Vertical vibration control of curved track structure based on inertial enhancement effect
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摘要: 针对曲线轨道的垂向振动控制，基于惯性增强效应，引入了调谐质量阻尼惯容器(TMDI)和振幅放大型调谐质量阻尼器(AM-TMD)，以实现更佳的振动控制效果；将曲线轨道考虑为离散支承的曲线Timoshenko梁结构，采用能量泛函变分法建立了有限长曲线轨道分析模型；在曲线钢轨两端引入完美匹配层作为低反射边界条件，用于更好地模拟无限长轨道结构；通过与已有无限长离散支承曲线轨道动力响应计算结果的对比，验证了分析模型的准确性以及完美匹配层的有效性；分析了垂向固定谐荷载作用下，调谐质量阻尼器(TMD)、TMDI和AM-TMD对曲线轨道动力响应的影响，评估了TMD、TMDI和AM-TMD的减振性能；分析了振幅放大系数与TMD工作能力之间的关系，揭示了AM-TMD的工作机理。研究结果表明：TMDI的引入有效地弥补了传统TMD在实现宽频控制时的质量缺陷，与TMD相比，同参数的TMDI工作带宽拓宽约1.5倍，最大振动衰减提升了约5.5 dB；AM-TMD的实质在于利用振幅放大机构来同步增大TMD的有效质量、刚度和阻尼，进而全面提升TMD的工作能力，与TMD相比，同参数的AM-TMD工作带宽拓宽约2.0倍，最大振动衰减提升了约6.1 dB。可见，从宽频控制、高衰减率的角度考虑，TMDI、AM-TMD比TMD更具优势。Abstract: In view of vertical vibration control of curved tracks, tuned mass damper inerter (TMDI) and amplitude magnification tuned mass damper (AM-TMD) were introduced based on inertial enhancement effect to realize better vibration control effects. Curved track was considered as a curved Timoshenko beam structure with discrete supports, and the energy functional variational method was used to establish a finite length curved track analysis model. Perfectly matched layer was introduced at both ends of curved track as a low reflection boundary condition for better simulating the infinite length track structure. The accuracy of analysis model and the effectiveness of perfectly matched layer were verified through the comparison with the dynamic response calculation results of existing infinite length discrete supported curved tracks. The effects of tuned mass damper (TMD), TMDI, and AM-TMD on the dynamic response of curved tracks under the action of fixed vertical harmonic load were systematically analyzed, and the vibration damping performances of TMD, TMDI, and AM-TMD were compared and evaluated. The relationship between the amplitude magnification factor and the operational capability of TMD was analyzed, and the working mechanism of AM-TMD was revealed. Research results show that the introduction of TMDI can efficiently make up for the quality defects of traditional TMD in implementing broadband control. Compared with TMD, the operating bandwidth of TMDI with the same parameters is broadened by about 1.5 times, and the maximum vibration attenuation rate increases by about 5.5 dB. The essence of AM-TMD lies in applying an amplitude magnification mechanism to synchronously enhance the effective mass, stiffness, and damping of TMD, thereby comprehensively improving the operational capability of TMD. Compared with TMD, the operating bandwidth of AM-TMD with the same parameters is expanded by about 2.0 times, and the maximum vibration attenuation rate increases by about 6.1 dB. Therefore, TMDI and AM-TMD are more effective than TMD from the perspectives of broadband control and high attenuation rate.
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Key words:
- urban rail transit /
- curved track /
- vibration control /
- inertial enhancement effect /
- inerter /
- amplitude magnification
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0. 引言
由于地下管网建设、线路规划以及地质条件等原因，城市轨道交通线路往往需要设计大量的曲线线路，小曲线半径的线路也日益增多[1-2]。地铁列车通过曲线轨道时产生的诸多问题一直是行业关注的焦点，例如曲线轨道常见的波磨问题，不仅影响轨道的动力性能，也给列车的乘车舒适性带来了不利影响[3]，因此，研究曲线轨道的振动控制问题具有重要的科学意义和工程指导价值。
