0.   引言

长期以来, 有关板式轨道的研究多限于静力学分析。在动力学分析中, 文献[1]采用车辆-轨道耦合动力学理论, 将机车车辆与板式轨道作为一个整体系统, 计算与分析了板式轨道的动力特性, 但由于是将轨道抽象为弹性基础上的整体叠合梁来建立振动微分方程, 当需要对轨道板的应力、应变和强度进行具体分析时, 其结果无法细致反应轨道板各位置处的动力特性; 文献[2-4]利用弹性系统动力学总势能不变值原理, 通过对板式轨道进行有限元离散, 建立了板式轨道系统的振动方程组, 但并没有考虑车辆与轨道之间的耦合作用, 而是用大小不变的集中力代替移动车辆荷载, 这将无法揭示出在实际线路及车辆运行条件下板式轨道的动力学特性。本文综合以上两种方法, 运用机车车辆-轨道耦合动力学理论, 将高速车辆与板式轨道作为一个整体系统, 应用弹性系统动力学总势能不变值原理^[5-7], 建立高速车辆-板式轨道的垂向耦合动力学方程, 对板式轨道的动力学响应进行仿真分析。

1.   垂向耦合动力学模型

高速列车-板式轨道垂向耦合动力学模型见图 1, 车辆模型采用具有二系悬挂的客车模型^[8]。图 1中: Z_c和β_c分别为车体沉浮及点头; Z_ti和β_ti分别为构架沉浮及点头(i=1, 2);Z_wj为轮对垂向位移(j=1~4);p_j为轮轨垂向力(j=1~4);其他变量为车辆及板式轨道参数, 其含义参见后文表 1。板式轨道由于其结构左右对称, 故可取一股轨道进行研究。在板式轨道中, 钢轨可以视为一无限长梁, 并弹性支承在钢轨扣件处的轨下衬垫上, 轨道板放置在均匀的CA砂浆填充层上。在模型中, 视钢轨为离散粘弹性点支承的欧拉梁, 而将轨道板视为连续粘弹性支承上的有限长短梁。车辆与板式轨道的垂向耦合作用通过轮轨接触来实现, 轮轨力由赫兹非线性弹性接触理论确定。

图  1  垂向耦合模型

Figure  1.  Vertical coupling model

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表  1  计算参数

Table  1.  Computation parameters

参数	取值
车体质量Mc/kg	31 994
轮对质量Mw/kg	1 650
构架点头惯量Jt/(kg·m2)	3 200
一系悬挂阻尼Cs1/(N·s·m-1)	8.0×104
二系悬挂阻尼Cs2/(N·s·m-1)	1.0×105
转向架轴距之半Lt/m	1.25
钢轨弹性模量Er/(N·m-2)	2.1×1011
钢轨单位长度质量mr/(kg·m-1)	60.8
轨下垫层阻尼Cp/(N·s·m-1)	3.625×104
轨道板截面惯性矩Is/m4	6.687 5×10-4
CA砂浆刚度KCA/(N·m-1)	1.25×109
轨道板长度ls/m	4.95
构架质量Mt/kg	3 333
车体点头惯量Jc/(kg·m2)	2.1×106
一系悬挂刚度Ks1/(N·m-1)	2.36×106
二系悬挂刚度Ks2/(N·m-1)	8.0×105
车辆定距之半Lc/m	8.75
车轮半径Rw/m	0.43
钢轨截面惯性矩Ir/m4	3.09×10-5
轨下垫层刚度Kp/(N·m-1)	6×107
轨道板弹性模量Es/(N·m-2)	3.5×1010
轨道板质量ms/kg	2 500
CA砂浆阻尼CCA/(N·s·m-1)	8.3×104
钢轨扣件间距l/m	0.625

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2.   系统动力学方程的建立

根据弹性系统动力学总势能不变值原理, 系统质量、阻尼、刚度矩阵以及荷载矢量可由系统总势能的一阶变分导出^[9]。将惯性力与阻尼力引入动力体系, 对于整个耦合系统, 总势能Π_d为

