明, 这种方法收敛速度快, 计算量较小。对收敛性的判断, 采用了残余力准则(不平衡力)和位移准则相结合的方法。

特别需要注意的是, 一个非收敛的解并不意味着结构达到了其最大载荷, 也可能是由于数值的不稳定性引起的, 可以通过细化模型的方法来修正。跟踪结构响应的载荷-变形历程, 可以确定一个非收敛的载荷步到底是表示了一个实际的结构屈曲, 还是反映了一个其他的问题。

4.2   非线性稳定分析求解结果

非线性屈曲分析可求解该拱桥结构的极限承载能力, 本文中考虑了材料非线性和几何非线性的双重影响, 分析中首先将自重荷载加在结构上, 然后在横梁上施加均布线荷载, 并且按比例逐渐增加此荷载。活载与恒载相比所占比例较小; 由弹性屈曲结果可知, 活载不利布置对屈曲系数的影响较小, 所以将活载等代为均布荷载分析。

南河大桥的桥宽B为17.7 m, 计算跨度L为126.28 m, L/B为7.13 < 20, 且截面选择和风撑布置合理。根据相关文献可知, 在这种情况下, 其面外稳定性能较好, 但因其支座为完全简支, 且在国内的同类桥型中跨度较大, 故仍需进行稳定承载能力的分析。考虑到施工、安装问题, 该桥结构存在一定量的初始几何偏差缺陷, 本例偏安全地取初始几何偏差缺陷为弹性屈曲计算变形结果的5%。

考虑材料非线性和几何非线性及初始几何缺陷, 经ANSYS程序分析计算表明, 平面外的屈曲承载能力不如平面内的承载能力, 钢管混凝土拱脚处, 南河大桥拱肋首先形成塑性铰, 拱肋拱顶的荷载-平面外横向位移曲线见图 6, 极限荷载相对于设计荷载(恒载和设计活载总和)的稳定安全系数为3.50, 达到极限荷载时, 桥梁结构的挠度及应力见图 7、8。

图  6  荷载与位移曲线

Figure  6.  Curve of load and displacement

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图  7  挠度

Figure  7.  Deflection

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图  8  应力／MPa

Figure  8.  Stress

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计算结果表明, 荷载从0~41 kPa阶段, 整个结构处于弹性阶段; 荷载为41~60 kPa时, 此时结构的静力非线性分析应考虑几何非线性; 当荷载超过60 kPa之后, 拱脚处钢管混凝土拱肋首先进入弹塑性状态; 荷载加到77 kPa时, 拱脚处的钢管混凝土进入了塑性屈服状态; 当荷载超过90 kPa之后, 拱脚处塑性区已贯通, 形成一个塑性铰; 在荷载为103 kPa时, 拱桥拱肋1/4处的横向挠度迅速增大, 桥梁发生对称面外失稳而破坏, 在破坏时, 部分风撑钢材还处于弹性状态。该极限荷载相对于设计荷载(恒载和设计活载总和)的稳定安全系数为3.50。在计算中, 当加载接近临界载荷时, 侧移增长很快, 而荷载几乎不增大。

按《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTJ 023-85)进行结构承载力最终极限状态计算, 荷载系数为1.2, 混凝土材料安全系数为1.25。结构工作条件系数为0.95, 则要求结构安全系数K为1.25×1.2/0.95=1.58。文献[8]也认为, 平面外弹塑性临界安全系数应大于或等于1.5。经分析, 本桥结构的总体安全系数为3.5, 因此, 南河大桥在使用阶段的稳定性是有保证的。

5.   结语

(1) 南河大桥的弹性屈曲系数K均大于规范要求(4~5), 弹性稳定满足要求, 其平面外的屈曲承载能力不如其平面内的承载能力。

(2) 南河大桥的非线性稳定分析表明, 钢管混凝土拱脚处, 拱肋首先形成塑性铰。破坏时, 极限荷载相对于设计荷载(恒载和设计活载总和)的稳定安全系数为3.50, 大于结构要求的总体安全系数1.58(文献[8]建议为1.5倍)。

(3) 由于活载与恒载相比所占比例较小, 所以南河大桥恒载+活载不利布置下屈曲模态图类似于恒载下的屈曲模态。

(4) 几何初始缺陷通常情况下会显著地降低结构的极限承载能力, 但是, 由于南河大桥的整体刚度较大, 对较小的几何初始缺陷不是很敏感。

(5) 南河大桥在到达其非线性失稳前, 仍然具有较大的整体刚度, 拱肋的横截面基本上不产生畸变, 本文建议加强薄弱部位, 以提高结构非线性极限承载能力。