建立兼具准确性和适用性的曲线轨道动力学理论分析模型，厘清曲线轨道的振动特性是研究曲线轨道振动控制问题的基础。针对曲线轨道动力学理论分析模型的研究，以往多采用直线梁模型模拟钢轨的振动特性，忽略了曲率半径对曲线轨道动力响应的影响[4-6]。随着轨道动力学的发展，部分学者针对曲率半径对轨道结构动力响应的影响展开了研究，取得了丰富的成果[7-9]，但在这些研究中均忽略了离散支承对曲线轨道动力响应的影响。过去十几年间，刘维宁教授团队的李克飞等[10-14]完整地考虑了曲率半径和离散支承的影响，对曲线轨道的振动特性开展了系统的研究。在他们的研究中，钢轨模拟为曲线Euler-Bernoulli梁和曲线Timoshenko梁，将曲线轨道考虑为以扣件间距为周期的周期性结构，基于无限-周期结构理论，对曲线轨道的垂向、横向、纵向和扭转特性进行了系统的分析。综上，目前针对曲线轨道振动特性的研究非常丰富，已形成了一套完整的理论体系，但涉及到曲线轨道振动控制的相关研究仍较少，需要进一步研究。
调谐质量阻尼器(Tuned Mass Damper, TMD)是结构振动控制常用的装置。因其具有可靠性、高效性和低成本等优点，被广泛应用于实际工程中。在铁道工程领域，TMD也备受研究人员的青睐，已有大量的理论和试验研究证明了TMD在控制钢轨波磨和减小钢轨辐射噪声方面的有效性[15-18]。目前TMD的实际应用场景以及减振效果的相关研究主要集中在直线轨道，与直线轨道相比，曲线轨道具有平面内和平面外弯扭耦合振动的特性，振动特性更为复杂，但对于TMD在曲线轨道中的减振性能分析及其结构优化的研究相对较少。事实上，TMD的工作能力与其惯性质量直接相关，增大TMD的惯性质量有利于获得更好的工作性能，但过大的质量会给TMD的实际工程应用造成困难[19]，因此，探寻一种兼具经济性和有效性的TMD工作能力提升方法具有重要的科学意义和工程指导价值。
近年来，在工程结构的振动控制领域，惯容器开始受到研究人员的青睐[20-22]。惯容器可以将线性运动转换为高速转动，进而产生远高于其物理质量的惯性力。Laurentiu等[22]将惯容器引入到TMD系统中，提出了调谐质量阻尼惯容器(Tuned Mass Damper Inerter, TMDI)，并证明了TMDI系统在减小位移响应方面的表现优于传统TMD。TMDI利用惯容器表观质量远大于物理质量的特性增大了系统的有效惯性质量，因此，具备更佳的减振性能。除了惯容器，增大TMD的有效惯性质量还可以通过一些机械结构，如杠杆结构和多级连杆结构来实现[23-25]。利用机械结构实现TMD的惯性增强本质上是放大了主结构受控点的位移，即振幅放大思想[26]。TMD往往布置在主结构振幅较大的位置，以获得更佳的工作能力，但一般情况下，主结构的振幅是有限值，若利用一些机械装置先放大主结构受控点的振幅，再接入TMD，对TMD的工作能力可能会有较大的提升。从这种思路出发，Feng等[26]将振幅放大思想引入到梁的弯曲振动控制中，利用杠杆结构的放大作用，先放大了梁受控点的振幅，再外接TMD装置进行振动控制。研究结果表明，振幅放大机制能够显著地提升TMD的工作能力。
鉴于此，本文针对曲线轨道的垂向振动控制，基于惯性增强效应，引入TMDI和振幅放大型TMD(Amplitude Magnification Tuned Mass Damper, AM-TMD)，以实现更佳的振动控制效果。具体而言，采用能量泛函变分法建立曲线轨道的理论分析模型，并引入完美匹配层(Perfectly Matched Layer, PML)模拟曲线钢轨两端的低反射边界条件。系统分析垂向固定谐荷载作用下，TMD、TMDI、AM-TMD对曲线轨道动力响应的影响，对比评估TMD和TMDI、AM-TMD的减振性能，以期为曲线轨道结构的振动控制提供一种新的思路。
1. 理论分析模型建立
1.1 曲梁的坐标系定义
采用曲线Timoshenko梁模拟曲线钢轨，称之为曲线轨梁。曲线Timoshenko梁的坐标系Oxyz按照右手螺旋法则规定，如图 1所示，在曲梁中心线的任意一点上都有6个振动位移分量，图中：坐标系原点O对应曲梁圆心；z轴以竖直向上为正向；y轴以圆心O指向曲梁中性轴方向为正向；x轴与曲梁中性轴相切，以水平向右为正向；平面内振动有3个振动位移分量，即纵向位移u、横向位移v以及横向转角位移θv；平面外振动同样有3个振动位移分量，即垂向位移w、垂向转角位移θw以及截面扭转位移θr；R为曲率半径；s为沿曲梁轴线的曲线路径，即曲线长度。根据曲线Timoshenko梁理论，平面内与平面外运动方程是解耦的[27]。因而对于本文中涉及的垂向振动控制问题，只需要考虑曲梁的平面外振动。
已有研究中对于曲线轨道振动特性的分析主要是联立振动微分方程求解边值问题，考虑到曲梁具有平面内和平面外弯扭耦合振动的特性，需要联立多个微分方程进行求解，过程略显繁琐。能量泛函变分法能将微分方程边值问题转化为泛函极值问题[26]，对于曲梁这类存在多种位移模式耦合的问题，能量泛函变分法能将多个微分方程联立求解问题转化为各位移模式能量表达的加减法问题，建立曲梁动力学模型更简单便捷。曲线轨梁的平面外振动位移场可以表示为[28]
{w(s,t)=m∑j=1a1,j(t)φj(s)=aT1φ=φTa1θw(s,t)=m∑j=1a2,j(t)φj(s)=aT2φ=φTa2θr(s,t)=m∑j=1a3,j(t)φj(s)=aT3φ=φTa3 (1) {a1=(a1,1(t),⋯,a1,j(t),⋯,a1,m(t))Ta2=(a2,1(t),⋯,a2,j(t),⋯,a2,m(t))Ta3=(a3,1(t),⋯,a3,j(t),⋯,a3,m(t))Tφ=(φ1(s),⋯,φj(s),⋯,φm(s))T (2) 式中：w(·)为垂向位移函数；θw(·)为垂向转角位移函数；θr(·)为截面扭转位移函数；m为拟合曲梁平面外振动位移场的基函数个数；φj(s)为曲线路径为s时的第j个基函数；a1, j(t)、a2, j(t)及a3, j(t)分别为第j个基函数t时刻对应的3种位移模式的权重系数。
基函数选用收敛性较好的切比雪夫级数[26]，表示为
{φ1(s)=1φ2(s)=sLsφ3(s)=2sφ2(s)Ls−φ1(s)⋮φm+2(s)=2sφm+1(s)Ls−φm(s) (3) 式中：Ls为曲线钢轨的长度。
1.2 曲线轨道理论分析模型
曲线轨道简化为图 2所示的含N个钢轨元胞(以扣件间距进行划分，元胞长度等于扣件间距ls)的有限长离散支承的轨梁模型，扣件采用弹簧阻尼单元模拟，包含垂向弹簧阻尼单元和扭转弹簧阻尼单元。为有效地模拟无限长轨道结构，消除钢轨两端边界处反射波的影响，在钢轨两端边界处引入PML。
通过调整钢轨复弹性模量的损耗因子来实现PML的效果，即
Er={E[1+(ηp+ηr)i]0⩽ (4) \begin{aligned} & L_{\mathrm{s}}=N l_{\mathrm{s}} \\ & \eta_{\mathrm{p}}=\eta_{\max }\left(d / L_{\mathrm{p}}\right)^c \end{aligned} (5) 式中：Er为考虑PML后钢轨的弹性模量；E为钢轨原本的弹性模量；Lp为PML的长度；ηr为钢轨的损耗因子；ηp为PML的局部损耗因子；d为PML层到钢轨边界的距离，且在d=Lp时取到最大损耗因子ηmax；c为平滑系数。
为获取权重系数向量，需要建立整个系统的拉格朗日量，并推导出离散支承曲线轨梁的运动方程。曲线轨梁的动能Tr为