$\Pi {}_{\text{d}}=U+V+V{}_{\text{m}}+V{}_{\text{c}}+V{}_{\text{p}}(1)$

式中: U为系统应变能; V为有势力势能; V_m为惯性力势能; V_c为阻尼力势能; V_p为外荷载势能。由系统总势能的一阶变分δΠ_d=0, 可得出系统振动方程为

$\mathit{{\rm M}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}}}+\mathit{C}\dot{\mathit{q}}+\mathit{{\rm K}}\mathit{q}=\mathit{{\rm P}}(2)$

式中: M、C、K分别为高速车辆-板式轨道耦合系统的质量、阻尼、刚度矩阵; q为耦合系统的广义位移矢量; $\dot{\mathit{q}}$为耦合系统的广义速度矢量; $\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}}}$为耦合系统的广义加速度矢量; P为耦合系统的广义载荷矢量。

2.1   车辆质量、阻尼、刚度矩阵的建立

弹簧应变能Uc的一阶变分为

应变能的一阶变分对应刚度矩阵, 由式(3)即可得出车辆的刚度矩阵K_c。

惯性力势能V_mc的一阶变分为

$\begin{array}{l}\text{δ}V{}_{\text{m}\text{c}}={\rm M}{}_{\text{c}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle {\rm Z}}}{}_{\text{c}}\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{c}}+J{}_{\text{c}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \beta }}{}_{\text{c}}\text{δ}\beta {}_{\text{c}}+{\rm M}{}_{\text{t}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle {\rm Z}}}{}_{\text{t}1}\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{t}1}+\\ J{}_{\text{t}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \beta }}{}_{\text{t}1}\text{δ}\beta {}_{\text{t}1}+{\rm M}{}_{\text{t}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle {\rm Z}}}{}_{\text{t}2}\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{t}2}+J{}_{\text{t}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \beta }}{}_{\text{t}1}\text{δ}\beta {}_{\text{t}1}+\\ {\displaystyle \sum _{j=1}^4{\rm M}}{}_{\text{w}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle {\rm Z}}}{}_{\text{w}\text{j}}\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{w}\text{j}}(4)\end{array}$

惯性力势能对应质量矩阵, 由式(4)即可得出车辆的质量矩阵M_c。

阻尼力势能V_c的一阶变分δV_c与式(3)δU_c的形式一样, 只需将式(3)中的K_si换成C_si即可(i=1, 2)。阻尼力势能对应阻尼矩阵, 由此可以得出车辆的阻尼矩阵C_c。

2.2   板式轨道质量、阻尼、刚度矩阵的建立

钢轨总长度为L, 钢轨单元长度取为离散支承点的间距l(即钢轨扣件间距); 轨道板单元长度与钢轨单元长度一致(暂不考虑轨道板两端部分), 单元模型见图 2。忽略轴向变形, 只考虑节点的垂向位移z和转角位移z′(小变形情况下转角位移可视为垂向位移的一次导数)。为便于计算钢轨与轨道板之间的离散粘弹性单元的变形, 将钢轨单元和轨道板单元统一编号, 视为一个单元, 则每个单元自由度为8, 单元的结点位移见图 3。本文只讨论处于轨道板中间部分的单元, 而对于轨道板端部的单元可以依照同样的方法推导其相关矩阵。本文与文献[2]将轨道和轨道板分别划分单元不同, 而是将钢轨和轨道板统一划分单元, 这样的好处是在由单元矩阵生成轨道整体矩阵时更易于叠加组合, 且在仿真计算中, 可以方便地根据需要增减计算中所用到的轨道长度。

图  2  板式轨道单元

Figure  2.  Element of slab track

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图  3  梁单元节点位移

Figure  3.  Node displacement of beam element

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梁单元弯曲形函数采用Hermitian三次插值函数^[10], 梁单元内任一点的竖向位移