\begin{aligned} T_{\mathrm{r}}= & \frac{1}{2} \int_0^{2 L_{\mathrm{p}}+L_{\mathrm{s}}}\left(\rho A \dot{w}^2+\rho I_y \dot{\theta}_{\mathrm{w}}^2+\rho I_0 \dot{\theta}_{\mathrm{r}}^2\right) \mathrm{d} s= \\ & \frac{1}{2} \int_0^{2 L_{\mathrm{p}}+L_{\mathrm{s}}}\left(\rho A \dot{\boldsymbol{a}}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{a}}_1+\rho I_y \dot{\boldsymbol{a}}_2^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{a}}_2+\right. \\ & \left.\rho I_0 \dot{\boldsymbol{a}}_3^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{a}}_3\right) \mathrm{d} s=\frac{1}{2}\left(\dot{\boldsymbol{a}}_1^{\mathrm{T}}, \dot{\boldsymbol{a}}_2^{\mathrm{T}}, \dot{\boldsymbol{a}}_3^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{M}_{\mathrm{r}}\left(\dot{\boldsymbol{a}}_1, \dot{\boldsymbol{a}}_2, \dot{\boldsymbol{a}}_3\right)^{\mathrm{T}} \end{aligned} (6) 式中：ρ、A分别为钢轨的密度与横截面面积；Iy为钢轨截面对y轴的惯性矩；I0为钢轨截面极惯性矩；Mr为曲线钢轨的质量矩阵。
整个系统的势能包含了垂向弯曲应变能Uw、剪切应变能Uq、扭转应变能Ut以及扣件弹簧势能Uk，可分别表示为
\left\{\begin{aligned} U_{\mathrm{w}}= & \frac{1}{2} \int_0^{2 L_{\mathrm{p}}+L_{\mathrm{s}}} E_{\mathrm{r}} I_y \varepsilon_{\mathrm{q}}^2 \mathrm{~d} s \\ U_{\mathrm{q}}= & \frac{1}{2} \int_0^{2 L_{\mathrm{p}}+L_{\mathrm{s}}} \kappa G A \varepsilon_{\mathrm{w}}^2 \mathrm{~d} s \\ U_{\mathrm{t}}= & \frac{1}{2} \int_0^{2 L_p+L_s} G J \varepsilon_{\mathrm{t}}^2 \mathrm{~d} s \\ U_{\mathrm{k}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N k_{\mathrm{w}}\left\{w\left[L_{\mathrm{p}}+(n-1) l_{\mathrm{s}}, t\right]\right\}^2+ \\ & k_{\mathrm{r}}\left\{\theta_{\mathrm{r}}\left[L_{\mathrm{p}}+(n-1) l_{\mathrm{s}}, t\right]\right\}^2 \end{aligned}\right. (7) 式中：κ、G、J分别为钢轨截面垂向剪切因子、剪切刚度与截面扭转常数；kw和kr分别为扣件垂向支承刚度和扭转支承刚度；εq、εw、εt分别为钢轨剪切应变、垂向弯曲应变与扭转应变；n为扣件个数。
根据曲线Timoshenko梁理论，曲梁平面外振动的应变可表示为[27]
\left\{\begin{array}{l} \varepsilon_{\mathrm{q}}=\frac{\theta_{\mathrm{r}}(s, t)}{R}-\frac{\partial \theta_{\mathrm{w}}(s, t)}{\partial s} \\ \varepsilon_{\mathrm{w}}=\frac{\partial w(s, t)}{\partial s}-\theta_{\mathrm{w}}(s, t) \\ \varepsilon_{\mathrm{t}}=\frac{\partial \theta_{\mathrm{r}}(s, t)}{\partial s}+\frac{\theta_{\mathrm{w}}(s, t)}{R} \end{array}\right. (8) 综合式(7)、(8)，整个曲线轨梁系统的势能Ur可表示为
\begin{aligned} U_{\mathrm{r}}= & U_{\mathrm{w}}+U_{\mathrm{q}}+U_{\mathrm{t}}+U_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \int_0^{2 L_{\mathrm{p}}+L_{\mathrm{s}}} E I_y\left[\boldsymbol{a}_3^{\mathrm{T}} \frac{\boldsymbol{\varphi}(s)}{R}-\right. \\ & \left.\boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}(s)}{\mathrm{d} s}\right]^2 \mathrm{~d} s+\frac{1}{2} \int_0^{2 L_{\mathrm{p}}+L_{\mathrm{s}}} \kappa G A\left[\boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}(s)}{\mathrm{d} s}-\right. \\ & \left.\boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}(s)\right]^2 \mathrm{~d} s+\frac{1}{2} \int_0^{2 L_{\mathrm{p}}+L_{\mathrm{s}}} \kappa G A\left[\boldsymbol{a}_3^{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}(s)}{\mathrm{d} s}-\right. \\ & \left.\boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}} \frac{\boldsymbol{\varphi}(s)}{R}\right]^2 \mathrm{~d} s+\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N k_{\mathrm{w}}\left\{\boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left[L_{\mathrm{p}}+(n-1) l_{\mathrm{s}}\right]\right\}^2+ \\ & k_{\mathrm{r}}\left\{\boldsymbol{a}_3^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left[L_{\mathrm{p}}+(n-1) l_{\mathrm{s}}\right]\right\}^2= \\ & \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{a}_3^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{K}_{\mathrm{r}}\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right)^{\mathrm{T}} \end{aligned} (9) 式中：矩阵Kr为整个曲线轨梁系统的刚度矩阵；φ(·)为基函数。
由于扣件中包含阻尼项，阻尼力做功Ck为
\begin{aligned} C_{\mathrm{k}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N \mathrm{i} \omega c_{\mathrm{w}}\left\{w\left[L_{\mathrm{p}}+(n-1) l_{\mathrm{s}}, t\right]\right\}^2+ \\ & \mathrm{i} \omega {c}_{\mathrm{r}}\left\{\theta_{\mathrm{r}}\left[L_{\mathrm{p}}+(n-1) l_{\mathrm{s}}, t\right]\right\}^2= \\ & \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{a}_3^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{C}_{\mathrm{k}}\left(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\right)^{\mathrm{T}} \end{aligned} (10) 式中：cw和cr分别为扣件垂向支承阻尼和扭转支承阻尼；ω为圆频率；Ck为扣件系统的阻尼矩阵。
此外，t时刻垂向固定谐荷载f(t)作用在钢轨上的输入机械功W为
W=f(t) w\left(s_{\mathrm{f}}, t\right)=\boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}}[f(t) \boldsymbol{\varphi}] (11) 式中：sf为固定谐荷载作用点距钢轨左端边界点之间的曲线长度。
综上，曲线轨梁的拉格朗日量L为
\left\{\begin{aligned} L= & T_{\mathrm{r}}-U_{\mathrm{r}}-C_{\mathrm{k}}+W=\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M} \dot{\boldsymbol{a}}- \\ & \frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K} \boldsymbol{a}-\frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \mathrm{i} \omega \boldsymbol{C} \boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{f} \\ \dot{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{T}}= & \left(\dot{\boldsymbol{a}}_1^{\mathrm{T}}, \dot{\boldsymbol{a}}_2^{\mathrm{T}}, \dot{\boldsymbol{a}}_3^{\mathrm{T}}\right) \\ \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}}= & \left(\boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{a}_3^{\mathrm{T}}\right) \end{aligned}\right. (12) 式中：M、K、C分别曲线钢轨的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；f为力向量；a为未知系数向量。
由于荷载形式为固定谐荷载，可将f和a考虑为对应的幅值向量 \overset\frown{\boldsymbol{F}}、权重系数向量 \overset\frown{\boldsymbol{A}}分别与谐波时间因子eiωt的乘积，即
\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{f}=\overset\frown{\boldsymbol{F}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \\ \boldsymbol{a}=\overset\frown{\boldsymbol{A}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \end{array}\right. (13) 进一步结合Euler-Lagrange方程 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol{a}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{a}}=0[28]将式(12)处理为
\overset\frown{\boldsymbol{A}}=\left(-\omega^2 \boldsymbol{M}+\mathrm{i} \omega \boldsymbol{C}+\boldsymbol{K}\right)^{-1} \overset\frown{\boldsymbol{F}} (14) 通过给定ω求解式(14)，可以得到 \overset\frown{\boldsymbol{A}}，将 \overset\frown{\boldsymbol{A}}代入式(1)中即能得到曲线轨梁的振动响应。
1.3 曲线轨道-吸振器理论分析模型
在1.2节中建立的曲线轨梁理论分析模型的基础上进一步考虑TMD、TMDI和AM-TMD的影响。首先考虑TMD的影响，将TMD简化为质量-弹簧-阻尼系统，在一个扣件间距内钢轨跨中位置接入TMD且沿着轨向等间距布置，布置间距与扣件间距一致，如图 3所示，图中：mt、kt、ct分别为TMD的质量、弹簧刚度和阻尼；zn为第n个TMD振子垂向位移；附加的TMD个数与扣件个数一致，均为n。
振子的动能ET、弹簧势能UT以及TMD阻尼力做功CT可分别表示为