$\mathit{{\rm Z}}=({\rm Z}{}_{\text{r}},{\rm Z}{}_{\text{s}})$

都可以用节点的竖向位移和转角位移表示

$\mathit{{\rm Z}}=\mathit{{\rm N}}\mathit{q}{}_i^{\text{e}}(5)$

$\begin{array}{l}\mathit{{\rm N}}=\left[\begin{array}{cccccccc}{\rm N}{}_1& 0& {\rm N}{}_2& 0& {\rm N}{}_3& 0& {\rm N}{}_4& 0\\ 0& {\rm N}{}_1& 0& {\rm N}{}_2& 0& {\rm N}{}_3& 0& {\rm N}{}_4\end{array}\right]\\ \mathit{q}{}_i^{\text{e}}=(z{}_{\text{r}i},z{}_{\text{s}i},z{}_{\text{r}i}^{´},z{}_{\text{s}i}^{´},z{}_{\text{r}j},z{}_{\text{s}j},z{}_{\text{r}j}^{´},z{}_{\text{s}j}^{´}){}^{\text{Τ}}\\ {\rm N}{}_1=1-3(x/l){}^2+2(x/l){}^3\\ {\rm N}{}_2=x-2x{}^2/l+x{}^3/l{}^2\\ {\rm N}{}_3=3(x/l){}^2-2(x/l){}^3\\ {\rm N}{}_4=-x{}^2/l+x{}^3/l{}^2\end{array}$

2.2.1   板式轨道刚度矩阵的建立

板式轨道的应变能包括钢轨和轨道板的弯曲应变能、离散支承弹簧的应变能以及连续支承弹簧的应变能。钢轨和轨道板统一单元的弯曲应变能的一阶变分为

$\text{δ}U{}_{\text{b}i}=\text{δ}(\mathit{q}{}_i^{\text{e}}){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm K}}{}_{\text{b}i}^{\text{e}}\mathit{q}{}_i^{\text{e}}(6)$

$\mathit{{\rm K}}{}_{\text{b}i}^{\text{e}}=(\mathit{E}\mathit{{\rm I}}){}^{\text{e}}{\displaystyle {\int }_0^l\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{{\rm N}}}}}{}^{\text{Τ}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{{\rm N}}}}\text{d}x$

$(\mathit{E}\mathit{{\rm I}}){}^{\text{e}}=\left[\begin{array}{cccccccc}E{}_{\text{r}}{\rm I}{}_{\text{r}}& & & & & & & \\ & E{}_{\text{s}}{\rm I}{}_{\text{s}}& & & & & & \\ & & E{}_{\text{r}}{\rm I}{}_{\text{r}}& & & & & \\ & & & E{}_{\text{s}}{\rm I}{}_{\text{s}}& & & & \\ & & & & E{}_{\text{r}}{\rm I}{}_{\text{r}}& & & \\ & & & & & E{}_{\text{s}}{\rm I}{}_{\text{s}}& & \\ & & & & & & E{}_{\text{r}}{\rm I}{}_{\text{r}}& \\ & & & & & & & E{}_{\text{s}}{\rm I}{}_{\text{s}}\end{array}\right]$

离散支承弹簧单元应变能的一阶变分为

$\text{δ}U{}_{\text{p}i}=\text{δ}(\mathit{q}{}_i^{\text{e}}){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm K}}{}_{\text{p}i}^{\text{e}}\mathit{q}{}_i^{\text{e}}(7)$

$\mathit{{\rm K}}{}_{\text{p}i}^{\text{e}}=\left[\begin{array}{cccccccc}{\rm K}{}_{\text{p}}& -{\rm K}{}_{\text{p}}& & & & & & \\ -{\rm K}{}_{\text{p}}& {\rm K}{}_{\text{p}}& & & & & & \\ & & 0& 0& & & & \\ & & 0& 0& & & & \\ & & & & {\rm K}{}_{\text{p}}& -{\rm K}{}_{\text{p}}& & \\ & & & & -{\rm K}{}_{\text{p}}& {\rm K}{}_{\text{p}}& & \\ & & & & & & 0& 0\\ & & & & & & 0& 0\end{array}\right]$

连续支承弹簧单元应变能的一阶变分为

$\text{δ}U{}_{\text{c}i}=\text{δ}(\mathit{q}{}_i^{\text{e}}){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm K}}{}_{\text{c}i}^{\text{e}}\mathit{q}{}_i^{\text{e}}(8)$

K_ci^e=K_c^e∫ ${}_0^l$ N^TNdx

$\mathit{{\rm K}}{}_{\text{c}}^{\text{e}}=\left[\begin{array}{cccccccc}0& & & & & & & \\ & {\rm K}{}_{\text{C}\text{A}}& & & & & & \\ & & 0& & & & & \\ & & & {\rm K}{}_{\text{C}\text{A}}& & & & \\ & & & & 0& & & \\ & & & & & {\rm K}{}_{\text{C}\text{A}}& & \\ & & & & & & 0& \\ & & & & & & & {\rm K}{}_{\text{C}\text{A}}\end{array}\right]$

板式轨道的系统应变能的一阶变分为

$\text{δ}U{}_{\text{r}}={\displaystyle \sum \text{δ}}U{}_{\text{b}i}+{\displaystyle \sum \text{δ}}U{}_{\text{p}i}+{\displaystyle \sum \text{δ}}U{}_{\text{c}i}$

由此可以得到板式轨道的刚度矩阵为

$\mathit{{\rm K}}{}_{\text{r}}={\displaystyle \sum \mathit{{\rm K}}}{}_{\text{b}i}^{\text{e}}+{\displaystyle \sum \mathit{{\rm K}}}{}_{\text{p}i}^{\text{e}}+{\displaystyle \sum \mathit{{\rm K}}}{}_{\text{c}i}^{\text{e}}$

2.2.2   板式轨道阻尼矩阵的建立

板式轨道的阻尼势能包括离散支承阻尼势能的应变能以及连续支承阻尼势能。离散支承阻尼单元阻尼势能的一阶变分为

$\text{δ}V{}_{\text{p}i}=\text{δ}(\dot{\mathit{q}}{}_i^{\text{e}}){}^{\text{Τ}}\mathit{C}{}_{\text{p}i}^{\text{e}}\dot{\mathit{q}}{}_i^{\text{e}}(9)$

式中: C_pi^e的形式与式(7)中的K_pi相似, 只需将K_p换为C_p即可。

连续支承阻尼单元阻尼势能的一阶变分为

$\text{δ}V{}_{\text{c}i}=\text{δ}(\dot{\mathit{q}}{}_i^{\text{e}}){}^{\text{Τ}}\mathit{C}{}_{\text{c}i}^{\text{e}}\dot{\mathit{q}}{}_i^{\text{e}}(10)$

式中: C_ci^e的形式与式(8)中的K_ci^e相似, 只需将K_CA换为C_CA即可。

板式轨道的系统阻尼势能的一阶变分为

$\text{δ}V{}_{\text{r}}={\displaystyle \sum \text{δ}}V{}_{\text{p}i}+{\displaystyle \sum \text{δ}}V{}_{\text{c}i}$

由此可以得到板式轨道的阻尼矩阵为

$\mathit{C}{}_{\text{r}}={\displaystyle \sum \mathit{C}}{}_{\text{p}i}^{\text{e}}+{\displaystyle \sum \mathit{C}}{}_{\text{c}i}^{\text{e}}$

2.2.3   板式轨道质量矩阵的建立

板式轨道的惯性力势能包括钢轨和轨道板的惯性力势能。钢轨和轨道板统一单元的惯性力势能的一阶变分为

$\text{δ}V{}_{\text{m}i}=\text{δ}(\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}}}{}_i^{\text{e}}){}^{\text{Τ}}\mathit{{\rm M}}{}_i^{\text{e}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}}}{}_i^{\text{e}}(11)$

M_i^e=m^e∫ ${}_0^l$ N^TNdx

$\mathit{m}{}^{\text{e}}=\left[\begin{array}{cccccccc}m{}_{\text{r}}& & & & & & & \\ & m{}_{\text{s}}& & & & & & \\ & & m{}_{\text{r}}& & & & & \\ & & & m{}_{\text{s}}& & & & \\ & & & & m{}_{\text{r}}& & & \\ & & & & & m{}_{\text{s}}& & \\ & & & & & & m{}_{\text{r}}& \\ & & & & & & & m{}_{\text{s}}\end{array}\right]$

板式轨道的系统惯性力势能的一阶变分为

$\text{δ}V{}_{\text{m}\text{r}}={\displaystyle \sum \text{δ}}V{}_{\text{m}i}$

由此可以得到板式轨道的质量矩阵为

$\mathit{{\rm M}}{}_{\text{r}}={\displaystyle \sum \mathit{{\rm M}}}{}_{\text{e}}{}_i$