\left\{\begin{aligned} E_{\mathrm{T}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N m_{\mathrm{t}} \dot{z}_n^2=\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{a}} \\ U_{\mathrm{T}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N k_{\mathrm{t}}\left[w\left(L_{\mathrm{p}}+n l_{\mathrm{s}} / 2, t\right)-z_n\right]^2= \\ & \frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{\mathrm{T}} \boldsymbol{a} \\ C_{\mathrm{T}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N \mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\left[w\left(L_{\mathrm{p}}+n l_{\mathrm{s}} / 2, t\right)-z_n\right]^2= \\ & \frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}_{\mathrm{T}} \boldsymbol{a} \end{aligned}\right. (15) 式中：MT、KT、CT分别为TMD结构对应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。
将式(15)中的振子动能、弹簧势能以及TMD阻尼力做功附加到式(12)中即能得到曲线轨梁-TMD的拉格朗日量L1
\left\{\begin{aligned} L_1= & T_{\mathrm{r}}-U_{\mathrm{r}}-C_{\mathrm{k}}+W+E_{\mathrm{T}}-U_{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{T}}= \\ & \frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_1 \dot{\boldsymbol{a}}-\frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_1 \boldsymbol{a}-\frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \mathrm{i} {\omega} \boldsymbol{C}_1 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{f} \\ \boldsymbol{M}_1= & {\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{M}_{\mathrm{r}} & \\ & \boldsymbol{O}_{\mathrm{N} \times \mathrm{N}} \end{array}\right]+\boldsymbol{M}_{\mathrm{T}} } \\ \boldsymbol{K}_1= & {\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{K}_{\mathrm{r}} & \\ & \boldsymbol{O}_{N \times N} \end{array}\right]+\boldsymbol{K}_{\mathrm{T}} } \\ \boldsymbol{C}_1= & {\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{C}_{\mathrm{k}} & \\ & \boldsymbol{O}_{\mathrm{N} \times \mathrm{N}} \end{array}\right]+\boldsymbol{C}_{\mathrm{T}} } \end{aligned}\right. (16) 式中：M1、K1、C1分别为附加TMD后整个系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵；ON×N为N行N列的零矩阵。
将式(16)中的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵替换为式(14)中的矩阵进行求解，即能得到曲线轨梁-TMD的振动响应。
接着考虑TMDI的影响，TMDI的接入位置和布置方式同TMD一致，如图 4所示。TMDI系统的振子动能、弹簧势能以及阻尼力做功与TMD一致，引入惯容器后，惯容力做功UI为
\begin{aligned} U_{\mathrm{I}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N b_{\mathrm{t}} z_n \ddot{z}_n=-\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N \omega^2 b_{\mathrm{t}} z_n^2= \\ & -\frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \omega^2 \boldsymbol{M}_{\mathrm{I}} \boldsymbol{a} \end{aligned} (17) 式中：bt为惯容系数；MI为惯容力做功产生的有效惯性质量矩阵。
将式(17)中的MI附加到式(16)的质量矩阵中，再代入到式(14)中进行求解，即能得到曲线轨梁- TMDI的振动响应。
进一步考虑AM-TMD的影响，AM-TMD由一个简易的杠杆机构和TMD组成，接入位置和布置方式同TMD一致，如图 5所示。在图 5(b)中，轻质刚性杆与钢轨底部、轻质刚性杆与铰支座之间均为铰接，轻质刚性杆可以沿着铰支座顶部的铰接点水平方向滑动，以确保该机构不会发生部件卡壳从而导致失效。定义振幅放大系数α=lc/ld，lc和ld分别为杠杆的长、短力臂，在长力臂的端部配置有TMD系统。
垂向固定谐荷载作用下钢轨将产生振动变形，由于杠杆结构的作用，接有TMD的长力臂端点处的垂向位移为αw(Lp+nls/2, t)，在此基础上可以得到AM-TMD的弹簧弹性势能UAT和阻尼力做功CAT为
\left\{\begin{aligned} U_{\mathrm{AT}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N k_{\mathrm{t}}\left[\alpha w\left(L_{\mathrm{p}}+n l_{\mathrm{s}} / 2, t\right)-z_n\right]^2= \\ & \frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K}_{\mathrm{AT}} \boldsymbol{a} \\ C_{\mathrm{AT}}= & \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N \mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\left[\alpha w\left(L_{\mathrm{p}}+n l_{\mathrm{s}} / 2, t\right)-z_n\right]^2= \\ & \frac{1}{2} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \mathrm{i} \omega \boldsymbol{C}_{\mathrm{AT}} \boldsymbol{a} \end{aligned}\right. (18) 式中：KAT、CAT分别为AM-TMD弹性势能对应的刚度矩阵以及阻尼力做功对应的阻尼矩阵。
AM-TMD的振子动能与TMD一致。将式(18) 中的KAT、CAT对应替换式(16)中的刚度、阻尼矩阵，再代入到式(14)中进行求解，即能得到曲线轨梁-AM-TMD的振动响应。
2. TMD对曲线轨道动力响应的影响
本节将验证第1节中基于能量泛函变分法建立的离散支承曲线钢轨分析模型的准确性，在此基础上进一步分析TMD对曲线轨道动力响应的影响。
2.1 模型验证
杜林林[30]基于无限-周期结构理论，给出了垂向固定谐荷载作用下离散支承曲线轨道动力响应，为了验证本文计算方法的准确性以及PML的有效性，将本文的计算结果与文献[30]中的进行对比，结果如图 6所示。钢轨和扣件参数与文献[30]一致，如表 1所示，曲线钢轨元胞数N取30，对PML取Lp=6 m，ηp=10，c=3。
图 6 曲线钢轨跨中垂向位移频响函数Figure 6. Frequency response function of vertical displacement at mid-span of curved rail表 1 T60钢轨与DTVI2型扣件参数Table 1. Parameters of T60 rail and DTVI2 fastener参数 数值 A/m2 7.745×10-3 E/Pa 2.059×1011 G/Pa 7.919×1011 Iy/m4 3.217×10-5 I0/m4 3.714×10-5 J/m4 2.150×10-6 ηr 0.01 ρ/(kg·m-3) 7 830 R/m 300 κ 0.532 9 kw/(MN·m-1) 40 cw/(kN·s·m-1) 30 kr/(kN·m·rad-1) 225 cr/(N·m·s·rad-1) 160 ls/m 0.6 由图 6可知，本文计算结果与文献[30]中无限长离散支承曲线轨道动力响应的计算结果吻合良好，验证了本文计算方法的准确性，同时也证明了PML的有效性。进一步说明可利用本文方法对TMD的减振性能进行分析。
2.2 TMD减振性能分析
在图 6中存在2个振动峰值频率(142、1 130 Hz附近)，第1个峰值频率为钢轨与扣件的一阶共振频率，第2个峰值频率为钢轨一阶Pinned-Pinned共振频率。考虑到钢轨振动的Pinned-Pinned模态对轮轨噪声的贡献较大[16, 31]，本文主要针对钢轨的Pinned-Pinned频率设计TMD的参数。TMD的工作频率f=1 130 Hz，mt=5 kg，ct=104 N·s·m-1，通过f= \sqrt{k_{\mathrm{t}} /\left(4 m_{\mathrm{t}} {\rm{ \mathsf{ π}}}^2\right)}计算得到kt=2.52×108 N·m-1。计算了垂向固定谐荷载作用下，安装TMD前后曲线钢轨跨中位置(s=15 m) 的垂向位移频响函数和对应的振动加速度级，如图 7所示，可知：安装TMD后，曲线钢轨在960~1 490 Hz频段内的振动响应均有所减小，一阶Pinned-Pinned共振频率处衰减最大，约为8 dB。
图 8给出了安装TMD前后曲线钢轨振动衰减率对比，钢轨振动衰减率Dr为[32]
D_{\mathrm{r}}=\frac{20 \lg \left|w_{\mathrm{t}} / w_0\right|}{L_{\mathrm{t}}-L_0} (19) 
图 8 TMD对曲线钢轨振动衰减率的影响Figure 8. Influence of TMD on vibration decay rate of curved rail式中：wt和w0分别为激振点和拾振点的钢轨垂向位移；Lt和L0分别为激振点和拾振点到基准点的距离。
取钢轨跨中位置(s=15 m)为激振点和基准点，s=21 m处为拾振点。由图 8可知：未安装TMD时，在钢轨Pinned-Pinned共振频率处，轨道的钢轨振动衰减率最小，钢轨振动较为剧烈；安装TMD后，在810~3 000 Hz频段内钢轨振动衰减率均有所增大，一阶Pinned-Pinned共振频率处的增幅最为明显，达到7.1 dB·m-1。综合图 7和8中的分析结果可以看出，TMD对于曲线轨道的垂向振动控制有一定的效果。
2.3 TMD参数的影响
为进一步探究TMD在提升曲线轨道垂向振动控制效果方面的可行性，分析了TMD的振子质量和阻尼对钢轨振动衰减率的影响，分析结果如图 9所示。
图 9 TMD参数对曲线钢轨振动衰减率的影响Figure 9. Influences of TMD parameters on vibration decay rate of curved rail由图 9(a)可知：TMD的减振性能与其质量成正比，TMD质量越大对钢轨振动衰减率的提升幅度越大。同时，从图 9(b)中可以看出，增大TMD系统的阻尼能有效提升振动能量的耗散特性，使得1 500 Hz以上的钢轨高频振动衰减能力增强，但一阶Pinned-Pinned频率处(TMD的设计频率)的钢轨振动衰减能力受到抑制。综上，增大TMD系统的质量或阻尼对其减振性能均有着不同程度的提升，但过大的质量会给TMD的实际工程应用造成困难，甚至会影响到钢轨自身的稳定性。此外，在实际工程应用中调整TMD的阻尼难度较大且成本高[33]。
3. TMDI与AM-TMD对曲线轨道动力响应的影响
3.1 TMDI减振性能分析
本节首先考虑将TMDI引入到曲线钢轨的垂向振动控制中，利用惯容器表观质量远大于物理质量的特性来弥补传统TMD在提升减振性能时的质量缺陷。计算了垂向固定谐荷载作用下曲线轨梁-TMDI的动力响应，结果如图 10所示。在计算中，TMDI的参数取值如下：bt=10 kg，mt=5 kg，kt=7.56×108 N·m-1，ct=1.0×104 N·s·m-1，f=1 130 Hz。
从图 10(a)中可以看出：在保持mt=5 kg不变的情况下，TMDI在810~1 590 Hz频段内(带宽为780 Hz)能有效降低钢轨的振动响应，相比于TMD产生的960~1 490 Hz的工作带宽(带宽为530 Hz)，工作带宽拓宽约1.5倍。同时，由图 10(b)可知：安装TMDI后，在1/3倍频程中心频率1 250 Hz处的钢轨振动衰减达到了13.5 dB，相比于TMD的8 dB，减振效果提升了约5.5 dB，这也表明了在工作带宽内TMDI的振动抑制效果明显优于TMD。进一步给出了TMDI对曲线钢轨振动衰减率的影响，结果如图 11所示，可以发现：在720~1 970 Hz，TMDI的振动衰减能力均大于TMD。此外，由于惯容器具有表观质量远大于物理质量的特性，本算例中惯容器实际质量可远小于表观质量。综上，从宽频控制、高衰减率的角度考虑，TMDI比TMD更具优势。在实际应用过程中，由于钢轨底部安装空间有限，需要考虑到惯容器工作空间是否受限的问题。
图 11 TMDI对曲线钢轨振动衰减率的影响Figure 11. Influence of TMDI on vibration decay rate of curved rail3.2 AM-TMD工作机理分析