2.3   耦合系统质量、阻尼、刚度矩阵的建立

假设板式轨道共划分了n个节点, 令耦合系统的广义位移矢量为

则由前面生成的车辆和轨道的质量、阻尼和刚度矩阵便可构成耦合系统的相应矩阵。

2.4   耦合系统荷载矢量的建立

系统的荷载向量由车辆的重力势能与轮轨力势能对应生成。车辆重力势能的V_c一阶变分为

$\begin{array}{l}\text{δ}V{}_{\text{c}}={\rm M}{}_{\text{c}}g\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{c}}+{\rm M}{}_{\text{t}}g(\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{t}1}+\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{t}2})+\\ {\rm M}{}_{\text{w}}g(\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{w}1}+\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{w}2}+\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{w}3}+\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{w}4})(13)\end{array}$

根据赫兹非线性接触理论可知轮轨作用力为

$\begin{array}{l}p{}_j(t)=\{\frac{1}{G}[{\rm Z}{}_{\text{w}j}(x,t)-z{}_{\text{r}}(x{}_{\text{p}j},t)-\\ z{}_{\text{r}0}(x{}_{\text{p}j},t)]\}{}^{3/2}(14)\end{array}$

式中, 轮轨接触常数G为3.86R_w^-0.115×10^-8 m·N^-2/3(对于磨耗型踏面车轮); Z_wj(x, t)为t时刻第j位轮对的垂向位移; z_r(x_pj, t)为t时刻第j位轮对下钢轨的垂向位移; z_r0(x_pj, t)为t时刻第j位轮对下轨道的不平顺。轮轨力势能的一阶变分为

$\text{δ}V{}_{\text{p}}=p{}_j(t)[\text{δ}{\rm Z}{}_{\text{w}j}(x,t)-\text{δ}z{}_{\text{r}}(x{}_{\text{p}j},t)](15)$

由δV_c和δV_p对应相应的自由度便可生成耦合系统的荷载矢量P。

3.   计算结果分析

车辆-轨道耦合动力学作为一种新的理论体系, 在许多铁路工程应用中得到了试验验证, 文献[1]正是基于这一理论对板式轨道进行了动力学分析与计算。本文采用与文献[1]完全相同的计算条件, 用Wilson-θ法求解系统振动方程组, 并采用Matlab编程实现, 将计算结果与文献[1]进行比较。仿真计算采用日本新干线300系高速车辆以及日本新干线板式轨道, 具体参数见表 1, 其中钢轨及轨道板的相关参数都是对应单根钢轨的。

仿真计算了车辆以250 km·h^-1速度通过板式轨道上长钢轨焊接区轨面短波不平顺(短波波长为0.1 m, 长波和短波波幅分别为0.3 mm和0.2 mm)时的轮轨垂向作用力p、钢轨加速度a_r、轨道板加速度a_s和钢轨位移Z_r的响应波形, 计算结果见图 4; 而在同等计算条件下, 采用文献[1]方法得到的计算结果见图 5。

图  4  用本文方法计算的轮轨动力响应

Figure  4.  Wheel/rail dynamic responses computed by using proposed method

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图  5  文献[1]中的轮轨动力响应

Figure  5.  Wheel/rail dynamic responses in reference[1]

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比较图 4、5可知, 采用两种方法计算得到的动力作用响应的幅值与变化规律基本一致, 说明本文仿真计算方法是正确的。其中对轨道板加速度响应计算结果比较可以看出, 由于本文将板式轨道划分为许多有限单元, 充分考虑了各单元之间的相互影响, 得到的焊接不平顺区轮轨冲击效应在轨道板上的反应比文献[1]仅将轨道板作为一个整体梁进行分析计算更为明显, 影响的轨道板范围较广泛, 这说明, 在具体研究轨道板的动力学特性时, 通过有限元方法得到的轨道板动力响应比较准确。

4.   结语

本文建立的高速车辆-板式轨道动力学模型, 能精确计算车辆移动荷载作用下板式轨道的动力响应, 为车辆-轨道动力学系统的振动分析提供了理论基础。