本节考虑将AM-TMD引入到曲线钢轨的垂向振动控制中，首先从阻抗的角度来分析振幅放大系数与AM-TMD工作能力的关系，以探究利用振幅放大思想全面提升TMD工作能力的可行性。
对于图 3(b)所示的传统TMD结构，惯性力Fp1、弹性力Fp2以及阻尼力Fp3可分别表示为
\left\{\begin{array}{l} F_{\mathrm{p} 1}=m_{\mathrm{t}} \ddot{z}_n=-\omega^2 m_{\mathrm{t}} z_n \\ F_{\mathrm{p} 2}=k_{\mathrm{t}}\left(w-z_n\right) \\ F_{\mathrm{p} 3}=c_{\mathrm{t}}\left(\dot{w}-\dot{z}_n\right)=\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\left(w-z_n\right) \end{array}\right. (20) 基于TMD与钢轨的连接点处的动态平衡有
\left\{\begin{aligned} & F_{\mathrm{p} 1}=-\omega^2 m_{\mathrm{t}} z_n=k_{\mathrm{t}}\left(w-z_n\right)+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\left(w-z_n\right)= \\ & \;\;\;\;\;\; F_{\mathrm{p} 2}+F_{\mathrm{p} 3} \\ & w=z_n\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}-\omega^2 m_{\mathrm{t}}\right) /\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right) \end{aligned}\right. (21) TMD与钢轨的连接点处的阻抗Zc为
\begin{aligned} Z_{\mathrm{c}}= & \frac{F_{\mathrm{pl}}}{V}=\frac{F_{\mathrm{pl}}}{\mathrm{i} \omega \omega}=\frac{-\omega^2 m_{\mathrm{t}} z_n}{\mathrm{i} \omega\left[z_n\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}-\omega^2 m_{\mathrm{t}}\right) /\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right)\right]}= \\ & \frac{\mathrm{i} \omega m_{\mathrm{t}}\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right)}{k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}-\omega^2 m_{\mathrm{t}}} \end{aligned} (22) 式中：V为TMD与钢轨连接点处的速度。
对于图 5(b)所示的AM-TMD结构，Fp1、Fp2和Fp3可分别表示为
\left\{\begin{array}{l} F_{\mathrm{p} 1}=-m_{\mathrm{t}} \dot{z}_n=\omega^2 m_{\mathrm{t}} z_n \\ F_{\mathrm{p} 2}=k_{\mathrm{t}}\left(\alpha \omega+z_n\right) \\ F_{\mathrm{p} 3}=c_{\mathrm{t}}\left(\alpha \dot{w}+\dot{z}_n\right)=\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\left(\alpha \omega+z_n\right) \end{array}\right. (23) 基于杠杆结构长力臂端部与外接TMD的连接点处的动态平衡有
\left\{\begin{aligned} & F_{\mathrm{p} 1}=\omega^2 m_{\mathrm{t}} z_n=k_{\mathrm{t}}\left(\alpha w+z_n\right)+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\left(\alpha w+z_n\right)= \\ &\;\;\;\;\;\; F_{\mathrm{p} 2}+F_{\mathrm{p} 3} \\ & w=\frac{z_n\left(\omega^2 m_{\mathrm{t}}-k_{\mathrm{t}}-\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right)}{\alpha\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right)} \end{aligned}\right. (24) 此时在AM-TMD与钢轨的连接点处Fp1= \alpha m_{\mathrm{t}} \ddot{z}_n=\alpha \omega^2 m_{\mathrm{t}} z_n，对应的阻抗Zc1为
\begin{aligned} Z_{\mathrm{c} 1}= & \frac{F_{\mathrm{p} 1}}{V}=\frac{F_{\mathrm{p} 1}}{\mathrm{i} \omega \omega}=\frac{\alpha \omega^2 m_{\mathrm{t}} z_n}{\mathrm{i} \omega\left[z_n\left(\omega^2 m_{\mathrm{t}}-k_{\mathrm{t}}-\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right) / \alpha\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right)\right]}= \\ \alpha^2 & \frac{\mathrm{i} \omega m_{\mathrm{t}}\left(k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}\right)}{k_{\mathrm{t}}+\mathrm{i} \omega c_{\mathrm{t}}-\omega^2 m_{\mathrm{t}}} \end{aligned} (25) 对比式(22)和(25)中的Zc和Zc1，可以看出振幅放大α倍，TMD的工作能力提升α2倍。换言之，振幅放大机构能够将TMD的质量、刚度和阻尼放大α2倍。为证明这一结论，分别计算了配置有AM-TMD(α=2，α=3)以及α2倍初始参数的TMD(TMD参数与2.2节中一致)的曲线钢轨振动衰减率，计算结果如图 12所示，可知：配置AM-TMD的钢轨振动衰减率与配置α2倍初始参数的TMD的钢轨振动衰减率完全一致，进一步证明了振幅放大机构能够将TMD的质量、刚度和阻尼放大α2倍，进而全面提升TMD的工作能力。
3.3 AM-TMD减振性能分析
本节进一步分析了AM-TMD的减振性能，分析结果如图 13所示(振幅放大系数α=2)。
图 13 AM-TMD对曲线钢轨动力响应的影响Figure 13. Influence of AM-TMD on dynamic response of curved rail由于振幅放大机构的引入，TMD的质量、刚度和阻尼放大α2倍，对应的工作能力显著提升。因而，从图 13(a)中可以看出：在保持mt=5 kg不变的情况下，AM-TMD在750~1 800 Hz频段内(带宽为1 050 Hz)能有效降低钢轨的振动响应，相比于TMD，工作带宽拓宽约2倍。由图 13(b)可知：安装AM-TMD后，在1/3倍频程中心频率1 250 Hz处的钢轨振动衰减达到了14.1 dB，相比于TMD，减振效果提升了约6.1 dB。进一步给出了AM-TMD对曲线钢轨振动衰减率的影响，结果如图 14所示，可以发现：在660 Hz以上时，AM-TMD的振动衰减能力均大于TMD。综上，AM-TMD的实质在于利用振幅放大机制来全面提升TMD的工作能力，可以实现小质量、宽频控制、高衰减的效果。此外，在实际应用过程中，AM-TMD涉及的轻质刚性杆的强度问题需要重点关注，可以选用如碳纤维这类高强度材料或采取局部加肋的方式来增强轻质刚性杆的稳定性。
图 14 AM-TMD对曲线钢轨振动衰减率的影响Figure 14. Influence of AM-TMD on vibration decay rate of curved rail3.4 综合对比分析
TMDI和AM-TMD的有效性已经在3.1~3.3节得到了验证，本节将进一步对比TMDI和AM-TMD的减振性能。计算了垂向固定谐荷载作用下附加TMDI和AM-TMD的曲线轨道的频响函数和振动衰减率，结果如图 15所示。为了使对比结果更具说服力，TMDI和AM-TMD系统的有效惯性质量、工作频率均保持一致(TMDI参数：bt=15 kg，mt=5 kg，kt=1.01×109 N·m-1，ct=104 N·s·m-1；AM-TMD参数：α=2，mt=5 kg，ct=104 N·s·m-1，kt=2.52×108 N·m-1)。
图 15 TMD、TMDI与AM-TMD减振性能综合对比分析Figure 15. Comprehensive comparative analysis of vibration reduction performance between TMD, TMDI and AM-TMD由于TMDI和AM-TMD系统的有效惯性质量相同，因而在图 15(a)中可以看到2种装置的主要工作带宽相差不大。但由于振幅放大机制同步增大了AM-TMD系统的阻尼，振动能量耗散能力也得到了有效增强，在图 15(b)中可以发现，相较于TMDI，AM-TMD能够有效提升1 700 Hz以上的高频振动衰减能力。此外，TMDI由于仅通过惯容器增强了系统的有效惯性质量，与阻尼相关的能量耗散能力并未得到提升，因而对钢轨频响函数影响较大，在其工作频段内钢轨频响函数曲线突变明显，且产生了2个明显的谷值会影响轮轨耦合后的动作用力，从而可能加剧轮轨动作用力[32]，给轨道系统带来不利影响；而对于AM-TMD，由于振幅放大机制的有益效果，阻尼表征的能量耗散能力与系统的有效惯性质量同步增大，使得AM-TMD对钢轨动柔度影响相较于TMDI更小，工作频段内钢轨频响函数突变大幅度降低，曲线起伏较小，故与TMDI相比，AM-TMD能够有效降低吸振器对轨道系统的不利影响。综上，无论是从实现宽频、高衰减的角度考虑，还是从有效降低吸振器对轨道系统的不利影响的角度考虑，AM-TMD均优于TMDI。
4. 结语
(1) 通过与已有研究中无限长离散支承曲线轨道动力响应的计算结果的对比，验证了文中计算方法的准确性以及完美匹配层的有效性。得益于能量泛函变分法具有将求解微分方程边值问题转化为极值问题的优势，建立的曲线轨道动力学分析模型具有多样便捷性，如TMD、TMDI等这类附加结构能够以额外的动能、势能形式快速地附加到曲线轨道的能量泛函中。
(2) TMDI中惯容器的引入有效地弥补了传统TMD在实现宽频控制时的质量缺陷。与TMD相比，垂向固定谐荷载作用下，同参数的TMDI工作带宽拓宽约1.5倍，最大振动衰减提升了约5.5 dB。因而，从宽频控制、高衰减率的角度考虑，TMDI比TMD更具优势。
(3) AM-TMD的实质在于利用振幅放大机构来全面提升TMD的工作能力，振幅放大α倍，TMD的质量、刚度、阻尼增大α2倍，可以实现小质量、宽频控制、高衰减的效果。
(4) 得益于振幅放大机制的优势，无论是从实现宽频、高衰减的角度考虑，还是从有效降低吸振器对轨道系统的不利影响的角度考虑，AM-TMD均优于TMDI。
(5) 本文研究成果以期为曲线轨道结构的振动控制提供一种新的分析和设计思路。此外，振幅放大思想可以进一步拓展到地铁列车运行引起的低频环境振动控制中，有望实现小质量隔振器控制低频振动的效果。
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图 6 曲线钢轨跨中垂向位移频响函数
Figure 6. Frequency response function of vertical displacement at mid-span of curved rail
图 8 TMD对曲线钢轨振动衰减率的影响
Figure 8. Influence of TMD on vibration decay rate of curved rail
图 9 TMD参数对曲线钢轨振动衰减率的影响
Figure 9. Influences of TMD parameters on vibration decay rate of curved rail
图 11 TMDI对曲线钢轨振动衰减率的影响
Figure 11. Influence of TMDI on vibration decay rate of curved rail
图 13 AM-TMD对曲线钢轨动力响应的影响
Figure 13. Influence of AM-TMD on dynamic response of curved rail
图 14 AM-TMD对曲线钢轨振动衰减率的影响
Figure 14. Influence of AM-TMD on vibration decay rate of curved rail
图 15 TMD、TMDI与AM-TMD减振性能综合对比分析
Figure 15. Comprehensive comparative analysis of vibration reduction performance between TMD, TMDI and AM-TMD
表 1 T60钢轨与DTVI2型扣件参数
Table 1. Parameters of T60 rail and DTVI2 fastener
参数 数值 A/m2 7.745×10-3 E/Pa 2.059×1011 G/Pa 7.919×1011 Iy/m4 3.217×10-5 I0/m4 3.714×10-5 J/m4 2.150×10-6 ηr 0.01 ρ/(kg·m-3) 7 830 R/m 300 κ 0.532 9 kw/(MN·m-1) 40 cw/(kN·s·m-1) 30 kr/(kN·m·rad-1) 225 cr/(N·m·s·rad-1) 160 ls/m 0.6 
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